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2018 年广西贺州市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分：给出的四个迭项中，只有
一项是符合题目要求的。）
1．（3.00 分）在﹣1、1、
、2 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1C．
D．2
2．（3.00 分）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1 和∠2
B．∠1 和∠3
C．∠2 和∠4
D．∠2 和∠5
3．（3.00 分）4 的平方根是（ ）
A．2B．﹣2 C．±2 D．16
4．（3.00 分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3.00 分）若一组数据：1、2、x、4、5 的众数为5，则这组数据的中位数是（ ）
A．1B．2C．4D．5
6．（3.00 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4
7．（3.00 分）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2
4xy
﹣
+9y2=（2x
3y
﹣
）2
C．2x2
8y
﹣
2=2（x+4y）
（x
4y
﹣
）D．x（x
y
﹣）+y（y
x
﹣）=（x
y
﹣）（x+y）
8．（3.00 分）如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体
的侧面积为（ ）
A．9π
B．10π C．11π D．12π
9．（3.00 分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b 是常数，且
k≠0）与反比例函数y2= （c 是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，
3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜2
B．x＜﹣3 或x＞2
C．﹣3＜x＜0 或x＞2
D．0＜x＜2
10．（3.00 分）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E 是边BC 的中点，
AD=ED=3，则BC 的长为（ ）
A．3
B．3
C．6D．6
11．（3.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H，已知sin∠CDB=
，
BD=5，则AH 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3.00 分）如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形
ACEF，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n 个正方形的面
积为（ ）
A．（
）n
1
﹣B．2n
1
﹣C．（
）n D．2n
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分；请把答案填在答題卡对应的
位置上，在试卷上作答无效。）
13．（3.00 分）要使二次根式
有意义，则x 的取值范围是 ．
14．（3.00 分）医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法
表示为 mm．
15．（3.00 分）从﹣1、0、
、π、5.1、7 这6 个数中随机抽取一个数，抽到无理数的
概率是 ．
16．（3.00 分）如图，将Rt△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接
BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A 的度数是 ．
17．（3.00 分）某种商品每件进价为20 元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元
（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30
x
﹣）件，若使利润最大，则每件商品的
售价应为 元．
18．（3.00 分）如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE=8，过点E 作
EF∥BC，分别交BD、CD 于G、F 两点．若点P、Q 分别为DG、CE 的中点，则PQ 的长
为 ．
三、解答题：（本大题共8 题，满分66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。在试卷上作答无效。)
19．（6.00 分）计算：（﹣1）2018+|﹣
|﹣（
﹣π）0
2sin60°
﹣
．
20．（6.00 分）解分式方程：
+1=
21．（8.00 分）某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间，在本校随机抽取了若
干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表
信息解答下列问题：
时间（小时）
频数（人
数）
频率
2≤t＜3
4
0.1
3≤t＜4
10
0.25
4≤t＜5
a
0.15
5≤t＜6
8
b
6≤t＜7
12
0.3
合计
40
1
（1）表中的a= ，b= ；
（2）请将频数分布直方图补全；
（3）若该校共有1200 名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4 小
时的学生约为多少名？
22．（8.00 分）如图，一艘游轮在A 处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以
20
海里/时的速度向正东方向航行2 小时到达C 处，此时测得灯塔B 在C 处北
偏东15°的方向上，求A 处与灯塔B 相距多少海里？（结果精确到1 海里，参考数
据：
≈1.41，
≈1.73）
23．（8.00 分）某自行车经销商计划投入7.1 万元购进100 辆A 型和30 辆B 型自
行车，其中B 型车单价是A 型车单价的6 倍少60 元．
（1）求A、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86 万元，但购进这批
自行年的总数不变，那么至多能购进B 型车多少辆？
24．（8.00 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，O、D 分别是边AC、AB 的中点，过点C
作CE∥AB 交DO 的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD 是菱形；
（2）若四边形AECD 的面积为24，tan∠BAC=
，求BC 的长．
25．（10.00 分）如图，AB 是⊙O 的弦，过AB 的中点E 作EC⊥OA，垂足为C，过点B
作直线BD 交CE 的延长线于点D，使得DB=DE．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若AB=12，DB=5，求△AOB 的面积．
26．（12.00 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于A、B 两点
（A 在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y 轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣
1，4）．
（1）求A、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点D 作直线DE∥y 轴，交x 轴于点E，点P 是抛物线上B、D 两点间的一个动
点（点P 不与B、D 两点重合），PA、PB 与直线DE 分别交于点F、G，当点P 运动时，
EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
2018 年广西贺州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分：给出的四个迭项中，只有
一项是符合题目要求的。）
1．（3.00 分）在﹣1、1、
、2 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1C．
D．2
【分析】根据实数大小比较的法则比较即可．
【解答】解：在实数﹣1，1，
，2 中，最小的数是﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都
小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（3.00 分）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1 和∠2
B．∠1 和∠3
C．∠2 和∠4
D．∠2 和∠5
【分析】直接利用对顶角的定义得出答案．
【解答】解：互为对顶角的是：∠1 和∠2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
3．（3.00 分）4 的平方根是（ ）
A．2B．﹣2 C．±2 D．16
【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x
就是a 的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2=4，
∴4 的平方根是±2．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是0；负数没有平方根．
4．（3.00 分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称
中心，图形旋转180°后与原图重合．
5．（3.00 分）若一组数据：1、2、x、4、5 的众数为5，则这组数据的中位数是（ ）
A．1B．2C．4D．5
【分析】由众数的定义得出x=5，再将数据重新排列后由中位数的定义可得答案．
【解答】解：∵数据1、2、x、4、5 的众数为5，
∴x=5，
将数据从小到大重新排列为1、2、4、5、5，
所以中位数为4，
故选：C．
【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，求出这组数据的中
位数．
6．（3.00 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4
【分析】根据合并同类项法则，单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，
对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a2=a4，错误；
B、a2+a2=2a2，错误；
C、（a3）2=a6，正确；
D、a8÷a2=a6，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的除法，单项式的乘法，合并同类项法则，是基础题，熟记
运算法则是解题的关键．
7．（3.00 分）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2
4xy
﹣
+9y2=（2x
3y
﹣
）2
C．2x2
8y
﹣
2=2（x+4y）
（x
4y
﹣
）D．x（x
y
﹣）+y（y
x
﹣）=（x
y
﹣）（x+y）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2
4xy
﹣
+9y2=无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2
8y
﹣
2=2（x+2y）（x
2y
﹣
），故此选项错误；
D、x（x
y
﹣）+y（y
x
﹣）=（x
y
﹣）2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解
题关键．
8．（3.00 分）如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体
的侧面积为（ ）
A．9π
B．10π C．11π D．12π
【分析】由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案．
【解答】解：由题意可得此几何体是圆锥，
底面圆的半径为：2，母线长为：5，
故这个几何体的侧面积为：π×2×5=10π．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确
得出几何体的形状是解题关键．
9．（3.00 分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b 是常数，且
k≠0）与反比例函数y2= （c 是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，
3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜2
B．x＜﹣3 或x＞2
C．﹣3＜x＜0 或x＞2
D．0＜x＜2
【分析】一次函数y1=kx+b 落在与反比例函数y2=
图象上方的部分对应的自变量
的取值范围即为所求．
【解答】解：∵一次函数y1=kx+b（k、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c 是常
数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0 或x＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的
关键．
10．（3.00 分）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E 是边BC 的中点，
AD=ED=3，则BC 的长为（ ）
A．3
B．3
C．6D．6
【分析】由题意得到三角形ADE 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE 的长，
再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC 即可．
【解答】解：∵AD=ED=3，AD⊥BC，
∴△ADE 为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE=
=3
，
∵Rt△ABC 中，E 为BC 的中点，
∴AE=
BC，
则BC=2AE=6
，
故选：D．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形，熟练掌握直
角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键．
11．（3.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H，已知sin∠CDB=
，
BD=5，则AH 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得
出DH=
=4，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH 中，由勾股定理得出
方程，解方程即可．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵sin∠CDB=
，BD=5，
∴BH=4，
∴DH=
=4，
设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH 中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x=
，
∴OH=
；
∴AH=OA+OH=
，
故选：B．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形
结合思想的应用．
12．（3.00 分）如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形
ACEF，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n 个正方形的面
积为（ ）
A．（
）n
1
﹣B．2n
1
﹣C．（
）n D．2n
【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探
究规律后，即可解决问题．
【解答】解：第一个正方形的面积为1=20，
第二个正方形的面积为（
）2=2=21，
第三个正方形的边长为22，
…
第n 个正方形的面积为2n
1
﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，考查了学生找规律的
能力，本题中找到Sn的规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分；请把答案填在答題卡对应的
位置上，在试卷上作答无效。）
13．（3.00 分）要使二次根式
有意义，则x 的取值范围是
x ≥
3
．
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．
【解答】解：二次根式
有意义，故x
3
﹣≥0，
则x 的取值范围是：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解
题关键．
14．（3.00 分）医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法
表示为
2.9
×
10
7
﹣
mm．
【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10
n
﹣，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
【解答】解：0.00000029=2.9×10
7
﹣，
故答案为：2.9×10
7
﹣．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10
n
﹣，其中1≤|a|
＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
15．（3.00 分）从﹣1、0、
、π、5.1、7 这6 个数中随机抽取一个数，抽到无理数的
概率是
．
【分析】在6 个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率．
【解答】解：∵在﹣1、0、
、π、5.1、7 这6 个数中无理数有
、π 这2 个，
∴抽到无理数的概率是
=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数
是解题的关键．
16．（3.00 分）如图，将Rt△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接
BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A 的度数是
65°
．
【分析】根据旋转的性质可得BC=B′C，然后判断出△BCB′是等腰直角三角形，根据
等腰直角三角形的性质可得∠CBB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和求出∠B′A′C，然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C．
【解答】解：∵Rt△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴BC=B′C，
∴△BCB′是等腰直角三角形，
∴∠CBB′=45°，
∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，
由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键
17．（3.00 分）某种商品每件进价为20 元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元
（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30
x
﹣）件，若使利润最大，则每件商品的
售价应为
25
元．
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每
件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【解答】解：设利润为w 元，
则w=（x
20
﹣
）（30
x
﹣）=﹣（x
25
﹣
）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25 时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实
际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
18．（3.00 分）如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE=8，过点E 作
EF∥BC，分别交BD、CD 于G、F 两点．若点P、Q 分别为DG、CE 的中点，则PQ 的长
为
2
．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以
求得PH 和QH 的长，然后根据勾股定理即可求得PQ 的长．
【解答】解：作QM⊥EF 于点M，作PN⊥EF 于点N，作QH⊥PN 交PN 的延长线于点
H，如右图所示，
∵正方形ABCD 的边长为12，BE=8，EF∥BC，点P、Q 分别为DG、CE 的中点，
∴DF=4，CF=8，EF=12，
∴MQ=4，PN=2，MF=6，
∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4，
∴△EGB∽△FGD，
∴
，
即
，
解得，FG=4，
∴FN=2，
∴MN=6
2=4
﹣
，
∴QH=4，
∵PH=PN+QM，
∴PH=6，
∴PQ=
=
，
故答案为：2
．
【点评】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、三角形相似，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题：（本大题共8 题，满分66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。在试卷上作答无效。)
19．（6.00 分）计算：（﹣1）2018+|﹣
|﹣（
﹣π）0
2sin60°
﹣
．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1+
1
2
﹣﹣×
=1+
1
﹣﹣
=0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6.00 分）解分式方程：
+1=
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4+x2
1=x
﹣
2
2x
﹣
+1，
解得：x=
1
﹣，
经检验x=
1
﹣是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（8.00 分）某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间，在本校随机抽取了若
干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表
信息解答下列问题：
时间（小时）
频数（人
数）
频率
2≤t＜3
4
0.1
3≤t＜4
10
0.25
4≤t＜5
a
0.15
5≤t＜6
8
b
6≤t＜7
12
0.3
合计
40
1
（1）表中的a=
6
，b=
0.2
；
（2）请将频数分布直方图补全；
（3）若该校共有1200 名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4 小
时的学生约为多少名？
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据b 的值画出直方图即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
【解答】解：解：（1）总人数=4÷0.1=40，
∴a=40×0.15=6，b=
=0.2；
故答案为6，0.2
（2）频数分布直方图如图所示：
（3）由题意得，估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4 小时的学生约为
1200×（0.15+0.2+0.3）=780 名．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．
22．（8.00 分）如图，一艘游轮在A 处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以
20
海里/时的速度向正东方向航行2 小时到达C 处，此时测得灯塔B 在C 处北
偏东15°的方向上，求A 处与灯塔B 相距多少海里？（结果精确到1 海里，参考数
据：
≈1.41，
≈1.73）
【分析】直接过点C 作CM⊥AB 求出AM，CM 的长，再利用锐角三角三角函数关系
得出BM 的长即可得出答案．
【解答】解：过点C 作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM 中，∠MAC=90°
45°=45°
﹣
，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20
×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，
∴∠BCF=90°
15°=75°
﹣
，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°
45°=30°
﹣
，
在Rt△BCM 中，tanB=tan30°=
，即
=
，
∴BM=40
，
∴AB=AM+BM=40+40
≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A 处与灯塔B 相距109 海里．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题关键．
23．（8.00 分）某自行车经销商计划投入7.1 万元购进100 辆A 型和30 辆B 型自
行车，其中B 型车单价是A 型车单价的6 倍少60 元．
（1）求A、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86 万元，但购进这批
自行年的总数不变，那么至多能购进B 型车多少辆？
【分析】（1）设A 型自行车的单价为x 元/辆，B 型自行车的单价为y 元/辆，根据总
价=单价×数量结合B 型车单价是A 型车单价的6 倍少60 元，即可得出关于x、y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B 型自行车m 辆，则购进A 型自行车（130
m
﹣
）辆，根据总价=单价×
数量结合投入购车的资金不超过5.86 万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，
解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A 型自行车的单价为x 元/辆，B 型自行车的单价为y 元/辆，
根据题意得：
，
解得：
．
答：A 型自行车的单价为260 元/辆，B 型自行车的单价为1500 元/辆．
（2）设购进B 型自行车m 辆，则购进A 型自行车（130
m
﹣）辆，
根据题意得：260（130
m
﹣
）+1500m≤58600，
解得：m≤20．
答：至多能购进B 型车20 辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的
关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，
正确列出一元一次不等式．
24．（8.00 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，O、D 分别是边AC、AB 的中点，过点C
作CE∥AB 交DO 的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD 是菱形；
（2）若四边形AECD 的面积为24，tan∠BAC=
，求BC 的长．
【分析】（1）由ASA 证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD=CE，证出四边形
AECD 是平行四边形，即可得出四边形AECD 是菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵点O 是AC 中点，
∴OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△AOD 和△COE 中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD=CE，
∵CE∥AB，
∴四边形AECD 是平行四边形，
又∵CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD 是菱形；
（2）由（1）知，四边形AECD 是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD 中，tan∠DAO=
，
设OD=3x，OA=4x，
则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：
，
解得：x=1，
∴OD=3，
∵O，D 分别是AC，AB 的中点，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴BC=2OD=6．
【点评】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性
质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．（10.00 分）如图，AB 是⊙O 的弦，过AB 的中点E 作EC⊥OA，垂足为C，过点B
作直线BD 交CE 的延长线于点D，使得DB=DE．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若AB=12，DB=5，求△AOB 的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得∠OBD 的度数，
从而可以证明结论成立；
（2）要求△AOB 的面积只要求出OE 的长即可，根据题目中的条件和三角形相似
的知识可以求得OE 的长，从而可以解答本题．
【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，
∴∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠DBE=90°，
∴∠OBD=90°，
∵OB 是圆的半径，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）过点D 作DF⊥AB 于点F，连接OE，
∵点E 是AB 的中点，AB=12，
∴AE=EB=6，OE⊥AB，
又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，
∴EF=BF=3，
∴DF=
=4，
∵∠AEC=∠DEF，
∴∠A=∠EDF，
∵OE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEO=∠DFE=90°，
∴△AEO∽△DFE，
∴
，
即
，得EO=4.5，
∴△AOB 的面积是：
=27．
【点评】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与
性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的
思想解答．
26．（12.00 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于A、B 两点
（A 在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y 轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣
1，4）．
（1）求A、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点D 作直线DE∥y 轴，交x 轴于点E，点P 是抛物线上B、D 两点间的一个动
点（点P 不与B、D 两点重合），PA、PB 与直线DE 分别交于点F、G，当点P 运动时，
EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据OA，OB 的长，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF 的长，根据整式的加减，可得答案．
【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于A、B 两点（A 在B 的左侧），且
OA=3，OB=1，得
A 点坐标（﹣3，0），B 点坐标（1，0）；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x
1
﹣），
把C 点坐标代入函数解析式，得
a（0+3）（0
1
﹣）=3，
解得a=
1
﹣，
抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x
1
﹣）=
x
﹣2
2x
﹣
+3；
（3）EF+EG=8（或EF+EG 是定值），理由如下：
过点P 作PQ∥y 轴交x 轴于Q，如图．
设P（t，﹣t2
2t
﹣
+3），
则PQ=
t
﹣2
2t
﹣
+3，AQ=3+t，QB=1
t
﹣，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴
=
，
∴EF=
=
=
×（﹣t2
2t
﹣
+3）=2（1
t
﹣）；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴
=
，
∴EG=
=
=2（t+3），
∴EF+EG=2（1
t
﹣）+2（t+3）=8．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用点的坐标表示方法；解
（2）的关键是利用待定系数法；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出EG，
EF 的长，又利用了整式的加减．
