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江苏省南京2018 年中考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共12 分，在每小题所给出的四个选中，恰有一项
是符合题目要求的）
1．（2018 年江苏省南京市）
的值等于（ ）
A．
B．﹣
C．±
D．
[来&源:z*zstep.co@~m%]
【分析】根据算术平方根解答即可．
【解答】解：
，
故选：A．
【点评】此题考查算术平方根，关键是熟记常见数的算术平方根．
2．（2018 年江苏省南京市）计算a3•（a3）
2的结果是（ ）
A．a8B．a9C．a11
D．a18[来%源@#^:中教网&]
【分析】根据幂的乘方，即可解答．
【解答】解：a3•（a3）
2=a9，
故选：B．
[来~源:中国教&育^出%版网#]
【点评】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方公式．
3．（2018 年江苏省南京市）下列无理数中，与4 最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
[www&.@^zzst%#ep.com]
【分析】直接利用估算无理数的大小方法得出最接近4 的无理数．
【解答】解：∵
=4，
∴与4 最接近的是：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近4 的无理数是解题关键．
[来@源:中教^网#&%]
4．（2018 年江苏省南京市）某排球队6 名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，
192，194．现用一名身高为186cm 的队员换下场上身高为192cm 的队员，与换人前相比，场
上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大
[来~@源^:中国教#*育出版网]
C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】解：原数据的平均数为
=188，
则原数据的方差为
×[（180
188
﹣
）
2+（184
188
﹣
）
2+（188
188
﹣
）
2+（190
188
﹣
）
2+（192﹣
188）
2+（194
188
﹣
）
2]=
，
新数据的平均数为
=187，
则新数据的方差为
×[（180
188
﹣
）
2+（184
188
﹣
）
2+（188
188
﹣
）
2+（190
188
﹣
）
2+（186﹣
188）
2+（194
188
﹣
）
2]=
，
所以平均数变小，方差变小，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式．
5．（2018 年江苏省南京市）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F 是AD 上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若
CE=a，BF=b，EF=c，则AD 的长为（ ）
A．a+c
B．b+c
C．a
b
﹣+c
D．a+b
c
﹣
【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b
c
﹣）=a+b﹣
c；
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，∵AB=CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF=CE=a，BF=DE=b，
∵EF=c，
∴AD=AF+DF=a+（b
c
﹣）=a+b
c
﹣，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属
于中考常考题型．
[www.zzst&e@#p.c^o%m]
6．（2018 年江苏省南京市）用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状
的结论：
①可能是锐角三角形；
②可能是直角三角形；
③可能是钝角三角形；
④可能是平行四边形．
其中所有正确结论的序号是（ ）
[来*源%:zzs#tep&@.com]
A．①②B．①④C．①②④
D．①②③④
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相
交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形．
[中国~教%^*育出&版网]
【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，而三角形
只能是锐角三角形，不能是直角三角形和钝角三角形．
故选：B．
[中^国教*~育&%出版网]
【点评】本题考查了正方体的截面，注意：正方体的截面的四种情况应熟记．
二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分，不需写出解答过程）
7．（2018 年江苏省南京市）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数： ﹣
1
．
【分析】根据绝对值的意义求解．
【解答】解：一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数0 或负数．
故答案为：﹣1
[来@源*:中教&%网^]
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=
a
﹣．也考查
了相反数．
8．（2018 年江苏省南京市）习近平同志在党的十九大报告中强调，生态文明建设功在当代，
利在千秋．55 年来，经过三代人的努力，河北塞罕坝林场有林地面积达到1120000 亩．用科学
记数法表示1120000 是
1.12
×
10
6
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：1120000=1.12×106，
故答案为：1.12×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
9．（2018 年江苏省南京市）若式子
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
x ≥
2
．
[www^~.&zzstep.co@m%]
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x
2
﹣≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根
式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2018 年江苏省南京市）计算
×
﹣
的结果是
．
【分析】先利用二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=
2
﹣
=3
2
﹣
=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根
式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根
式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．（2018 年江苏省南京市）已知反比例函数y=
的图象经过点（﹣3，﹣1），则k=
3
．
[w~ww.z#zs^te%p@.com]
【分析】根据反比例函数y=
的图象经过点（﹣3，﹣1），可以求得k 的值．
【解答】解：∵反比例函数y=
的图象经过点（﹣3，﹣1），
∴﹣1=
，
[来源:中*国教育出版^网%#~]
解得，k=3，
故答案为：3．
[来源:#*中教^%@网]
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例
函数的性质解答．
12．（2018 年江苏省南京市）设x1、x2是一元二次方程x2
mx
6=0
﹣
﹣
的两个根，且x1+x2=1，则
x1= ﹣
2
，x2=
3
．
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1 可得出m 的值，将其代入原方程，再利用因式分解
法解一元二次方程，即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2
mx
6=0
﹣
﹣
的两个根，且x1+x2=1，
∴m=1，
∴原方程为x2
x
6=0
﹣﹣
，即（x+2）（x
3
﹣）=0，
[来%源^#:&中教网@]
解得：x1=
2
﹣，x2=3．
故答案为：﹣2；3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系
求出m 的值是解题的关键．
13．（2018 年江苏省南京市）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（﹣1，2），作点A 关于y 轴
的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4 个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（
1
， ﹣
2
）．
【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质得出点A'坐标，再利用平移的性质得出答案．
【解答】解：∵点A 的坐标是（﹣1，2），作点A 关于y 轴的对称点，得到点A'，
∴A′（1，2），
[www.z@z^ste%~p.com#]
∵将点A'向下平移4 个单位，得到点A″，
∴点A″的坐标是：（1，﹣2）．
故答案为：1，﹣2．
【点评】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解
题关键．
[来#%源@:~中教网^]
14．（2018 年江苏省南京市）如图，在△ABC 中，用直尺和圆规作AB、AC 的垂直平分线，分别
交AB、AC 于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE=
5
cm．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE 是△ABC 的中位线，进而得出答案．
【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC 的垂直平分线，
∴D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=
BC=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE 是△ABC 的中位
线是解题关键．
15．（2018 年江苏省南京市）如图，五边形ABCDE 是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2=
72
°．
【分析】过B 点作BF∥l1，根据正五边形的性质可得∠ABC 的度数，再根据平行线的性质以及
等量关系可得∠1﹣∠2 的度数．
[来#~&*源:中教^网]
【解答】解：过B 点作BF∥l1，
∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠ABC=108°，
[来源:&^中国#教~育出版@网]
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠3=180°﹣∠1，∠4=∠2，
∴180°﹣∠1+∠2=∠ABC=108°，
∴∠1﹣∠2=72°．
故答案为：72．
【点评】考查了多边形内角与外角，平行线的性质，关键是熟练掌握正五边形的性质，以及添
加辅助线．
16．（2018 年江苏省南京市）如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=4，以CD 为直径作⊙O．将矩形
ABCD 绕点C
旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O 相切，切点为E，边CD′与⊙O 相交于点
F，则CF 的长为
4
．
【分析】连接OE，延长EO 交CD 于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、
AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H 和四边形EB′CG 都是矩形且OE=OH=OC=2.5，继
而求得CG=B′E=OH=
=
=2，根据垂径定理可得CF 的长．
【解答】解：连接OE，延长EO 交CD 于点G，作OH⊥B′C 于点H，
则∠OEB′=∠OHB′=90°，
∵矩形ABCD 绕点C 旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，
[来@源:中国教育*出#%版网&]
∴四边形OEB′H 和四边形EB′CG 都是矩形，OE=OH=OC=2.5，
∴B′H=OE=2.5，
∴CH=B′C
B′H=1.5
﹣
，
∴CG=B′E=OH=
=
=2，
∵四边形EB′CG 是矩形，
∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，
[来*源%:zzs#tep&@.com]
∴CF=2CG=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的
性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
三、解答题（本大题共11 小题，共8 8 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
[来源:中国教%*育出#^@版网]
17．（2018 年江苏省南京市）计算（m+2﹣
）÷
．
【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式=（
﹣
）÷
=
•
[来源:中国教育出版^@网&*~]
=2（m+3）
=2m+6．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
18．（2018 年江苏省南京市）如图，在数轴上，点A、B 分别表示数1、﹣2x+3．
[w@ww.zzste*p#.%co&m]
（1）求x 的取值范围；
（2）数轴上表示数﹣x+2 的点应落在
B
．
A．点A 的左边 B．线段AB 上 C．点B 的右边
【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可
得答案；
[来&源~:*zzstep.co@m%]
（2）根据不等式的性质，可得点在A 点的右边，根据作差法，可得点在B 点的左边．
[来源@:中%&教*网^]
【解答】解：（1）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
[中国*教育出%版~网&#]
2x
﹣
+3＞1，
解得x＜1；
（2）由x＜1，得
x
﹣＞﹣1．
x
﹣+2＞﹣1+2，
解得﹣x+2＞1．
数轴上表示数﹣x+2 的点在A 点的右边；
[来源*:中国&^教#育出版网~]
作差，得
2x
﹣
+3﹣（﹣x+2）=
x
﹣+1，
由x＜1，得
x
﹣＞﹣1，
x
﹣+1＞0，
2x
﹣
+3﹣（﹣x+2）＞0，
∴﹣2x+3＞﹣x+2，
数轴上表示数﹣x+2 的点在B 点的左边．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式，解（1）的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左
边的大得出不等式；解（2）的关键是利用不等式的性质
19．（2018 年江苏省南京市）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105 元，几天
后，遇上这种大米8 折出售，她用140 元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价
是多少？
【分析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据两次一共购买了40kg 列出方程，求解即可．
【解答】解：设这种大米的原价是每千克x 元，
根据题意，得
+
=40，
[来源:@^zz*st~ep&.com]
解得：x=7．
经检验，x=7 是原方程的解．
[来源&:中教网@*#^]
答：这种大米的原价是每千克7 元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20．（2018 年江苏省南京市）如图，在四边形ABCD 中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O 是四边形ABCD
内一点，且OA=OB=OD．求证：
[来~源:中国教&育^出版%网#]
（1）∠BOD=∠C；
[www.z&^zs#tep.c*o~m]
（2）四边形OBCD 是菱形．
【分析】（1）延长AO 到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；
（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）
[来源:#%中^&教*网]
延长OA 到E，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
又∠BOE=∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE=2∠BAO，
同理∠DOE=2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）
即∠BOD=2∠BAD，
又∠C=2∠BAD，
∴∠BOD=∠C；
（2）连接OC，
∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC=
∠BOD，∠BCO=
∠BCD，
又∠BOD=∠BCD，
∴∠BOC=∠BCO，
[来源:zzs~tep.^c%&#om]
∴BO=BC，
又OB=OD，BC=CD，
∴OB=BC=CD=DO，
∴四边形OBCD 是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答．
[来源%&^@:中#教网]
21．（2018 年江苏省南京市）随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元）：
[来^源~:&中#*教网]
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
540
680
760
640
960
2200
1780
7560
（1）求该店本周的日平均营业额；
（2）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？
如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月（按30 天计算）的营
业总额．
【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；
（2）从极端值对平均数的影响作出判断，可用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业
额．
【解答】解：（1）该店本周的日平均营业额为7560÷7=1080 元；
[来源:中~@国教育&出*%版网]
（2）因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，
所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，
故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理，
方案：用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，
当月的营业额为30×1080=32400 元．
【点评】本题主要考查算术平均数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与
样本估计总体思想的运用．
22．
（2018 年江苏省南京市）甲口袋中有2 个白球、1 个红球，乙口袋中有1 个白球、1 个红球，
这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1 个球．
（1）求摸出的2 个球都是白球的概率．
（2）下列事件中，概率最大的是
D
．
A．摸出的2 个球颜色相同 B．摸出的2 个球颜色不相同
C．摸出的2 个球中至少有1 个红球 D．摸出的2 个球中至少有1 个白球
【分析】（1）先画出树状图展示所有6 种等可能的结果数，再找出2 个球都是白球所占结果数，
然后根据概率公式求解；
（2）根据概率公式分别计算出每种情况的概率，据此即可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图知，共有6 种等可能结果，其中摸出的2 个球都是白球的有2 种结果，
所以摸出的2 个球都是白球的概率为
=
；
（2）∵摸出的2 个球颜色相同概率为
=
、摸出的2 个球颜色不相同的概率为
=
，
[来源:#*~zzste@p.^com]
摸出的2 个球中至少有1 个红球的概率为
=
、摸出的2 个球中至少有1 个白球的概率为
，
∴概率最大的是摸出的2 个球中至少有1 个白球，
故选：D．
[ww^w.#&zzstep*.@com]
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还
要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
[来^#源:@中%&教网]
23．（2018 年江苏省南京市）如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD，标杆的
高是2m，在DB 上选取观测点E、F，从E 测得标杆和建筑物的顶部C、A 的仰角分别为58°、
45°．从F 测得C、A 的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB 的高度（精确到0.1m）．（参考数据：
tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）
【分析】在△CED 中，得出DE，在△CFD 中，得出DF，进而得出EF，列出方程即可得出建筑物
AB 的高度；
【解答】解：在Rt△CED 中，∠CED=58°，
∵tan58°=
，
∴DE=
，
在Rt△CFD 中，∠CFD=22°，
∵tan22°=
，
∴DF=
，
[中*@国&教%育出版~网]
∴EF=DF
DE=
﹣
，
同理：EF=BE
BF=
﹣
，
∴
，
[来源:zz%ste*p&.co#m~]
解得：AB≈5.9（米），
答：建筑物AB 的高度约为5.9 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问
题．
24．（2018 年江苏省南京市）已知二次函数y=2（x
1
﹣）（x
m
3
﹣﹣）（m 为常数）．
（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；
（2）当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？
【分析】（1）代入y=0 求出x 的值，分m+3=1 和m+3≠1 两种情况考虑方程解的情况，进而即
可证出：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y 轴交点的纵坐标，令其大于0
即可求出结论．
[中国教育&出*^@版网%]
【解答】（1）证明：当y=0 时，2（x
1
﹣）（x
m
3
﹣﹣）=0，
解得：x1=1，x2=m+3．
当m+3=1，即m=
2
﹣时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠﹣2 时，方程有两个不相等的实数根．
∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；
（2）解：当x=0 时，y=2（x
1
﹣）（x
m
3
﹣﹣）=2m+6，
∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6＞0，即m＞﹣3 时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不
等式，解题的关键是：（1）由方程2（x
1
﹣）（x
m
3
﹣﹣）=0 有解证出该函数的图象与x 轴总有
公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y 轴交点的纵坐标．
25．（2018 年江苏省南京市）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好
在第16min 回到家中．设小明出发第t min 时的速度为vm/min，离家的距离为s m，v 与t 之
间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．
（1）小明出发第2min 时离家的距离为
200
m；
（2）当2＜t≤5 时，求s 与t 之间的函数表达式；
（3）画出s 与t 之间的函数图象．
【分析】（1）根据路程=速度×时间求出小明出发第2min 时离家的距离即可；
（2）当2＜t≤5 时，离家的距离s=前面2min 走的路程加上后面（t
2
﹣）min 走过的路程列式即
可；
（3）分类讨论：0≤t≤2、2＜t≤5、5＜t≤6.25 和6.25＜t≤16 四种情况，画出各自的图形即可
求解．
【解答】解：（1）100×2=200（m）．
故小明出发第2min 时离家的距离为200m；
（2）当2＜t≤5 时，s=100×2+160（t
2
﹣）=160t
120
﹣
．
故s 与t 之间的函数表达式为160t
120
﹣
；
（3）s 与t 之间的函数关系式为
，
[来%源#:zz@step.c*om&]
如图所示：
故答案为：200．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目
信息，从图中准确获取信息是解题的关键．
[来源:中%^国#教育出~版网&]
26．（2018 年江苏省南京市）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE．过点A 作
AF⊥DE，垂足为F，⊙O 经过点C、D、F，与AD 相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD 的边长为4，AE=1，求⊙O 的半径．
【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；
（2）首先证明CG 是直径，求出CG 即可解决问题；
【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠ADF=90°，
[来源:%#中^&教*网]
∵AF⊥DE，
[来%@源&:^中~教网]
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．
[中国教育@出版网&^*%]
[来源:zz&step*~.@^com]
（2）解：如图，连接CG．
∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，
[ww^w%.zzst~ep*.@com]
∴△EDA∽△ADF，
∴
=
，即
=
，
∵△AFG∽△DFC，
∴
=
，
[来*源:中@教&%网~]
∴
=
，
在正方形ABCD 中，DA=DC，
[来源:中*@教网&#~]
∴AG=EA=1，DG=DA
AG=4
1=3
﹣
﹣
，
[中^国教#*育%&出版网]
∴CG=
=5，
[www#.~zz%ste@p.^com]
∵∠CDG=90°，
∴CG 是⊙O 的直径，
∴⊙O 的半径为
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
27．（2018 年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D，AD=3，BD=4，
求△ABC 的面积．
解：设△ABC 的内切圆分别与AC、BC 相切于点E、F，CE 的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）
2+（x+4）
2=（3+4）
2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC=
AC•BC
=
（x+3）（x+4）
=
（x2+7x+12）
=
×（12+12）
[来源:zz@#s%tep.^com*]
=12．
小颖发现12 恰好就是3×4，即△ABC 的面积等于AD 与BD 的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC 的内切圆与AB 相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC 的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n 表示△ABC 的面积．
【分析】（1）由切线长知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）
2+（x+n）
2=
（m+n）
2，即x 2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；
（2）由由AC•BC=2mn 得（x+m）（x+n）=2mn，即x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证
即可；
（3）作AG⊥BC，由三角函数得AG=AC•sin60°=
（x+m），CG=AC•cos60°= （x+m）、BG=BC﹣
CG=（x+n）﹣（x+m），在Rt△ABG 中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形
的面积公式计算可得．
【解答】解：设△ABC 的内切圆分别与AC、BC 相切于点E、F，CE 的长为x，
根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，
（1）如图1，
在Rt△ABC 中，根据勾股定理，得：（x+m）
2+（x+n）
2=（m+n）
2，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
所以S△ABC=
AC•BC
[来&@源:*中^国教育出~版网]
=
（x+m）（x+n）
=
[x2+（m+n）x+mn]
=
（mn+mn）
=mn，
[中*#国&教育^出~版网]
（2）由AC•BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
∴AC2+BC2=（x+m）
2+（x+n）
2
=2[x2+（m+n）x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=（m+n）
2
=AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；
[来源^:*&@中~教网]
（3）如图2，过点A 作AG⊥BC 于点G，
在Rt△ACG 中，AG=AC•sin60°=
（x+m），CG=AC•cos60°=
（x+m），
∴BG=BC
CG=
﹣
（x+n）﹣
（x+m），
在Rt△ABG 中，根据勾股定理可得：[
（x+m）]
2+[（x+n）﹣
（x+m）]
2=（m+n）
2，
整理，得：x2+（m+n）x=3mn，
∴S△ABC=
BC•AG
=
×（x+n）•
（x+m）
=
[x2+（m+n）x+mn]
=
×（3mn+mn）
=
mn．
[中国#&教育*出版~@网]
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用
及勾股定理及其逆定理等知识点．
