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福建省三明市建宁县2018-2019 学年八年级上
期末质量检测数学试题
一、选择题：（每小题2 分，满分20 分）
1．4 的平方根是（ ）
A．16
B．2
C．±2
D．
2．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．4，5，6
B．0.3，0.4，0.5
C．1，2，3
D．5，12，13
3．如图，数轴上A，B，C，D 四点中，与
对应的点距离最近的是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
4．如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3 的度数是（ ）
A．75°
B．55°
C．40°
D．35°
5．对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下列关于a，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（
）
A．a＝2，b＝3
B．a＝﹣3，b＝2
C．a＝3，b＝﹣2
D．a＝﹣2，b＝3
6．在平面直角坐标系中，点M 在第四象限，到x 轴，y 轴的距离分别为6，4，则点M 的坐标为
（ ）
A ．（4，﹣6）
B．（﹣4，6）
C．（﹣6，4）
D．（﹣6，﹣4）
7．已知
是二元一次方程2x+y＝14 的解，则k 的值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
8．如果数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据2x1，2x2，…，2xn的方差是（ ）
A．3
B．6
C．12
D．5
9．如图1，甲、乙两个容器内都装了一定数量的水，现将甲容器中的水匀速注入乙容器中．图
2 中的线段AB，CD 分别表示容器中的水的深度h（厘米）与注入时间t（分钟）之间的函数
图象．下列结论错误的是（ ）
A．注水前乙容器内水的高度是5 厘米
B．甲容器内的水4 分钟全部注入乙容器
C．注水2 分钟时，甲、乙两个容器中的水的深度相等
D．注水1 分钟时，甲容器的水比乙容器的水深5 厘米
10．如图，在同一直角坐标系中，直线l1：y＝kx 和l2：y＝（k﹣2）x+k 的位置可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分，请将答案填在题中的横线上.）
11．（3 分）﹣8 的立方根是 ．
12．（3 分）比较大小：
．
13．（3 分）写出命题“对顶角相等”的逆命题 ．
14．（3 分）某单位要招聘1 名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示，若把听、说、读、
写的成绩按30%，30%，20%，20%计算成绩，则张明的成绩为 ．
听
说
读
写
张明
90
80
83
82
15．（3 分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1 的图象经过A（a，m），B（a+1，n）
两点，则m n．（填“＞”或“＜”）
16．（3 分）如图，ABCD 是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝
1m．一只蚂蚱从点A 爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m．
三、解答题（本大题共9 小题，满分62 分.解答题应写出文字说明、说理过程或演算步骤.填在
答题卡上.）
17．（8 分）计算题：
（1）
（2）
×
÷（﹣2
）
18．（4 分）解方程组：
．
19．（6 分）在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50 名学
生的捐款进行了统计，并绘制成如图所示的统计图．
（1）这50 名同学捐款的众数为 元，中位数为 元；
（2）如果捐款的学生有300 人，估计这次捐款有多少元？
20．（6 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的顶点都在格点上．
（1）在方格纸上建立平面直角坐标系，使四边形ABCD 的顶点A，C 的坐标分别为（﹣5，﹣
1），（﹣3，﹣3），并写出点D 的坐标；
（2）在（1）中所建坐标系中，画出四边形ABCD 关于x 轴的对称图形A1B1C1D1，并写出点B 的
对应点B1的坐标．
21．（6 分）阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），
M，N 两点之间的距离可以用公式MN＝
计算．解答下列问题：
（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q 两点间的距离；
（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O 是坐标原点，判断△AOB 是什么三角形，并说明理由．
22．（7 分）如图，直线l：y1＝﹣
x﹣1 与y 轴交于点A，一次函数y2＝
x+3 图象与y 轴交于
点B，与直线l 交于点C．
（1）画出一次函数y2＝
x+3 的图象；
（2）求点C 坐标；
（3）如果y1＞y2，那么x 的取值范围是 ．
23．（7 分）某水果店购进苹果与提子共60 千克进行销售，这两种水果的进价、标价如下表所
示，如果店主将这些水果按标价的8 折全部售出后，可获利210 元，求该水果店购进苹果
和提子分别是多少千克？
进价（元/千克）
标价（元/千克）
苹果
3
8
提子
4
10
24．（8 分）如图，已知在△ABC 中，CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线．
（1）求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．
证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠2 是△BCE 的一个外角，（已知）
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（ ）
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质）
∵CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线（已知）
∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（ ）
∴∠A＝2∠2﹣2∠1（ ）
＝2（∠2﹣∠1）（ ）
＝2∠E（等量代换）
（2）如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB．
25．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 过点A（﹣1，1），B（2，0），交y 轴于点C，点
D （0，n）在点C 上方．连接AD，BD．
（1）求直线AB 的关系式；
（2）求△ABD 的面积；（用含n 的代数式表示）
（3）当S△ABD＝2 时，作等腰直角三角形DBP，使DB＝DP，求出点P 的坐标．
参考答案
一、选择题
1．4 的平方根是（ ）
A．16
B．2
C．±2
D．
【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x 就是a 的平
方根，由此即可解决问题．
解：∵（±2）2＝4，
∴4 的平方根是±2，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方
根是0；负数没有平方根．
2．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．4，5，6
B．0.3，0.4，0.5
C．1，2，3
D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
解：A、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；
B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；
C、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；
D、∵52+122＝132，∴这组数是勾股数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC
的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC 是直角三角形．
3．如图，数轴上A，B，C，D 四点中，与
对应的点距离最近的是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【分析】先估算出﹣
的范围，结合数轴可得答案．
解：∵
＜
＜
，即1＜
＜2，
∴﹣2＜
＜﹣1，
∴由数轴知，与
对应的点距离最近的是点B，
故选：B．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关
键．
4．如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3 的度数是（ ）
A．75°
B．55°
C．40°
D．35°
【分析】根据平行线的性质得出∠4＝∠1＝75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3 的
度数．
解：∵直线a∥b，∠1＝75°，
∴∠4＝∠1＝75°，
∵∠2+∠3 ＝∠4，
∴∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下列关于a，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（
）
A．a＝2，b＝3
B．a＝﹣3，b＝2
C．a＝3，b＝﹣2
D．a＝﹣2，b＝3
【分析】说明命题为假命题，即a、b 的值满足a2＞b2，但a＞b 不成立，把四个选项中的a、b 的
值分别代入验证即可．
解：
在A 中，a2＝4，b2＝9，且3＞2，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b 不成立故A 选项中a、
b 的值不能说明命题为假命题；
在B 中，a2＝9，b2＝2，且﹣2＜3，此时满足满足a2＞b2，但不能满足a＞b，即意味着命题“若
a2＞b2，则a＞b”不能成立，故B 选项中a、b 的值能说明命题为假命题；
在C 中，a2＝9，b2＝4，且3＞﹣2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C 选项中a、b 的值不能说明
命题为假命题；
在D 中，a2＝4，b2＝9，且﹣2＜3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b 不成立，故D 选项
中a、b 的值不能说明命题为假命题；
故选：B．
【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所
举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
6．在平面直角坐标系中，点M 在第四象限，到x 轴，y 轴的距离分别为6，4，则点M 的坐标为
（ ）
A．（4，﹣6）
B．（﹣4，6）
C．（﹣6，4）
D．（﹣6，﹣4）
【分析】已知点M 在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离
判断坐标．
解：因为点M 在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M 到x 轴的距离为6，到y 轴的距离为4，
所以点M 的坐标为（4，﹣6）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号，点到x 轴的距离为点的纵坐标的
绝对值，到y 轴的距离为点的横坐标的绝对值．
7．已知
是二元一次方程2x+y＝14 的解，则k 的值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
【分析】根据方程的解的定义，将方程2x+y＝14 中x，y 用k 替换得到k 的一元一次方程，进行
求解．
解：将
代入二元一次方程2x+y＝14，得
7k＝14，
解得k＝2．
故选：A．
【点评】考查了二元一次方程的解的定义，只需把方程的解代入，进一步解一元一次方程即可．
8．如果数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据2x1，2x2，…，2xn的方差是（ ）
A．3
B．6
C．12
D．5
【分析】如果一组数据x1、x2、…、xn的方差是s2，那么数据kx1、kx2、…、kxn的方差是k2s2
（k≠0 ），依此规律即可得出答案．
解：∵一组数据x1，x2，x3…，xn的方差为3，
∴另一组数据2x1，2x2，2x3…，2xn的方差为22×3＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数时，平均数也加上这个数，方差不变，即
数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数（不为0），方差变为
这个数的平方倍．
9．如图1，甲、乙两个容器内都装了一定数量的水，现将甲容器中的水匀速注入乙容器中．图
2 中的线段AB，CD 分别表示容器中的水的深度h（厘米）与注入时间t（分钟）之间的函数
图象．下列结论错误的是（ ）
A．注水前乙容器内水的高度是5 厘米
B．甲容器内的水4 分钟全部注入乙容器
C．注水2 分钟时，甲、乙两个容器中的水的深度相等
D．注水1 分钟时，甲容器的水比乙容器的水深5 厘米
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：由图可得，
注水前乙容器内水的高度是5 厘米，故选项A 正确，
甲容器内的水4 分钟全部注入乙容器，故选项B 正确，
注水2 分钟时，甲容器内水的深度是20×
＝10 厘米，乙容器内水的深度是：5+（15﹣5）×
＝10 厘米，故此时甲、乙两个容器中的水的深度相等，故选项C 正确，
注水1 分钟时，甲容器内水的深度是20﹣20×
＝15 厘米，乙容器内水的深度是：5+（15﹣5）
×
＝7.5 厘米，此时甲容器的水比乙容器的水深15﹣7.5＝7.5 厘米，故选项D 错误，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．如图，在同一直角坐标系中，直线l1：y＝kx 和l2：y＝（k﹣2）x+k 的位置可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正比例函数与一次函数的图象性质作答．
解：当k＞2 时，正比例函数y＝kx 图象经过1，3 象限，一次函数y＝（k﹣2）x+k 的图象1，2，3
象限；
当0＜k＜2 时，正比例函数y＝kx 图象经过1，3 象限，一次函数y＝（k﹣2）x+k 的图象1，2，4
象限；
当k＜0 时，正比例函数y＝kx 图象经过2，4 象限，一次函数y＝（k﹣2）x+k 的图象2，3，4 象
限，
当（k﹣2）x+k＝kx 时，x＝
＜0，所以两函数交点的横坐标小于0，
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数的图象和正比例函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关
系是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分，请将答案填在题中的横线上.）
11．（3 分）﹣8 的立方根是 ﹣
2
．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8 的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x 的立方等于a，即x 的三次方等于a（x3
＝a），那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a 叫
做被开方数，3 叫做根指数．
12．（3 分）比较大小：
＜
．
【分析】两个正根式比较大小，可比较其被开方数的大小，被开方数大的哪个就大；
的被
开方数是48，
的被开方数是50，比较、解答出即可．
解：∵
＝
，
＝
，48＜50，
∴
＜
．
故答案为：＜．
【点评】本题主要看考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小：正实数都大于
0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
13．（3 分）写出命题“对顶角相等”的逆命题 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ．
【分析】根据逆命题的定义可以写出命题“对顶角相等”的逆命题，本题得以解决．
解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是明确逆命题的定义，可以写出一个命题的逆命题．
14．（3 分）某单位要招聘1 名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示，若把听、说、读、
写的成绩按30%，30%，20%，20%计算成绩，则张明的成绩为
84
．
听
说
读
写
张明
90
80
83
82
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
解：张明的平均成绩为：90×30%+80×30%+83×20%+82×20%＝84；
故答案为84．
【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的
权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的
差异对结果会产生直接的影响．
15．（3 分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1 的图象经过A（a，m），B（a+1，n）
两点，则m ＞ n．（填“＞”或“＜”）
【分析】将点A，点B 坐标代入可求m，n 的值，即可比较m，n 的大小．
解：∵一次函数y＝﹣2x+1 的图象经过A（a，m），B（a+1，n）两点，
∴m＝﹣2a+1，n＝﹣2a﹣1
∴m＞n
故答案为：＞
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函
数解析式．
16．（3 分）如图，ABCD 是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝
1m．一只蚂蚱从点A 爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走
13
m．
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC 的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增
加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
解：如图所示，
将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加2 米，则AB＝10+2＝12m，
连接AC，
∵四边形ABCD 是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC＝
m，
∴蚂蚱从A 点爬到C 点，它至少要走13m 的路程．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的
关键．
三、解答题（本大题共9 小题，满分62 分.解答题应写出文字说明、说理过程或演算步骤.填在
答题卡上.）
17．（8 分）计算题：
（1）
（2）
×
÷（﹣2
）
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
解：（1）原式＝3
+
﹣2
＝
；
（2）原式＝
÷（﹣2
）
＝
÷（﹣
）
＝﹣
＝﹣
＝﹣3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺
序和运算法则．
18．（4 分）解方程组：
．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
解：
①×2+②得到，7x＝14，
x＝2
把x＝2 代入①得到y＝﹣1，
∴
．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握加减消元法、代入消元法解
方程组，属于中考常考题型．
19．（6 分）在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50 名学
生的捐款进行了统计，并绘制成如图所示的统计图．
（1）这50 名同学捐款的众数为
15
元，中位数为
15
元；
（2）如果捐款的学生有300 人，估计这次捐款有多少元？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解；
（2）先计算出样本的平均数，然后利用样本估计总体，用样本平均数乘以300 即可．
解：（1）这50 名同学捐款的众数为15 元，
第25 个数和第26 个数都是15 元，所以中位数为15 元；
故答案为15，15；
（2）样本的平均数＝
（5×8+10×14+15×20+20×6+25×2）＝13（元），
300×13＝3900，
所以估计这次捐款有3900 元．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
20．（6 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的顶点都在格点上．
（1 ）在方格纸上建立平面直角坐标系，使四边形ABCD 的顶点A，C 的坐标分别为（﹣5，﹣
1），（﹣3，﹣3），并写出点D 的坐标；
（2）在（1）中所建坐标系中，画出四边形ABCD 关于x 轴的对称图形A1B1C1D1，并写出点B 的
对应点B1的坐标．
【分析】（1）根据点A 与点C 的坐标可得平面直角坐标系，继而可得点D 的坐标；
（2）分别作出四个顶点关于x 轴的对称点，再首尾顺次连接可得．
解：（1）如图所示，点D（﹣1，﹣2）．
（2）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求，点B 的对应点B1的坐标为（﹣4，5）．
【点评】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21．（6 分）阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），
M，N 两点之间的距离可以用公式MN＝
计算．解答下列问题：
（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q 两点间的距离；
（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O 是坐标原点，判断△AOB 是什么三角形，并说明理由．
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算；
（2）根据勾股定理的逆定理解答．
解：（1）P，Q 两点间的距离＝
＝13；
（2）△AO B 是直角三角形，
理由如下：AO2＝（1﹣0）2+（2﹣0）2＝5，
BO2＝（4﹣0）2+（﹣2﹣0）2＝20，
AB2＝（4﹣1）2+（﹣2﹣2）2＝25，
则AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB 是直角三角形．
【点评】本题考查的是考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长
a，b，c 满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
22．（7 分）如图，直线l：y1＝﹣
x﹣1 与y 轴交于点A，一次函数y2＝
x+3 图象与y 轴交于
点B，与直线l 交于点C．
（1）画出一次函数y2＝
x+3 的图象；
（2）求点C 坐标；
（3）如果y1＞y2，那么x 的取值范围是
x ＜﹣
2
．
【分析】（1）分别求出一次函数y2＝
x+3 与两坐标轴的交点，再过这两个交点画直线即可；
（2）将两个一次函数的解析式联立得到方程组
，解方程组即可求出点C 坐标；
（3）根据图象，找出y1落在y2上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
解：（1）∵y2＝
x+3，
∴当y2＝0 时，
x+3＝0，解得x＝﹣4，
当x＝0 时，y2＝3，
∴直线y2＝
x+3 与x 轴的交点为（﹣4，0），与y 轴的交点B 的坐标为（0，3）．
图象如下所示：
（2）解方程组
，得
，
则点C 坐标为（﹣2，
）；
（3）如果y1＞y2，那么x 的取值范围是x＜﹣2．
故答案为x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，两直线交点坐标的求法，一次函数与一元一次不
等式，都是基础知识，需熟练掌握．
23．（7 分）某水果店购进苹果与提子共60 千克进行销售，这两种水果的进价、标价如下表所
示，如果店主将这些水果按标价的8 折全部售出后，可获利210 元，求该水果店购进苹果
和提子分别是多少千克？
进价（元/千克）
标价（元/千克）
苹果
3
8
提子
4
10
【分析】设该水果店购进苹果x 千克，购进提子y 千克，根据该水果店购进苹果与提子共60 千
克且销售利润为210 元，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设该水果店购进苹果x 千克，购进提子y 千克，
根据题意得：
，
解得：
．
答：该水果店购进苹果50 千克，购进提子10 千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
24．（8 分）如图，已知在△ABC 中，CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线．
（1）求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．
证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠2 是△BCE 的一个外角，（已知）
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（ 三角形外角的性质 ）
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质）
∵CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线（已知）
∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（ 角平分线的性质 ）
∴∠A＝2∠2﹣2∠1（ 等量代换 ）
＝2（∠2﹣∠1）（ 提取公因数 ）
＝2∠E（等量代换）
（2）如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB．
【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角的性质即可求证；
（2）由（1）可知：∠A＝2∠E，由于∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，所以∠E＝∠ABE，从而可
证AB∥CE．
解：（1）∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠2 是△BCE 的一个外角，（已知），
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质），
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质），
∵CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线（已知），
∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质 ），
∴∠A＝2∠2﹣2∠1（ 等量代换），
＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数），
＝2∠E（等量代换）；
（2）由（1）可知：∠A＝2∠E
∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，
∴2∠E＝2∠ABE，
即∠E＝∠ABE，
∴AB∥CE．
【点评】本题考查三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的性
质，需要学生灵活运用所学知识．
25．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 过点A（﹣1，1），B（2，0），交y 轴于点C，点
D （0，n）在点C 上方．连接AD，BD．
（1）求直线AB 的关系式；
（2）求△ABD 的面积；（用含n 的代数式表示）
（3）当S△ABD＝2 时，作等腰直角三角形DBP，使DB＝DP，求出点P 的坐标．
【分析】（1）设直线AB 的解析式为：y＝kx+b，把点A（﹣1，1），B（2，0）即可得到结论；
（2）由（1）知：C（0，
），得到CD＝n﹣
，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积得到D（0，2），求得OD＝OB，推出△BOD 三等腰直角三角形，根据勾
股定理得到BD＝2
，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）设直线AB 的解析式为：y＝kx+b，
把点A（﹣1，1），B（2，0）代入得，
，
解得：
，
∴直线AB 的关系式为：y＝﹣
x+
；
（2）由（1）知：C（0，
），
∴CD＝n﹣
，
∴△ABD 的面积＝
×（n﹣
）×1+
（n﹣
）×2＝
n﹣1；
（3）∵△ABD 的面积＝
n﹣1＝2，
∴n＝2，
∴D（0，2），
∴OD＝OB，
∴△BOD 三等腰直角三角形，
∴BD＝2
，
如图，∵△DBP 是等腰直角三角形，DB＝DP，
∴∠DBP＝45°，
∴∠OBP＝45°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB＝
DB＝4，
∴P（2，4）或（﹣2，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，正确的作出图
形是解题的关键．
