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2018 年广东省广州市铁一中学中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分）每小题只有一个答案是正确的，请
将正确答案的代号填入下列对应题号内．
1．（3 分）﹣3 的绝对值是（ ）
A．3
B．﹣3
C．
D．
2．（3 分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．（3 分）如图，直线a∥b，若∠A＝∠1，则∠A 的度数为（ ）
A．28°
B．31°
C．35°
D．42°
6．（3 分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15 名同学，结果如下表：
每天使用零花钱
（单位：元）
1
2
3
5
6
人 数
2
5
4
3
1
则这15 名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．3，3
B．2，3
C．2，2
D．3，5
7．（3 分）Rt△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则sinB＝（ ）
A．
B．
C．
D．1
8．（3 分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
9．（3 分）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（ ）
A．BC：EF＝1：1
B．BC：AB＝1：2
C．AD：CF＝2：3
D．BE：CF＝2：3
10．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE⊥AD 交AD 的
延长线于E．若AC＝6，BC＝8，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（本大题共6 个小题，每题3 分，共18 分）
11．（3 分）国家统计局4 月15 日发布的初步测算数据显示，一季度我国社会消费品零售总额
为44500 亿元，“44500 亿元”用科学记数法表示为 元．
12．（3 分）不等式组
解集是 ．
13．（3 分）已知x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根，那么x1
2+x2
2＝ ．
14．（3 分）如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO＝65cm，CO＝15cm，当AC 绕点O
旋转90°时，则刮雨刷AC 扫过的面积为 cm2．
15．（3 分）如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB＝2．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，
折痕为EF；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N，折痕BM 与EF 相交
于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN 交BC 于点G．
有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③AB⊥CG；④△BMG 是等边三角形；⑤P 为线段BM 上一动
点，H 是BN 的中点，则PN+PH 的最小值是
．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（共102 分，要写出演算和推理过程）
16．（9 分）如图，点M 在正方形ABCD 的对角线BD 上．求证：AM＝CM．
17．（9 分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完
成这项工程需要60 天；若由甲队先做20 天，剩下的工程由甲、乙合做24 天可完成．求乙
队单独完成这项工程需要多少天？
18．（10 分）先化简，再求值：
．其中a 是不等式组
的整数
解．
19．（10 分）从△ABC（CB＜CA）中裁出一个以AB 为底边的等腰△ABD，并使得△ABD 的面
积尽可能大．
（1）用尺规作图作出△ABD．（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
（2）若AB＝2，∠CAB＝30°，求裁出的△ABD 的面积．
20．（12 分）为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动．
弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3 月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定
为A，B，C，D，E 五个等级，该校七（1）班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制
成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该校七（1）班共有 名学生；扇形统计图中C 等级所对应扇形的圆心角等于
度；并补全条形统计图；
（2）A 等级的4 名学生中有2 名男生，2 名女生，现从中任意选取2 名学生作为全班训练的示
范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1 名男生和1 名女生的概率．
21．（12 分）如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC 的
高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6 米到达坡底
A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°，若斜坡FA 的坡比
，求大树的高度．
（结果保留整数）
22．（12 分）如图，已知矩形OABC 的一个顶点B 的坐标是（4，2），反比例函数y＝（x＞0）
的图象经过OB 的中点E，且与边BC 交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D 的坐标；
（2）求三角形DOE 的面积；
（3）若过点D 的直线y＝mx+n 将矩形OABC 的面积分成3：5 的两部分，求此直线解析式．
23．（14 分）如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，∠ABC，∠CDE 是直角，连接
BD，点F 在AE 上且∠FBD＝45°，AB＝2，CD＝1．
（1）求证：AF＝FE；
（2）若将等腰直角CDE 绕点C 旋转一个a（0°＜a≤90°）角，其它条件不变，如图2，求
的
值；
（3）在（2）的条件下，再将等腰直角△CDE 沿直线BC 右移k 个单位，其它条件不变，如图3，
试求
的值（用含k 的代数式表示）
24．抛物线过A（0，t）、B（﹣2，0）、C（8，0），过A 作x 轴的平行线交抛物线于一点D．
（1）如图1，求AD 的长度；
（2）如图2，若sin∠BAO＝
，P 为x 轴上方抛物线上的一个动点，△PAC 的面积取何值时，
相应的P 点有且只有两个；
（3）如图3，设抛物线顶点为Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求t 取值范围．
2018 年广东省广州市铁一中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分）每小题只有一个答案是正确的，请
将正确答案的代号填入下列对应题号内．
1．（3 分）﹣3 的绝对值是（ ）
A．3
B．﹣3
C．
D．
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数
的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0．
2．（3 分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】P3：轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．（3 分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看左边一个正方形，右边一个正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，注意所有看到的线
的都用实线表示．
4．（3 分）一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据判别式的值得到△＝m2+4，利用非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意
义判断方程根的情况．
【解答】解：△＝（m+2）2﹣4m＝m2+4＞0，
所以方程有两个不相等实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如
下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0 时，方程无实数根．
5．（3 分）如图，直线a∥b，若∠A＝∠1，则∠A 的度数为（ ）
A．28°
B．31°
C．35°
D．42°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】由直线a∥b，根据平行线的性质，即可求得∠DBC 的度数，由三角形外角的性质，即
可求得∠A 的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，∠ACE＝70°，
∴∠DBC＝∠ACE＝70°，
又∵∠A＝∠1，
∴∠A＝
∠DBC＝35°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题时注意运用两直线平行，内错角
相等．
6．（3 分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15 名同学，结果如下表：
每天使用零花钱
（单位：元）
1
2
3
5
6
人 数
2
5
4
3
1
则这15 名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．3，3
B．2，3
C．2，2
D．3，5
【考点】W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【专题】27：图表型．
【分析】由于小红随机调查了15 名同学，根据表格数据可以知道中位数在第三组，再利用众
数的定义可以确定众数在第二组．
【解答】解：∵小红随机调查了15 名同学，
∴根据表格数据可以知道中位数在第三组，即中位数为3．
∵2 出现了5 次，它的次数最多，
∴众数为2．
故选：B．
【点评】此题考查中位数、众数的求法：
①给定n 个数据，按从小到大排序，如果n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为
偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中
位数不一定是这组数据里的数．
②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则
众数一定是数据集里的数．
7．（3 分）Rt△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则sinB＝（ ）
A．
B．
C．
D．1
【考点】T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，根据三角形内角和定理可得x+2x+3x＝180，解方程
可得x 的值，进而可得∠B 的度数，然后可得答案．
【解答】解：设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，
x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴∠B＝60°，
∴sinB＝
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是利用方程思想确定∠B 的度数．
8．（3 分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定．菁优网版权所有
【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．
【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A 错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B 错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C 错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D 正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．
9．（3 分）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（ ）
A．BC：EF＝1：1
B．BC：AB＝1：2
C．AD：CF＝2：3
D．BE：CF＝2：3
【考点】S4：平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【分析】由平行线分线段成比例定理得出
＝
＝
，由比例的性质得出
＝
，即可得
出结论．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴
＝
＝
＝
，
∴
＝
，
∴BC：AB＝1：2；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出
＝
是解决问题的关键．
10．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE⊥AD 交AD 的
延长线于E．若AC＝6，BC＝8，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】过点E 作EF⊥BC 于F，推出△ACD∽△EDF，根据相似三角形的性质得到
，
当OE⊥BC 时，EF 有最大值，根据勾股定理得到AB＝10，由垂径定理得到BF＝
BC＝
4，求得EF＝2，即可得到结论．
【解答】解：如图1，过点E 作EF⊥BC 于F，
∵∠C＝90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EDF，
∴
，
∵AE⊥BE，
∴A，B，E，C 四点共圆，
设AB 的中点为O，连接OE，
当OE⊥BC 时，EF 有最大值，
如图2，∵OE⊥BC，EF⊥BC，
∴EF，OE 重合，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴OE＝5，∵OE⊥BC，
∴BF＝
BC＝4，∴OF＝3，∴EF＝2，
∴
＝
＝
，
∴
的最大值为
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当OE⊥BC 时，
EF 有最大值是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6 个小题，每题3 分，共18 分）
11．（3 分）国家统计局4 月15 日发布的初步测算数据显示，一季度我国社会消费品零售总额
为44500 亿元，“44500 亿元”用科学记数法表示为
4.45×10
12
元．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要
看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：44500 亿元＝4450000000000 元，
4450000000000 元用科学记数法表示为4.45×1012元．
故答案为：4.45×1012．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
12．（3 分）不等式组
解集是 ﹣
3 ＜
x ＜
2
．
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：不等式组
，
由①得：x＞﹣3，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜2，
故答案为：﹣3＜x＜2
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3 分）已知x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根，那么x1
2+x2
2＝
．
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】由根与系数的关系可得“x1+x2＝﹣
＝﹣
，x1•x2＝
＝﹣
”，利用完全平方公式
将x1
2+x2
2变形为
﹣2x1•x2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣
＝﹣
，x1•x2＝
＝﹣
．
∵x1
2+x2
2＝
﹣2x1•x2，
∴x1
2+x2
2＝
﹣2×（﹣
）＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是得出“x1+x2＝﹣
，
x1•x2＝﹣
”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与系数的关系得
出两根之和与两根之积是关键．
14．（3 分）如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO＝65cm，CO＝15cm，当AC 绕点O
旋转90°时，则刮雨刷AC 扫过的面积为
1000
π
cm2．
【考点】MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】刮雨刷AC 扫过的面积＝大扇形AOA′的面积﹣小扇形COC′的面积．
【解答】解：刮雨刷AC 扫过的面积＝
＝1000πcm2．
【点评】本题的关键是理解刮雨刷AC 扫过的面积为大扇形的面积﹣小扇形的面积，然后依公
式计算即可．
15．（3 分）如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB＝2．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，
折痕为EF；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N，折痕BM 与EF 相交
于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN 交BC 于点G．
有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③AB⊥CG；④△BMG 是等边三角形；⑤P 为线段BM 上一动
点，H 是BN 的中点，则PN+PH 的最小值是
．其中正确结论的序号是
①③④⑤
．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题；PB：翻
折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】首先证明BN＝2BE，推出∠ENB＝30°，再利用翻折不变性以及直角三角形、等边三角
形的性质一一判断即可；
【解答】解：在Rt△BEN 中，∵BN＝AB＝2BE，
∴∠ENB＝30°，
∴∠ABN＝60°，故①正确，
∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBG＝30°，
∴AM＝AB•tan30°＝
，故②错误，
∵∠ABG＝90°，
∴AB⊥CG，故③正确，
∵∠MBG＝∠BMG＝60°，
∴△BGM 是等边三角形，故④正确，
连接PE．∵BH＝BE＝1，∠MBH＝∠MBE，
∴E、H 关于BM 对称，
∴PE＝PH，
∴PH+PN＝PE+PN，
∴E、P、N 共线时，PH+PN 的值最小，最小值＝EN＝
，故⑤正确，
故答案为①③④⑤
【点评】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、直角三角形中30 度角的判断、轴对称
最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共102 分，要写出演算和推理过程）
16．（9 分）如图，点M 在正方形ABCD 的对角线BD 上．求证：AM＝CM．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用正方形的性质得出∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，再利用全等三角形的判定与
性质得出答案．
【解答】证明：∵BD 是正方形ABCD 的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，
在△ABM 和△CBM 中
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM＝MC．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握正方形的性
质是解题关键．
17．（9 分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完
成这项工程需要60 天；若由甲队先做20 天，剩下的工程由甲、乙合做24 天可完成．求乙
队单独完成这项工程需要多少天？
【考点】B7：分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】12：应用题．
【分析】设乙队单独完成这项工程需要x 天，工作量＝工作时间×工作效率，完成工作，工作量
就是1，根据此可列方程求解．
【解答】解：设乙队单独完成这项工程需要x 天．
×20+（
+
）×24＝1
x＝90
经检验x＝90 是原分式方程的解，
故乙队单独完成这项工程需要90 天．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是知道工作量＝工作时间×工作效率，以工作量做为
等量关系可列方程求解．
18．（10 分）先化简，再求值：
．其中a 是不等式组
的整数
解．
【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后a 是不等式组
的整数
解和原分式可以确定a 的值，从而可以解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝a﹣1，
由不等式组
，得0＜a≤3，
∵a 是不等式组
的整数解，a﹣1≠0 且a﹣2≠0，
∴a＝3，
∴原式＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式
化简求值的方法．
19．（10 分）从△ABC（CB＜CA）中裁出一个以AB 为底边的等腰△ABD，并使得△ABD 的面
积尽可能大．
（1）用尺规作图作出△ABD．（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
（2）若AB＝2，∠CAB＝30°，求裁出的△ABD 的面积．
【考点】KH：等腰三角形的性质；N3：作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质作出AB 的垂直平分线，交AC 于点D，进而得出
△ABD；
（2）利用锐角三角形关系得出DE 的长，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△ABD 即为所求；
（2）∵MN 垂直平分AB，
∴AE＝BE＝
AB＝1，
在Rt△ADE 中，∵tanA＝
，
∴DE＝1×tan30°＝
，
所以裁出的△ABD 的面积＝
×2×
＝
．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是
结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．（12 分）为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动．
弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3 月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定
为A，B，C，D，E 五个等级，该校七（1）班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制
成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该校七（1）班共有
50
名学生；扇形统计图中C 等级所对应扇形的圆心角等于
144
度；并补全条形统计图；
（2）A 等级的4 名学生中有2 名男生，2 名女生，现从中任意选取2 名学生作为全班训练的示
范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1 名男生和1 名女生的概率．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）由A 的人数和其所占的百分比即可求出总人数；C 的人数可知，而总人数已求出，
进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；根据求出的数据即可补全条形统计图；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：
（1）由题意可知总人数＝4÷8%＝50 人；扇形统计图中C 等级所对应扇形的圆心角＝
20÷50×100%×360°＝144°；
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50，144；
（2）列表如下：
男
男
女
女
男
﹣﹣﹣
（男，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
得到所有等可能的情况有12 种，其中恰好抽中一男一女的情况有8 种，
所以恰好选到1 名男生和1 名女生的概率＝
．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（12 分）如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC 的
高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6 米到达坡底
A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°，若斜坡FA 的坡比
，求大树的高度．
（结果保留整数）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】1：常规题型；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】首先过点O 作OM⊥BC 于点M，ON⊥AC 于点N，由FA 的坡比i＝1：
，OA＝6，可
求得AN 与ON 的长，然后设大树的高度为x，又由在斜坡上A 处测得大树顶端B 的仰角
是48°，可得AC＝
，又由在△AOM 中，
＝
，可得x﹣3＝（3
+
）•
，
继而求得答案．
【解答】解：过点O 作OM⊥BC 于点M，ON⊥AC 于点N，
则四边形OMCN 是矩形，
∵OA＝6，斜坡FA 的坡比i＝1：
，
∴ON＝
AD＝3，AN＝AO•cos30°＝6×
＝3
，
设大树的高度为x，
∵在斜坡上A 处测得大树顶端B 的仰角是48°，
∴tan48°＝
≈1.11，
∴AC＝
，
∴OM＝CN＝AN+AC＝3
+
，
∵在△AOM 中，
＝
，
∴x﹣3＝（3
+
）•
，
解得：x≈13．
答：树高BC 约13 米．
【点评】本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并
结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
22．（12 分）如图，已知矩形OABC 的一个顶点B 的坐标是（4，2），反比例函数y＝（x＞0）
的图象经过OB 的中点E，且与边BC 交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D 的坐标；
（2）求三角形DOE 的面积；
（3）若过点D 的直线y＝mx+n 将矩形OABC 的面积分成3：5 的两部分，求此直线解析式．
【考点】GB：反比例函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据中心对称求出点E 的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D
的纵坐标与点B 的纵坐标相等代入求解即可得到点D 的坐标；
（2）根据点D 的坐标求出BD 的长，再由点E 是OB 的中点可知S△DOE＝
S△OBD，由此可得
出结论；
（3）设直线与x 轴的交点为F，根据点D 的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出
OF 的长，然后写出点F 的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即
可．
【解答】解：（1）∵矩形OABC 的顶点B 的坐标是（4，2），E 是矩形ABCD 的对称中心，
∴点E 的坐标为（2，1），
∵代入反比例函数解析式得
＝1，解得k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝
，
∵点D 在边BC 上，
∴点D 的纵坐标为2，
∴y＝2 时，
＝2，
解得x＝1，
∴点D 的坐标为（1，2）；
（2）∵D 的坐标为（1，2），B（4，2），
∴BD＝3，OC＝2．
∵点E 是OB 的中点，
∴S△DOE＝
S△OBD＝
×
×3×2＝
；
（3）如图，设直线与x 轴的交点为F，
矩形OABC 的面积＝4×2＝8，
∵矩形OABC 的面积分成3：5 的两部分，
∴梯形OFDC 的面积为
×8＝3，
或
×8＝5，
∵点D 的坐标为（1，2），
∴若
（1+OF）×2＝3，
解得OF＝2，
此时点F 的坐标为（2，0），
若
（1+OF）×2＝5，
解得OF＝4，
此时点F 的坐标为（4，0），与点A 重合，
当D（1，2），F（2，0）时，
，
解得
，
此时，直线解析式为y＝﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，
，
解得
．
此时，直线解析式为y＝﹣
x+
，
综上所述，直线的解析式为y＝﹣2x+4 或y＝﹣
x+
．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析
式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E 的坐标是解题的关键，（3）
难点在于要分情况讨论．
23．（14 分）如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，∠ABC，∠CDE 是直角，连接
BD，点F 在AE 上且∠FBD＝45°，AB＝2，CD＝1．
（1）求证：AF＝FE；
（2）若将等腰直角CDE 绕点C 旋转一个a（0°＜a≤90°）角，其它条件不变，如图2，求
的
值；
（3）在（2）的条件下，再将等腰直角△CDE 沿直线BC 右移k 个单位，其它条件不变，如图3，
试求
的值（用含k 的代数式表示）
【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）由辅助线得到BD＝GD，再判断出△ABF≌△EGF，△ABF≌△EGF 即可；
（2）由辅助线得到BD＝GD，再判断出△ABF≌△EGF，△ABF≌△EGF 即可；
（3）由辅助线得到BD＝GD，再判断出△BC1D≌△GED，从而得出△ABF∽△EGF 即可．
【解答】解：（1）证明：过D 作DG 垂直于BD 交BF 的延长线于G，连结EG
∵∠FBD＝45°，
∴△BDG 为等腰直角三角形，
∴BD＝GD，
∵∠BDC＝90°﹣∠BDE＝∠GDE，CD＝ED，
∴△BCD≌△GED，
∴BC＝GE，∠DBC＝∠DGE，
∴AB＝BC＝EG，∠ABF＝45°﹣∠DBC＝45°﹣∠DGE＝∠EGF，
∴△ABF≌△EGF，
∴AF＝EF，
即AF＝FE．
（2）
＝1．
如图2
过D 作DG 垂直于BD 交BF 的延长线于G，连结EG，
∵∠FBD＝45°，
∴△BDG 为等腰直角三角形，
∴BD＝GD，
又∵∠BDC＝90°﹣∠BDE＝∠GDE，CD＝ED，
∴△BCD≌△GED，
∴BC＝GE，∠DBC＝∠DGE，
∴AB＝BC＝EG，∠ABF＝45°﹣∠DBC＝45°﹣∠DGE＝∠EGF，
∴△ABF≌△EGF，
∴AF＝EF，
即AF＝FE．
∴
＝1．
（3）
．
如图3，
过D 作DG 垂直于BD 交BF 的延长线于G，连结EG
∵∠FBD＝45°，
∴△BDG 为等腰直角三角形，
∴BD＝GD，
∵∠BDC＝90°﹣∠BDE＝∠GDE，C1D＝ED，
∴△BC1D≌△GED，
∵BC1＝GE，∠ABF＝45°﹣∠DBC＝45°﹣∠DGE＝∠EGF，
∴△ABF∽△EGF，
∴
，
∵AB＝2，BC1＝k+2，
＝
．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的全等的判定和
性质，相似三角形的性质和判定，作出辅助线，判断出三角形相似是解本题的关键．
24．抛物线过A（0，t）、B（﹣2，0）、C（8，0），过A 作x 轴的平行线交抛物线于一点D．
（1）如图1，求AD 的长度；
（2）如图2，若sin∠BAO＝
，P 为x 轴上方抛物线上的一个动点，△PAC 的面积取何值时，
相应的P 点有且只有两个；
（3）如图3，设抛物线顶点为Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求t 取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）如图1，利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝3，再判断点A 与点
D 为抛物线上的对称点，于是可得AD 的长；
（2）在Rt△ABO 中，利用正弦定义计算出AB，利用勾股定理计算出OA，从而得到A 点坐标，
接着利用待定系数法求出抛物线解析式和直线AC 的解析式，过点P 作PM∥AC，如图2，
利用直线PM 与抛物线只有唯一公共点和判别式的意义可计算出m，于是得到此时P 点
和Q 点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△PAC＝S△PAQ+S△CPQ进行计算即可；
（3）如图3，作QH⊥BC 于H，易得Q 点的横坐标为3，△QBC 为等腰三角形，当∠BQC＝60°
时，△BCQ 为等边三角形，再求出Q 点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，从
而得到A 点坐标，易得此时t 的值；当∠BQC＝90°时，利用同样方法求t 的值．
【解答】解：（1）如图1，
∵B（﹣2，0）和C（8，0）为抛物线上的对应点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵AD∥x 轴，
∴点A 与点D 为抛物线上的对称点，
∴AD＝2×3＝6；
（2）在Rt△ABO 中，∵sin∠BAO＝
＝
，
∴AB＝
OB＝2
，
∴OA＝
＝
＝4，则A（0，4），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a•2•（﹣8）＝4，解得a＝﹣
，
∴抛物线解析式为y＝﹣
（x+2）（x﹣8），即y＝﹣
x2+
x+4，
设直线AC 的解析式为y＝kx+b，
把A（0，4），C（8，0）代入得
，解得
，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣
x+4，
过点P 作PM∥AC，如图2，当直线PM 与抛物线只有唯一公共点P 时，此时对于△APC 的面
积所取的值，P 点有且只有两个与之对应（两P 点在AC 的两侧，到AC 的距离相等），作
PQ∥y 轴交AC 于Q，
设直线PM 的解析式为y＝﹣
x+m，
则方程﹣
x2+
x+4＝﹣
x+m 有两个相等的实数解，方程整理为x2﹣8x+4m﹣16＝0，△＝
（﹣8）2﹣4×（4m﹣16）＝0，解得m＝8，解方程得x1＝x2＝4，此时P 点坐标为（4，6），Q 点
坐标为（4，2）
S△PAC＝S△PAQ+S△CPQ＝
×（6﹣2）×8＝16，
即△PAC 的面积为16 时，相应的P 点有且只有两个；
（3）如图3，作QH⊥BC 于H，
∵Q 点为顶点，
∴Q 点的横坐标为3，△QBC 为等腰三角形，
当∠BQC＝60°时，△BCQ 为等边三角形，则QH＝
BC＝5
，
则Q（3，5
），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
把Q（3，5
）代入得a•5•（﹣5）＝5
，解得a＝﹣
，
∴抛物线解析式为y＝﹣
（x+2）（x﹣8），即y＝﹣
x2+
x+
，
当x＝0 时，y＝﹣
x2+
x+
＝
，则A（0，
），此时t 的值为
，
当∠BQC＝90°时，△BCQ 为等腰直角三角形，则QH＝
BC＝5，
则Q（3，5），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
把Q（3，5）代入得a•5•（﹣5）＝5，解得a＝﹣
，
∴抛物线解析式为y＝﹣
（x+2）（x﹣8），即y＝﹣
x2+
x+
，
当x＝0 时，y＝﹣
x2+
x+
＝
，则A（0，
），此时t 的值为
，
∴当60°≤∠BQC≤90°时，t 取值范围为
≤t≤
．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性
质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函
数解析式；会利用判别式判断直线与抛物线的交点个数；理解坐标与图形性质，记住三角
形面积公式．
