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2018 年广东省汕头市潮南区两英镇中考数学模拟试卷（B 卷）
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（3 分）下列各数中，比3 大的数是（ ）
A．﹣
B．|﹣3|
C．π
D．2
2．（3 分）中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图
形又是中心对称图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．2a2+a2＝3a4
C．a6÷a3＝a2
D．（ab2）3＝a3b6
4．（3 分）用科学记数法表示数57 000 000 为（ ）
A．57×106
B．5.7×106
C．5.7×107
D．0.57×108
5．（3 分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E 等于（ ）
A．30°
B．40°
C．60°
D．70°
6．（3 分）如果代数式
有意义，那么x 的取值范围是（ ）
A．x≥0
B．x≠1
C．x＞1
D．x≥0 且 x≠1
7．（3 分）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
8．（3 分）一组数据5，2，6，9，5，3 的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5，5，6
B．9，5，5
C．5，5，5
D．2，6，5
9．（3 分）下列命题中的真命题是（ ）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切
线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
10．（3 分）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开
始至结束所走过的路径长度为（ ）
A．
B．
C．4
D．2+
二、填空题（毎小题4 分，共24 分，请把下列各题的正确答案填写在横线上＞
11．（4 分）分解因式：2a2b﹣4b＝ ．
12．（4 分）当x＝ 时，二次函数y＝x2﹣2x+6 有最小值 ．
13．（4 分）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是 ．
14．（4 分）如图，在⊙O 中，CD⊥AB 于E，若∠BAD＝30°，且BE＝1，则CD＝ ．
15．（4 分）等腰三角形的两边长是3 和7，则这个三角形的周长等于 ．
16．
（4 分）如图，函数y＝
和y＝﹣
的图象分别是l1和l2．设点P 在l1上，PC⊥x 轴，垂足为
C，交l2于点A，PD⊥y 轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB 的面积为 ．
三、解答题（每小题6 分，共18 分}
17．（6 分）计算：
+（π﹣3.14）0×|（﹣
）﹣1|﹣tan60°×（﹣1）2018
18．（6 分）先化简，再求值：
，请你从﹣1≤x＜3 的范围内选取一个
你喜欢的整数作为x 的值．
19．（6 分）如图，△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB 边上的垂直平分线DE，交AC 于点D，交AB 于点E．（保留作图痕迹，
不要求写作法和证明）
（2）连接BD，求证：DE＝CD．
四.解答题（每小题7 分，共21 分）
20．（7 分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A 篮球、B 乒乓球、C
跳绳、D 踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将
调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选
两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
21．（7 分）如图，小芸在自家楼房的窗户A 处，测量楼前的一棵树CD 的高．现测得树顶C 处
的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD 为20 米．请你帮助小芸计算
树的高度（精确到0.1 米）．
22．（7 分）目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3800 元购进甲，乙两
种节能灯共120 只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？
（2）全部售完120 只节能灯后，该商场获利多少元？
五、解答题（每小题9 分，共27 分）
23．（9 分）随着“一带一路”的进一步推进，我国瓷器（“china”）更为“一带一路”沿线人
民所推崇，一外国商户看准这一商机，向我国一瓷器经销商咨询工艺品茶具，得到如下信
息：
（1）每个茶壶的批发价比茶杯多110 元；
（2）一套茶具包括一个茶壶与四个茶杯；
（3）600 元批发茶壶的数量与160 元批发茶杯的数量相同．
根据以上信息：
（1）求茶壶与茶杯的批发价；
（2）若该商户购进茶杯的数量是茶壶数量的5 倍还多20 个，并且总数不超过200 个，该商户
打算将一半的茶具按每套500 元成套销售，其余按每个茶壶270 元，每个茶杯70 元零售，
请帮助他设计一种获取利润最大的方案，并求出最大利润．
24．（9 分）如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，BD⊥AB，交AC 的延长线于点
D．
（1）E 为BD 的中点，连结CE，求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若AC＝3CD，求∠A 的大小．
25．（9 分）如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通
过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q 作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？
（2）请判断OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y 与x 之间的函数关系式，并求出
y 的最大值．
2018 年广东省汕头市潮南区两英镇中考数学模拟试卷
（B 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（3 分）下列各数中，比3 大的数是（ ）
A．﹣
B．|﹣3|
C．π
D．2
【考点】2A：实数大小比较．菁优网版权所有
【分析】根据﹣
＜3，|﹣3|＝3，π＞3，2
＜3，即可得出比3 大的数．
【解答】解：∵﹣
＜3，|﹣3|＝3，π＞3，2
＜3，
∴各数中，比3 大的数是π，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数大小的比较，解题时注意：利用数轴也可以比较任意两个实数的
大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而
小．
2．（3 分）中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图
形又是中心对称图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：B 是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的
关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180 度后两部分重合．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．2a2+a2＝3a4
C．a6÷a3＝a2
D．（ab2）3＝a3b6
【考点】4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项以及积的乘方法则计算，判断即可．
【解答】解：a2•a3＝a5，A 错误；
2a2+a2＝3a2，B 错误；
a6÷a3＝a3，C 错误；
（ab2）3＝a3b6，D 正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方，掌握相关的计算法则是
解题的关键．
4．（3 分）用科学记数法表示数57 000 000 为（ ）
A．57×106
B．5.7×106
C．5.7×107
D．0.57×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要
看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值≥1 时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：用科学记数法表示数57000000 为5.7×107，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
5．（3 分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E 等于（ ）
A．30°
B．40°
C．60°
D．70°
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两
个内角的和即可求出∠E 的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，
∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解
答此题的关键．
6．（3 分）如果代数式
有意义，那么x 的取值范围是（ ）
A．x≥0
B．x≠1
C．x＞1
D．x≥0 且 x≠1
【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0 列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x≥0，x﹣1＞0，
解得，x＞1，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是
非负数、分式分母不为0 是解题的关键．
7．（3 分）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【考点】MM：正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB 是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AE＝OE，
∴△AOE 是等腰直角三角形，
∴OE＝
OA＝
．
故选：A．
【点评】本题考查的是正方形和圆、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是
根据题意画出图形，利用勾股定理是解答此题的关键，属于中考常考题型．
8．（3 分）一组数据5，2，6，9，5，3 的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5，5，6
B．9，5，5
C．5，5，5
D．2，6，5
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到
小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
对于n 个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n 个数的算术平均数进行分析
和计算可得答案．
【解答】解：众数是5，
中位数：5，
平均数：
＝5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了众数、中位数和平均数，关键是掌握三种数的概念．
9．（3 分）下列命题中的真命题是（ ）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切
线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】根据对顶角的性质、矩形的性质、切线的判定、中点四边形的性质一一判断即可．
【解答】解：①相等的角是对顶角，错误．
②矩形的对角线互相平分且相等，正确．
③垂直于半径的直线是圆的切线，错误．
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，正确．
故选：D．
【点评】本题考查对顶角的性质、矩形的性质、切线的判定、中点四边形的性质等知识，解题的
关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3 分）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开
始至结束所走过的路径长度为（ ）
A．
B．
C．4
D．2+
【考点】MN：弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题目的条件和图形可以判断点B 分别以C 和A 为圆心CB 和AB 为半径旋转
120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2 即可得到．
【解答】解：如图：BC＝AB＝AC＝1，
∠BCB′＝120°，
∴B 点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×
＝
，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式
求得即可．
二、填空题（毎小题4 分，共24 分，请把下列各题的正确答案填写在横线上＞
11．（4 分）分解因式：2a2b﹣4b＝
2 b （
a +
）（
a ﹣
） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；44：因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2b（a2﹣2）＝2b（a+
）（a﹣
），
故答案为：2b（a+
）（a﹣
）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
12．（4 分）当x＝
1
时，二次函数y＝x2﹣2x+6 有最小值
5
．
【考点】H7：二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】17：推理填空题．
【分析】把x2﹣2x+6 化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y＝x2﹣2x+6 的最小值是多少．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，
∴当x＝1 时，二次函数y＝x2﹣2x+6 有最小值5．
故答案为：1、5．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自
变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量
取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
13．（4 分）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是
8
．
【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数
的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据n 边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180＝1080，
解得n＝8．
∴这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题
的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
14．（4 分）如图，在⊙O 中，CD⊥AB 于E，若∠BAD＝30°，且BE＝1，则CD＝
2
．
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠BOD，根据直角三角形的性质得到OE＝
OD＝
OB，根据勾股定理求出DE，根据垂径定理计算．
【解答】解：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∴OE＝
OD＝
OB，
∴OE＝BE＝1，OD＝2，
由勾股定理得，DE＝
＝
，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2DE＝2
，
故答案为：2
．
【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
的两条弧．
15．（4 分）等腰三角形的两边长是3 和7，则这个三角形的周长等于
17
．
【考点】K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3 和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行
讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为3 时，3+3＜7，所以不能构成三角形；
当腰为7 时，7+4＞7，所以能构成三角形，周长是：7+7+3＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目
一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这
点非常重要，也是解题的关键．
16．
（4 分）如图，函数y＝
和y＝﹣
的图象分别是l1和l2．设点P 在l1上，PC⊥x 轴，垂足为
C，交l2于点A，PD⊥y 轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB 的面积为
8
．
【考点】G5：反比例函数系数k 的几何意义．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】设P 的坐标是（a，），推出A 的坐标和B 的坐标，求出∠APB＝90°，求出PA、PB 的
值，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：方法一：∵点P 在y＝
上，
∴|xp|×|yp|＝|k|＝1，
∴设P 的坐标是（a，
）（a 为正数），
∵PA⊥x 轴，
∴A 的横坐标是a，
∵A 在y＝﹣
上，
∴A 的坐标是（a，﹣
），
∵PB⊥y 轴，
∴B 的纵坐标是
，
∵B 在y＝﹣
上，
∴代入得：
＝﹣
，
解得：x＝﹣3a，
∴B 的坐标是（﹣3a，
），
∴PA＝|
﹣（﹣
）|＝
，
PB＝|a﹣（﹣3a）|＝4a，
∵PA⊥x 轴，PB⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB 的面积是：
PA×PB＝
×
×4a＝8．
故答案为：8．
方法二：∵函数y＝
和y＝﹣
的图象分别是l1和l2．点P 在l1上，PC⊥x 轴，垂足为C，交l2
于点A，PD⊥y 轴，垂足为D，交l2于点B，
∴
＝
＝
，
∴
＝
＝
，
由矩形DOPC∽矩形BEAP，
故S 矩形BEAP＝16S 矩形DOPC，
＝16×1
＝16，
则S△APC＝8．
【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P 点的坐标得出A、
B 的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、解答题（每小题6 分，共18 分}
17．（6 分）计算：
+（π﹣3.14）0×|（﹣
）﹣1|﹣tan60°×（﹣1）2018
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式＝2
+1×2﹣
＝2+
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6 分）先化简，再求值：
，请你从﹣1≤x＜3 的范围内选取一个
你喜欢的整数作为x 的值．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；513：分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，确定出x 的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
÷
＝
•
＝
，
由﹣1≤x＜3，x 为整数，得到x＝﹣1，0，1，2，
经检验x＝﹣1，0，1 不合题意，舍去，
则当x＝2 时，原式＝4．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6 分）如图，△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB 边上的垂直平分线DE，交AC 于点D，交AB 于点E．（保留作图痕迹，
不要求写作法和证明）
（2）连接BD，求证：DE＝CD．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KO：含30 度角的直角三角形；N2：作图—基本作图．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE 垂直平分AB；
（2）先利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝30°，再证明BD 平分
∠ABC，然后根据角平分线的性质定理可得到结论．
【解答】（1）解：如图，DE 为所作；
（2）证明：如图，
∵DE 垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠CBD＝30°，
即BD 平分∠ABC，
而DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC．
【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段．作一个角等于已知角．作已知线段
的垂直平分线． 作已知角的角平分线．过一点作已知直线的垂线．
四.解答题（每小题7 分，共21 分）
20．（7 分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A 篮球、B 乒乓球、C
跳绳、D 踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将
调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有
200
人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选
两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意可知这次被调查的学生共有20÷
＝200（人）；
（2）首先求得C 项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位
同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：这次被调查的学生共有20÷
＝200（人）．
故答案为：200；
（2）C 项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；
补充如图．
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2 种，
∴P（选中甲、乙）＝
＝
．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（7 分）如图，小芸在自家楼房的窗户A 处，测量楼前的一棵树CD 的高．现测得树顶C 处
的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD 为20 米．请你帮助小芸计算
树的高度（精确到0.1 米）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】过点A 作AE∥BD 交DC 的延长线于点E．则在图中得到两个直角三角形，利用三角
函数定义分别计算出ED 和EC，求差即可．
【解答】解：过点A 作AE∥BD 交DC 的延长线于点E．
则∠AEC＝∠BDC＝90 度．
∵∠EAC＝45°，AE＝BD＝20 米，
∴EC＝20 米．
∵tan∠ADB＝tan∠EAD＝
，
∴AB＝20•tan60°＝20
（米），
CD＝ED﹣EC＝AB﹣EC＝20
﹣20≈14.6（米）．
答：树高约为14.6 米．
【点评】本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．（7 分）目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3800 元购进甲，乙两
种节能灯共120 只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？
（2）全部售完120 只节能灯后，该商场获利多少元？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设甲种节能灯有x 只，则乙种节能灯有y 只，根据两种节能灯的总价为3800 元建
立方程求出其解即可；
（2）用甲型一只节能灯的利润乘以总只数加上乙型一只节能灯的利润乘以总只数，即可得出
答案．
【解答】解：（1）设甲种节能灯有x 只，则乙种节能灯有y 只，由题意得：
，
解得：
，
答：甲种节能灯有80 只，则乙种节能灯有40 只；
（2）根据题意得：
80×（30﹣25）+40×（60﹣45）＝1000（元），
答：全部售完120 只节能灯后，该商场获利润1000 元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
五、解答题（每小题9 分，共27 分）
23．（9 分）随着“一带一路”的进一步推进，我国瓷器（“china”）更为“一带一路”沿线人
民所推崇，一外国商户看准这一商机，向我国一瓷器经销商咨询工艺品茶具，得到如下信
息：
（1）每个茶壶的批发价比茶杯多110 元；
（2）一套茶具包括一个茶壶与四个茶杯；
（3）600 元批发茶壶的数量与160 元批发茶杯的数量相同．
根据以上信息：
（1）求茶壶与茶杯的批发价；
（2）若该商户购进茶杯的数量是茶壶数量的5 倍还多20 个，并且总数不超过200 个，该商户
打算将一半的茶具按每套500 元成套销售，其余按每个茶壶270 元，每个茶杯70 元零售，
请帮助他设计一种获取利润最大的方案，并求出最大利润．
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设茶杯的批发价为x 元/个，则茶壶的批发价为（x+110）元/个，根据数量＝总价÷
单价结合600 元批发茶壶的数量与160 元批发茶杯的数量相同，即可得出关于x 的分式方
程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设商户购进茶壶m 个，则购进茶杯（5m+20）个，根据总数不超过200 个，即可得出关于m
的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，设利润为w，根据总利润＝单件利润×
销售数量结合销售方式，即可得出w 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解
决最值问题．
【解答】解：（1）设茶杯的批发价为x 元/个，则茶壶的批发价为（x+110）元/个，
根据题意得：
＝
，
解得：x＝40，
经检验，x＝40 是原分式方程的解，
∴x+110＝150．
答：茶杯的批发价为40 元/个，则茶壶的批发价为150 元/个．
（2）设商户购进茶壶m 个，则购进茶杯（5m+20）个，
根据题意得：m+5m+20≤200，
解得：m≤30．
若利润为w 元，则w＝
m（500﹣150﹣4×40）+
m×（270﹣150）+（5m+20﹣
×4m）×（70﹣
40）＝245m+600，
∵w 随着m 的增大而增大，
∴当m 取最大值时，利润w 最大，
当m＝30 时，w＝7950．
∴当购进30 个茶壶、170 个茶杯时，有最大利润，最大利润为7950 元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数
的性质，解题的关键是：（1）根据数量＝总价÷单价，列出关于x 的分式方程；（2）根据数量
关系，找出w 关于m 的函数关系式．
24．（9 分）如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，BD⊥AB，交AC 的延长线于点
D．
（1）E 为BD 的中点，连结CE，求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若AC＝3CD，求∠A 的大小．
【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠1，根据三角形的中位线的性质得
到OE∥AD，得到∠2＝∠3，根据全等三角形的性质得到∠OCE＝∠ABD＝90°，于是得到
CE 是⊙O 的切线；
（2）由AB 为⊙O 的直径，得到BC⊥AD，根据相似三角形的性质得到BC2＝AC•CD，得到
tan∠A＝
＝
，于是得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠1，
∵AO＝OB，E 为BD 的中点，
∴OE∥AD，
∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，
∴∠2＝∠3，
在△COE 与△BOE 中，
，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）∵AB 为⊙O 的直径，
∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴
，
∴BC2＝AC•CD，
∵AC＝3CD，
∴BC2＝
AC2，
∴tan∠A＝
＝
，
∴∠A＝30°．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
三角形中位线的性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（9 分）如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通
过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q 作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？
（2）请判断OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y 与x 之间的函数关系式，并求出
y 的最大值．
【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可
得答案；
（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ 与AB 的关系，根据等腰直角三角形的判定与
性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO 与OP 的数量关系，根据余角
的性质，可得AO 与OP 的位置关系；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE 的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根
据二次函数的性质，可得到答案．
【解答】（1）四边形APQD 为平行四边形；
（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO＝45°，
∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，
∴OB＝OQ，
在△AOB 和△OPQ 中，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴OA⊥OP；
（3）如图，过O 作OE⊥BC 于E．
①如图1，当P 点在B 点右侧时，
则BQ＝x+2，OE＝
，
∴y＝
×
•x，即y＝
（x+1）2﹣
，
又∵0≤x≤2，
∴当x＝2 时，y 有最大值为2；
②如图2，当P 点在B 点左侧时，
则BQ＝2﹣x，OE＝
，
∴y＝
×
•x，即y＝﹣
（x﹣1）2+
，
又∵0≤x≤2，
∴当x＝1 时，y 有最大值为
；
综上所述，∴当x＝2 时，y 有最大值为2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的
判定与性质是解题关键；利用等腰直角三角形的性质的出OE 的长是解题关键，又利用了
二次函数的性质．
