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2018 年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题3 分，满分36 分，在每小题所给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3 分）|
5
﹣|的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5C．
D．﹣
2．（3 分）在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．（a3）2=a5 B．（a
b
﹣）2=a2
b
﹣
2 C．a6÷a2=a4 D．a2+a2=2a4
4．（3 分）若式子
有意义，则实数m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2 且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2 且m≠1
5．（3 分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们
一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：
读书时间（小时）
7
8
9
10
11
学生人数
6
10
9
8
7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ）
A．9，8 B．9，9 C．9.5，9D．9.5，8
6．（3 分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，
则∠1=（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
第1页（共25页）
7．（3 分）计算：（
）﹣1+tan30°•sin60°=（ ）
A．﹣
B．2C．
D．
8．
（3 分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AO=CO，BO=DO．添
加下列条件，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ）
A．AB=AD
B．AC=BD
C．AC⊥BD D．∠ABO=∠CBO
9．（3 分）已知反比例函数y=﹣
，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，
四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x＞﹣1 时，则y＞8．其中错误的结论有（
）个
A．3B．2C．1D．0
10．（3 分）如图，边长为1 的小正方形构成的网格中，半径为1 的⊙O 的圆心O 在
格点上，则∠BED 的正切值等于（ ）
A．
B．
C．2D．
11．（3 分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a
b
﹣＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则
有y1＞y2．
其中正确的结论有（ ）
第2页（共25页）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
12．（3 分）定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，F（n）=3n+1；②当n
为偶数时，F（n）=
（其中k 是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复
进行，例如，取n=24，则：
若n=13，则第2018 次“F”运算的结果是（ ）
A．1B．4C．2018 D．42018
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，满分16 分，不需写出解答过程
13．（4 分）一个角是70°39′，则它的余角的度数是 ．
14．（4 分）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设
置一块面积为1200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多40 米．设绿地宽为x 米，根
据题意，可列方程为 ．
15．（4 分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据
计算这个几何体的表面积是 ．
16．（4 分）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知
第3页（共25页）
反比例函数y= （m＜0）与y=x2
4
﹣在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内
的整点的个数为2，则实数m 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6 小题，满分68 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤
17．（10 分）（1）实数x 取哪些整数时，不等式2x
1
﹣＞x+1 与
x
1
﹣≤7﹣
x 都成
立？
（2）化简：（
﹣
）÷
，并从0≤x≤4 中选取合适的整数代入求
值．
18．（10 分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择
骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5 小时后
到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回
家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大
致如图所示．
（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为 km/h；
（2）当1.5≤x≤2.5 时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离
小红家多少千米？
19．
（10 分）
（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩
三项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者
专业知识
讲课
答辩
甲
70
85
80
乙
90
85
75
第4页（共25页）
丙
80
90
85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者
的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D 四个实验，规定每位学生只参
加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小
厉都参加了本次考试．
①小厉参加实验D 考试的概率是 ；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
20．（12 分）如图所示，⊙O 的半径为4，点A 是⊙O 上一点，直线l 过点A；P 是⊙O
上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB⊥l 于点B，交⊙O 于点E，直径PD 延
长线交直线l 于点F，点A 是
的中点．
（1）求证：直线l 是⊙O 的切线；
（2）若PA=6，求PB 的长．
21．（13 分）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c 上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P，使△PBC 面积为1；
（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，
求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．
22．（13 分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直
第5页（共25页）
角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：
如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=
AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB 边上中线CE，由于CE=
AB，易得结论：①△ACE 为等边三角
形；②BE 与CE 之间的数量关系为 ．
（2）如图2，点D 是边CB 上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E 在∠ACB 的
内部，连接BE．试探究线段BE 与DE 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D 为边CB 延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE 与DE 之
间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ．
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣
，1），点B 是x
轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等边△ABC，当C 点在第一象限内，且B（2，0）
时，求C 点的坐标．
第6页（共25页）
2018 年山东省日照市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题3 分，满分36 分，在每小题所给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3 分）|
5
﹣|的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5C．
D．﹣
【分析】根据绝对值、相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：根据绝对值的定义，
∴︳﹣5︳=5，
根据相反数的定义，
∴5 的相反数是﹣5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值和相反数的定义，比较简单．
2．（3 分）在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、此图案既不是轴对称图形又不是中心对称图形；
B、此图案是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、此图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
D、此图案是中心对称图形，不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后两部分重合．
第7页（共25页）
3．（3 分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．（a3）2=a5 B．（a
b
﹣）2=a2
b
﹣
2 C．a6÷a2=a4 D．a2+a2=2a4
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则，合并同类项法则，幂的乘方，乘法公式一
一判断即可；
【解答】解：A、错误．（a3）2=a5；
B、错误．（a
b
﹣）2=a2
2ab
﹣
+b2；
C、正确．
D、错误．a2+a2=2a2
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、除法法则，合并同类项法则，幂的乘方，乘法公
式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（3 分）若式子
有意义，则实数m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2 且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2 且m≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：
∴m≥﹣2 且m≠1
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条
件，本题属于基础题型．
5．（3 分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们
一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：
读书时间（小时）
7
8
9
10
11
学生人数
6
10
9
8
7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ）
A．9，8 B．9，9 C．9.5，9D．9.5，8
第8页（共25页）
【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40 人，从而可以求得中位数和众数，
本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，
该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是：9、8，
故选：A．
【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众
数和中位数．
6．（3 分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，
则∠1=（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠FDE=45°，再根据三角形内角与外角的性质
可得∠1 的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDE=45°，
又∵∠C=30°．
∴∠1=∠FDE﹣∠C=45°
30°=15°
﹣
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
7．（3 分）计算：（
）﹣1+tan30°•sin60°=（ ）
A．﹣
B．2C．
D．
【分析】根据实数的运算，即可解答．
第9页（共25页）
【解答】解：（
）﹣1+tan30°•sin60°
=2+
=2+
=
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟记实数的运算．
8．
（3 分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AO=CO，BO=DO．添
加下列条件，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ）
A．AB=AD
B．AC=BD
C．AC⊥BD D．∠ABO=∠CBO
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
当AB=AD 或AC⊥BD 时，均可判定四边形ABCD 是菱形；
当∠ABO=∠CBO 时，
由AD∥BC 知∠CBO=∠ADO，
∴∠ABO=∠ADO，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD 是菱形；
当AC=BD 时，可判定四边形ABCD 是矩形；
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩
形的判定．
第10页（共25页）
9．（3 分）已知反比例函数y=﹣
，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，
四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x＞﹣1 时，则y＞8．其中错误的结论有（
）个
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：①当x=
2
﹣时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=
8
﹣＜0，图象在第二、四象限内；
③k=
8
﹣＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，错误；
④k=
8
﹣＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题关键．
10．（3 分）如图，边长为1 的小正方形构成的网格中，半径为1 的⊙O 的圆心O 在
格点上，则∠BED 的正切值等于（ ）
A．
B．
C．2D．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
【解答】解：∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DAB=tan∠DEB=
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概
念，正确得出相等的角是解题关键．
11．（3 分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a
b
﹣＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则
第11页（共25页）
有y1＞y2．
其中正确的结论有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【分析】观察图象判断出a、b、c 的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴公式x
＜﹣1，可得结论②正确；判断出﹣b＜a+c＜b，可得结论③正确，利用图象法可以
判断出④错误；
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣
＜0，
∴b＞0，
∵抛物线交y 轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确，
∵﹣
＜﹣1，a＞0，
∴b＞2a，
∴2a
b
﹣＜0，故②正确，
∵x=1 时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∵x=
1
﹣时，y＜0，
∴a
b
﹣+c＜0，
∴a+c＜b，
∴b2＞（a+c）2，故③正确，
第12页（共25页）
∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，
观察图象可知y1＜y2，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0 时，抛物线向上开
口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴
的位置． 当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab
＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于
（0，c）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b2
4ac
﹣
＞0 时，抛物线与x 轴有2 个
交点；△=b2
4ac=0
﹣
时，抛物线与x 轴有1 个交点；△=b2
4ac
﹣
＜0 时，抛物线与x
轴没有交点．
12．（3 分）定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，F（n）=3n+1；②当n
为偶数时，F（n）=
（其中k 是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复
进行，例如，取n=24，则：
若n=13，则第2018 次“F”运算的结果是（ ）
A．1B．4C．2018 D．42018
【分析】计算出n=13 时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解
答即可．
【解答】解：若n=13，
第1 次结果为：3n+1=40，
第2 次结果是：
=5，
第3 次结果为：3n+1=16，
第4 次结果为：
=1，
第5 次结果为：4，
第13页（共25页）
第6 次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4 两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018 次是偶数，因此最后结果是1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了数字的变化类，能根据所给条件得出n=13 时六次的运算
结果，找出规律是解答此题的关键．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，满分16 分，不需写出解答过程
13．（4 分）一个角是70°39′，则它的余角的度数是
19°21′
．
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
【解答】解：它的余角=90°
70°39′=19°21′
﹣
．
故答案为：19°21′．
【点评】本题主要考查的是余角的定义以及度分秒的换算，掌握相关概念是解题
的关键．
14．（4 分）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设
置一块面积为1200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多40 米．设绿地宽为x 米，根
据题意，可列方程为
x （
x + 40
）
=1200
．
【分析】先表示出矩形场地的长，再根据矩形的面积公式即可列出方程．
【解答】解：由题意可得，
x（x+40）=1200，
故答案是：x（x+40）=1200．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出
相应的方程．
15．（4 分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据
计算这个几何体的表面积是
4πcm
2
．
第14页（共25页）
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，
确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出
这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为
cm，底面半径为1cm，
故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2，
故答案为：4πcm2，
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是由主视图和左视图
确定是柱体，锥体还是球体．
16．（4 分）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知
反比例函数y= （m＜0）与y=x2
4
﹣在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内
的整点的个数为2，则实数m 的取值范围为 ﹣
2 ≤
m
＜
﹣
1
．
【分析】根据题意可知抛物线在第四象限内的部分，然后根据反比例函数y= （m
＜0）与y=x2
4
﹣在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，
可以得到不等式组，从而可以求得m 的取值范围．
【解答】解：∵y=x2
4
﹣，
∴当x=0 时，y=
4
﹣，当y=0 时，x=±2，当x=1 时，y=
3
﹣，
∴抛物线y=x2
4
﹣在第四象限内的部分是（0，﹣4）到（2，0）这一段曲线部分，
∵反比例函数y= （m＜0）与y=x2
4
﹣在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）
内的整点的个数为2，
第15页（共25页）
∴
，
解得，﹣2≤m＜﹣1．
【点评】本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答．
三、解答题：本大题共6 小题，满分68 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤
17．（10 分）（1）实数x 取哪些整数时，不等式2x
1
﹣＞x+1 与
x
1
﹣≤7﹣
x 都成
立？
（2）化简：（
﹣
）÷
，并从0≤x≤4 中选取合适的整数代入求
值．
【分析】（1）根据题意分别求出每个不等式解集，根据口诀：大小小大中间找，确
定两不等式解集的公共部分，即可得整数值．
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在0≤x≤4 的范围内选
取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）根据题意可得不等式组
，
解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x≤4，
所以不等式组的解集为2＜x≤4，
则整数x 的值为3、4；
（2）原式=[
﹣
]•
=[
﹣
]•
第16页（共25页）
=
•
=
•
=
，
∵
，
∴x≠0 且x≠2、x≠4，
∴在0≤x≤4 中，可取的整数为x=1、x=3，
当x=1 时，原式=1；
当x=3 时，原式=1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法
与解一元一次不等式组的步骤．
18．（10 分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择
骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5 小时后
到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回
家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大
致如图所示．
（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为
20
km/h；
（2）当1.5≤x≤2.5 时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离
小红家多少千米？
【分析】（1）根据OA 段的速度，可得结论；
第17页（共25页）
（2）当1.5≤x≤2.5 时，设y=20x+b，利用待定系数法即可解决问题；
【解答】解：（1）在OA 段，速度=
=20km/h，
故答案为20．
（2）当1.5≤x≤2.5 时，设y=20x+b，把（1.5，10）代入得到，10=20×1.5+b，
解得b=
20
﹣
，
∴y=20x
20
﹣
，
当x=2.5 时，解得y=30，
∴乙地离小红家30 千米
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题
型．
19．
（10 分）
（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩
三项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者
专业知识
讲课
答辩
甲
70
85
80
乙
90
85
75
丙
80
90
85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者
的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D 四个实验，规定每位学生只参
加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小
厉都参加了本次考试．
①小厉参加实验D 考试的概率是
；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
【分析】（1）根据加权平均数分别计算三人的平均成绩，比较大小即可得；
（2）①根据概率公式即可得；②列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学抽
到同一实验的情况数，即可求出所求概率．
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【解答】解：（1）
=
=77（分），
=
=86.5（分），
=
=84.5（分），
因为乙的平均成绩最高，
所以应该录取乙；
（2）①小厉参加实验D 考试的概率是
，
故答案为：
；
②解：列表如下：
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
所有等可能的情况有16 种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，
DD，4 种情况，
所以小王、小张抽到同一个实验的概率为
=
．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
20．（12 分）如图所示，⊙O 的半径为4，点A 是⊙O 上一点，直线l 过点A；P 是⊙O
上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB⊥l 于点B，交⊙O 于点E，直径PD 延
长线交直线l 于点F，点A 是
的中点．
（1）求证：直线l 是⊙O 的切线；
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（2）若PA=6，求PB 的长．
【分析】（1）连接DE，OA．想办法证明OA⊥BF 即可；
（2）作OH⊥PA 于H，只要证明△AOH∽△PAB，可得
=
，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接DE，OA．
∵PD 是直径，
∴∠DEP=90°，
∵PB⊥FB，
∴∠DEP=∠FBP，
∴DE∥BF，
∵
=
，
∴OA⊥DE，
∴OA⊥BF，
∴直线l 是⊙O 的切线．
（2）解：作OH⊥PA 于H．
∵OA=OP，OH⊥PA，
∴AH=PH=3，
∵OA∥PB，
∴∠OAH=∠APB，
∵∠AHO=∠ABP=90°，
∴△AOH∽△PAB，
∴
=
，
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∴
=
，
∴PB=
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、切线的判定等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（13 分）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c 上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P，使△PBC 面积为1；
（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，
求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）
（x
3
﹣），将C（0，1）代入求得a 的值即
可；
（2）过点P 作PD⊥x，交BC 与点D，先求得直线BC 的解析式为y=﹣
x+1，设点P
（x，﹣
x2+
x+1），则D（x，﹣
x+1），然后可得到PD 与x 之间的关系式，接下来，
依据△PBC 的面积为1 列方程求解即可；
（3）首先依据点A 和点C 的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC 外接圆圆心
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为M，则∠CMB=90°，设⊙M 的半径为x，则Rt△CMB 中，依据勾股定理可求得
⊙M 的半径，然后依据外心的性质可得到点M 为直线y=
x
﹣与x=1 的交点，从而
可求得点M 的坐标，然后由点M 的坐标以及⊙M 的半径可得到点Q 的坐标．
【解答】解：
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）
（x
3
﹣），将C（0，1）代入得﹣3a=1，
解得：a=﹣
，
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x+1．
（2）过点P 作PD⊥x，交BC 与点D．
设直线BC 的解析式为y=kx+b，则
，解得：k=﹣
，
∴直线BC 的解析式为y=﹣
x+1．
设点P（x，﹣
x2+
x+1），则D（x，﹣
x+1）
∴PD=（﹣
x2+
x+1）﹣（﹣
x+1）=﹣
x2+x，
∴S△PBC=
OB•DP=
×3×（﹣
x2+x）=﹣
x2+
x．
又∵S△PBC=1，
∴﹣
x2+
x=1，整理得：x2
3x
﹣
+2=0，解得：x=1 或x=2，
∴点P 的坐标为（1，
）或（2，1）．
（3）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1
∴∠BAC=45°．
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q 为△ABC 外接圆与抛物线对称轴在x 轴下方的交点．
设△ABC 外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．
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设⊙M 的半径为x，则Rt△CMB 中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解
得：x=
（负值已舍去），
∵AC 的垂直平分线的为直线y=
x
﹣，AB 的垂直平分线为直线x=1，
∴点M 为直线y=
x
﹣与x=1 的交点，即M（1，﹣1），
∴Q 的坐标为（1，﹣1﹣
）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M 的坐标以及⊙M 的半径
的长度是解题的关键．
22．（13 分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直
角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：
如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=
AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB 边上中线CE，由于CE=
AB，易得结论：①△ACE 为等边三角
形；②BE 与CE 之间的数量关系为
BE=CE
．
（2）如图2，点D 是边CB 上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E 在∠ACB 的
内部，连接BE．试探究线段BE 与DE 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D 为边CB 延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE 与DE 之
间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论
BE=DE
．
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣
，1），点B 是x
轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等边△ABC，当C 点在第一象限内，且B（2，0）
时，求C 点的坐标．
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【分析】探究结论：（1）只要证明△ACE 是等边三角形即可解决问题；
（2）如图2 中，结论：ED=EB．想办法证明EP 垂直平分线段AB 即可解决问题；
（3）结论不变，证明方法类似；
拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程
即可解决问题；
【解答】解：探究结论（1）如图1 中，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵AC=
AB=AE=EB，
∴△ACE 是等边三角形，
∴EC=AE=EB，
故答案为EC=EB．
（2）如图2 中，结论：ED=EB．
理由：连接PE．
∵△ACP，△ADE 都是等边三角形，
∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，
∴∠CAD=∠PAE，
∴△CAD≌△PAE，
∴∠ACD=∠APE=90°，
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∴EP⊥AB，∵PA=PB，
∴EA=EB，∵DE=AE，
∴ED=EB．
（3）当点D 为边CB 延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，
故答案为ED=EB．
拓展应用：如图3 中，作AH⊥x 轴于H，CF⊥OB 于F，连接OA．
∵A（﹣
，1），
∴∠AOH=30°，
由（2）
可知，CO=CB，
∵CF⊥OB，
∴OF=FB=1，
∴可以假设C（1，n），
∵OC=BC=AB，
∴1+n2=1+（
+2）2，
∴n=2+
，
∴C（1，2+
）．
【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和
性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
第25页（共25页）
