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13.4 最短路径问题
一、单选题
1．如图，在
中，点
、
、
的坐标分别为
、
和
，则当
的周长最小时，
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．如图，
是等边三角形，
是
边上的高，E 是
的中点，P 是
上的一个动点，当
与
的和最小时，
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与
PE 的和最小时，∠ACP 的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4．在
中，
，
，
于
点，且
，若
点在边
上移动，则
的最小值是（ ）
A．4.5
B．4.6
C．4.7
D．4.8
5．如图，在锐角△ABC 中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC 的平分线交BC 于点D，点M，N 分别是
AD 和AB 上的动点，则BM＋MN 的最小值是（ ）
A．4
B．
C．5
D．6
6．已知点A，B 是两个居民区的位置，现在准备在墙l 边上建立一个垃圾站点P，如图是4 位设计师给出
的规划图，其中PA＋PB 距离最短的是（）
A．
B．
C．
D．
7．如图，直线m 表示一条河，M，N 表示两个村庄，欲在m 上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，
现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，以AC 为底边在△ABC 外作等腰△ACD，过点D 作∠ADC 的平分
线分别交AB，AC 于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC 的周长为30，点P 是直线DE 上的一个动点，
则△PBC 周长的最小值为（ ）
A．15
B．17
C．18
D．20
二、填空题
9．如图，在锐角
中，
，边
上有一定点
分别是
和
边上的动点，
当
的周长最小时，
的度数是_________．
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，6），点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线
AB 的右侧作等边三角形ABC．若点P 为OA 的中点，连接PC，则PC 的长的最小值为_____．
11．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD＝1．
（1）△ABC 的周长等于_____；
（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，
请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P 和点Q 的位置
是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
12．如图，等腰△ABC 底边BC 的长为6cm，面积是24cm2，腰AB 的垂直平分线MN 交AB 于点M，交AC
于点N，若D 为BC 边上的中点，E 为线段MN 上一动点，则△BDE 的周长最小值为____cm．
13．如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=6，△ABC 面积为12，AD⊥BC 于点D，直线EF 垂直平分AB 交AB
于点E，交BC 于点F，P 为直线EF 上一动点，则△PBD 的周长的最小值为____________．
14．如下图，
，在
、
上分别找一点M、N，当
周长
最小时，
的度数是_____________．
三、解答题
15．如图，小明在A 处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B 处．
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l 上画出喝水处点P 的位置；
（2）在直线l 上任取一点Q（点Q 不与点P 重合），连接
，试说明
．
16．如图，BA、BC 是两条公路，在两条公路夹角内部的点P 处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，
并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如
何选址？
17．如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（4，1），B（3，4），C（1，2）．
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标；
（2）若点P 在x 轴上，且满足PA＋PC1最小，求点P 的坐标及PA＋PC1的最小值．
18．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1 的正方形网格中，已知A（−4，5），B（﹣3，1），C（−2，
3）．
（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A1B1C1，其中点B1的坐标是________；
（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B1CM 周长最小时的点M．
19．如图，在平面直角坐标系中，
，
，
．
（1）作出
关于
轴的对称图形
；
（2）写出点
，
，
的坐标；
（3）在
轴上找一点
，使
最短（不写作法）．
20．如图，在等腰三角形ABC 中，底边
，
的面积是
，腰AB 的垂直平分线EF 分
别交AB、AC 于点E、F，点D 为BC 边上的中点，M 为EF 上的动点．
（1）当
周长的最小时，请在图中作出满足条件的
（保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）
周长的最小值是___________．
21．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC 关于x 轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）若小正方形的边长为1，试求△ABC 的面积．
（3）在x 轴上找一点P，使PA+PB 的值最小，请画出点P 的位置．
22．在平面直角坐标系中，B(2，2
)，以OB 为一边作等边△OAB（点A 在x 轴正半轴上）．
（1）若点C 是y 轴上任意一点，连接AC，在直线AC 上方以AC 为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：AB BD
⊥
；
②若△ABD 是等腰三角形，求点C 的坐标；
（2）如图2，若FB 是OA 边上的中线，点M 是FB 一动点，点N 是OB 一动点，且OM+NM 的值最小，
请在图2 中画出点M、N 的位置，并求出OM+NM 的最小值．
