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2019-2020 学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．“V”字手势表达胜利，必胜的意义．它源自于英国，“V”为英文Victory（胜利）的
首字母．现在“V“字手势早已成为世界用语了．如图的“V”字手势中，食指和中指
所夹锐角α 的度数为（ ）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
2．2019 年10 月1 日国庆阅兵是中国特色社会主义进入新时代的首次阅兵，也是人民军队
改革重塑后的首次集中亮相．此次阅兵编59 个方（梯）队和联合军团，总规模约1.5 万
人将“1.5 万”用科学记数法表示应为（ ）
A．1.5×103
B．15×103
C．1.5×104
D．15×104
3．下表是11 月份某一天北京四个区的平均气温：
区县
海淀
怀柔
密云
昌平
气温（℃）
+1
﹣3
﹣2
0
这四个区中该天平均气温最低的是（ ）
A．海淀
B．怀柔
C．密云
D．昌平
4．下列计算正确的是（ ）
A．m2n﹣nm2＝0
B．m+n＝mn
C．2m3+3m2＝5m5
D．2m3﹣3m2＝﹣m
5．已知关于x 的方程mx+2＝x 的解是x＝3，则m 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
6．实数a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣4
B．bd＞0
C．b+c＞0
D．|a|＞|b|
7．下列等式变形正确的是（ ）
A．若4x＝2，则x＝2
B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2
C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3
D．若
＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6
8．北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天
气侧向跑道可提升机场运行能力．跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向
的侧向跑道．如图，侧向跑道AB 在点O 南偏东70°的方向上，则这条跑道所在射线OB
与正北方向所成角的度数为（ ）
A．20°
B．70°
C．110°
D．160°
9．已知线段AB＝8cm，AC＝6cm，下面有四个说法：
①线段BC 长可能为2cm；②线段BC 长可能为14cm；
③线段BC 长不可能为5cm；④线段BC 长可能为9cm．
所有正确说法的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
10．某长方体的展开图中，P、A、B、C、D（均为格点）的位置如图所示，一只蚂蚁从点
P 出发，沿着长方体表面爬行．若此蚂蚁分别沿最短路线爬行到A、B、C、D 四点，则
蚂蚁爬行距离最短的路线是（ ）
A．P→A
B．P→B
C．P→C
D．P→D
二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）
11．厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准
质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ．
12．一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣2；②次数是3．写出一个满足上述条件
的单项式： ．
13．计算：48°39′+67°31′＝ ．
14．如图，将五边形ABCDE 沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长
一定比原五边形的周长 （填：大或小），理由为 ．
15．已知一个长为6a，宽为2a 的长方形，如图1 所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长
形，按图2 的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是 ．（用含a 的代数式表
示）
16．如图，点C 在线段AB 上，D 是线段CB 的中点．若AC＝4，AD＝7，则线段AB 的长
为 ．
17．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号f（x）来表示，把x 等于某数a 时的
多项式的值用f（a）来表示．例如，对于多项式f（x）＝mx3+nx+5，当x＝2 时，多项
式的值为f（2）＝8m+2n+5，若f（2）＝6，则f（﹣2）的值为 ．
18．小明家想要从某场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从A、B 两个品牌中各选中
一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1 所示．目前该商场有促销活动，促销方案
如表2 所示．表1：洗衣机和烘干机单价表
洗衣机单价（元/台）
烘干机单价（元/台）
A 品牌
7000
11000
B 品牌
7500
10000
表二：商场促销方案
1．所有商品均享受8 折优惠．
2．所有洗衣机均可享受节能减排补贴，补贴标准为：在折后价的基础上再减免13%．
3．若同时购买同品牌洗衣机和烘干机，额外可享受“满两件减400 元”
则选择 品种的洗衣机和 品种的烘干机支付总费用最低，支付总费用最低
为 元．
三、解答题（本题共25 分，第19 题8 分，第20 题8 分，第21 题4 分，第22 题5 分）
19．计算：
（1）7﹣（﹣6）+（﹣4）×（﹣3）；
（2）﹣3×（﹣2）
2﹣1+（﹣
）
3．
20．解方程：
（1）3x﹣2＝﹣6+5x；
（2）
＝1．
21．先化简，再求值：2（2xy2﹣x2y）﹣（x2y+6xy2）+3x2y，其中x＝2，y＝﹣1．
22．如图，已知平面上三点A，B，C，请按要求完成下列问题：
（1）画射线AC，线段BC；
（2）连接AB，并用圆规在线段AB 的延长线上截取BD＝BC，连接CD（保留画图痕
迹）；
（3）利用刻度尺取线段CD 的中点E，连接BE．
四、解答题（本题共10 分，第23 题4 分，第24 题6 分）
23．如图是一个运算程序：
（1）若x＝﹣2，y＝3，求m 的值；
（2）若x＝4，输出结果m 的值与输入y 的值相同，求y 的值．
24．2019 年9 月29 日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛
的“十冠王”2019 年女排世界杯的参赛队伍为12 支，比赛采取单循环方式，五局三胜，
积分规则如下：比赛中以3﹣0 或者3﹣1 取胜的球队积3 分，负队积0 分；而在比赛中
以3﹣2 取胜的球队积2 分，负队积1 分．前四名队伍积分榜部分信息如下表所示：
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
中国
11
11
0
2
美国
11
10
1
28
3
俄罗斯
11
8
3
23
4
巴西
11
21
（1）中国队11 场胜场中只有一场以3﹣2 取胜，请将中国队的总积分填在表格中．
（2）巴西队积3 分取胜的场次比积2 分取胜的场次多5 场，且负场积分为1 分，总积分
见表，求巴西队胜场的场数．
五、解答题（本题共19 分，第25 题6 分，第26 题6 分，第27 题7 分）
25．在数轴上，四个不同的点A，B，C，D 分别表示有理数a，b，c，d，且a＜b，c＜d．
（1）如图1，M 为线段AB 的中点，
①当点M 与原点O 重合时，用等式表示a 与b 的关系为 ；
②求点M 表示的有理数m 的值（用含a，b 的代数式表示）；
（2）已知a+b＝c+d，
①若三点A，B，C 的位置如图所示，请在图中标出点D 的位置；
②a，b，c，d 的大小关系为 （用“＜”连接）
26．阅读下面材料：
小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC 与∠BOC 互
补．
小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC 在∠AOB 的外部，画出示意图，如图2
所示：然后通过构造平角找到∠AOC 的补角∠COD，
如图3 所示：进而分析要使∠AOC 与∠BOC 互补，则需∠BOC＝∠COD．
因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA 得到射线OD，利用量角器画出
∠BOD 的平分线OC，这样就得到了∠BOC 与∠AOC 互补．
（1）小聪根据自己的画法写出了已知和求证，请你完成证明：
已知：如图3，点O 在直线AD 上，射线OC 平分∠BOC．
求证：∠AOC 与∠BOC 互补．
（2）参考小聪的画法，请在图4 中画出一个∠AOH，使∠AOH 与∠BOH 互余．（保
留画图痕迹）
（3）已知∠EPQ 和∠FPQ 互余，射线PM 平分∠EPQ，射线PN 平分∠FPQ．若
∠EPQ ＝β （0° ＜β ＜90° ），直接写出锐角∠MPN 的度数是 ．
27．给定一个十进制下的自然数x，对于x 每个数位上的数，求出它除以2 的余数，再把每
一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二
数”，记为M2（x）．如M2（735）＝111，M2（561）＝101．对于“模二数”的加法
规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0 与0
相加得0；0 与1 相加得1；1 与1 相加得0，并向左边一位进1．如735、561 的“模二
数”111、101 相加的运算过程如图所示．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）M2（9653）的值为 ，M2（58）+M2（9653）的值为 ；
（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数
“模二相加不变”．如M2（124）＝100，M2（630）＝010，
因为M2（124）+M2（630）＝110，M2（124+630）＝110，
所以M2（124+630）＝M2（124）+M2（630），即124 与630 满足“模二相加不变”．
①判断12，65，97 这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；
②与23“模二相加不变”的两位数有 个．
参考答案
一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确
的.请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.
1．“V”字手势表达胜利，必胜的意义．它源自于英国，“V”为英文Victory（胜利）的
首字母．现在“V“字手势早已成为世界用语了．如图的“V”字手势中，食指和中指
所夹锐角α 的度数为（ ）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
【分析】直接利用量角器量出其角度或估算得出答案．
解：如图所示：食指和中指所夹锐角α 的度数为：35°．
故选：B．
2．2019 年10 月1 日国庆阅兵是中国特色社会主义进入新时代的首次阅兵，也是人民军队
改革重塑后的首次集中亮相．此次阅兵编59 个方（梯）队和联合军团，总规模约1.5 万
人将“1.5 万”用科学记数法表示应为（ ）
A．1.5×103
B．15×103
C．1.5×104
D．15×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
解：将“1.5 万”用科学记数法表示应为1.5×104．
故选：C．
3．下表是11 月份某一天北京四个区的平均气温：
区县
海淀
怀柔
密云
昌平
气温（℃）
+1
﹣3
﹣2
0
这四个区中该天平均气温最低的是（ ）
A．海淀
B．怀柔
C．密云
D．昌平
【分析】由表格可知：﹣3＜﹣2＜0＜1 即可求解．
解：∵﹣3＜﹣2＜0＜1，
∴最低的是怀柔，
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．m2n﹣nm2＝0
B．m+n＝mn
C．2m3+3m2＝5m5
D．2m3﹣3m2＝﹣m
【分析】根据合并同类项法则逐一判断即可．
解：A．m2n﹣nm2＝0，正确，故本选项符合题意；
B．m 与n 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.2m3与3m2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D.2m3与﹣3m2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：A．
5．已知关于x 的方程mx+2＝x 的解是x＝3，则m 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【分析】把x＝3 代入关于x 的方程mx+2＝x，得到关于m 的新方程，通过解新方程求
得m 的值即可．
解：把x＝3 代入关于x 的方程mx+2＝x，得
3m+2＝3．
解得m＝
．
故选：A．
6．实数a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣4
B．bd＞0
C．b+c＞0
D．|a|＞|b|
【分析】观察数轴，找出a、b、c、d 四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，
即可得出结论．
解：A、∵a＜﹣4，
∴结论A 错误；
B、∵b＜﹣1，d＝4，
∴bd＜0，结论B 错误；
C、∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，
∴b+c＜0，结论C 错误；
D、∵a＜﹣4，b＞﹣2，
∴|a|＞|b|，结论D 正确．
故选：D．
7．下列等式变形正确的是（ ）
A．若4x＝2，则x＝2
B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2
C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3
D．若
＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6
【分析】根据等式的性质即可解决．
解：A、若4x＝2，则x＝
，原变形错误，故这个选项不符合题意；
B、若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2+2，原变形错误，故这个选项不符合题意；
C、若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）﹣2（x+1）＝3，原变形错误，故这个选
项不符合题意；
D、若
﹣
＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形正确，故这个选项符
合题意；
故选：D．
8．北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天
气侧向跑道可提升机场运行能力．跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向
的侧向跑道．如图，侧向跑道AB 在点O 南偏东70°的方向上，则这条跑道所在射线OB
与正北方向所成角的度数为（ ）
A．20°
B．70°
C．110°
D．160°
【分析】根据方向角的定义解答．
解：如图，∠BOD 即这条跑道所在射线OB 与正北方向所成角．
由于∠BOC＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°
所以这条跑道所在射线OB 与正北方向所成角的度数为110°．
故选：C．
9．已知线段AB＝8cm，AC＝6cm，下面有四个说法：
①线段BC 长可能为2cm；②线段BC 长可能为14cm；
③线段BC 长不可能为5cm；④线段BC 长可能为9cm．
所有正确说法的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【分析】直接利用当A，B，C 在一条直线上，以及当A，B，C 不在一条直线上，分别
分析得出答案．
解：∵线段AB＝8cm，AC＝6cm，
∴如图1，当A，B，C 在一条直线上，
∴BC＝AB﹣AC＝8﹣6＝2（cm），故①正确；
如图2，当A，B，C 在一条直线上，
∴BC＝AB+AC＝8+6＝14（cm），故②正确；
如图3，当A，B，C 不在一条直线上，
8﹣6＜BC＜8+6，
故线段BC 可能为5 或9，故③错误，④正确．
故选：C．
10．某长方体的展开图中，P、A、B、C、D（均为格点）的位置如图所示，一只蚂蚁从点
P 出发，沿着长方体表面爬行．若此蚂蚁分别沿最短路线爬行到A、B、C、D 四点，则
蚂蚁爬行距离最短的路线是（ ）
A．P→A
B．P→B
C．P→C
D．P→D
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，可直接得出．
解：由题意得：蚂蚁爬行距离最短的路线是P→D；
故选：D．
二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）
11．厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准
质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 丁 ．
【分析】根据绝对值最小的最接近标准，可得答案．
解：|+1.5|＝1.5，|﹣3.5|＝3.5，|0.7|＝0.7，|﹣0.6|＝0.6，
0.6＜0.7＜1.5＜3.5，
故最接近标准质量的足球是丁．
故答案为：丁．
12．一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣2；②次数是3．写出一个满足上述条件
的单项式： ﹣
2 x
3 （答案不唯一）
．
【分析】利用单项式次数与系数的定义即可得出答案．
解：一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣2；②次数是3．则满足上述条件的单
项式：﹣2x3（答案不唯一）．
故答案为：﹣2x3（答案不唯一）．
13．计算：48°39′+67°31′＝
116°10'
．
【分析】根据度、分、秒的进制为60 直接计算即可．
解：39′+31′＝70′＝1°10′，
故48°39′+67°31′＝116°10'．
故答案为：116°10'．
14．如图，将五边形ABCDE 沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长
一定比原五边形的周长 小 （填：大或小），理由为 三角形的两边之和大于第三边
．
【分析】任意两边上的点和两点间的顶点恰好构成一个三角形，利用三角形的三边关系
可以得出结论．
解：将五边形ABCDE 沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定
比原五边形的周长小，理由是三角形的两边之和大于第三边．
故答案为：小；三角形的两边之和大于第三边
15．已知一个长为6a，宽为2a 的长方形，如图1 所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长
形，按图2 的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是
2 a
．（用含a 的代数式表示）
【分析】根据题意和题目中的图形，可以得到图2 中小长方形的长和宽，从而可以得到
阴影部分正方形的边长．
解：由图可得，
图2 中每个小长方形的长为3a，宽为a，
则阴影部分正方形的边长是：3a﹣a＝2a，
故答案为：2a．
16．如图，点C 在线段AB 上，D 是线段CB 的中点．若AC＝4，AD＝7，则线段AB 的长
为
10
．
【分析】先根据线段的和差关系求得CD，再根据中点的定义求得BD，再根据线段的和
差关系求得AB．
解：∵AC＝4，AD＝7，
∴CD＝7﹣4＝3，
∵D 是线段CB 的中点，
∴BD＝3，
∴AB＝AD+BD＝7+3＝10．
故答案为：10．
17．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号f（x）来表示，把x 等于某数a 时的
多项式的值用f（a）来表示．例如，对于多项式f（x）＝mx3+nx+5，当x＝2 时，多项
式的值为f（2）＝8m+2n+5，若f（2）＝6，则f（﹣2）的值为
4
．
【分析】根据f（2）＝6，可得：8m+2n+5＝6，所以8m+2n＝1，据此求出f（﹣2）的
值为多少即可．
解：∵f（2）＝6，
∴8m+2n+5＝6，
∴8m+2n＝1，
∴f（﹣2）
＝﹣8m﹣2n+5
＝﹣（8m+2n）+5
＝﹣1+5
＝4
故答案为：4．
18．小明家想要从某场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从A、B 两个品牌中各选中
一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1 所示．目前该商场有促销活动，促销方案
如表2 所示．表1：洗衣机和烘干机单价表
洗衣机单价（元/台）
烘干机单价（元/台）
A 品牌
7000
11000
B 品牌
7500
10000
表二：商场促销方案
1．所有商品均享受8 折优惠．
2．所有洗衣机均可享受节能减排补贴，补贴标准为：在折后价的基础上再减免13%．
3．若同时购买同品牌洗衣机和烘干机，额外可享受“满两件减400 元”
则选择
B
品种的洗衣机和
B
品种的烘干机支付总费用最低，支付总费用最低为
12820
元．
【分析】根据题意分四种方案：A 品牌洗衣机和A 品牌烘干机；A 品牌洗衣机和B 品牌
烘干机；B 品牌洗衣机和A 品牌烘干机；B 品牌洗衣机和B 品牌烘干机．分别计算出支
付总费用即可得出答案．
解：购买A 品牌洗衣机和A 品牌烘干机费用＝（7000+11000）×0.8﹣7000×0.8×13%﹣
400＝13272（元）；
购买A 品牌洗衣机和B 品牌烘干机费用＝（7000+10000）×0.8﹣7000×0.8×13%＝12872
（元）；
购买B 品牌洗衣机和A 品牌烘干机费用＝（7500+11000）×0.8﹣7500×0.8×13%＝14020
（元）；
购买B 品牌洗衣机和B 品牌烘干机费用＝（7500+10000）×0.8﹣7500×0.8×13%﹣400＝
12820（元）；
综上所述，选择购买B 品牌洗衣机和B 品牌烘干机支付总费用最低，支付总费用最低为
12820 元．
故答案为：B；B；12820．
三、解答题（本题共25 分，第19 题8 分，第20 题8 分，第21 题4 分，第22 题5 分）
19．计算：
（1）7﹣（﹣6）+（﹣4）×（﹣3）；
（2）﹣3×（﹣2）
2﹣1+（﹣
）
3．
【分析】（1）根据有理数的乘法和加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．
解：（1）7﹣（﹣6）+（﹣4）×（﹣3）
＝7+6+12
＝25；
（2）﹣3×（﹣2）
2﹣1+（﹣
）
3
＝﹣3×4﹣1+（﹣
）
＝﹣12﹣1+（﹣
）
＝﹣13
．
20．解方程：
（1）3x﹣2＝﹣6+5x；
（2）
＝1．
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
解：（1）移项，合并同类项，可得：﹣2x＝﹣4，
系数化为1，可得：x＝2．
（2）去分母，可得：3（3x+2）﹣2（x﹣5）＝6，
去括号，可得：9x+6﹣2x+10＝6，
移项，合并同类项，可得：7x＝﹣10，
系数化为1，可得：x＝﹣
．
21．先化简，再求值：2（2xy2﹣x2y）﹣（x2y+6xy2）+3x2y，其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．
解：原式＝4xy2﹣2x2y﹣x2y﹣6xy2+3x2y＝﹣2xy2，
当x＝2，y＝﹣1 时，原式＝﹣4．
22．如图，已知平面上三点A，B，C，请按要求完成下列问题：
（1）画射线AC，线段BC；
（2）连接AB，并用圆规在线段AB 的延长线上截取BD＝BC，连接CD（保留画图痕
迹）；
（3）利用刻度尺取线段CD 的中点E，连接BE．
【分析】（1）画射线AC，线段BC 即可；
（2）连接AB，并用圆规在线段AB 的延长线上截取BD＝BC，连接CD 即可；
（3）利用刻度尺取线段CD 的中点E，连接BE 即可．
解：如图所示：
（1）射线AC，线段BC 即为所求作的图形；
（2）线段AB 及延长线，点D 以及线段CD 即为所求作的图形；
（3）点E 以及线段BE 即为所求作的图形．
四、解答题（本题共10 分，第23 题4 分，第24 题6 分）
23．如图是一个运算程序：
（1）若x＝﹣2，y＝3，求m 的值；
（2）若x＝4，输出结果m 的值与输入y 的值相同，求y 的值．
【分析】（1）若x＝﹣2，y＝3，根据﹣2＜3，把x、y 的值代入|x|﹣3y 即可．
（2）若x＝4，输出结果m 的值与输入y 的值相同，则y＝m，分两种情况：4＞m；
4≤m，求出y 的值是多少即可．
解：（1）∵x＝﹣2，y＝3，﹣2＜3，
∴x＜y，
∴m＝|﹣2|﹣3×3＝﹣7．
（2）∵x＝4，输出结果m 的值与输入y 的值相同，
∴y＝m，
①4＞m 时，
∵|4|+3m＝m，
解得m＝﹣2，符合题意．
②4≤m 时，
∵|4|﹣3m＝m，
∴4﹣3m＝m，
解得m＝1，不符合题意，
∴y＝﹣2．
24．2019 年9 月29 日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛
的“十冠王”2019 年女排世界杯的参赛队伍为12 支，比赛采取单循环方式，五局三胜，
积分规则如下：比赛中以3﹣0 或者3﹣1 取胜的球队积3 分，负队积0 分；而在比赛中
以3﹣2 取胜的球队积2 分，负队积1 分．前四名队伍积分榜部分信息如下表所示：
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
中国
11
11
0
32
2
美国
11
10
1
28
3
俄罗斯
11
8
3
23
4
巴西
11
21
（1）中国队11 场胜场中只有一场以3﹣2 取胜，请将中国队的总积分填在表格中．
（2）巴西队积3 分取胜的场次比积2 分取胜的场次多5 场，且负场积分为1 分，总积分
见表，求巴西队胜场的场数．
【分析】（1）依据中国队11 场胜场中只有一场以3﹣2 取胜，即可得到中国队的总积
分．
（2）设巴西队积3 分取胜的场数为x 场，依据巴西队总积分为21 分，即可得到方程，
进而得出x 的值．
解：（1）中国队的总积分＝3×10+2＝32；
故答案为：32；
（2）设巴西队积3 分取胜的场数为x 场，则积2 分取胜的场数为（x﹣5）场，
依题意可列方程3x+2（x﹣5）+1＝21，
3x+2x﹣10+1＝21，
5x＝30，
x＝6，
则积2 分取胜的场数为x﹣5＝1，
所以取胜的场数为6+1＝7，
答：巴西队取胜的场数为7 场．
五、解答题（本题共19 分，第25 题6 分，第26 题6 分，第27 题7 分）
25．在数轴上，四个不同的点A，B，C，D 分别表示有理数a，b，c，d，且a＜b，c＜d．
（1）如图1，M 为线段AB 的中点，
①当点M 与原点O 重合时，用等式表示a 与b 的关系为
a + b ＝
0
；
②求点M 表示的有理数m 的值（用含a，b 的代数式表示）；
（2）已知a+b＝c+d，
①若三点A，B，C 的位置如图所示，请在图中标出点D 的位置；
②a，b，c，d 的大小关系为
a ＜
c ＜
d ＜
b
（用“＜”连接）
【分析】（1）①根据M 为线段AB 的中点，点M 与原点O 重合，可知a 与b 互为相反
数，则a+b＝0；
②根据M 为线段AB 的中点，可知m 为a 和b 的平均数，从而可以用a、b 的代数式表
示出来；
（2）①根据a+b＝c+d，可以在图2 中标出点D 的位置；
②根据①中画出的数轴可以得到a，b，c，d 的大小关系．
解：（1）①∵M 为线段AB 的中点，点M 与原点O 重合，
∴a 与b 的关系为：a+b＝0，
故答案为：a+b＝0；
②∵M 为线段AB 的中点，
∴点M 表示的有理数m 的值：
；
（2）①∵a+b＝c+d，a＜b，c＜d，
∴点D 的位置的如下图2 所示，
；
②由图2 可得，
a＜c＜d＜b，
故答案为：a＜c＜d＜b．
26．阅读下面材料：
小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC 与∠BOC 互
补．
小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC 在∠AOB 的外部，画出示意图，如图2
所示：然后通过构造平角找到∠AOC 的补角∠COD，
如图3 所示：进而分析要使∠AOC 与∠BOC 互补，则需∠BOC＝∠COD．
因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA 得到射线OD，利用量角器画出
∠BOD 的平分线OC，这样就得到了∠BOC 与∠AOC 互补．
（1）小聪根据自己的画法写出了已知和求证，请你完成证明：
已知：如图3，点O 在直线AD 上，射线OC 平分∠BOC．
求证：∠AOC 与∠BOC 互补．
（2）参考小聪的画法，请在图4 中画出一个∠AOH，使∠AOH 与∠BOH 互余．（保
留画图痕迹）
（3）已知∠EPQ 和∠FPQ 互余，射线PM 平分∠EPQ，射线PN 平分∠FPQ．若
∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN 的度数是
45°
或
| β ﹣
45°|
．
【分析】（1）根据画法写出了已知和求证，即可完成证明；
（2）根据小聪的画法，画出一个∠AOH，使∠AOH 与∠BOH 互余即可；
（3）根据∠EPQ 和∠FPQ 互余，射线PM 平分∠EPQ，射线PN 平分∠FPQ．若
∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），画出图形即可写出锐角∠MPN 的度数．
解：（1）证明：点O 在直线AD 上，
∴∠AOB+BOD＝180°．
即∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°．
∴∠AOC+∠COD＝180°．
OC 平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD．
∴∠AOC+∠BOC＝180°
∴∠AOC 与∠BOC 互补．
（2）如图所示即为所求作的图形．
（3）如图，
∠EPQ 和∠FPQ 互余，
射线PM 平分∠EPQ，
射线PN 平分∠FPQ．
锐角∠MPN 的度数是45°
∠EPQ 和∠FPQ 互余，
射线PM 平分∠EPQ，
射线PN 平分∠FPQ．
若∠EPQ＝β，
PQ 平分∠FPF′．
则锐角∠MPN 的度数是|β﹣45°|．
故答案为：45°或|β﹣45°|．
27．给定一个十进制下的自然数x，对于x 每个数位上的数，求出它除以2 的余数，再把每
一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二
数”，记为M2（x）．如M2（735）＝111，M2（561）＝101．对于“模二数”的加法
规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0 与0
相加得0；0 与1 相加得1；1 与1 相加得0，并向左边一位进1．如735、561 的“模二
数”111、101 相加的运算过程如图所示．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）M2（9653）的值为
1011
，M2（58）+M2（9653）的值为
1101
；
（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数
“模二相加不变”．如M2（124）＝100，M2（630）＝010，
因为M2（124）+M2（630）＝110，M2（124+630）＝110，
所以M2（124+630）＝M2（124）+M2（630），即124 与630 满足“模二相加不变”．
①判断12，65，97 这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；
②与23“模二相加不变”的两位数有
38
个．
【分析】（1）M2（9653）的值为1011，M2（58）＝12M2（9653）＝1011，所以M2
（58）+M2（9653）的值为1101；
（2）①M2（23）＝01，M2（12）＝10，求出M2（23）+M2（12）＝11，M2（23+12）
＝11，可得M2（23）+M2（12）＝M2（23+23）；M2（23）＝01，M2（65）＝01，求出
M2（23）+M2（65）＝10，M2（23+65）＝00，可得M2（23）+M2（65）≠M2
（23+65）；M2（23）＝01，M2（97）＝11，求出M2（23）+M2（97）＝100，M2
（23+297）＝100，可得M2（23）+M2（97）＝M2（23+97）；
②模二结果是10 有：12，32，52，72，14，34，54，74，16，36，56，76，18，38，
10，30，50，70 满足题意；
模二结果是11 有：77，97，79，99 满足题意；
模二结果是01 有：27，29，47，49，67，69，87，89 满足题意；
模二结果是00 有：20，22，24，26，40，42，44，46，60，62，64，66 满足题意；38
个．
解：（1）M2（9653）的值为1011，M2（58）＝12M2（9653）＝1011，
∴M2（58）+M2（9653）的值为1101；
（2）①M2（23）＝01，M2（12）＝10，
∴M2（23）+M2（12）＝11，M2（23+12）＝11，
∴M2（23）+M2（12）＝M2（12+23），
∴12 与23 满足“模二相加不变”，
∵M2（23）＝01，M2（65）＝01，
∴M2（23）+M2（65）＝10，M2（23+65）＝00，
∴M2（23）+M2（65）≠M2（23+65），
∴65 与23 不满足“模二相加不变”，
∵M2（23）＝01，M2（97）＝11，
∴M2（23）+M2（97）＝100，M2（23+97）＝100，
∴M2（23）+M2（97）＝M2（23+97），
∴97 与23 满足“模二相加不变”；
②模二结果是10 有：12，32，52，72，92，14，34，54，74，94，16，36，56，76，
96，18，38，58，78，98，10，30，50，70，90 共25 个，
它们与模二数23 的和是11，
∴12，32，52，72，14，34，54，74，16，36，56，76，18，38，10，30，50，70 满足
题意；
模二结果是11 有：11，31，51，71，91，13，33，53，73，93，15，35，55，75，
95，17，37，57，77，97，19，39，59，79，99 共30 个，
它们与模二数23 的和是100，
∴77，97，79，99 满足题意；
模二结果是01 有：21，23，25，27，29，41，43，45，47，49，61，63，65，67，
69，81，83，85，87，89 共20 个，
它们与模二数23 的和是10，
∴27，29，47，49，67，69，87，89 满足题意；
模二结果是00 有20，22，24，26，28，40，42，44，46，48，60，62，64，66，68，
80，82，84，86，88 共20 个，
它们与模二数23 的和是01，
∴20，22，24，26，40，42，44，46，60，62，64，66 满足题意；
∴共有38 个．
