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2018 年江苏省扬州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分.在每小题给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应
位置上）
1．（3 分）﹣5 的倒数是（ ）
A．﹣
B．
C．5D．﹣5
2．（3 分）使
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3
3．（3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是
131 分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是5℃
5．（3 分）已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y=﹣
的图象上，则下列关系
式一定正确的是（ ）
A．x1＜x2＜0B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
6．（3 分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M 到x 轴的距离为3，到
y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
7．（3 分）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，CE 平分∠ACD 交AB 于E，则下
列结论一定成立的是（ ）
A．BC=EC
B．EC=BE
C．BC=BE
D．AE=EC
8．（3 分）如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧做等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，
CD 与BE、AE 分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①
C．①②D．②③
二、填空题（本大题共有10 小题，每小题3 分，共30 分.不需写出解答过程，请把
答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3 分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077 用科学记数法
表示为 ．
10．（3 分）因式分解：18
2x
﹣
2= ．
11．（3 分）有4 根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3 根，恰好
能搭成一个三角形的概率是 ．
12．（3 分）若m 是方程2x2
3x
1=0
﹣
﹣
的一个根，则6m2
9m
﹣
+2015 的值为
．
13．（3 分）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面圆半径为 cm．
14．（3 分）不等式组
的解集为 ．
15．（3 分）如图，已知⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB=
．
16．（3 分）关于x 的方程mx2
2x
﹣
+3=0 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范
围是 ．
17．（3 分）如图，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为（8，0），点C 的坐标为（0，
4），把矩形OABC 沿OB 折叠，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为 ．
18．（3 分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B 的坐标为（0，2），若直线l：
y=mx+m（m≠0）把△ABO 分成面积相等的两部分，则m 的值为 ．
三、解答题（本大题共有10 小题，共96 分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8 分）计算或化简
（1）（
）﹣1+|
|+tan60°
（2）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x
3
﹣）
20．（8 分）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如
3⊗4=2×3+4=10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=
1
﹣，求x+y 的值．
21．（8 分）江苏省第十九届运动会将于2018 年9 月在扬州举行开幕式，某校为了
了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查
规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项
中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
最喜爱的项目
人数
篮球
20
羽毛球
9
自行车
10
游泳
a
其他
b
合计
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，a+b ．
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为 ．
（3）若该校有1200 名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
22．（8 分）4 张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗
匀．
（1）从中任意抽取1 张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b 中的k；再
从余下的卡片中任意抽取1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b 中
的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限
的概率．
23．（10 分）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长
1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速
度的2 倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h）
24．（10 分）如图，在平行四边形ABCD 中，DB=DA，点F 是AB 的中点，连接DF 并
延长，交CB 的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD 是菱形；
（2）若DC=
，tan∠DCB=3，求菱形AEBD 的面积．
25．（10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AO⊥BC 于点O，OE⊥AB 于点E，以点O 为
圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若点F 是A 的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE+PF 取最小值时，直接写出BP
的长．
26．（10 分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本
为30 元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240 件，当销售单价为多少元时，每
天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150 元给希望工程，
为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范
围．
27．（12 分）问题呈现
如图1，在边长为1 的正方形网格中，连接格点D，N 和E，C，DN 和EC 相交于点P，
求tan∠CPN 的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察
发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此
类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么
∠CPN 就变换到Rt△DMN 中．
问题解决
（1）直接写出图1 中tan∠CPN 的值为 ；
（2）如图2，在边长为1 的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P，求cos∠CPN 的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M 在AB 上，且AM=BC，延长CB 到N，使
BN=2BC，连接AN 交CM 的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN 的度数．
28．
（12 分）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，
6），点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1 个单位长度的速度向点A 出发，同时点Q 从
点A 出发，沿AB 以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运
动停止．设运动时间为t 秒．
（1）当t=2 时，线段PQ 的中点坐标为 ；
（2）当△CBQ 与△PAQ 相似时，求t 的值；
（3）当t=1 时，抛物线y=x2+bx+c 经过P，Q 两点，与y 轴交于点M，抛物线的顶点
为K，如图2 所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=
∠MKQ？若存在，求
出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．
2018 年江苏省扬州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分.在每小题给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应
位置上）
1．（3 分）﹣5 的倒数是（ ）
A．﹣
B．
C．5D．﹣5
【分析】依据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣5 的倒数﹣
．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3 分）使
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x
3
﹣≥0，
解得x≥3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键．
3．（3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层
左边一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．（3 分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是
131 分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是5℃
【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定
义分别分析得出答案．
【解答】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；
C、小明的三次数学成绩是126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是
130
分，故此选项错误；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是7﹣（﹣2）=9℃，
故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把
握相关定义是解题关键．
5．（3 分）已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y=﹣
的图象上，则下列关系
式一定正确的是（ ）
A．x1＜x2＜0B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
k=
3
﹣，图象位于第二象限，或第四象限，
在每一象限内，y 随x 的增大而增大，
∵3＜6，
∴x1＜x2＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键．
6．（3 分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M 到x 轴的距离为3，到
y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
【分析】根据地二象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x=
4
﹣，y=3，
即M 点的坐标是（﹣4，3），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．
7．（3 分）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，CE 平分∠ACD 交AB 于E，则下
列结论一定成立的是（ ）
A．BC=EC
B．EC=BE
C．BC=BE
D．AE=EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出
∠ACE=∠DCE ，再结合∠BEC=∠A+∠ACE 、∠BCE=∠BCD+∠DCE 即可得出
∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE 平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定
义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE 是解题的关键．
8．（3 分）如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧做等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，
CD 与BE、AE 分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①
C．①②D．②③
【分析】（1）由等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE 三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD 即可；
（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
【解答】解：由已知：AC=
AB，AD=
AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A 四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=
AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注
意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
二、填空题（本大题共有10 小题，每小题3 分，共30 分.不需写出解答过程，请把
答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3 分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077 用科学记数法
表示为
7.7
×
10
4
﹣
．
【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10
n
﹣，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
【解答】解：0.00077=7.7×10
4
﹣，
故答案为：7.7×10
4
﹣．
【点评】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10
n
﹣，其中
1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
10．（3 分）因式分解：18
2x
﹣
2=
2 （
x + 3 ）（
3
x
﹣
）
．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=2（9
x
﹣2）=2（x+3）（3
x
﹣），
故答案为：2（x+3）（3
x
﹣）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
11．（3 分）有4 根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3 根，恰好
能搭成一个三角形的概率是
．
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4 根细木棒中任取3 根的总共情况数目以
及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从有4 根细木棒中任取3 根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、
4、5，共4 种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3 种；
故其概率为：
．
【点评】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不
重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（3 分）若m 是方程2x2
3x
1=0
﹣
﹣
的一个根，则6m2
9m
﹣
+2015 的值为
2018
．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2
3m
1=0
﹣
﹣
，
∴2m2
3m=1
﹣
∴原式=3（2m2
3m
﹣
）+2015=2018
故答案为：2018
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解
的定义，本题属于基础题型．
13．（3 分）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面圆半径为
cm．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=
，
解得r=
cm．
故选：
．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：
1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
14．（3 分）不等式组
的解集为 ﹣
3 ＜
x ≤
．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤
，
解不等式
＞﹣2，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤
，
故答案为：﹣3＜x≤
．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不
等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）．
15．（3 分）如图，已知⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB=
2
．
【分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以
求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长．
【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2
，
故答案为：2
．
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．（3 分）关于x 的方程mx2
2x
﹣
+3=0 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范
围是
m
＜
且
m
≠
0
．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4
12m
﹣
＞0 且
m≠0，求出m 的取值范围即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2
2x
﹣
+3=0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0 且m≠0，
∴4
12m
﹣
＞0 且m≠0，
∴m＜
且m≠0，
故答案为：m＜
且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式
△=b2
4ac
﹣
．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实
数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
17．（3 分）如图，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为（8，0），点C 的坐标为（0，
4），把矩形OABC 沿OB 折叠，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为 （
，﹣
） ．
【分析】由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，
等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS 得到三角形OED 与三角形BEA 全
等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D 作DF 垂直于OE，利用勾股定理及
面积法求出DF 与OF 的长，即可确定出D 坐标．
【解答】解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，
∵矩形ABCO，
∴BC∥OA，
∴∠CBO=∠BOA，
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
在△ODE 和△BAE 中，
，
∴△ODE≌△BAE（AAS），
∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8
x
﹣，
在Rt△ODE 中，根据勾股定理得：42+（8
x
﹣）2=x2，
解得：x=5，即OE=5，DE=3，
过D 作DF⊥OA，
∵S△OED=
OD•DE=
OE•DF，
∴DF=
，OF=
=
，
则D（
，﹣
）．
故答案为：（
，﹣
）
【点评】此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟
练掌握折叠的性质是解本题的关键．
18．（3 分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B 的坐标为（0，2），若直线l：
y=mx+m（m≠0）把△ABO 分成面积相等的两部分，则m 的值为
．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可
以求得m 的值．
【解答】解：∵y=mx+m=m（x+1），
∴函数y=mx+m 一定过点（﹣1，0），
当x=0 时，y=m，
∴点C 的坐标为（0，m），
由题意可得，直线AB 的解析式为y=
x
﹣+2，
，得
，
∵直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO 分成面积相等的两部分，
∴
，
解得，m=
或m=
（舍去），
故答案为：
．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关
键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共有10 小题，共96 分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8 分）计算或化简
（1）（
）﹣1+|
|+tan60°
（2）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x
3
﹣）
【分析】（1）根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值．
（2）利用完全平方公式和平方差公式即可．
【解答】解：（1）（
）﹣1+|
|+tan60°
=2+（2﹣
）+
=2+2﹣
+
=4
（2）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x
3
﹣）
=（2x）2+12x+9﹣[（2x2）﹣9]
=（2x）2+12x+9﹣（2x）2+9
=12x+18
【点评】本题考查实数的混合运算和乘法公式，负整数指数幂的运算和相反数容
易混淆，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的
平方减去相反项的平方．
20．（8 分）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如
3⊗4=2×3+4=10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=
1
﹣，求x+y 的值．
【分析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，即可得到2⊗（﹣5）的值；
（2）依据x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=
1
﹣，可得方程组
，即可得到x+y 的值．
【解答】解：（1）∵a⊗b=2a+b，
∴2⊗（﹣5）=2×2+（﹣5）=4
5=
1
﹣
﹣；
（2）∵x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=
1
﹣，
∴
，
解得
，
∴x+y=
﹣
=
．
【点评】本题主要考查解一元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题
意列出方程组是解题的关键．
21．（8 分）江苏省第十九届运动会将于2018 年9 月在扬州举行开幕式，某校为了
了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查
规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项
中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
最喜爱的项目
人数
篮球
20
羽毛球
9
自行车
10
游泳
a
其他
b
合计
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是
50
，a+b
11
．
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为
72°
．
（3）若该校有1200 名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
【分析】（1）依据9÷18%，即可得到样本容量，进而得到a+b 的值；
（2）利用圆心角计算公式，即可得到“自行车”对应的扇形的圆心角；
（3）依据最喜爱的省运会项目是篮球的学生所占的比例，即可估计该校最喜爱的
省运会项目是篮球的学生人数．
【解答】解：（1）样本容量是9÷18%=50，
a+b=50
20
9
10=11
﹣
﹣﹣
，
故答案为：50，11；
（2）“自行车”对应的扇形的圆心角=
×360°=72°，
故答案为：72°；
（3）该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数为：1200×
=480（人）．
【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统
计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占
总体的百分比大小．
22．（8 分）4 张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗
匀．
（1）从中任意抽取1 张，抽到的数字是奇数的概率是
；
（2）从中任意抽取1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b 中的k；再
从余下的卡片中任意抽取1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b 中
的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限
的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12 种等可能的结果数，利用一次获胜的性质，找出k＜0，b
＞0 的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从中任意抽取1 张，抽到的数字是奇数的概率=
；
故答案为
；
（2）画树状图为：
共有12 种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0 有4 种结果，
所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率=
=
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事
件A 或事件B 的概率．也考查了一次函数的性质．
23．（10 分）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长
1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速
度的2 倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h）
【分析】设货车的速度是x 千米/小时，则客车的速度是2x 千米/小时，根据时间=
路程÷速度结合客车比货车少用6 小时，即可得出关于x 的分式方程，解之经检
验后即可得出结论．
【解答】解：设货车的速度是x 千米/小时，则客车的速度是2x 千米/小时，
根据题意得：
﹣
=6，
解得：x=121
≈121.8．
答：货车的速度约是121.8 千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．
24．（10 分）如图，在平行四边形ABCD 中，DB=DA，点F 是AB 的中点，连接DF 并
延长，交CB 的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD 是菱形；
（2）若DC=
，tan∠DCB=3，求菱形AEBD 的面积．
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD 是平行四边形，再根
据BD=AD 可得结论；
（2）解直角三角形求出EF 的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD=EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD 是平行四边形，
∵BD=AD，
∴四边形AEBD 是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB=
，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCB，
∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，
∵四边形AEBD 是菱形，
∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，
∴tan∠ABE=
=3，
∵BF=
，
∴EF=
，
∴DE=3
，
∴S 菱形AEBD=
•AB•DE=
•3
=15．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题
型．
25．（10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AO⊥BC 于点O，OE⊥AB 于点E，以点O 为
圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若点F 是A 的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE+PF 取最小值时，直接写出BP
的长．
【分析】（1）作OH⊥AC 于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO 平分∠BAC，再
根据角平分线性质得OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出AE=3
，然后根据扇形面积公式，
利用图中阴影部分的面积=S△AOE
S
﹣
扇形EOF进行计算；
（3）作F 点关于BC 的对称点F′，连接EF′交BC 于P，如图，利用两点之间线段最短
得到此时EP+FP 最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF 最小值为3
，然后计算
出OP 和OB 得到此时PB 的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC 于H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC 于点O，
∴AO 平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵点F 是AO 的中点，
∴AO=2OF=3，
而OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，
∴AE=
OE=3
，
∴图中阴影部分的面积=S△AOE
S
﹣
扇形EOF=
×3×3
﹣
=
；
（3）解：作F 点关于BC 的对称点F′，连接EF′交BC 于P，如图，
∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP 最小，
∵OF′=OF=OE，
∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，
∴∠F′=∠EAF′，
∴EF′=EA=3
，
即PE+PF 最小值为3
，
在Rt△OPF′中，OP=
OF′=
，
在Rt△ABO 中，OB=
OA=
×6=2
，
∴BP=2
﹣
=
，
即当PE+PF 取最小值时，BP 的长为
．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直
线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与
圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最
短路径问题．
26．（10 分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本
为30 元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240 件，当销售单价为多少元时，每
天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150 元给希望工程，
为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范
围．
【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润
和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600 元时，对应x 的
值，根据增减性，求出x 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：
．
故y 与x 之间的函数关系式为：y=
10x
﹣
+700，
（2）由题意，得
10x
﹣
+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x
30
﹣
）•y=（x
30
﹣
）（﹣10x+700），
w=
10x
﹣
2+1000x
21000=
10
﹣
﹣
（x
50
﹣
）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50 时，w 随x 的增大而增大，
∴x=46 时，w 大=
10
﹣
（46
50
﹣
）2+4000=3840，
答：当销售单价为46 元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840 元；
（3）w
150=
10x
﹣
﹣
2+1000x
21000
150=3600
﹣
﹣
，
10
﹣
（x
50
﹣
）2=
250
﹣
，
x
50=
﹣
±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55 时，捐款后每天剩余利润不低于3600 元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应
用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型
是解答本题的重点和难点．
27．（12 分）问题呈现
如图1，在边长为1 的正方形网格中，连接格点D，N 和E，C，DN 和EC 相交于点P，
求tan∠CPN 的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察
发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此
类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么
∠CPN 就变换到Rt△DMN 中．
问题解决
（1）直接写出图1 中tan∠CPN 的值为
2
；
（2）如图2，在边长为1 的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P，求cos∠CPN 的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M 在AB 上，且AM=BC，延长CB 到N，使
BN=2BC，连接AN 交CM 的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN 的度数．
【分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么
∠CPN 就变换到Rt△DMN 中．
（2）如图2 中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN 就变换到等腰Rt△DMC 中．
（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；
【解答】解：（1）如图1 中，
∵EC∥MN，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM=
=
=2，
故答案为2．
（2）如图2 中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN，
∴∠CPN=∠DCM，
∵△DCM 是等腰直角三角形，
∴∠DCM=∠D=45°，
∴cos∠CPN=cos∠DCM=
．
（3）如图3 中，如图取格点M，连接AN、MN．
∵PC∥MN，
∴∠CPN=∠ANM，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠ANM=∠MAN=45°，
∴∠CPN=45°．
【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思
想思考问题，属于中考压轴题．
28．
（12 分）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，
6），点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1 个单位长度的速度向点A 出发，同时点Q 从
点A 出发，沿AB 以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运
动停止．设运动时间为t 秒．
（1）当t=2 时，线段PQ 的中点坐标为 （
，
2 ）
；
（2）当△CBQ 与△PAQ 相似时，求t 的值；
（3）当t=1 时，抛物线y=x2+bx+c 经过P，Q 两点，与y 轴交于点M，抛物线的顶点
为K，如图2 所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=
∠MKQ？若存在，求
出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根
据中点坐标公式可得结论；
（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两
种情况：
①当△PAQ∽△QBC 时，
，②当△PAQ∽△CBQ 时，
，分别列方程可
得t 的值；
（3）根据t=1 求抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x 轴，
∴KM=KQ，KE⊥MQ，画出符合条件的点D，证明△KEQ∽△QMH，列比例式可得点
D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D．
【解答】解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0），
∴OA=3，
当t=2 时，OP=t=2，AQ=2t=4，
∴P（2，0），Q（3，4），
∴线段PQ 的中点坐标为：（
，
），即（
，2）；
故答案为：（
，2）；
（2）如图1，∵当点P 与点A 重合时运动停止，且△PAQ 可以构成三角形，
∴0＜t＜3，
∵四边形OABC 是矩形，
∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC 时，
，
∴
，
4t2
15t
﹣
+9=0，
（t
3
﹣）（t﹣
）=0，
t1=3（舍），t2=
，
②当△PAQ∽△CBQ 时，
，
∴
，
t2
9t
﹣
+9=0，
t=
，
∵
＞7，
∴x=
不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是
或
；
（3）当t=1 时，P（1，0），Q（3，2），
把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c 中得：
，解得：
，
∴抛物线：y=x2
3x
﹣
+2=（x﹣
）2﹣
，
∴顶点k（
，﹣
），
∵Q（3，2），M（0，2），
∴MQ∥x 轴，
作抛物线对称轴，交MQ 于E，
∴KM=KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE=∠QKE=
∠MKQ，
如图2，∠MQD=
∠MKQ=∠QKE，
设DQ 交y 轴于H，
∵∠HMQ=∠QEK=90°，
∴△KEQ∽△QMH，
∴
，
∴
，
∴MH=2，
∴H（0，4），
易得HQ 的解析式为：y=﹣
x+4，
则
，
x2
3x
﹣
+2=﹣
x+4，
解得：x1=3（舍），x2=﹣
，
∴D（﹣
，
）；
同理，在M 的下方，y 轴上存在点H，如图3，使∠HQM=
∠MKQ=∠QKE，
由对称性得：H（0，0），
易得OQ 的解析式：y=
x，
则
，
x2
3x
﹣
+2=
x，
解得：x1=3（舍），x2=
，
∴D（
，
）；
综上所述，点D 的坐标为：D（﹣
，
）或（
，
）．
【点评】本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定
和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数
的交点等知识，本题比较复杂，注意用t 表示出线段长度，再利用相似即可找到线
段之间的关系，代入可解决问题．
