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14.4 整式的乘法与因式分解（单元检测）
一、单选题
1．因式分解
，甲看错了a 的值，分解的结果是
，乙看错了b 的值，分解的结果
为
，那么
分解因式正确的结果为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据甲看错了a 的值，将分解的结果展开，能求出正确的b 的值，乙看错了b 的值，可以求出a
的值，再因式分解即可得到答案．
【详解】∵甲看错了a 的值
∴b 是正确的
∵
=
∴b=-6
∵乙看错了b 的值
∴a 是正确的
∵
=
∴a=-1
∴
=
故选：B．
【点评】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．
2．若x
m
﹣
与x+3 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）
A．3
B．1
C．0
D．﹣3
【答案】A
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，再根据条件可得3
m
﹣＝0，再解得出答案．
【详解】（x
m
﹣
）（x+3）＝x2+3x
mx
3m
﹣
﹣
＝x2+（3
m
﹣）x
3m
﹣
，
∵乘积中不含x 的一次项，
∴3
m
﹣
＝0，
解得：m＝3，
故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．已知
，
，
，则
，
，
的关系为①
；②
；③
；④
，其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘除法运算法则得出a，b，c 直接的关系即可．
【详解】∵2a=3，2b=6，2c=12，
∴2b÷2a=2，
∴b-a=1，
∴b=a+1，故①正确；
2c÷2a=22，
则c-a=2，故②正确；
2a×2c=（2b）
2，
则a+c=2b，故③正确；
∵2b×2c=（2a）
2×23，
∴b+c=2a+3，故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘除运算法则，正确应用运算法则是解题关键．
4．方程 x2=（x
1
﹣）
0 的解为（ ）
A．x=-1
B．x=1
C．x=±1
D．x=0
【答案】A
【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x 的值即可.
【详解】∵(x-1)0有意义，
∴x-1≠0，即x≠1，
∵x2=（x
1
﹣）
0
∴x2=1，即x=±1
∴x=-1.
故选A.
【点评】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的
左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.
5．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（
）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩
形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积，根据面积相等可得结论.
【详解】甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即
，乙图中阴影部分长方
形的长为
，宽为
，阴影部分的面积为
，根据两个图形中阴影部分的面积相等
可得
.
故选：A.
【点评】本题考查了平方差公式的验证，灵活表示图形的面积是解题的关键.
6．若x-y+3=0，则x（x-4y）+y（2x+y）的值为（ ）
A．9
B．－9
C．3
D．－3
【答案】A
【解析】
解：∵x-y+3=0，∴x-y=－3．
原式=
=
=
=9．故选A．
7．把(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2分解因式为( )
A．( 3a−b)2
B．(3b+a)2
C．(3b−a)2
D．( 3a+b)2
【答案】C
【解析】
原式=(a+b)²−2×2(a−b)(a+b)+[2(a−b)]²=(a+b−2a+2b)²=(3b−a)²，
故选C.
8．已知x，y 为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M 与N 的大小关系为( )
A．M>N
B．M≥N
C．M≤N
D．不能确定
【答案】B
【解析】
∵M=x²+y²，N=2xy，
∴M−N=x²+y²−2xy=(x−y) ²，
∵(x−y)2⩾0，
∴M⩾N.
故选：B.
9．现有如图所示的卡片若干张，其中
类、
类为正方形卡片，
类为长方形卡片，若用此三类卡片拼
成一个长为
，宽为
的大长方形，则需要
类卡片张数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）=a +3ab+2b ，即需要一个边长为a 的正方形，2 个边
长为b 的正方形和3 个C 类卡片的面积是3ab．
【详解】(a+2b)(a+b)=a +3ab+2b .
则需要C 类卡片张数为3 张.
故选C.
【点评】此题考查多项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则.
10．若(2x) －81＝(4x ＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n 的值是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】利用平方差公式计算（4x2+9）（2x+3）（2x-3），即可得到n 的值．
【详解】∵（4x2+9）（2x+3）（2x-3）=（4x2+9）（4x2-9）=（4x2）
2-92=（2x）
4-81，
∴（2x）
n-81=（2x）
4-81，
∴n=4．
故选B.
【点评】此题主要考查了平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2，熟练掌握并灵活运用是解题关键.
11．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
A 选项：6x2+x-15=0 时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项错误；
B 选项：3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项错误；
C 选项：x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项错误；
D 选项：2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项正确．
故选D．
12．已知a 与b 互为相反数且都不为零，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( )
A．a2n－1与－b2n－1 B．a2n－1与b2n－1 C．a2n与b2n D．an与bn
【答案】B
【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零，可得a、b 的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得
选项A、C 相等，选项B 互为相反数，选项D 可能相等，也可能互为相反数，故选B.
二、填空题
13．
=_______．
【答案】
【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而
可得答案．
【详解】
=
=
=
=
故答案为：
．
【点评】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题
的关键．
14．已知
， 则
_______．
【答案】0
【分析】利用完全平方式的特点把原条件变形为
，再利用几个非负数之和
为0，则每一个非负数都为0 的结论可得答案．
【详解】因为：
所以
所以
所以
，解得
所以
故答案为0．
【点评】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0 的性质，掌握该知识点是关键．
15．设
是一列正整数，其中
表示第一个数，
表示第二个数，依此类推，
表示第
个
数(
是正整数)，已知
，
，则
___________.
【答案】4035
【详解】【分析】
整理得
，从而可得an+1-an=2 或an=-
an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.
【详解】∵
，
∴
，
∴
，
∴an+1=an+1-1 或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2 或an=-an+1，
又∵
是一列正整数，
∴an=-an+1不符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为4035.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条
件推导得出an+1-an=2.
16．若
为整数，且
，则
=___．
【答案】0 或4 或6
【分析】分3 种情况讨论：1 的任何次幂；-1 的偶次幂；非0 数的0 次幂
【详解】∵
当m-5=1 时,m=6；
当m-5=-1 时，m=4；
当m=0 时，m-5≠0
故答案为0 或4 或6
【点评】本题考查乘方等于1 的情况，分3 种情况讨论：1 的任何次幂；-1 的偶次幂；非0 数的0 次幂是关
键.
三、解答题
17．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4 进行因式分解的过程．
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）
2 （第三步）
=（x2－4x+4）
2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写
出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1 进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4
【分析】（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；
（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；
（3）类比例题中的方法将原式分解即可．
【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故选：C；
（2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ，
故答案为：不彻底，（x-2)4 ；
（3）设x2－2x=y，则:
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=( x2－2x+1)2
=(x
1)
﹣
4
．
【点评】本题考查利用换元法和公式法进行因式分解，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的各种方法
是解答的关键．
18．先化简，再求值：
，其中a，b 满足
【答案】48
【分析】利用已知的等式可得a＋b＝1、a－b＝3，联立成方程组解得a、b 的值，再应用整式混合运算法
则化简代数式，最后代入计算即可．
【详解】 ∵
，
∴
，
解得：
，
原式
，
把a＝2，b＝－1 代入得：原式＝－6×23×（－1）＝48．
【点评】本题考查平方、绝对值的非负性、整式的混合运算，利用二元一次方程组求得a、b 的值是关键．
19．阅读材料：
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如
.善于思考
的小明进行了以下探索：
设
(其中a、b、m、n 均为整数),则有
.
∴
.这样小明就找到了一种把类似
的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（a,b,m,n 均为正整数）
(1)
，用含m、n 的式子分别表示a、b，得：a=___，b=___；
(2)当a=7,n=1 时，填空：7+
=（ +
）
2
(3)若
，求a 的值.
【答案】（1）m2+3n2,2mn（2）4,2 (3)28 或12
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n
）
2=m2+3n2+2
mn，从而可用m、n 表示a、b；
（2 由（1）可知：n=1，由a=m2+3n2=7，得出m 的值，从而得到b 的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=6 和a、m、n 均为正整数可先确定m、n 的值，然后计算对应的a 的值．
【详解】（1）（m+n
）
2=m2+3n2+2
mn，∴a=m2+3n2，b=2mn；
（2）由（1）可知：n=1，∴a=m2+3n2=7，解得：m=2（负数舍去），∴m=2，n=1，∴b=2mn =4，∴7+4
=（2+
）
2；
（3）a=m2+3n2，2mn=6．
∵a、m、n 均为正整数，∴m=3，n=1 或m=1，n=3．
①当m=3，n=1 时，a=9+3=12；
②当m=1，n=3 时，a=1+3×9=28．
∴a 的值为28 或12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算．先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的
解题途径，往往能事半功倍．
20．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的
，
满足
，
，求：①
的值；②
的值．
【答案】（1）a2+b2或（a+b）
2
2ab
﹣
；（2）a2+b2=（a+b）
2
2ab
﹣
；（3）①9，②2385
【分析】（1）直接把两个正方形的面积相加或利用大正方形的面积减去两个长方形的面积；（2）利用面
积相等把（1）中的式子联立即可；（3）注意a，b 都为正数且a＞b，利用（2）的结论进行探究得出答案
即可．
【详解】（1）两个阴影图形的面积和可表示为：
或
；
（2）
；
（3）∵
（
＞
）满足
，
，
∴ ①
= 53+2×14 = 81
∴
，又∵
＞0，
＞0，∴
．
②∵
，且
∴
又∵
＞
＞0，∴
∴
=53×9×5=2385．
【点评】考点是完全平方公式的几何背景．
21．分解因式x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因
式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用
这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：a2－4a－b2＋4；
(2)若△ABC 三边a、b、c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC 的形状．
【答案】(1) (a＋b－2)(a－b－2);(2) △ABC 是等腰三角形,理由见解析
【解析】
试题分析：（1）应用分组分解法，把
分解因式即可．
（2）首先应用分组分解法，把
分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出
△ABC 的形状即可．
试题解析:
(2)
或
或
∴△ABC 是等腰三角形．
22．先计算，再找出规律，然后根据规律进行计算．
(1)计算：①
②
③
(2)根据(1)中的计算，用字母表示出你发现的规律．
=__________________
(3)根据(2)中的结论，计算下列结果：
①
②
③
【答案】(1) ①
；②
；③
； (2)
； (3) ①
；②
；③
.
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式化简，即可得到结果；②利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果；
③利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果；
（2）由（1）中的计算结果，归纳总结得到规律，利用规律即可得出各式的结果．
(3) ①②根据(2)中的结论,即可得到结果；
③根据(2)中的结论,即可得到结果；
【详解】(1)①
②
，
③
，
(2) 根据(1)中的计算结果，则
=
.
(3)由(2)中的结论可得：
①
=
.
②
=
③
【点评】这道题目考查的知识点是探索数字与图形的规律，学生通过平方差公式进行计算，得出相应的答
案.进而推理得出结果，计算时要注意计算的准确性.
