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15.4 分式（单元检测）
一、单选题
1．如果a，b，c 为非零有理数且a + b + c = 0，那么
的所有可能的值为（
A．0
B．1 或- 1
C．2 或- 2
D．0 或- 2
【答案】A
【分析】根据题意确定出a，b，c 中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】∵a、b、c 为非零有理数，且a+b+c=0
∴a、b、c 只能为两正一负或一正两负．
①当a、b、c 为两正一负时，设a、b 为正，c 为负，
原式=1+1+（-1）+（-1）=0，
②当a、b、c 为一正两负时，设a 为正，b、c 为负
原式1+（-1）+（-1）+1=0，
综上，
的值为0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．下列是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、原式=
，不符合题意；
B、原式为最简分式，符合题意；
C、原式=
，不符合题意；
D、原式=
，不符合题意.
故选B．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
3．已知
，则
的值是（ ）
A．2
B．
C．
或
D．2 或
【答案】D
【分析】先由已知条件得到
或
，再把
通分，并根据完全平方公式变形，然后分两种情
况代入计算即可．
【详解】
，
或
，解得
或
．
原式
．
当
时，原式
；
当
时，原式
．
原式的值是2 或
．
故选D．
【点评】本题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2
是解答本题的关键．
4．对于实数
、
，定义一种新运算“
”为：
，这里等式右边是实数运算．例如：
．则方程
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】
∴方程表达为：
解得：
，
经检验，
是原方程的解，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法
则及分式方程的解法．
5．分式
与
的最简公分母是（ ）
A．x4-y4
B．(x2+y2)(x2
y
﹣2)
C．(x
y)
﹣
4
D．(x+y)2(x
y)
﹣
【答案】D
【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．
【详解】∵x2-y2=（x+y）（x-y），
∴（x+y）
2与x2-y2的最简公分母为（x+y）
2（x-y），
故选D．
【点评】本题考查了最简公分母的确定，关键在于对分母正确分解因式．
6．把实数
用小数表示为（）
A．0.0612
B．6120
C．0.00612
D．612000
【答案】C
【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
【详解】6.12×10−3＝0.00612，
故选C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
7．将分式
中的x、y 的值同时扩大3 倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大3 倍
B．扩大9 倍
C．保持不变
D．缩小到原来的
【答案】A
【分析】根据x、y 的值同时扩大3 倍后求出分式的值，和原来比较求出结果．
【详解】∵
中的x、y 的值同时扩大3 倍，
∴
＝3
．
所以扩大了3 倍．
故选A．
【点评】本题考查分式的基本性质，关键是算出x，y 都扩大后的结果和原来比较即可求解．
8．已知关于
的分式方程
的解是非正数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可
【详解】
，
方程两边同乘以
，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程
的解是非正数，
，
，
解得，
，
故选A．
【点评】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值
9．十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有
米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，
如果实际施工时每天比原计划多铺设
米，就能提前
天完成任务．设原计划每天铺设钢轨
米，则根
据题意所列的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设原计划每天铺设钢轨
米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设
米，就能提前
天完
成任务可列方程．
【详解】设原计划每天铺设钢轨
米，可得：
，
故选A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．
10．若数a 使关于x 的不等式组
，有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程
=1 有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ）
A．﹣10
B．﹣12
C．﹣16
D．﹣18
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式组和已知条件，确定a 的取值范围，求出分式方程的解，求出满足有整数解的a 的值
即可解决问题；
【详解】
;
由①得到：x≥-3，
由②得到：x≤
，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴-1≤
＜0，
解得-8≤a＜-3．
由分式方程:
=1
解得y=-
，
∵有整数解，
∴a=-8 或-4，
-8-4=-12，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
11．A，B 两地相距48 千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9 小
时，已知水流速度为4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ）
A．
B．
C．
+4＝9
D．
【答案】A
【分析】根据轮船在静水中的速度为x 千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然
后根据两次航行时间共用去9 小时进一步列出方程组即可.
【详解】∵轮船在静水中的速度为x 千米/时，
∴顺流航行时间为：
，逆流航行时间为：
，
∴可得出方程：
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的性质是解题关键．
12．下列变形从左到右一定正确的是( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．
【详解】选项A，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0 的整式，分式的值
不变，分式的分子和分母都减去2 不一定成立，选项A 错误；
选项B，当c≠0 时，等式才成立，即
，选项B 错误；
选项C，
隐含着x≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x，根据分式的基本性质得出
，选
项C 正确；
选项D，当a=2，b=-3 时，左边≠右边，选项D 错误．
故选C．
【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的
基本性质是解决问题的关键．
二、填空题
13．用换元法解方程
﹣
＝1，设y＝
，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____．
【答案】y2+y
2
﹣＝0
【分析】可根据方程特点设y＝
，则原方程可化为
﹣y＝1，化成整式方程即可．
【详解】方程
﹣
＝1，
若设y＝
，
把设y＝
代入方程得：
﹣y＝1，
方程两边同乘y，整理得y2+y
2
﹣＝0．
故答案为：y2+y
2
﹣＝0．
【点评】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总
结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
14．代数式
有意义时，x 应满足的条件为______．
【答案】
【详解】代数式
有意义，则
，解得：
．故答案为
．
15．分式
的值是整数，负整数m 的值为_______．
【答案】－1 或－3
【解析】
分析：根据分式的性质即可求出答案．
详解：由题意可知： m−1=-1 或-2 或-4，
当m−1=-1 时，
∴m=0，不符合题意，
当m−1=-2 时，
∴m=-1，符合题意，
当m−1=-4 时，
∴m=-3，符合题意，
综上所述，m=－1 或－3，
故答案为－1 或－3
点睛：此题考查了分式的值，分式
的值为0，当且仅当A=0，B≠0；分式
的值为1，当且仅当A=B≠0；
分式
的值为-1，当且仅当A=-B≠0.
16．甲、乙两辆汽车同时从
地出发，开往相距
的
地，甲、乙两车的速度之比是
，结果乙
车比甲车早
分钟到达
地，则甲车的速度为_____
．
【答案】80
【分析】设甲车的速度为
，则乙车的速度为
，根据乙车比甲车早30 分钟到达B 地列方
程求解即可.
【详解】设甲车的速度为
，则乙车的速度为
，
依题意，得
，
解得：
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意，
故答案为80.
【点评】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分式方程要验
根.
三、解答题
17．某服装店到厂家选购A、B 两种品牌的儿童服装，每套A 品牌服装进价比B 品牌服装每套进价多25 元，
已知用2000 元购进A 种服装的数量是用750 元购进B 种服装数量的2 倍．
（1）求A、B 两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）若A 品牌服装每套售价为130 元，B 品牌服装每套售价为95 元，服装店老板决定，购进B 品牌服装
的数量比购进A 品牌服装的数量的2 倍还多4 套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200 元，则最
少购进A 品牌的服装多少套？
【答案】（1）A、B 两种品牌服装的进价分别为100 元和75 元；（2）最少购进A 品牌的服装16 套
【分析】（1）首先设A 品牌服装每套进价为x 元，则B 品牌服装每套进价为(x-25)元，根据关键语句“用
2000 元购进A 种服装数量是用750 元购进B 种服装数量的2 倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装(2a+4)套，根据“可使总的获利超过1200 元”可得
不等式(130-100)a+(95-75)(2a+4)≥1200，再解不等式即可．
【详解】（1）设B 品牌服装每套进价为x 元种，则A 品牌服装每套进价为(x+25)元
根据题意得：
，
解得：x=75
经检验：x=75 是原方程的解，x+25=100，
答：A、B 两种品牌服装的进价分别为100 元和75 元；
（2）设购买A 种品牌服装a 件，则购买B 种品牌服装(2a+4)件，
根据题意得： (130-100) a+(95-75) (2a+4)
1200，
解得：
，
∴a 取最小值是16，
答：最少购进A 品牌的服装16 套．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A、B 两种品牌服装每
套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
18．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40 天时间完成
整个工程：当一号施工队工作5 天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计
划提前14 天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期
完成整个工程.
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【答案】（1）60 天；（2）24 天.
【解析】
分析：（1）设二号施工队单独施工需要x 天，根据题意可知一号施工队5 天工作总量与一号施工队和二号
施工队合作工作总量之和=1 列出方程求解即可；
（2）根据工作总量÷工作效率=工作时间求解即可.
详解：（1）设二号施工队单独施工需要x 天，依题可得
解得x=60，
经检验，x=60 是原分式方程的解，
∴由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60 天．
（2）由题可得
（天），
∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24 天.
点睛：本题考查了列分式方程解应用题，灵活运用和掌握工作总量÷工作效率=工作时间是解题关键.
19．先化简：
﹣
÷
，并在x＝﹣3，﹣1，0，1 中选一个合适的值代入求值．
【答案】
，2
【分析】先根据分式的混合运算化简原式，再代入使原分式有意义的值进行计算．
【详解】原式＝
∵x＝﹣3 或±1 时，原式无意义，
∴取x＝0 时，原式＝2．
【点评】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20．解分式方程
(1)
=0 ；(2)
.
【答案】（1）x=
1
﹣；（2）x=
.
【分析】（1）先乘以最简公分母去分母，再加减运算求出x 并检验即可；
（2）先乘以最简公分母去分母，再加减运算求出x 并检验即可.
【详解】（1）去分母得：x
2
3x=0
﹣﹣
，
解得：x=
1
﹣，
经检验x=-1 是分式方程的解．
（2）去分母得，x
1+2
﹣
（x
2
﹣）=
3
﹣，
3x
5=
3
﹣
﹣，
解得x=
，
检验：把x=
代入x
2≠0
﹣
，所以x=
是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练的掌握分式方程的运算法则.
21．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长
，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），
其中最大圆的直径为
，其余圆的直径从左到右依次递减
．最大圆的左侧距工具板左侧边缘
，最小圆的右侧距工具板右侧边缘
，相邻两圆的间距d 均相等．
（1）用含x 的代数式表示其余四个圆的直径；
（2）若最大圆与最小圆的直径之比为
，求相邻两圆的间距．
【答案】（1）其余四个圆的直径从大到小依次为
，
，
，
．
（2）
．
【分析】（1）根据题意：最大圆的直径为
，其余圆的直径从左到右依次递减
解答即可；
（2）先根据最大圆与最小圆的直径之比为
列出方程求出x，再根据5 个圆的直径+4d+3=21 即可列出
方程，解方程即得结果．
【详解】（1）其余四个圆的直径从大到小依次为
，
，
，
；
（2）由题意可知
，解得：
．
经检验，
是所列分式方程的解，
．
．
答：相邻两圆的间距为
．
【点评】本题考查了据题意列出代数式和分式方程的简单应用，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法
是解题的关键．
22．某商场用24 000 元购入一批空调，然后以每台3 000 元的价格销售，因天气炎热．空调很快售完；商
场又用52 000 元再次购入一批该种型号的空调，数量是第一次购入的2 倍，但购入的单价上调了200 元，
每台的售价也上调了200 元．
（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在第二次空调销售中获得的利润率不低于20%，打算将第
二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？
【答案】（1）2400 元；（2）10 台
【分析】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x 元，根据题目条件“商场又以52000 元的价格再次购
入该种型号的空调，数量是第一次购入的2 倍，但购入的单价上调了200 元，每台的售价也上调了200
元”列出分式方程解答即可；
（2）设将y 台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于20%，打算将第二
次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可．
【详解】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x 元，由题意列方程得：
＝
，
解得：x＝2400，
经检验x＝2400 是原方程的根，
答：商场第一次购入的空调每台进价是2400 元；
（2）设将y 台空调打折出售，根据题意，得：
（3000+200）×0.95y+（3000+200）×（
﹣y）≥52000×（1+20%），
解得：y≤10，
答：最多将10 台空调打折出售．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会
有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一
个则用来设未知数．解答分式方程时，还要一定要注意验根．
23．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了
元，乙种商品共用了
元．已知乙种商品每件
进价比甲种商品每件进价多
元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
求甲、乙两种商品的每件进价；
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为
元，乙种商品的销售单价为
元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销
售单价的九折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于
元，问甲种
商品按原销售单价至少销售多少件？
【答案】（1）甲种商品的每件进价为50 元，乙种商品的每件进价为60 元；（2）甲种商品按原销售单价
至少销售20 件．
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为
元，则乙种商品的每件进价为
元，根据购进两种商品件
数相同列分式方程即可得答案；（2）先求出两种商品的数量，根据商品全部售完后共获利不少于
元
列不等式即可得答案.
【详解】
设甲种商品的每件进价为
元，则乙种商品的每件进价为
元．
根据题意，得，
，
解得
．
经检验，
是原方程的解．
∴x+10=60，
答：甲种商品的每件进价为
元，乙种商品的每件进价为
元.
甲、乙两种商品的数量为
．
设甲种商品按原销售单价销售
件，
∵商品全部售完后共获利不少于
元，
∴
，
解得
．
答：甲种商品按原销售单价至少销售
件．
【点评】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，正确找出等量关系及不等关系是解题关键.
24．已知a、b、c 均不等于0，且
+
+
=0，求证：a2+b2+c2=（a+b+c）
2．
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：先将
＝0 两边乘以abc 去掉分母得bc＋ac＋ab＝0，然后计算右边＝(a＋b＋c)2＝ a2
＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac )，然后将bc＋ac＋ab＝0 代入即可得出结论．
试题解析：
解：由
＝0，得bc＋ac＋ab＝0
∴右边＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac )
＝a2＋b2＋c2
∴右边＝a2＋b2＋c2＝左边，
∴等式成立．
