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2018 年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学一模试卷
一、选择题（每题3 分，共30 分）
1．（3 分）比0 小1 的有理数是（ ）
A．﹣1
B．1
C．0
D．2
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2＝m3
B．3m2﹣2m2＝m2
C．（3m2）3＝9m6
D．
m•2m2＝m2
3．（3 分）如图，AB∥CD，射线AE 交CD 于点F，若∠1＝115°，则∠2 的度数是（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
4．（3 分）中国企业2016 年已经在“一带一路”沿线国家建立了56 个经贸合作区，直接为东
道国增加了180 000 个就业岗位．将180 000 用科学记数法表示应为（ ）
A．18×104
B．1.8×105
C．1.8×106
D．18×105
5．（3 分）我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：4，6，6，5，7，6，8（单位：℃），这
组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．7，6
B．6，5
C．5，6
D．6，6
6．（3 分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200 元，
按标价的五折销售，仍可获利20 元，则这件商品的进价为（ ）
A．120 元
B．100 元
C．80 元
D．60 元
7．（3 分）如图，已知：在⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC 的度数为（ ）
A．70°
B．45°
C．35°
D．30°
8．（3 分）若等腰三角形中相等的两边的长为10cm，第三边长为16cm，则第三边的高为
（ ）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
9．（3 分）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π+1200
B．160π+1700
C．3200π+1200
D．800π+3000
10．（3 分）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]
的函数的一些结论：①当m＝3 时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1 时，函
数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当m＜0 时，函数在x＞
时，y 随x 的增大而减小；
④不论m 取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（每小题3 分，共18 分．）
11．（3 分）分解因式：4ax2﹣ay2＝ ．
12．（3 分）计算：|1﹣
|﹣
＝ ．
13．（3 分）如图，在△ABC 中，M、N 分别为AC，BC 的中点．若S△CMN＝1，则S 四边形ABNM＝
．
14．（3 分）某活动小组购买了4 个篮球和5 个足球，一共花费了435 元，其中篮球的单价比足
球的单价多3 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，
依题意，可列方程组为 ．
15．（3 分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°，BC＝15cm，则∠F＝ 度，EF＝
cm．
16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A、C 分别在x 轴的负半轴、y 轴的
正半轴上，点B 在第二象限．将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到
矩形ODEF，BC 与OD 相交于点M．若经过点M 的反比例函数y＝（x＜0）的图象交AB
于点N，S 矩形OABC＝32，tan∠DOE＝
，则BN 的长为 ．
二、解答题（共102 分）
17．（10 分）先化简，再求值：
﹣
÷
，其中x＝2．
18．（10 分）如图，已知∠MAN，点B 在射线AM 上．
（Ⅰ）尺规作图：
（i）在AN 上取一点C，使BC＝BA；
（ii）作∠MBC 的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BD∥AN．
19．（10 分）我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽
毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m 名学生
（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．
根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000 名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10 名学生喜欢羽毛球活动，学校打算
从小薇、小燕、小红、小梅这4 名女生中，选取2 名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用
列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、
小梅分别用字母A、B、C、D 代表）
20．（10 分）关于x 的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）若k＝0，求方程的解；
（2）求证：无论k 取任何实数时，方程总有两个实数根．
21．（10 分）热气球的探测器显示，从热气球底部a 处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋
楼底部俯角为60°，热气球a 处与地面距离为420 米，求这栋楼的高度．
22．（12 分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购
进这两种果树苗共45 棵，其中A 种树苗的单价为7 元/棵，购买B 种苗所需费用y（元）与
购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过35 棵，但不少于A 种树苗的数量，请设计购买
方案，使总费用最低，并求出最低费用．
23．（12 分）四边形ABCD 的对角线交于点E，有AE＝EC，BE＝ED，以AB 为直径的半圆过点
E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD 是菱形．
（2）如图2，若CD 的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB＝8．
①连结OE，求△OBE 的面积．
②求扇形AOE 的面积．
24．（14 分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两
边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，
则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为 ；
（2）如图，△ABC 中，AB＝AC，点D 在AC 上，且BD＝BC＝AD，求证：BD 是△ABC 的“內似
线”；
（3）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F 分别在边AC、BC 上，且EF 是△ABC 的
“內似线”，求EF 的长．
2018 年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3 分，共30 分）
1．（3 分）比0 小1 的有理数是（ ）
A．﹣1
B．1
C．0
D．2
【考点】1A：有理数的减法．菁优网版权所有
【分析】直接利用有理数的加减运算得出答案．
【解答】解：由题意可得：0﹣1＝﹣1，
故比0 小1 的有理数是：﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2＝m3
B．3m2﹣2m2＝m2
C．（3m2）3＝9m6
D．
m•2m2＝m2
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；49：单项式乘单项式．
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【分析】分别利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则、单项式
乘以单项式运算法则分别分析得出答案．
【解答】解：A、m6÷m2＝m4，故此选项错误；
B、3m2﹣2m2＝m2，正确；
C、（3m2）3＝27m6，故此选项错误；
D、
m•2m2＝m3，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项、积的乘方运算、单项式乘以单
项式等知识，熟练应用相关运算法则是解题关键．
3．（3 分）如图，AB∥CD，射线AE 交CD 于点F，若∠1＝115°，则∠2 的度数是（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2
的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠AFD＝180°，
∵∠1＝115°，
∴∠AFD＝65°，
∵∠2 和∠AFD 是对顶角，
∴∠2＝∠AFD＝65°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
4．（3 分）中国企业2016 年已经在“一带一路”沿线国家建立了56 个经贸合作区，直接为东
道国增加了180 000 个就业岗位．将180 000 用科学记数法表示应为（ ）
A．18×104
B．1.8×105
C．1.8×106
D．18×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】17：推理填空题．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判
断即可．
【解答】解：180000＝1.8×105．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确
定a 与n 的值是解题的关键．
5．（3 分）我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：4，6，6，5，7，6，8（单位：℃），这
组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．7，6
B．6，5
C．5，6
D．6，6
【考点】W1：算术平均数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】根据众数定义确定众数；应用加权平均数计算这组数据的平均数．
【解答】解：平均数为：
＝6，
数据6 出现了3 次，最多，
故众数为6，
故选：D．
【点评】此题考查了加权平均数和众数的定义，属基础题，难度不大．
6．（3 分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200 元，
按标价的五折销售，仍可获利20 元，则这件商品的进价为（ ）
A．120 元
B．100 元
C．80 元
D．60 元
【考点】8A：一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设该商品的进价为x 元/件，根据“标价＝（进价+利润）÷折扣”即可列出关于x 的一
元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该商品的进价为x 元/件，
依题意得：（x+20）÷
＝200，
解得：x＝80．
∴该商品的进价为80 元/件．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+20）÷
＝200．本题属
于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
7．（3 分）如图，已知：在⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC 的度数为（ ）
A．70°
B．45°
C．35°
D．30°
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】55：几何图形．
【分析】先根据垂径定理得出
＝
，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOB＝70°，
∴
＝
，
∴∠ADC＝
∠AOB＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8．（3 分）若等腰三角形中相等的两边的长为10cm，第三边长为16cm，则第三边的高为
（ ）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理．菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出图形，然后由等腰三角形的性质，求得BD 的长，再利用勾股定理，
求得第三边的高．
【解答】解：如图，过点A 作AD⊥BC 于点D，
∵AB＝AC＝10cm，
∴BD＝CD＝
BC＝
×16＝8（cm），
∴AD＝
＝6（cm）．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解
是关键．
9．（3 分）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π+1200
B．160π+1700
C．3200π+1200
D．800π+3000
【考点】U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用
三视图中的数据，根据体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，
圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，
故该几何体的体积为：π×102×8+30×20×5＝800π+3000，
故选：D．
【点评】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数
据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键．
10．（3 分）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]
的函数的一些结论：①当m＝3 时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1 时，函
数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当m＜0 时，函数在x＞
时，y 随x 的增大而减小；
④不论m 取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x 轴的交点．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】①把m＝3 代入[m﹣1，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解
答即可；
②首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
③当X 大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y 随x 增大而减小正确；
④根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．
【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c 的特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]；
①当m＝3 时，y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，顶点坐标是（﹣1，﹣8）；此结论正确；
②当m＞1 时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝
，
|x2﹣x1|＝
＞3，所以当m＞1 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
③当m＜0 时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x＝﹣
，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，
因为当m＜0 时，﹣
＝﹣
＝﹣
﹣
＞﹣
，即对称轴在x＝﹣
右边，可
能大于
，所以在x＞
时，y 随x 的增大而减小，此结论错误，
④当x＝1 时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同
样的：当x＝﹣2 时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝﹣6，即对任意m，函数图象都经过一个
点（﹣2，﹣6），此结论正确．
根据上面的分析，①②④是正确的．
故选：C．
【点评】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，抛物线与x 轴的交点情况，两点间的距离公式，
以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是和点的坐标特征是解题
的关键．
二、填空题（每小题3 分，共18 分．）
11．（3 分）分解因式：4ax2﹣ay2＝
a （
2 x + y ）（
2 x ﹣
y ）
．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝a（4x2﹣y2）
＝a（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公
因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3 分）计算：|1﹣
|﹣
＝ ﹣
1 ﹣
．
【考点】2C：实数的运算．菁优网版权所有
【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而合并同类二次根式即可．
【解答】解：|1﹣
|﹣
＝
﹣1﹣2
＝﹣1﹣
．
故答案为：﹣1﹣
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
13．（3 分）如图，在△ABC 中，M、N 分别为AC，BC 的中点．若S△CMN＝1，则S 四边形ABNM＝
3
．
【考点】KX：三角形中位线定理；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】证明MN 是△ABC 的中位线，得出MN∥AB，且MN＝
AB，证出△CMN∽△CAB，根
据面积比等于相似比平方求出△CMN 与△CAB 的面积比，继而可得出△CMN 的面积与
四边形ABNM 的面积比．最后求出结论．
【解答】解：∵M，N 分别是边AC，BC 的中点，
∴MN 是△ABC 的中位线，
∴MN∥AB，且MN＝
AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴
＝（
）2＝
，
∴
＝
，
∴S 四边形ABNM＝3S△CMN＝3×1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定
理，证明三角形相似是解决问题的关键．
14．（3 分）某活动小组购买了4 个篮球和5 个足球，一共花费了435 元，其中篮球的单价比足
球的单价多3 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，
依题意，可列方程组为
．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】根据题意可得等量关系：①4 个篮球的花费+5 个足球的花费＝435 元，②篮球的单
价﹣足球的单价＝3 元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，由题意得：
，
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目
中的等量关系．
15．（3 分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°，BC＝15cm，则∠F＝
61
度，EF＝
15
cm．
【考点】KA：全等三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据全等三角形的性质即可求出推出各个边和角的量，做题时要找准对应边、角．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝15cm，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∠C＝∠F＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣52°﹣67°＝61°．
故填61，15．
【点评】本题考查了全等三角形的性质；做题时只要找对各个对应边和角，就能得到答案，也
是正确解答本题的关键．
16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A、C 分别在x 轴的负半轴、y 轴的
正半轴上，点B 在第二象限．将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到
矩形ODEF，BC 与OD 相交于点M．若经过点M 的反比例函数y＝（x＜0）的图象交AB
于点N，S 矩形OABC＝32，tan∠DOE＝
，则BN 的长为
3
．
【考点】G5：反比例函数系数k 的几何意义；R7：坐标与图形变化﹣旋转；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用矩形的面积公式得到AB•BC＝32，再根据旋转的性质得AB＝DE，OD＝OA，接
着利用正切的定义得到tan∠DOE＝
＝
，所以DE•2DE＝32，解得DE＝4，于是得到
AB＝4，OA＝8，同样在Rt△OCM 中利用正切定义得到MC＝2，则M（﹣2，4），易得反比
例函数解析式为y＝﹣
，然后确定N 点坐标，最后计算BN 的长．
【解答】解：∵S 矩形OABC＝32，
∴AB•BC＝32，
∵矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到矩形ODEF，
∴AB＝DE，OD＝OA，
在Rt△ODE 中，tan∠DOE＝
＝
，即OD＝2DE，
∴DE•2DE＝32，解得DE＝4，
∴AB＝4，OA＝8，
在Rt△OCM 中，∵tan∠COM＝
＝
，
而OC＝AB＝4，
∴MC＝2，
∴M（﹣2，4），
把M（﹣2，4）代入y＝
得k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数解析式为y＝﹣
，
当x＝﹣8 时，y＝﹣
＝1，则N（﹣8，1），
∴BN＝4﹣1＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性
质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查
了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形．
二、解答题（共102 分）
17．（10 分）先化简，再求值：
﹣
÷
，其中x＝2．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；513：分式．
【分析】原式先计算除法运算，再计算减法运算得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
﹣
•（x+1）＝
﹣
＝
，
当x＝2 时，原式＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10 分）如图，已知∠MAN，点B 在射线AM 上．
（Ⅰ）尺规作图：
（i）在AN 上取一点C，使BC＝BA；
（ii）作∠MBC 的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BD∥AN．
【考点】J9：平行线的判定；N2：作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】13：作图题．
【分析】（Ⅰ）（i）以B 点为圆心，BA 为半径画弧交AN 于C 点；
（ii）利用基本作图作BD 平分∠MBC；
（Ⅱ）先利用等腰三角形的性质得∠A＝∠BCA，再利用角平分线的定义得到∠MBD＝
∠CBD，然后根据三角形外角性质可得∠MBD＝∠A，最后利用平行线的判定得到结论．
【解答】（Ⅰ）解：（i）如图，点C 为所作；
（ii）如图，BD 为所作；
（Ⅱ）证明：∵AB＝AC，
∴∠A＝∠BCA，
∵BD 平分∠MBC，
∴∠MBD＝∠CBD，
∵∠MBC＝∠A+∠BCA，
即∠MBD+∠CBD＝∠A+∠BCA，
∴∠MBD＝∠A，
∴BD∥AN．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个
角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂
线）．
19．（10 分）我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽
毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m 名学生
（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．
根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m＝
100
，n＝
5
．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000 名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10 名学生喜欢羽毛球活动，学校打算
从小薇、小燕、小红、小梅这4 名女生中，选取2 名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用
列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、
小梅分别用字母A、B、C、D 代表）
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）篮球30 人占30%，可得总人数，由此可以计算出n；
（2）求出足球人数＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35 人，即可解决问题；
（3）用样本估计总体的思想即可解决问题．
（4）画出树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意m＝30÷30%＝100，排球占
＝5%，
∴n＝5，
故答案为100，5．
（2）足球＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35 人，
条形图如图所示，
（3）若全校共有2000 名学生，该校约有2000×
＝400 名学生喜爱打乒乓球．
（4）画树状图得：
∵一共有12 种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（B、C 两人进行比赛）＝
＝
．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
20．（10 分）关于x 的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）若k＝0，求方程的解；
（2）求证：无论k 取任何实数时，方程总有两个实数根．
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；523：一元二次方程及应用．
【分析】（1）将k＝0 代入方程，因式分解法求解可得；
（2）计算出根的判别式的值即可判断．
【解答】解：（1）当k＝0 时，方程为x2﹣3x+2＝0，
则（x﹣1）（x﹣2）＝0，
所以x﹣1＝0 或x﹣2＝0，
解得：x＝1 或x＝2；
（2）∵△＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）
＝k2+6k+9﹣8k﹣8
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有2 个实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，
方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实
数根．
21．（10 分）热气球的探测器显示，从热气球底部a 处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋
楼底部俯角为60°，热气球a 处与地面距离为420 米，求这栋楼的高度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】过A 作AE⊥BC，交CB 的延长线于点E，先解Rt△ACD，求出CD 的长，则AE＝CD，
再解Rt△ABE，求出BE 的长，然后根据BC＝AD﹣BE 即可得到这栋楼的高度．
【解答】解：过A 作AE⊥BC，交CB 的延长线于点E，
在Rt△ACD 中，
∵∠CAD＝30°，AD＝420 米，
∴CD＝AD•tan30°＝420×
＝140
（米），
∴AE＝CD＝140
米．
在Rt△ABE 中，
∵∠BAE＝30°，AE＝140
米，
∴BE＝AE•tan30°＝140
×
＝140（米），
∴BC＝AD﹣BE＝420﹣140＝280（米），
答：这栋楼的高度为280 米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是
利用作高线转化为直角三角形进行计算．
22．（12 分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购
进这两种果树苗共45 棵，其中A 种树苗的单价为7 元/棵，购买B 种苗所需费用y（元）与
购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过35 棵，但不少于A 种树苗的数量，请设计购买
方案，使总费用最低，并求出最低费用．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据函数图象找出点的坐标，结合点的坐标分段利用待定系数法求出函数解析
式即可；
（2）根据B 种苗的数量不超过35 棵，但不少于A 种苗的数量可得出关于x 的一元一次不等式
组，解不等式组求出x 的取值范围，再根据“所需费用为W＝A 种树苗的费用+B 种树苗的
费用”可得出W 关于x 的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y＝kx+b，
当0≤x≤20 时，把（0，0），（20，160）代入y＝kx+b 中，
得：
，解得：
，
此时y 与x 的函数关系式为y＝8x；
当20≤x 时，把（20，160），（40，288）代入y＝kx+b 中，
得：
，解得：
，
此时y 与x 的函数关系式为y＝6.4x+32．
综上可知：y 与x 的函数关系式为y＝
．
（2）∵B 种苗的数量不超过35 棵，但不少于A 种苗的数量，
∴
，
∴22.5≤x≤35，
设总费用为W 元，则W＝6.4x+32+7（45﹣x）＝﹣0.6x+347，
∵k＝﹣0.6，
∴W 随x 的增大而减小，
∴当x＝35 时，W 总费用最低，W 最低＝﹣0.6×35+347＝326（元）．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次不等式组，解
题的关键是：（1）分段，利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据数量关系找出W 关于x
的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的
坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．
23．（12 分）四边形ABCD 的对角线交于点E，有AE＝EC，BE＝ED，以AB 为直径的半圆过点
E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD 是菱形．
（2）如图2，若CD 的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB＝8．
①连结OE，求△OBE 的面积．
②求扇形AOE 的面积．
【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD 是平行四边
形，进而利用菱形的判定方法得出答案；
（2）①首先求出△ABD 的面积进而得出S△OBE＝
S△ABD；
②首先求出扇形AOE 的圆心角，进而利用扇形面积求出答案．
【解答】（1）证明：∵AE＝EC，BE＝ED，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB 为直径，且过点E，
∴∠AEB＝90°，即AC⊥BD，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是菱形；
（2）解：①连结OF，
∵DC 的延长线于半圆相切于点F，
∴OF⊥CF，
∵FC∥AB，
∴OF 即为△ABD 中AB 边上的高，
∴S△ABD＝
AB×OF＝
×8×4＝16，
∵点O 是AB 中点，点E 是BD 的中点，
∴S△OBE＝
S△ABD＝4；
②过点D 作DH⊥AB 于点H，
∵AB∥CD，OF⊥CF，
∴FO⊥AB，
∴∠F＝∠FOB＝∠DHO＝90°，
∴四边形OHDF 为矩形，即DH＝OF＝4，
∵在Rt△DAH 中，sin∠DAB＝
＝
，
∴∠DAH＝30°，
∵D 点O，E 分别为AB，BD 中点，
∴OE∥AD，
∴∠EOB＝∠DAH＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOB＝150°，
∴S 扇形AOE＝
＝
π．
【点评】此题主要考查了圆的综合以及菱形、矩形的判定方法、扇形面积求法等知识，正确掌
握菱形的判定与性质是解题关键．
24．（14 分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两
边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，
则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为
3
；
（2）如图，△ABC 中，AB＝AC，点D 在AC 上，且BD＝BC＝AD，求证：BD 是△ABC 的“內似
线”；
（3）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F 分别在边AC、BC 上，且EF 是△ABC 的
“內似线”，求EF 的长．
【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，证出△BCD∽△ABC，再
由三角形的外角性质证出BD 平分∠ABC 即可；
（3）分两种情况：①当
＝
＝
时，EF∥AB，由勾股定理求出AB＝
＝5，作
DN⊥BC 于N，则DN∥AC，DN 是Rt△ABC 的内切圆半径，求出DN＝（AC+BC﹣AB）＝
1，由几何平分线定理得出
＝
，求出CE＝
，证明△CEF∽△CAB，得出对应边
成比例求出EF＝
；
②当
＝
＝
时，同理得：EF＝
即可．
【解答】（1）解：等边三角形“內似线”的条数为3 条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1 所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH 是等边三角形ABC 的內似线”；
故答案为：3；
（2）证明：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，
∴△BCD∽△ABC，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD 平分∠ABC，
即BD 过△ABC 的内心，
∴BD 是△ABC 的“內似线”；
（3）解：设D 是△ABC 的内心，连接CD，
则CD 平分∠ACB，
∵EF 是△ABC 的“內似线”，
∴△CEF 与△ABC 相似；
分两种情况：①当
＝
＝
时，EF∥AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝
＝5，
作DN⊥BC 于N，如图2 所示：
则DN∥AC，DN 是Rt△ABC 的内切圆半径，
∴DN＝
（AC+BC﹣AB）＝1，
∵CD 平分∠ACB，
∴
＝
，
∵DN∥AC，
∴
＝
，即
，
∴CE＝
，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴
，即
，
解得：EF＝
；
②当
＝
＝
时，同理得：EF＝
；
综上所述，EF 的长为
．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、
直角三角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度．
