广东省广州市2018 年中考数学试题
一、选择题
1.四个数0，1，
，
中，无理数的是（ ）
A.
B.1
C.
D.0
2.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A.1 条
B.3 条
C.5 条
D.无数条
3.如图所示的几何体是由4 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）
A.
B.
C
.
D.
4.下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，直线AD，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1 的同位角和∠5 的内错角分别是（ ）
A.∠4，∠2
B.∠2，∠6
C.∠5，∠4
D.∠2，∠4
6.甲袋中装有2 个相同的小球，分别写有数字1 和2，乙袋中装有2 个相同的小球，分别写有
数字1 和2，从两个口袋中各随机取出1 个小球，取出的两个小球上都写有数字2 的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
7.如图，AB 是圆O 的弦，OC⊥AB，交圆O 于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则
∠AOB 的度数是（ ）
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一
枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9 枚
（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11 枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相
交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 辆（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设
每枚黄金重x 辆，每枚白银重y 辆，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
9.一次函数
和反比例函数
在同一直角坐标系中大致图像是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O 出发，按向右，向上，向右，
向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1 次移动到
，第2 次移
动到
… … ，第n 次移动到
，则△
的面积是（ ）
A.504
B.
C.
D.
二、填空题
11.已知二次函数
，当x＞0 时，y 随x 的增大而________（填“增大”或“减小”）
12. 如图，旗杆高AB=8m ，某一时刻，旗杆影子长BC=16m ，则tanC=________ 。
13.方程
的解是________
14.如图，若菱形ABCD 的顶点A，B 的坐标分别为（3，0），
（-2，0）点D 在y 轴上，则点C 的坐
标是________。
15.如图，数轴上点A 表示的数为a，化简：
=________
16.如图9，CE 是平行四边形ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O，CE 与DA 的延长线
交于点E ，连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：
①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD=∠BAE
③AF：BE=2：3
④
其中正确的结论有________。（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
17.解不等式组
18. 如图，AB 与CD 相交于点E ，AE=CE ，DE=BE ．求证：∠A=∠C 。
19.已知
（1）化简T。
（2）若正方形ABCD 的边长为a，且它的面积为9，求T 的值。
20.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，为了解某小区居民使用共
享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10 位居民，得到这10 位居民一周内使用共享
单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．
（1）这组数据的中位数是________，众数是________．
（2）计算这10 位居民一周内使用共享单车的平均次数；
（3）若该小区有200 名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数。
21.友谊商店A 型号笔记本电脑的售价是a 元/台，最近，该商店对A 型号笔记本电脑举行促
销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售，方案二：若购买不超过5 台，每台
按售价销售，若超过5 台，超过的部分每台按售价的八折销售，某公司一次性从友谊商店购
买A 型号笔记本电脑x 台。
（1）当x=8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二方案更合算，求x 的范围。
22.设P（x，0）是x 轴上的一个动点，它与原点的距离为
。
（1）求
关于x 的函数解析式，并画出这个函数的图像
（2）若反比例函数
的图像与函数
的图像交于点A，且点A 的横坐标为2．①求k
的值
②结合图像，当
时，写出x 的取值范围。
23.如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC 的平分线DE，交BC 于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N 分别是AE，AB 上的动点，求BM+MN 的最小值。
24.已知抛物线
。
（1）证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点。
（2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别为A，B（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C，A，
B，C 三点都在圆P 上。①试判断：不论m 取任何正数，圆P 是否经过y 轴上某个定点？若是，
求出该定点的坐标，若不是，说明理由；
②若点C 关于直线
的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE 的周长
记为 ，圆P 的半径记为 ，求
的值。
25.如图，在四边形ABCD 中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．
（1）求∠A+∠C 的度数。
（2）连接BD，探究AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由。
（3）若AB=1，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足
，求点E 运动路径的
长度。
答案解析部分
一、<b >选择题</b>
1.【答案】A
【考点】实数及其分类，无理数的认识
【解析】【解答】解：A.
属于无限不循环小数，是无理数，A 符合题意；
B.1 是整数，属于有理数，B 不符合题意；
C.
是分数，属于有理数，C 不符合题意；
D.0 是整数，属于有理数，D 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】无理数：无限不循环小数，由此即可得出答案.
2.【答案】C
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：五角星有五条对称轴.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图
形,这条直线叫做对称轴。由此定义即可得出答案.
3.【答案】B
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵从物体正面看，最底层是三个小正方形，第二层最右边一个小正方形，
故答案为：B.
【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此即可得出答案.
4.【答案】D
【考点】实数的运算
【解析】【解答】解：A.∵（a+b）
2=a2+2ab+b2 ， 故错误，A 不符合题意；
B.∵a2+2a2=3a2 ， 故错误，B 不符合题意；
C.∵x2y÷
=x2y×y=x2y2 ， 故错误，C 不符合题意；
D.∵（-2x2）
3=-8x6 ， 故正确，D 符合题意；
故答案为D：.
【分析】A.根据完全平方和公式计算即可判断错误；
B.根据同类项定义：所含字母相同，相同字母指数也相同，再由合并同类项法则计算即可判
断错误；
C.根据单项式除以单项式法则计算，即可判断错误；
D.根据幂的乘方计算即可判断正确；
5.【答案】B
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【解析】【解答】解：∵直线AD，BE 被直线BF 和AC 所截，
∴∠1 与∠2 是同位角，∠5 与∠6 是内错角，
故答案为：B.
【分析】同位角：两条直线a，b 被第三条直线c 所截（或说a，b 相交c），在截线c 的同旁，被截
两直线a，b 的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，
具有这样位置关系的一对角叫做内错角。根据此定义即可得出答案.
6.【答案】C
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【解答】解：依题可得：
∴一共有4 种情况，而取出的两个小球上都写有数字2 的情况只有1 种，
∴取出的两个小球上都写有数字2 的概率为：P=
.
故答案为：C.
【分析】根据题意画出树状图，由图可知一共有4 种情况，而取出的两个小球上都写有数字2
的情况只有1 种，再根据概率公式即可得出答案.
7.【答案】D
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=20°,
∴∠AOC=40°,
又∵OC⊥AB，
∴OC 平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=80°.
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍得∠AOC 度数，再由垂径定理得OC 平分
∠AOB，由角平分线定义得∠AOB=2∠AOC.
8.【答案】D
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：依题可得：
，
故答案为：D.
【分析】根据甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11 枚（每枚黄金重
量相同），称重两袋相等，由此得9x=11y；两袋互相交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 辆（袋子
重量忽略不计），由此得（10y+x）-（8x+y）=13,从而得出答案.
9.【答案】A
【考点】反比例函数的图象，一次函数图像、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.从一次函数图像可知：0<b<1，a>1，
∴a-b>0，
∴反比例函数图像在一、三象限，故正确；A 符合题意；
B.从一次函数图像可知：0<b<1，a>1，
∴a-b>0，
∴反比例函数图像在一、三象限，故错误；B 不符合题意；
C. 从一次函数图像可知：0<b<1，a<0，
∴a-b<0，
∴反比例函数图像在二、四象限，故错误；C 不符合题意；
D. D.从一次函数图像可知：0<b<1，a<0，
∴a-b<0，
∴反比例函数图像在二、四象限，故错误；D 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一次函数图像得出a、b 范围，从而得出a-b 符号，再根据反比例函数性质可一一
判断对错，从而得出答案.
10.【答案】A
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：依题可得：
A2（1,1），A4（2，0），A8（4,0），A12（6,0）……
∴A4n（2n，0），
∴A2016=A4×504（1008,0），
∴A2018（1009,1），
∴A2A2018=1009-1=1008,
∴S△
=
×1×1008=504（
）.
故答案为：A.
【分析】根据图中规律可得A4n（2n，0），即A2016=A4×504（1008,0），从而得A2018（1009,1），再根据
坐标性质可得A2A2018=1008,由三角形面积公式即可得出答案.
二、<b >填空题</b>
11.【答案】增大
【考点】二次函数y=ax^2 的性质
【解析】【解答】解：∵a=1＞0，
∴当x＞0 时，y 随x 的增大而增大.
故答案为：增大.
【分析】根据二次函数性质：当a＞0 时，在对称轴右边，y 随x 的增大而增大.由此即可得出答
案.
12.【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC 中，
∵高AB=8m，BC=16m，
∴tanC=
=
=
.
故答案为：
.
【分析】在Rt△ABC 中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.
13.【答案】x=2
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x+6)得：
x+6=4x
∴x=2.
经检验得x=2 是原分式方程的解.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以最先公分母x（x+6)，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出答
案.
14.【答案】（－5，4）
【考点】坐标与图形性质，菱形的性质，矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A（3，0），B（-2，0）,
∴AB=5，AO=3，BO=2，
又∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD=CD=BC=AB=5，
在Rt△AOD 中，
∴OD=4，
作CE⊥x 轴，
∴四边形OECD 为矩形，
∴CE=OD=4，OE=CD=5，
∴C（-5,4）.
故答案为：（-5,4）.
【分析】根据A、B 两点坐标可得出菱形ABCD 边长为5，在Rt△AOD 中，根据勾股定理可求
出OD=4；作CE⊥x 轴，可得四边形OECD 为矩形，根据矩形性质可得C 点坐标.
15.【答案】2
【考点】实数在数轴上的表示，二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知：
0<a<2，
∴a-2<0，
∴原式=a+
=a+2-a，
=2.
故答案为：2.
【分析】从数轴可知0<a<2，从而可得a-2<0，再根据二次根式的性质化简计算即可得出答案.
16.【答案】①②④
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性
质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵CE 是平行四边形ABCD 的边AB 的垂直平分线，
∴AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB，
∴∠OAE=∠OBC，
∴△AOE≌△BOC（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=BE=CA=CB，
∴四边形ACBE 是菱形，
故①正确.
②由①四边形ACBE 是菱形，
∴AB 平分∠CAE，
∴∠CAO=∠BAE，
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠CAO=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAE.
故②正确.
③∵CE 垂直平分线AB，
∴O 为AB 中点，
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BA∥CD，AO=
AB=
CD，
∴△AFO∽△CFD，
∴
=
，
∴AF:AC=1:3,
∵AC=BE，
∴AF:BE=1:3,
故③错误.
④∵
·CD·OC,
由③知AF:AC=1:3,
∴
,
∵
=
×
CD·OC=
,
∴
=
+
=
=
,
∴
故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，
AE=BE，CA=CB，根据ASA 得△AOE≌△BOC，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相
等的四边形是菱形得出①正确.
②由菱形性质得∠CAO=∠BAE，根据平行四边形的性质得BA∥CD，再由平行线的性质得
∠CAO=∠ACD，等量代换得∠ACD=∠BAE；故②正确.
③根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA∥CD ，AO=
AB=
CD ，从而得
△AFO∽△CFD ，由相似三角形性质得
=
，从而得出AF:AC=1:3, 即
AF:BE=1:3,故③错误.
④由三角形面积公式得
·CD·OC, 从③知AF:AC=1:3, 所以
=
+
=
=
, 从而得出
故④正确.
三、<b >解答题</b>
17.【答案】解：
，
解不等式①得：x>-1，
解不等式②得：x<2,
∴不等式组的解集为：-1<x<2，
【考点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出每个不等式的解，再得出不等式组的解集.
18.【答案】证明：在△DAE 和△BCE 中，
,
∴△DAE≌△BCE（SAS），
∴∠A=∠C，
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定SAS 得三角形全等，再由全等三角形性质得证.
19.【答案】（1）
（2）解：∵正方形ABCD 的边长为a，且它的面积为9，
∴a=
=3
∴T=
=
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】（1）先找最简公分母，通分化成分母相同的分式，再由其法则：分母不变，分子
相加；合并同类项之后再因式分解，约分即可.
（2）根据正方形的面积公式即可得出边长a 的值，代入上式即可得出答案.
20.【答案】（1）16；17
（2）解：这组数据的平均数是：
=14.答：这10 位居民
一周内使用共享单车的平均次数为14.
（3）解：200×14=2800（次）.
答：该小区一周内使用共享单车的总次数大约是2800 次.
【考点】平均数及其计算，中位数，用样本估计总体，众数
【解析】【解答】解：（1）将这组数据从小到大顺序排列：
0，7，9，12，15，17，17，17，20，26。
∵中间两位数是15，17，
∴中位数是
=16，
又∵这组数据中17 出现的次数最多，
∴众数是17.
故答案为：16,17.
【分析】（1）将此组数据从小到大或者从大到小排列，正好是偶数个，所以处于中间两个数的
平均数即为这组数据的中位数；根据一组数据中出现次数最多的即为众数，由此即可得出答
案.
（2）平均数：指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，由此即可得出答案.
（3）根据（2）中的样本平均数估算总体平均数,由此即可得出答案.
21.【答案】（1）解：∵x=8，
∴方案一的费用是：0.9ax=0.9a×8=7.2a，
方案二的费用是：5a+0.8a（x-5）=5a+0.8a（8-5）=7.4a
∵a＞0，
∴7.2a＜7.4a
∴方案一费用最少，
答：应选择方案一，最少费用是7.2a 元.
（2）解：设方案一，二的费用分别为W1 ， W2 ，
由题意可得：W1=0.9ax（x 为正整数），
当0≤x≤5 时，W2=ax（x 为正整数），
当x＞5 时，W2=5a+（x-5）×0.8a=0.8ax+a（x 为正整数），
∴
，其中x 为正整数,
由题意可得，W1＞W2 ，
∵当0≤x≤5 时，W2=ax＞W1 ， 不符合题意，
∴0.8ax+a＜0.9ax，
解得x＞10 且x 为正整数，
即该公司采用方案二购买更合算，x 的取值范围为x＞10 且x 为正整数。
【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，根据实际问题列一次函数表达式
【解析】【分析】（1）根据题意，分别得出方案一的费用是：0.9ax，方案二的费用是：5a+0.8a
（x-5）=a+0.8ax，再将x=8 代入即可得出方案一费用最少以及最少费用.
（2）设方案一，二的费用分别为W1 ， W2 ， 根据题意，分别得出W1=0.9ax（x 为正整数），
，其中x 为正整数,再由W1＞W2 ， 分情况解不等式即可得出x 的取
值范围.
22.【答案】（1）解：∵P（x，0）与原点的距离为y1 ，
∴当x≥0 时，y1=OP=x，
当x＜0 时，y1=OP=-x，
∴y1关于x 的函数解析式为
，即为y=|x|，
函数图象如图所示：
（2）解：∵A 的横坐标为2，
∴把x=2 代入y=x，可得y=2，此时A 为（2，2），k=2×2=4，
把x=2 代入y=-x，可得y=-2，此时A 为（2，-2），k=-2×2=-4，
当k=4 时，如图可得，y1＞y2时，x＜0 或x＞2。
当k=-4 时，如图可得，y1＞y2时，x＜-2 或x＞0。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据实际问题列
一次函数表达式
【解析】【分析】（1）根据P 点坐标以及题意，对x 范围分情况讨论即可得出
关于x 的函数
解析式.
（2）将A 点的横坐标分别代入
关于x 的函数解析式，得出A（2,2）或A（2,-2），再分别代入
反比例函数解析式得出k 的值；画出图像，由图像可得出当
时x 的取值范围.
23.【答案】（1）
（2）①证明：在AD 上取一点F 使DF=DC，连接EF，
∵DE 平分∠ADC，
∴∠FDE=∠CDE，
在△FED 和△CDE 中，
DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE
∴△FED≌△CDE（SAS），
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°
∴∠DEF=∠DEC，
∵AD=AB+CD，DF=DC，
∴AF=AB，
在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）
∴∠AEB=∠AEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=
∠CEF+
∠BEF=
（∠CEF+∠BEF）=90°。
∴AE⊥DE
②解：过点D 作DP⊥AB 于点P，
∵由①可知，B，F 关于AE 对称，BM=FM，
∴BM+MN=FM+MN，
当F，M，N 三点共线且FN⊥AB 时，有最小值，
∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6，
∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°，
∴四边形DPBC 是矩形，
∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2，
在Rt△APD 中，DP=
=
，
∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4，
∴FN∥DP，
∴△AFN∽△ADP
∴
，
即
，
解得FN=
，
∴BM+MN 的最小值为
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作图—基本作图，轴对称的应用-最短
距离问题，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）①在AD 上取一点F 使DF=DC，连接
EF；角平分线定义得∠FDE=∠CDE；根据全等三角形判定SAS 得△FED≌△CDE，再由全等
三角形性质和补角定义得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，
∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL 得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性质
得∠AEB=∠AEF，再由补角定义可得AE⊥DE.
②过点D 作DP⊥AB 于点P；由①可知，B，F 关于AE 对称，根据对称性质知BM=FM，
当F，M，N 三点共线且FN⊥AB 时，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD 中，根
据勾股定理得DP=
=
；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三
角形性质得
，从而求得FN，即BM+MN 的最小值.
24.【答案】（1）证明：当抛物线与x 轴相交时，令y=0，得：
x2+mx-m-4=0
∴△=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）
2
∵m＞0，
∴（m+4）
2＞0，
∴该抛物线与x 轴总有两个不同的交点。
（2）解：①令y=x2+mx-2m-4=（x-2）（x+m+2）=0，
解得：x1=2，x2=-m-2，
∵抛物线与x 轴的两个交点分别为A，B（点A 在点B 的右侧），
∴A（2，0），B（-2-m，0），
∵抛物线与y 轴交于点C，
∴C（0，-2m-4），
设⊙P 的圆心为P（x0 ， y0），
则x0=
=
，
∴P（
，y0），
且PA=PC，则PA2=PC2 ，
则
解得
，
∴P（
，
），
∴⊙P 与y 轴的另一交点的坐标为（0，b）
则
，
∴b=1，
∴⊙P 经过y 轴上一个定点，该定点坐标为（0，1）
②由①知，D（0，1）在⊙P 上，
∵E 是点C 关于直线
的对称点，且⊙P 的圆心P（
，
），
∴E（-m，-2m-4）且点E 在⊙P 上，
即D，E，C 均在⊙P 上的点，且∠DCE=90°，
∴DE 为⊙P 的直径，
∴∠DBE=90°，△DBE 为直角三角形，
∵D（0，1），E（-m，-2m-4），B（-2-m，0），
∴DB=
，
BE=
=
=
∴BE=2DB，
在Rt△DBE 中，设DB=x，则BE=2x，
∴DE=
=
，
∴△BDE 的周长l=DB+BE+DE=x+2x+
=
⊙P 的半径r=
=
∴
=
=
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数图像与坐标轴的交点问题，两点间的距离，
勾股定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）当抛物线与x 轴相交时，即y=0，根据一元二次方程根的判别式△=b2-
4ac=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）
2＞0，从而得出该抛物线与x 轴总有两个不同的交点.
（2）①抛物线与x 轴的两个交点，即y=0，因式分解得出A（2，0），B（-2-m，0）；抛物线与y 轴
交点，即x=0，得出C（0，-2m-4）；设⊙P 的圆心为P（x0 ， y0），由P 为AB 中点，得出P 点横
坐标，再PA=PC，根据两点间距离公式得出P 点纵坐标，即P（
，
）；设⊙P 与y
轴的另一交点的坐标为（0，b），根据中点坐标公式得b=1，即⊙P 经过y 轴上一个定点，该定
点坐标为（0，1）.
②由①知，D（0，1）在⊙P 上，由）①知⊙P 的圆心P（
，
），由圆周角定理得
△DBE 为直角三角形，再根据两点间距离公式得DB=
，BE=
，
由BE=2DB，在Rt△DBE 中，设DB=x，则BE=2x，根据勾股定理得DE=
，由三角形周长
公式得
△BDE 的周长l=
，又⊙P 的半径r=
，从而得出
值.
25.【答案】（1）解：在四边形ABCD 中，∠B=60°，∠D=30°，
∴∠A+∠C=360°-∠B-∠C=360°-60°-30°=270°。
（2）解：如图，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAQ，连接DQ，
∵BD=BQ，∠DBQ=60°，
∴△BDQ 是等边三角形，
∴BD=DQ，
∵∠BAD+∠C=270°，
∴∠BAD+∠BAQ=270°，
∴∠DAQ=360°-270°=90°，
∴△DAQ 是直角三角形
∴AD2+AQ2=DQ2 ，
即AD2+CD2=BD2
（3）解：如图，将△BCE 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAF，连接EF，
∵BE=BF，∠EBF=60°，
∴△BEF 是等边三角形，
∴EF=BE，∠BFE=60°，
∵AE2=BE2+CE2
∴AE2=EF2+AF2
∴∠AFE=90°
∴∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°，
∴∠BEC=150°，
则动点E 在四边形ABCD 内部运动，满足∠BEC=150°，以BC 为边向外作等边△OBC，
则点E 是以O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC，
∵OB=AB=1，
则BC=
=
【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算，旋转
的性质
【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360 度，结合已知条件即可求出答案.
（2）将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAQ，连接DQ（如图），由旋转性质和等边三角
形判定得△BDQ 是等边三角形，由旋转性质根据角的计算可得△DAQ 是直角三角形，根据
勾股定理得AD2+AQ2=DQ2 ， 即AD2+CD2=BD2.
（3）将△BCE 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAF，连接EF(如图)，由等边三角形判定得
△BEF 是等边三角形，结合已知条件和等边三角形性质可得AE2=EF2+AF2 ， 即
∠AFE=90°，从而得出∠BFA=∠BEC=150°，从而得出点E 是在以O 为圆心，OB 为半径的圆
周上运动，运动轨迹为BC，根据弧长公式即可得出答案.
