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15.1.2 分式的基本性质
一、单选题
1．下列约分计算结果正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可．
【详解】∵
与a+b 没有公因式，
∴
无法计算，
∴
的计算是错误的，
∴选项A 不符合题意；
∵a+m 与a+n 没有公因式，
∴
无法计算，
∴
的计算是错误的；
∴选项B 不符合题意；
∵-a+b= -(a+b)与a+b 的公因式是a+b，
∴
，
∴选项C 符合题意；
∵
，
∴
的计算是错误的；
∴选项D 不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键．
2．下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
【详解】①
，③
，④
，⑤
，可约分，不是最简分式；
②
，⑥
分子分母没有公因式，是最简分式，一共有二个；
故选：B．
【点评】本题考查了最简分式，解题关键是明确最简分式的定义，准确判断分子分母是否含有公因式．
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．多项式x2－6x＋9 是完全平方式
B．若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形
C．分式
是最简分式
D．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题
【答案】A
【分析】根据完全平方公式、直角三角形性质、分式化简、和对顶角相等的逆命题进行判断即可．
【详解】∵x2－6x＋9=（x－3）
2，故A 选项是真命题；
∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故B 选项是假命题；
∵
，故C 选项是假命题；
“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D 选项是假命题；
故选：A
【点评】本题考查了分式的性质、完全平方公式、直角三角形性质、逆命题，解题关键是熟练掌握相关知
识，准确进行判断．
4．化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分母因式分解，再约分即可．
【详解】
，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的约分，解题关键是把多项式因式分解，然后熟练运用分式基本性质进行约分．
5．若把
，
的值同时扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】A、
=
，故A 的值保持不变．
B、
，故B 的值不能保持不变．
C、
，故C 的值不能保持不变．
D、
，故D 的值不能保持不变．
故选：A．
【点评】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．下列关于分式
的各种说法中，错误的是（ ）．
A．当
时，分式无意义
B．当
时，分式的值为负数
C．当
时，分式的值为正数
D．当
时，分式的值为
【答案】B
【分析】根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】当
时，分式无意义，选项A 正确；
当
时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B 错误；
当
时，
，分式的值为正数，选项C 正确；
当
时，
，分式的值为
，选项D 正确；
故选：B．
【点评】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解．
7．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．如果
，那么
B．
是最简分式
C．直角三角形的两个锐角互余
D．不是对顶角的两个角不相等
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．
【详解】A. 如果 ab=0，那么a=0 或b=0 或a、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B.
，故
不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；
C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉教材中的性质定理．
8．若
，则下列分式化简中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题；
【详解】∵
A、
，故该选项错误；
B、
，故该选项错误；
C、
，故该选项正确；
D、
，故该选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题时需要熟练掌握分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除
以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键；
二、填空题
9．已知
、
、
、
、、
都为正数，
，
，
，
，
，
，则
________．
【答案】
【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．
【详解】由
，
，
，
，
，
，可将
每个等式的左右两边相乘得：
，
∴
，
，
∴
，
同理可得：
，
，
，
，
，
∴
；
故答案为
．
【点评】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键．
10．已知
，则分式
的值为______．
【答案】
【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】∵
，
∴x-y=4xy，
∴原式=
，
故答案为：
．
【点评】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．
11．已知
，求
__________．
【答案】4
【分析】将分式整理成
，根据
可得
，代入分式并约分即可求解．
【详解】∵
，
∴
∴
，
故答案为：4．
【点评】本题考查分式的性质，将分式整理成
的形式是解题的关键．
12．将分式
的分子、分母各项系数化为整数，其结果为_______________．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数6，分式的值不变，并且其分子、分母各项系
数化为整数．
【详解】
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值
不变．
三、解答题
13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等
等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真
分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：
=
=1+
．
（1）请写出分式的基本性质 ；
（2）下列分式中，属于真分式的是 ；
A．
B．
C．﹣
D．
（3）将假分式
，化成整式和真分式的形式．
【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0 的整式，分式的分式值不变；（2）C；
（3）
=m
1+
﹣
【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；
（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断即可；
（3）先把
转化为
得到
，其中前面一个分式约分后化为整式，后
面一个是真分式．
【详解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0 的整式，分式的分式值不变．
（2）根据题意得：选项C 的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他
选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD 选项是假分式，
故选：C．
（3）∵
=m
1+
﹣
，
∴故答案为：m
1+
﹣
．
【点评】本题考察了分式的基本性质以及未知数的次数问题，解答本题的关键是熟悉掌握未知数次数的判
断以及分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0 的整式，分式的分式值不变．
14．约分
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）
；（2）m；（3）
【分析】（1）约去分子分母的公因式
即可得到结果；
（2）将分子进行因式分解，约去公因式（
）即可得到结果；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．
【详解】（1）
＝
＝
；
（2）
＝
＝m；
（3）
＝
＝
．
【点评】此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式．
15．先约分，再求值：
其中
.
【答案】
【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b 的值代入即可求出答案．
【详解】原式=
=
=
当
时
原式=
=
．
【点评】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型．
16．已知
，求A、B 的值.
【答案】A=
， B=
【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B 的方程组，解之即可求出A、B 的值.
【详解】∵
,
又∵
，
∴
，
∴
，
解得
.
∴A=
， B=
.
【点评】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题
的关键.
17．若分式
的和化简后是整式，则称
是一对整合分式．
（1）判断
与
是否是一对整合分式，并说明理由；
（2）已知分式M，N 是一对整合分式，
，直接写出两个符合题意的分式N．
【答案】（1）是一对整合分式，理由见解析；（2）答案不唯一，如
．
【分析】（1）根据整合分式的定义即可求出答案．
（2）根据整合分式的定义以及分式的运算法则即可求出答案．
【详解】（1）是一对整合分式，理由如下：
∵
，
满足一对整合分式的定义，
与
是一对整合分式．
（2）答案不唯一，如
．
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．已知
．
（1）用含z 的代数式表示x，y；
（2）求
的值．
【答案】（1）
，
；（2）
．
【分析】（1）根据加减消元法解关于x、y 的方程组即可
（2）将（1）中的结果代入分式中进行运算即可
【详解】（1）
①
②得
，解得
．
把
代入①，得
，
解得
．
（2）
．
【点评】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x、y 看作未知数解方程组是解题的关键
19．一个矩形的面积为
，如果它的一边为
，求这个矩形的周长．
【答案】这个矩形的周长为：
【分析】根据整式的除法运算法则与合并同类项法则，即可求解．
【详解】∵矩形的一边长为
，面积为
，
∴矩形的另一边长为：
∴该矩形的周长为：
．
答：这个矩形的周长为：
．
【点评】本题主要考查整式的除法法则与加法法则，掌握因式分解与合并同类项法则，是解题的关键．
20．阅读理解：对于二次三项式a2+2ab+b2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b）
2．
而对于二次三项式a2+4ab
5b
﹣
2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法：
a2+4ab
5b
﹣
2＝a2+4ab+4b2
4b
﹣
2
5b
﹣
2＝（a+2b）
2
9b
﹣
2，
＝（a+2b
3b
﹣
）（a+2b+3b）＝（a
b
﹣）（a+5b）．
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
解决问趣：
（1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式；
（2）如图，边长为a 的正方形纸片1 张，边长为b 的正方形纸片8 张，长为a，宽为b 的长方形纸片6 张，
这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图；
（3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式
与
的大小．
【答案】（1）（a+2b）（a+4b）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目的引导，先分组，后运用公式法对原式进行因式分解；
（2）根据第一问的因式分解结果，对图形进行排列即可；
（3）对两个分式的分子和分母分别进行因式分解，然后对分式进行化简并比较大小.
【详解】（1）原式＝a2+6ab+9a2
b
﹣
2＝（a+3b）
2
b
﹣
2＝（a+3b
b
﹣）（a+3b+b）＝（a+2b）（a+4b）；
（2）如图：
（3）
；
；
∵x＞0，
∴x+4＜x+6，
∴
.
【点评】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解化简分式，根据分母大，分数值反而小来比较大小是
解题的关键.
