文档文本内容
2018 年广东省中考数学试卷
一、选择题（本大题10 小题，每小题3 分，共30 分）在每小题列出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3 分）四个实数0、
、﹣3.14、2 中，最小的数是（ ）
A．0B．
C．﹣3.14
D．2
2．（3 分）据有关部门统计，2018 年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游
客约14420000 人次，将数14420000 用科学记数法表示为（ ）
A．1.442×107
B．0.1442×107 C．1.442×108
D．0.1442×108
3．（3 分）如图，由5 个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）数据1、5、7、4、8 的中位数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（3 分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆
B．菱形C．平行四边形D．等腰三角形
6．（3 分）不等式3x
1
﹣≥x+3 的解集是（ ）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2
7．（3 分）在△ABC 中，点D、E 分别为边AB、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积
之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）如图，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B 的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（3 分）关于x 的一元二次方程x2
3x
﹣
+m=0 有两个不相等的实数根，则实数m
的取值范围是（ ）
A．m＜
B．m≤
C．m＞
D．m≥
10．（3 分）如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿在A→B→C→D
路径匀速运动到点D，设△PAD 的面积为y，P 点的运动时间为x，则y 关于x 的函
数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（3 分）同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是
．
12．（3 分）分解因式：x2
2x
﹣
+1= ．
13．（3 分）一个正数的平方根分别是x+1 和x
5
﹣，则x= ．
14．（3 分）已知
+|b
1
﹣|=0，则a+1= ．
15．（3 分）如图，矩形ABCD 中，BC=4，CD=2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于
点E，连接BD，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．
（3 分）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=
（x＞0）上，点B1的坐标
为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x 轴于点B2，
得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2
交x 轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为 ．
三、解答题（一）
17．（6 分）计算：|
2
﹣|
2018
﹣
0+（
）﹣1
18．（6 分）先化简，再求值：
•
，其中a=
．
19．（6 分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF，垂足为E，交AD 于F；（不要求写作
法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF 的度数．
20．（7 分）某公司购买了一批A、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单
价少9 元，已知该公司用3120 元购买A 型芯片的条数与用4200 元购买B 型芯片
的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B 型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200 条，且购买的总费用为6280 元，求购买了多少条A
型芯片？
21．（7 分）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分
员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1 和图2 所示的不
完整统计图．
（1）被调查员工人数为 人：
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若该企业有员工10000 人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少
量”的员工有多少人？
22．（7 分）如图，矩形ABCD 中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点
B 落在点E 处，AE 交CD 于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF 是等腰三角形．
23．（9 分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x 轴交于A，B
两点，直线y=x+m 过顶点C 和点B．
（1）求m 的值；
（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
24．（9 分）如图，四边形ABCD 中，AB=AD=CD，以AB 为直径的⊙O 经过点C，连接
AC，OD 交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切；
（3）在（2）条件下，连接BD 交于⊙O 于点F，连接EF，若BC=1，求EF 的长．
25．（9 分）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB 绕点O
顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．
（1）填空：∠OBC= °；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP 的长度；
（3）如图2，点M，N 同时从点O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿O→C→B 路径匀速
运动，N 沿O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速
度为1.5 单位/秒，点N 的运动速度为1 单位/秒，设运动时间为x 秒，△OMN 的面
积为y，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？
2018 年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10 小题，每小题3 分，共30 分）在每小题列出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3 分）四个实数0、
、﹣3.14、2 中，最小的数是（ ）
A．0B．
C．﹣3.14
D．2
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝
对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
3.14
﹣
＜0＜
＜2，
所以最小的数是﹣3.14．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3 分）据有关部门统计，2018 年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游
客约14420000 人次，将数14420000 用科学记数法表示为（ ）
A．1.442×107
B．0.1442×107 C．1.442×108
D．0.1442×108
【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本
题得以解决．
【解答】解：14420000=1.442×107，
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数
法的表示方法．
3．（3 分）如图，由5 个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是B 中的图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分
别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
4．（3 分）数据1、5、7、4、8 的中位数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据中位数的定义判断即可；
【解答】解：将数据重新排列为1、4、5、7、8，
则这组数据的中位数为5
故选：B．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．中位数是将一组数据从小到
大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这
组数据的中位数．
5．（3 分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆
B．菱形C．平行四边形D．等腰三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心
旋转180 度后与原图重合．
6．（3 分）不等式3x
1
﹣≥x+3 的解集是（ ）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2
【分析】根据解不等式的步骤：①移项；②合并同类项；③化系数为1 即可得．
【解答】解：移项，得：3x
x
﹣≥3+1，
合并同类项，得：2x≥4，
系数化为1，得：x≥2，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式
的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
7．（3 分）在△ABC 中，点D、E 分别为边AB、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积
之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由点D、E 分别为边AB、AC 的中点，可得出DE 为△ABC 的中位线，进而可
得出DE∥BC 及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE 与
△ABC 的面积之比．
【解答】解：∵点D、E 分别为边AB、AC 的中点，
∴DE 为△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=（
）2=
．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角
形的中位线定理找出DE∥BC 是解题的关键．
8．（3 分）如图，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B 的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】依据三角形内角和定理，可得∠D=40°，再根据平行线的性质，即可得到
∠B=∠D=40°．
【解答】解：∵∠DEC=100°，∠C=40°，
∴∠D=40°，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠D=40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线性质的应用，运用两直线平行，内错角相等是解题的关
键．
9．（3 分）关于x 的一元二次方程x2
3x
﹣
+m=0 有两个不相等的实数根，则实数m
的取值范围是（ ）
A．m＜
B．m≤
C．m＞
D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m 的取值
范围即可．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2
3x
﹣
+m=0 有两个不相等的实数根，
∴△=b2
4ac=
﹣
（﹣3）2
4
﹣×1×m＞0，
∴m＜
．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）
△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）
△＜0⇔方程没有实数根．
10．（3 分）如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿在A→B→C→D
路径匀速运动到点D，设△PAD 的面积为y，P 点的运动时间为x，则y 关于x 的函
数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D
．
【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P 在AB 上，在BC 上和在CD 上三
种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可
【解答】解：分三种情况：
①当P 在AB 边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y=
AP•h，
∵AP 随x 的增大而增大，h 不变，
∴y 随x 的增大而增大，
故选项C 不正确；
②当P 在边BC 上时，如图2，
y=
AD•h，
AD 和h 都不变，
∴在这个过程中，y 不变，
故选项A 不正确；
③当P 在边CD 上时，如图3，
y=
PD•h，
∵PD 随x 的增大而减小，h 不变，
∴y 随x 的增大而减小，
∵P 点从点A 出发沿在A→B→C→D 路径匀速运动到点D，
∴P 在三条线段上运动的时间相同，
故选项D 不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P 的位置的不同，
分三段求出△PAD 的面积的表达式是解题的关键．
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（3 分）同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是
50°
．
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角为50°．
故答案为50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．（3 分）分解因式：x2
2x
﹣
+1= （
x
1
﹣
）
2
．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2
2x
﹣
+1=（x
1
﹣）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式
是解题的关键．
13．（3 分）一个正数的平方根分别是x+1 和x
5
﹣，则x=
2
．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x 的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意知x+1+x
5=0
﹣
，
解得：x=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质
是解题的关键．
14．（3 分）已知
+|b
1
﹣|=0，则a+1=
2
．
【分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出a，b 的值进而得出答案．
【解答】解：∵
+|b
1
﹣|=0，
∴b
1=0
﹣
，a
b=0
﹣
，
解得：b=1，a=1，
故a+1=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出a，b 的值是
解题关键．
15．（3 分）如图，矩形ABCD 中，BC=4，CD=2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于
点E，连接BD，则阴影部分的面积为
π
．（结果保留π）
【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD 为正
方形，先利用扇形面积公式，利用S 正方形OECD
S
﹣
扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD 所
围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面
积．
【解答】解：连接OE，如图，
∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E，
∴OD=2，OE⊥BC，
易得四边形OECD 为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD 所围成的面积=S 正方形OECD
S
﹣
扇形EOD=22﹣
=4
π
﹣，
∴阴影部分的面积=
×2×4﹣（4
π
﹣）=π．
故答案为π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切
线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形
的面积公式．
16．
（3 分）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=
（x＞0）上，点B1的坐标
为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x 轴于点B2，
得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2
交x 轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为 （
2
，
0 ）
．
【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出
B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标．
【解答】解：如图，作A2C⊥x 轴于点C，设B1C=a，则A2C=
a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，
a）．
∵点A2在双曲线y=
（x＞0）上，
∴（2+a）•
a=
，
解得a=
1
﹣，或a=﹣
1
﹣（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2
2=2
﹣
，
∴点B2的坐标为（2
，0）；
作A3D⊥x 轴于点D，设B2D=b，则A3D=
b，
OD=OB2+B2D=2
+b，A2（2
+b，
b）．
∵点A3在双曲线y=
（x＞0）上，
∴（2
+b）•
b=
，
解得b=﹣
+
，或b=﹣
﹣
（舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2
2
﹣
+2
=2
，
∴点B3的坐标为（2
，0）；
同理可得点B4的坐标为（2
，0）即（4，0）；
…，
∴点Bn的坐标为（2
，0），
∴点B6的坐标为（2
，0）．
故答案为（2
，0）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求
出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．
三、解答题（一）
17．（6 分）计算：|
2
﹣|
2018
﹣
0+（
）﹣1
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质进而化简
得出答案．
【解答】解：原式=2
1
﹣+2
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6 分）先化简，再求值：
•
，其中a=
．
【分析】原式先因式分解，再约分即可化简，继而将a 的值代入计算．
【解答】解：原式=
•
=2a，
当a=
时，
原式=2×
=
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺
序和运算法则．
19．（6 分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF，垂足为E，交AD 于F；（不要求写作
法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF 的度数．
【分析】（1）分别以A、B 为圆心，大于
AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即
可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF 计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF 即为所求；
（2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=
∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF 垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
20．（7 分）某公司购买了一批A、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单
价少9 元，已知该公司用3120 元购买A 型芯片的条数与用4200 元购买B 型芯片
的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B 型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200 条，且购买的总费用为6280 元，求购买了多少条A
型芯片？
【分析】（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x
9
﹣）元/条，根
据数量=总价÷单价结合用3120 元购买A 型芯片的条数与用4200 元购买B 型芯
片的条数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200
a
﹣）条B 型芯片，根据总价=单价×数量，
即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x
9
﹣）元/条，
根据题意得：
=
，
解得：x=35，
经检验，x=35 是原方程的解，
∴x
9=26
﹣
．
答：A 型芯片的单价为26 元/条，B 型芯片的单价为35 元/条．
（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200
a
﹣）条B 型芯片，
根据题意得：26a+35（200
a
﹣）=6280，
解得：a=80．
答：购买了80 条A 型芯片．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方
程．
21．（7 分）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分
员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1 和图2 所示的不
完整统计图．
（1）被调查员工人数为
800
人：
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若该企业有员工10000 人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少
量”的员工有多少人？
【分析】（1）由“不剩”的人数及其所占百分比可得答案；
（2）用总人数减去其它类型人数求得“剩少量”的人数，据此补全图形即可；
（3）用总人数乘以样本中“剩少量”人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）被调查员工人数为400÷50%=800 人，
故答案为：800；
（2）“剩少量”的人数为800﹣（400+80+20）=300 人，
补全条形图如下：
（3）估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有10000×
=3500 人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估
计总体．
22．（7 分）如图，矩形ABCD 中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点
B 落在点E 处，AE 交CD 于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF 是等腰三角形．
【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出
AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；
（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，
由此即可证出△DEF 是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE 和△CED 中，
，
∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF 是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的
关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等
三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．
23．（9 分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x 轴交于A，B
两点，直线y=x+m 过顶点C 和点B．
（1）求m 的值；
（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y=x+m 中解答即可；
（2）把y=0 代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式
即可；
（3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．
【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y=x+m，
可得：m=
3
﹣；
（2）将y=0 代入y=x
3
﹣得：x=3，
所以点B 的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax2+b 中，
可得：
，
解得：
，
所以二次函数的解析式为：y=
x2
3
﹣；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，
∴OD=OC•tan30°=
，
设DC 为y=kx
3
﹣，代入（
，0），可得：k=
，
联立两个方程可得：
，
解得：
，
所以M1（3
，6）；
②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E，则∠OEC=45°
15°=30°
﹣
，
∴OE=OC•tan60°=3
，
设EC 为y=kx
3
﹣，代入（3
，0）可得：k=
，
联立两个方程可得：
，
解得：
，
所以M2（
，﹣2），
综上所述M 的坐标为（3
，6）或（
，﹣2）．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解
析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．
24．（9 分）如图，四边形ABCD 中，AB=AD=CD，以AB 为直径的⊙O 经过点C，连接
AC，OD 交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切；
（3）在（2）条件下，连接BD 交于⊙O 于点F，连接EF，若BC=1，求EF 的长．
【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD 得∠ADO=∠CDO，由AD=CD 知DE⊥AC，
再由AB 为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
（2）根据tan∠ABC=2 可设BC=a、则AC=2a、AD=AB=
=
，证OE 为中
位线知OE=
a、AE=CE=
AC=a，进一步求得DE=
=2a，再△AOD 中利用
勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；
（3）先证△AFD∽△BAD 得DF•BD=AD2①，再证△AED∽△OAD 得OD•DE=AD2②，
由①②得DF•BD=OD•DE，即
=
，结合∠EDF=∠BDO 知△EDF∽△BDO，据此
可得
=
，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．
【解答】解：（1）连接OC，
在△OAD 和△OCD 中，
∵
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC=
=2，
∴设BC=a、则AC=2a，
∴AD=AB=
=
，
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=
BC=
a，AE=CE=
AC=a，
在△AED 中，DE=
=2a，
在△AOD 中，AO2+AD2=（
）2+（
a）2=
a2，OD2=（OF+DF）2=（
a+2a）2=
a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则DA 与⊙O 相切；
（3）连接AF，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴
=
，即DF•BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴
=
，即OD•DE=AD2②，
由①②可得DF•BD=OD•DE，即
=
，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，
∴AB=AD=
、OD=
、ED=2、BD=
、OB=
，
∴
=
，即
=
，
解得：EF=
．
(3)方法②分别过点B、F 作直线OD 的垂线，垂足分别为M，N.依次求出BM，DM，
FN，DM，EN，则可求出EF.
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等
三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
25．（9 分）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB 绕点O
顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．
（1）填空：∠OBC=
60
°；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP 的长度；
（3）如图2，点M，N 同时从点O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿O→C→B 路径匀速
运动，N 沿O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速
度为1.5 单位/秒，点N 的运动速度为1 单位/秒，设运动时间为x 秒，△OMN 的面
积为y，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？
【分析】（1）只要证明△OBC 是等边三角形即可；
（2）求出△AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤
时，M 在OC 上运动，N 在
OB 上运动，此时过点N 作NE⊥OC 且交OC 于点E．②当
＜x≤4 时，M 在BC 上
运动，N 在OB 上运动．
③当4＜x≤4.8 时，M、N 都在BC 上运动，作OG⊥BC 于G．
【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC 是等边三角形，
∴∠OBC=60°．
故答案为60．
（2）如图1 中，
∵OB=4，∠ABO=30°，
∴OA=
OB=2，AB=
OA=2
，
∴S△AOC=
•OA•AB=
×2×2
=2
，
∵△BOC 是等边三角形，
∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，
∴AC=
=2
，
∴OP=
=
=
．
（3）①当0＜x≤
时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE⊥OC 且
交OC 于点E．
则NE=ON•sin60°=
x，
∴S△OMN=
•OM•NE=
×1.5x×
x，
∴y=
x2．
∴x=
时，y 有最大值，最大值=
．
②当
＜x≤4 时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动．
作MH⊥OB 于H．则BM=8
1.5x
﹣
，MH=BM•sin60°=
（8
1.5x
﹣
），
∴y=
×ON×MH=﹣
x2+2
x．
当x=
时，y 取最大值，y＜
，
③当4＜x≤4.8 时，M、N 都在BC 上运动，作OG⊥BC 于G．
MN=12
2.5x
﹣
，OG=AB=2
，
∴y=
•MN•OG=12
﹣
x，
当x=4 时，y 有最大值，最大值=2
，
综上所述，y 有最大值，最大值为
．
【点评】本题考查几何变换综合题、30 度的直角三角形的性质、等边三角形的判定
和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，
属于中考压轴题．
