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2018 年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置。）
1．（3 分）下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，
，其中无理数的个数是
（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．
（3 分）习近平主席在2018 年新年贺词中指出，“安得广厦千万间，大庇天下寒
土俱欢颜!”2017 年，340 万贫困人口实现异地扶贫搬迁，有了温暖的新家，各类棚
户区改造开工提前完成600 万套目标任务．将340 万用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×107B．34×105 C．3.4×105 D．3.4×106
3．（3 分）如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b 上，若
∠1=30°，则∠2 的度数是（ ）
A．45° B．30° C．15° D．10°
4．（3 分）如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道，其左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）关于x 的一元二次方程（k+1）x2
2x
﹣
+1=0 有两个实数根，则k 的取值范
围是（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0 且k≠﹣1
D．k≤0 且k≠﹣1
6．（3 分）如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA 的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°[来源@&:zz#st~ep.*com]
7．（3 分）规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m，n），向量
可以用
点P 的坐标表示为：
=（m，n）．已知：
=（x1，y1），
=（x2，y2），如果
x1•x2+y1•y2=0，那么
点与
互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（ ）
[来~源%:中^国教育*&出版网]
A．=（3，2），=（﹣2，3）B．
=（
﹣1，1），
=（
+1，1）
C．
=（3，20180），
=（﹣
，﹣1）D．
=（
，﹣
），
=（（
）2，4）
8．（3 分）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+a 与反比
例函数y=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分，请把最后结果填写在答题
卡的相应区域内。)
9．（3 分）不等式组
的最小整数解是 ．
10．（3 分）若a+b=2，ab=
3
﹣，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
11．（3 分）若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是 ．
12．（3 分）据资料表明：中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国．机
器人几大关键技术领域包括：谐波减速器、RV 减速器、电焊钳、3D 视觉控制、焊缝
跟踪、涂装轨迹规划等，其中涂装轨迹规划的来源国结构（仅计算了中、日、德、
美）如图所示，在该扇形统计图中，美国所对应的扇形圆心角是 度．[来#源:中国&*教^育出~版网]
13．（3 分）如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3：
4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B 的坐标是（6，0），则点C 的坐标是 ．
14．（3 分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出
的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．[中国^%@教育&出版~网]
[来@源:中*&国%教育#出版网]
三、解答题（本大题共10 个小题，共78 分，请把解答或证明过程写在答题卡的相
应区域内。)
15．（6 分）计算：﹣12018+（
）﹣2﹣|
2
﹣|
2sin60°
﹣
．
16．（6 分）先化简再求值（
﹣y）÷
﹣（x
2y
﹣
）（x+y），其中x=
1
﹣，y=2．
17．（6 分）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF 与AE 的数量关系，并证明你
的结论．
18．（6 分）2018 年4 月12 日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机
航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A 处的俯角为
30°，B 处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C 处的高度CD 为200 米，点A、B、D
在同一条直线上，则A、B 两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
19．（7 分）列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购
买了笔记本电脑和台式电脑共120 台，购买笔记本电脑用了7.2 万元，购买台式
电脑用了24 万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5 倍，那么笔记本电
脑和台式电脑的单价各是多少？
20．（7 分）如图，已知点D 在反比例函数y=
的图象上，过点D 作DB⊥y 轴，垂足
为B（0，3），直线y=kx+b 经过点A（5，0），与y 轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：
5．[www*.@z~z#st^ep.com]
（1）求反比例函数y=
和一次函数y=kx+b 的表达式；
（2）直接写出关于x 的不等式
＞kx+b 的解集．
21．（10 分）为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光
大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、
篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10
发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）
（1）依据折线统计图，得到下面的表格：
射击次序（次）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
b
10
其中a= ，b= ；
（2）甲成绩的众数是 环，乙成绩的中位数是 环；
（3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
（4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2 名男同学和2 名女同学，
现要从这4 名同学中任意选取2 名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出
恰好选到1 男1 女的概率．[中国&教育#*~出版^网]
22．（10 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A 作AD∥BC，与
∠ABC 的平分线交于点D，BD 与AC 交于点E，与⊙O 交于点F．
（1）求∠DAF 的度数；[来#源@:^%中*教网]
（2）求证：AE2=EF•ED；
（3）求证：AD 是⊙O 的切线．
[来#源:~&中教网@%]
23．（10 分）问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将：矩形纸片ABCD 沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△ACD．并且量得
AB=2cm，AC=4cm．
操作发现：
（1）将图1 中的△ACD 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，
得到如图2 所示的△AC′D，过点C 作AC′的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四
边形ACEC′的形状是 ．
（2）创新小组将图1 中的△ACD 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、
D 三点在同一条直线上，得到如图3 所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连
接AF 并延长至点G，使FG=AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，
请你证明这个结论．
实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC 沿着BD 方
向平移，使点B 与点A 重合，此时A 点平移至A'点，A'C 与BC′相交于点H，如图4
所示，连接CC′，试求tan∠C′CH 的值．
24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx
5
﹣交y 轴于点A，交x
轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A 作AD∥x 轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；[来%^~&源#:中教网]
（2）点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面
积；
（3）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP
的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．
2018 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
[来&~源:*zzstep.co@m%]
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置。）
1．（3 分）下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，
，其中无理数的个数是
（ ）
A．4B．3C．2D．1[www#.z@zs*tep.c%om~]
【考点】26：无理数；22：算术平方根．菁优网
【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可．
【解答】解：在﹣2，0，，0.020020002…，π，
中，无理数有0.020020002…，π 这2
个数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无
限不循环小数为无理数．如π，
，0.8080080008…（每两个8 之间依次多1 个0）
等形式．
2．
（3 分）习近平主席在2018 年新年贺词中指出，“安得广厦千万间，大庇天下寒
土俱欢颜!”2017 年，340 万贫困人口实现异地扶贫搬迁，有了温暖的新家，各类棚
户区改造开工提前完成600 万套目标任务．将340 万用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×107B．34×105 C．3.4×105 D．3.4×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网
【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本
题得以解决．
【解答】解：340 万=3400000=3.4×106，
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数
法的表示方法．
3．（3 分）如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b 上，若
∠1=30°，则∠2 的度数是（ ）
A．45° B．30° C．15° D．10°[来#源:~中国%教*育@出版网]
【考点】KW：等腰直角三角形；JA：平行线的性质．菁优网
【分析】根据a∥b，得到∠1+∠3+∠4+∠2=180°，将∠1=30°，∠3=45°，∠4=90°代
入即可求出∠2 的度数．
【解答】解：如图．
∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠1=30°，∠3=45°，∠4=90°，
∴∠2=15°，
故选：C．
[来源:中国^*&教@#育出版网]
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（3 分）如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道，其左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看如图
，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．[w%ww.#z*zstep.com@~]
5．（3 分）关于x 的一元二次方程（k+1）x2
2x
﹣
+1=0 有两个实数根，则k 的取值范
围是（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0 且k≠﹣1
D．k≤0 且k≠﹣1
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．菁优网[来~源*:中国教育&出^版@网]
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0 且△=（﹣2）2
4
﹣
（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
[中国*教育%出&版网#@]
【解答】解：根据题意得k+1≠0 且△=（﹣2）2
4
﹣（k+1）≥0，
解得k≤0 且k≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两
个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．
6．（3 分）如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA 的度数是（ ）
[来&%源:中教网@~^]
A．64° B．58° C．32° D．26°
【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．菁优网[中国%@*教育出版#~网]
【分析】根据垂径定理，可得
=
，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据
直角三角形的性质，可得答案．
【解答】解：如图
，
由OC⊥AB，得[来^&*源:中教%网~]
=
，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE 中，∠OEB=90°，[来@^源~:中国教#育出版网%]
∴∠B=90°﹣∠3=90°
64°=26°
﹣
，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出
=
，∠OEB=90°是解题关
键，又利用了圆周角定理．
7．（3 分）规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m，n），向量
可以用
点P 的坐标表示为：
=（m，n）．已知：
=（x1，y1），
=（x2，y2），如果
x1•x2+y1•y2=0，那么
点与
互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A．=（3，2），=（﹣2，3）B．
=（
﹣1，1），
=（
+1，1）
C．
=（3，20180），
=（﹣
，﹣1）D．
=（
，﹣
），
=（（
）2，4）
【考点】LM：*平面向量；24：立方根；6E：零指数幂．菁优网
【分析】根据垂直的向量满足的条件判断即可；
【解答】解：A、∵3×（﹣2）+2×3=0，∴
与
垂直，故本选项符合题意；
[中国教育出版网*~&%@]
B、∵（
﹣1）（
+1）+1×1=2≠0，∴
与
不垂直，故本选项不符合题意；
C、∵3×（﹣
）+1×（﹣1）=
2
﹣≠，∴
与
不垂直，故本选项不符合题意；
D、∵
×（
）2+（﹣
）×4=2≠0，∴
与
不垂直，故本选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量、平面向量垂直的条件，解题的关键是理解题意，属于
中考常考题型．
8．（3 分）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+a 与反比
例函数y=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
[来源:&中%国教育#
出版*~网]
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．
菁优网
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c 的值取值范围，进而利用
一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上，
∴a＞0，[来源:zzs*tep^&.co@m~]
∵该抛物线对称轴位于y 轴的右侧，[来%源@:~&zz#step.com]
∴a、b 异号，即b＜0．
∵当x=1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∴一次函数y=bx+a 的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y=
的图象分布在第二、四象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关
性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分，请把最后结果填写在答题
卡的相应区域内。)
9．（3 分）不等式组
的最小整数解是
0
．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式
组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，[中国%#教&育出^版*网]
解不等式1﹣
x≥0，得：x≤2，[中国*教育@^出~版网#]
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
所以不等式组的最小整数解为0，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取
大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．（3 分）若a+b=2，ab=
3
﹣，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为
30
．
【考点】59：因式分解的应用．菁优网
【分析】根据a3b
2a
﹣
2b2+ab3=ab（a2
2ab
﹣
+b2）=ab（a
b
﹣）2=ab[（a+b）2
4ab
﹣
]，结合
已知数据即可求出代数式a3b
2a
﹣
2b2+ab3的值．
【解答】解：∵a+b=2，ab=
3
﹣，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2
2ab
﹣
][来源:中*国教育出版^网%~#]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种
方法的灵活运用是解题的关键．[w&ww.zzst%~ep.c#om^]
11．（3 分）若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是
8
．
【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网
【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行
计算即可得解．
【解答】解：∵所有内角都是135°，
∴每一个外角的度数是180°
135°=45°
﹣
，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷45°=8，
即这个多边形是八边形．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的
方法之一．
12．（3 分）据资料表明：中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国．机
器人几大关键技术领域包括：谐波减速器、RV 减速器、电焊钳、3D 视觉控制、焊缝
跟踪、涂装轨迹规划等，其中涂装轨迹规划的来源国结构（仅计算了中、日、德、
美）如图所示，在该扇形统计图中，美国所对应的扇形圆心角是
57.6
度．
【考点】VB：扇形统计图．菁优网
【分析】根据圆心角=360°×百分比，计算即可；
【解答】解：美国所对应的扇形圆心角=360°×（1
21%
32%
31%
﹣
﹣
﹣
）=57.6°，
故答案为57.6．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接
反映部分占总体的百分比大小．
13．（3 分）如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3：
4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B 的坐标是（6，0），则点C 的坐标是 （
2 ，
2
）
．
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．菁优网
【分析】根据题意得出D 点坐标，再解直角三角形进而得出答案．
【解答】解：分别过A 作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，
∵△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B 的坐标
是（6，0），
∴D（8，0），则DO=8，
故OC=4，
则FO=2，CF=CO•cos30°=4×
=2
，[来源~:中*%国@教育出版#网]
故点C 的坐标是：（2，2
）．
故答案为：（2，2
）．
【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解
题关键．
14．（3 分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出
的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是
15
．
【考点】33：代数式求值．菁优网[来源:中^国&@教育*出版网~]
【分析】根据输出的结果确定出x 的所有可能值即可．
【解答】解：当3x
2=127
﹣
时，x=43，
当3x
2=43
﹣
时，x=15，
当3x
2=15
﹣
时，x=
，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
三、解答题（本大题共10 个小题，共78 分，请把解答或证明过程写在答题卡的相
应区域内。)
15．（6 分）计算：﹣12018+（
）﹣2﹣|
2
﹣|
2sin60°
﹣
．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简
得出答案．
【解答】解：原式=
1
﹣+2﹣（2﹣
）﹣2×
=
1
﹣+2
2
﹣+
﹣
=
1
﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．（6 分）先化简再求值（
﹣y）÷
﹣（x
2y
﹣
）（x+y），其中x=
1
﹣，y=2．
【考点】6D：分式的化简求值；4B：多项式乘多项式．菁优网
【分析】原式利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y 的值代入
计算可得．
【解答】解：原式=（
﹣
）÷
﹣（x2+xy
2xy
2y
﹣
﹣
2）
=
•（x+y）﹣x2+xy+2y2
=
xy
x
﹣
﹣2+xy+2y2
=
x
﹣2+2y2，
当x=
1
﹣、y=2 时，[来源:中@教网*&^%]
原式=﹣（﹣1）2+2×22
=
1
﹣+8
=7．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺
序和运算法则．
17．（6 分）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF 与AE 的数量关系，并证明你
的结论．
[来源:%&zz~s*tep.@com]
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网[来源:中%国教育出@版~#&网]
【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE 即可；[ww~w.z%z^s#tep.c&om]
【解答】解：结论：DF=AE．
理由：∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，
∵CE=BF，
∴CF=BE，∵CD=AB，
∴△CDF≌△BAE，
∴DF=AE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形
全等的条件，属于中考常考题型．
18．（6 分）2018 年4 月12 日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机
航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A 处的俯角为
30°，B 处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C 处的高度CD 为200 米，点A、B、D
在同一条直线上，则A、B 两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，
相加求差即可．
【解答】解：∵EC∥AD，
∴∠A=30°，∠CBD=45°，CD=200，
∵CD⊥AB 于点D．
∴在Rt△ACD 中，∠CDA=90°，tanA=
，
∴AD=
，
在Rt△BCD 中，∠CDB=90°，∠CBD=45°
∴DB=CD=200，
∴AB=AD
DB=200
﹣
200
﹣
，
答：A、B 两点间的距离为200
200
﹣
米．[来源*#:~zzst@ep^.com]
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角
△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出
AD 与BD 的长．
19．（7 分）列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购
买了笔记本电脑和台式电脑共120 台，购买笔记本电脑用了7.2 万元，购买台式
电脑用了24 万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5 倍，那么笔记本电
脑和台式电脑的单价各是多少？
【考点】B7：分式方程的应用．菁优网[中国*^教育#出&@版网]
【分析】设台式电脑的单价是x 元，则笔记本电脑的单价为1.5x 元，利用购买笔记
本电脑和购买台式电脑的台数和列方程
+
=120，然后解分式方程即
可．
【解答】解：设台式电脑的单价是x 元，则笔记本电脑的单价为1.5x 元，
根据题意得
+
=120，[来源^&#*:中教%网]
解得x=2400，
经检验x=2400 是原方程的解，[来@#^源:中教~网*]
当x=2400 时，1.5x=3600．[w~ww.zz#s^tep%@.com]
答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600 元和2400 元．[中*国教^&%育#出版网]
【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解
验、答．[来&源:%中^国教育~出版网#]
20．（7 分）如图，已知点D 在反比例函数y=
的图象上，过点D 作DB⊥y 轴，垂足
为B（0，3），直线y=kx+b 经过点A（5，0），与y 轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：
5．[来源^:z&zstep.c@~o%m]
（1）求反比例函数y=
和一次函数y=kx+b 的表达式；
（2）直接写出关于x 的不等式
＞kx+b 的解集．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网
【分析】（1）由OC、OA、BD 之间的关系结合点A、B 的坐标可得出点C、D 的坐标，
由点D 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a 值，进而可得出反比
例函数的表达式，再由点A、C 的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达
式；
（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0 可得出
两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等
式
＞kx+b 的解集．
【解答】解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），
∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，
又∵点C 在y 轴负半轴，点D 在第二象限，
∴点C 的坐标为（0，﹣2），点D 的坐标为（﹣2，3）．
∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=
的图象上，[来@~源:*中%国教育出版#网]
∴a=
2
﹣×3=
6
﹣，[中国#教*%育@出版网~]
∴反比例函数的表达式为y=﹣
．
将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，
，解得：
，
∴一次函数的表达式为y=
x
2
﹣．
（2）将y=
x
2
﹣代入y=﹣
，整理得：
x2
2x
﹣
+6=0，[来源:&中教*网#%~]
∵△=（﹣2）2
4
﹣×
×6=﹣
＜0，
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜0 时，反比例函数图象在一次函数图象上方，[来#源:中教@~网%^]
∴不等式
＞kx+b 的解集为x＜0．[w#ww%.zzste@p.*com~]
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标
特征以及根的判别式，解题的关键是：（1）由OC、OA、BD 之间的关系结合点A、B
的坐标找出点C、D 的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的
解集．
21．（10 分）为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光
大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、
篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10
发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）
（1）依据折线统计图，得到下面的表格：[来~*源:中&国教育出版网@#]
射击次序（次）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
b
10
其中a=
8
，b=
7
；
（2）甲成绩的众数是
8
环，乙成绩的中位数是
7
环；
（3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？[来%^~源&:中#教网]
（4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2 名男同学和2 名女同学，
现要从这4 名同学中任意选取2 名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出
恰好选到1 男1 女的概率．[www.z@zstep~%#.&com]
【考点】X6：列表法与树状图法；VD：折线统计图；W4：中位数；W5：众数；W7：方
差．菁优网
【分析】（1）根据折线统计图即可得；
（2）根据众数的定义可得；
（3）求出甲乙两人成绩的方差，方差小者成绩稳定；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，利用概率公式计算
可得．
【解答】解：（1）由折线统计图知a=8、b=7，
故答案为：8、7；
（2）甲射击成绩次数最多的是8 环、乙射击成绩次数最多的是7 环，
甲成绩的众数是8 环、乙成绩的众数为7 环；[来@源:^中国教~%育出版#网]
（3）甲成绩的平均数为
=8（环），
所以甲成绩的方差为
×[（6
8
﹣）2+2×（7
8
﹣）2+4×（8
8
﹣）2+2×（9
8
﹣）2+（10
8
﹣）2]=1.2（环2），
乙成绩的平均数为
=8（环），
所以乙成绩的方差为
×[（6
8
﹣）2+4×（7
8
﹣）2+（8
8
﹣）2+2×（9
8
﹣）2+2×（10
8
﹣）2]=1.8（环2），
故甲成绩更稳定；
（4）用A、B 表示男生，用a、b 表示女生，列表得：
A
B
a
b
A
AB
A
a
Ab
B
BA
Ba
Bb
a
aA
aB
ab
b
bA
bB
ba
∵共有12 种等可能的结果，其中一男一女的有8 种情况，
∴恰好选到1 男1 女的概率为
=
．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量
的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示
统计数量增减变化．也考查了概率公式．
22．（10 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A 作AD∥BC，与
∠ABC 的平分线交于点D，BD 与AC 交于点E，与⊙O 交于点F．
（1）求∠DAF 的度数；
（2）求证：AE2=EF•ED；
（3）求证：AD 是⊙O 的切线．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．
菁优网
【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD 的度数，求出∠D 度数，根据三角形内角和
定理求出∠BAF 和∠BAD 度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=
×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=
∠ABC=
72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，[中国^*教育#&~出版网]
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°
36°
36°=108°
﹣
﹣
，
∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°
36°
72°=72°
﹣
﹣
，
∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°
72°=36°
﹣
；
（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴
=
，
∴AE2=EF×ED；
（3）证明：连接OA、OF，
∵∠ABF=36°，
∴∠AOF=2∠ABF=72°，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=
×（180°﹣∠AOF）=54°，
由（1）知∠ADF=36°，
∴∠OAD=36°+54°=90°，
即OA⊥AD，
∵OA 为半径，
∴AD 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的
性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23．（10 分）问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将：矩形纸片ABCD 沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△ACD．并且量得
AB=2cm，AC=4cm．
操作发现：
（1）将图1 中的△ACD 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，
得到如图2 所示的△AC′D，过点C 作AC′的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四
边形ACEC′的形状是 菱形 ．
（2）创新小组将图1 中的△ACD 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、
D 三点在同一条直线上，得到如图3 所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连
接AF 并延长至点G，使FG=AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，
请你证明这个结论．
实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC 沿着BD 方
向平移，使点B 与点A 重合，此时A 点平移至A'点，A'C 与BC′相交于点H，如图4
所示，连接CC′，试求tan∠C′CH 的值．
【考点】LO：四边形综合题．菁优网
【分析】（1）先判断出∠ACD=∠BAC，进而判断出∠BAC=∠AC'D，进而判断出
∠CAC'=∠AC'D，即可的结论；
（2）先判断出∠CAC'=90°，再判断出AG⊥CC'，CF=C'F，进而判断出四边形ACGC'是
平行四边形，即可得出结论；
（3）先判断出∠ACB=30°，进而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出结论．
【解答】解：（1）在如图1 中，
∵AC 是矩形ABCD 的对角线，[来源:#z~zste*p.%co&m]
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，[中国^教@育出#~版&网]
∴∠ACD=∠BAC，
在如图2 中，由旋转知，AC'=AC，∠AC'D=∠ACD，[来源:z^@zstep&.co%*m]
∴∠BAC=∠AC'D，[来&*源^:中教~网@]
∵∠CAC'=∠BAC，
∴∠CAC'=∠AC'D，
∴AC∥C'E，
∵AC'∥CE，
∴四边形ACEC'是平行四边形，
∵AC=AC'，[中^国教@育出版~*&网]
∴▱ACEC'是菱形，
故答案为：菱形；
（2）在图1 中，∵四边形ABCD 是矩形，[来源:中*国教育出^版网@&#]
∴AB∥CD，
∴∠CAD=∠ACB，∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°
在图3 中，由旋转知，∠DAC'=∠DAC，
∴∠ACB=∠DAC'，
∴∠BAC+∠DAC'=90°，
∵点D，A，B 在同一条直线上，
∴∠CAC'=90°，
由旋转知，AC=AC'，
∵点F 是CC'的中点，
∴AG⊥CC'，CF=C'F，[来^*源:%zzstep.&com@]
∵AF=FG，
∴四边形ACGC'是平行四边形，[来源@#:中^国教育出&版网~]
∵AG⊥CC'，
∴▱ACGC'是菱形，[来@*源:中%教网~&]
∵∠CAC'=90°，[来源&:中*~#^教网]
∴菱形ACGC'是正方形；
（3）在Rt△ABC 中，AB=2，AC=4，
∴BC'=AC=4，BD=BC=2
，sin∠ACB=
=
，
∴∠ACB=30°，
由（2）结合平移知，∠CHC'=90°，
在Rt△BCH 中，∠ACB=30°，
∴BH=BC•sin30°=
，
∴C'H=BC'
BH=4
﹣
﹣
，
在Rt△ABH 中，AH=
AB=1，
∴CH=AC
AH=4
1=3
﹣
﹣
，[来源:中&%国*教育#出版网^]
在Rt△CHC'中，tan∠C′CH=
=
．[www.z%^@zs~tep.co*m]
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，
正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出∠CAC'=90°
是解本题的关键．
[来源:~#z^zstep@*.com]
24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx
5
﹣交y 轴于点A，交x
轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A 作AD∥x 轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面
积；
（3）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP
的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网
【分析】（1）根据题意可以求得a、b 的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得AD 的长和点E 到AD 的距离，从而可以求得△EAD 的面积；
（3）根据题意可以求得直线AB 的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP 的面
积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx
5
﹣交y 轴于点A，交x 轴于点B（﹣5，0）和点C
（1，0），
∴
，得
，
∴此抛物线的表达式是y=x2+4x
5
﹣；
（2）∵抛物线y=x2+4x
5
﹣交y 轴于点A，
∴点A 的坐标为（0，﹣5），
∵AD∥x 轴，点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，
∴点E 的纵坐标是5，点E 到AD 的距离是10，
当y=
5
﹣时，﹣5=x2+4x
5
﹣，得x=0 或x=
4
﹣，
∴点D 的坐标为（﹣4，﹣5），
∴AD=4，
∴△EAD 的面积是：
=20；
（3）设点P 的坐标为（p，p2+4p
5
﹣），如右图所示，
设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB 的函数解析式为y=mx+n，
，得
，
即直线AB 的函数解析式为y=
x
5
﹣﹣，[来源%:中国教育出版#~*^网]
当x=p 时，y=
p
5
﹣﹣，
∵OB=5，
∴△ABP 的面积是：S=
=
，
∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，
∴﹣5＜p＜0，
∴当p=﹣
时，S 取得最大值，此时S=
，点p 的坐标是（
，﹣
），
即点p 的坐标是（
，﹣
）时，△ABP 的面积最大，此时△ABP 的面积是
．
【点评】本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
