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2018 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4 分，共40
分
1．（4.00 分）（2018•永州）﹣2018 的相反数是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C．
D．﹣
2．（4.00 分）（2018•永州）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻
着500 多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面
四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4.00 分）（2018•永州）函数y=
中自变量x 的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
4．（4.00 分）（2018•永州）如图几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4.00 分）（2018•永州）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m3=3m5 B．m2•m3=m6
C．
（﹣m）3=
m
﹣
3D．（mn）3=mn3
6．（4.00 分）（2018•永州）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众
数、中位数分别为（ ）
A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53
7．（4.00 分）（2018•永州）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
第1页（共28页）
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．任意多边形的内角和为360°
D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
8．（4.00 分）（2018•永州）如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，
∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC 的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．（4.00 分）（2018•永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y= （b≠0）与
二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4.00 分）（2018•永州）甲从商贩A 处购买了若干斤西瓜，又从商贩B 处购买
了若干斤西瓜．A、B 两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从
A、B 两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为
（ ）
A．商贩A 的单价大于商贩B 的单价
B．商贩A 的单价等于商贩B 的单价
C．商版A 的单价小于商贩B 的单价
D．赔钱与商贩A、商贩B 的单价无关
二、填空题（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
11．（4.00 分）（2018•永州）截止2017 年年底，我国60 岁以上老龄人口达2.4 亿，
占总人口比重达17.3%．将2.4 亿用科学记数法表示为 ．
12．（4.00 分）（2018•永州）因式分解：x2
1=
﹣
．
第2页（共28页）
13．
（4.00 分）
（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、
CE 相交于点D，则∠BDC= ．
14．（4.00 分）（2018•永州）化简：（1+
）÷
= ．
15．（4.00 分）（2018•永州）在一个不透明的盒子中装有n 个球，它们除了颜色之
外其它都没有区别，其中含有3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后
随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的
频率稳定在0.03，那么可以推算出n 的值大约是 ．
16．（4.00 分）（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O
为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则
的长为 ．
17．（4.00 分）（2018•永州）对于任意大于0 的实数x、y，满足：log2（x•y）
=log2x+log2y，若log22=1，则log216= ．
18．（4.00 分）（2018•永州）现有A、B 两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建
一条笔直的输油管道，使得A、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为
0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 种．
三、解答题（本大题共8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8.00 分）（2018•永州）计算：2
1
﹣﹣
sin60°+|1﹣
|．
第3页（共28页）
20．（8.00 分）（2018•永州）解不等式组
，并把解集在数轴上表示
出来．
21．（8.00 分）（2018•永州）永州植物园“清风园”共设11 个主题展区．为推进校
园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最
喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、
“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不
完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为
；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文
化”的学生甲被选中的概率为 ．
22．（10.00 分）（2018•永州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB
为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F．
（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；
（2）若AB=6，求平行四边形BCFD 的面积．
23．
（10.00 分）
（2018•永州）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班
第4页（共28页）
上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，
求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
24．（10.00 分）（2018•永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C，E 在⊙O 上，
=
，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE 与线段CD 相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE=
，在AB 的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O 的半径为6．求证：
直线CM 是⊙O 的切线．
25．（12.00 分）（2018•永州）如图1，抛物线的顶点A 的坐标为（1，4），抛物线与x
轴相交于B、C 两点，与y 轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG 最小，
如果存在，求出点G 的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P 是线段OE 上的一动点，过点P 作线段AB 的垂线，分
别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N 都在抛物线对称轴的右侧），当MN
最大时，求△PON 的面积．
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26．（12.00 分）（2018•永州）如图1，在△ABC 中，矩形EFGH 的一边EF 在AB 上，
顶点G、H 分别在BC、AC 上，CD 是边AB 上的高，CD 交GH 于点I．若CI=4，HI=3，
AD=
．矩形DFGI 恰好为正方形．
（1）求正方形DFGI 的边长；
（2）如图2，延长AB 至P．使得AC=CP，将矩形EFGH 沿BP 的方向向右平移，当点
G 刚好落在CP 上时，试判断移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形还
是四边形，为什么？
（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI 绕点D 顺时针旋转一定的角度得到正方形
DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB 相交于点M，N，求△MNG′的周长．
第6页（共28页）
2018 年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4 分，共40
分
1．（4.00 分）（2018•永州）﹣2018 的相反数是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C．
D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣2018 的相反数是2018．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（4.00 分）（2018•永州）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻
着500 多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面
四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分沿对称轴折叠后可重合．
第7页（共28页）
3．（4.00 分）（2018•永州）函数y=
中自变量x 的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x 的范围．
【解答】解：根据题意得：x
3
﹣≠0，
解得：x≠3．
故选：C．
【点评】考查了函数自变量的范围，注意：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（4.00 分）（2018•永州）如图几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．
【解答】解：由图可得，几何体的主视图是：
故选：B．
【点评】本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物
体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
5．（4.00 分）（2018•永州）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m3=3m5 B．m2•m3=m6
C．
（﹣m）3=
m
﹣
3D．（mn）3=mn3
第8页（共28页）
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可
得．
【解答】解：A、m2与2m3不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、m2•m3=m5，此选项错误；
C、（﹣m）3=
m
﹣
3，此选项正确；
D、（mn）3=m3n3，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂
的乘法、幂的乘方与积的乘方．
6．（4.00 分）（2018•永州）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众
数、中位数分别为（ ）
A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53
【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
【解答】解：数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，
所以这组数据的众数为45，中位数为
（45+51）=48．
故选：A．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中
位数．
7．（4.00 分）（2018•永州）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．任意多边形的内角和为360°
D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
【分析】根据矩形的判定方法对A 进行判断；根据菱形的判定方法对B 进行判断；
根据多边形的内角和对C 进行判断；根据三角形中位线性质对D 进行判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A 选项为假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 选项为假命题；
第9页（共28页）
C、任意多边形的外角和为360°，所以C 选项为假命题；
D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D 选项为真命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一
个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，
这样的真命题叫做定理．
8．（4.00 分）（2018•永州）如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，
∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC 的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得
=
，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴
=
，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC＞0，
∴AC=4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形
解决问题，属于中考常考题型．
9．（4.00 分）（2018•永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y= （b≠0）与
二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
第10页（共28页）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b 的值取值范围，进而利用反
比例函数的性质得出答案．
【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx 开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y 轴的右侧，
则a、b 异号，即b＜0．所以反比例函数y=
的图象位于第二、四象限，故本选项错
误；
B、抛物线y=ax2+bx 开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y 轴的左侧，则a、b 同号，
即b＞0．所以反比例函数y=
的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y=ax2+bx 开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y 轴的右侧，则a、b 异号，
即b＞0．所以反比例函数y=
的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y=ax2+bx 开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y 轴的右侧，则a、b 异号，
即b＞0．所以反比例函数y=
的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二
次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
10．（4.00 分）（2018•永州）甲从商贩A 处购买了若干斤西瓜，又从商贩B 处购买
了若干斤西瓜．A、B 两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从
A、B 两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为
（ ）
A．商贩A 的单价大于商贩B 的单价
B．商贩A 的单价等于商贩B 的单价
第11页（共28页）
C．商版A 的单价小于商贩B 的单价
D．赔钱与商贩A、商贩B 的单价无关
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联
系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
【解答】解：利润=总售价﹣总成本=
×5﹣（3a+2b）=0.5b
0.5a
﹣
，赔钱了说明利
润＜0
∴0.5b
0.5a
﹣
＜0，
∴a＞b．
故选：A．
【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符
合题意的不等关系式．
二、填空题（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
11．（4.00 分）（2018•永州）截止2017 年年底，我国60 岁以上老龄人口达2.4 亿，
占总人口比重达17.3%．将2.4 亿用科学记数法表示为
2.4
×
10
8
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：2.4 亿=2.4×108．
故答案为：2.4×108
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
12．（4.00 分）（2018•永州）因式分解：x2
1=
﹣
（
x + 1 ）（
x
1
﹣
）
．
【分析】方程利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（x+1）（x
1
﹣）．
故答案为：（x+1）（x
1
﹣）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关
键．
第12页（共28页）
13．
（4.00 分）
（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、
CE 相交于点D，则∠BDC=
75°
．
【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，
∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，
∴∠BDC=∠ADE=75°，
故答案为75°．
【点评】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考基础题．
14．（4.00 分）（2018•永州）化简：（1+
）÷
=
．
【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1+
）÷
=
=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计
算方法．
第13页（共28页）
15．（4.00 分）（2018•永州）在一个不透明的盒子中装有n 个球，它们除了颜色之
外其它都没有区别，其中含有3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后
随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的
频率稳定在0.03，那么可以推算出n 的值大约是
100
．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附
近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，
=0.03，
解得，n=100．
故估计n 大约是100．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（4.00 分）（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O
为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则
的长为
．
【分析】由点A（1，1），可得OA=
=
，点A 在第一象限的角平分线上，那
么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵点A（1，1），
∴OA=
=
，点A 在第一象限的角平分线上，
∵以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，
∴∠AOB=45°，
第14页（共28页）
∴
的长为
=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了弧长公式：l=
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），
也考查了坐标与图形变化﹣旋转，求出OA=
以及∠AOB=45°是解题的关键．
17．（4.00 分）（2018•永州）对于任意大于0 的实数x、y，满足：log2（x•y）
=log2x+log2y，若log22=1，则log216=
4
．
【分析】利用log2（x•y）=log2x+log2y 得到log216=log22+log22+log22+log22，然后根据
log22=1 进行计算．
【解答】解：log216=log2（2•2•2•2）=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方
法．
18．（4.00 分）（2018•永州）现有A、B 两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建
一条笔直的输油管道，使得A、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为
0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有
4
种．
【分析】根据点A、B 的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可；
【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4 种，如图所示；
故答案为4．
【点评】本题考查整体﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
第15页（共28页）
三、解答题（本大题共8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8.00 分）（2018•永州）计算：2
1
﹣﹣
sin60°+|1﹣
|．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意
义计算即可求出值．
【解答】解：原式=
﹣
×
+2=1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8.00 分）（2018•永州）解不等式组
，并把解集在数轴上表示
出来．
【分析】分别解不等式组的两个不等式，即可得到其公共部分，依据解集即可在数
轴上表示出来．
【解答】解：
，
解不等式①，可得
x＜3，
解不等式②，可得
x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
在数轴上表示出来为：
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求
出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示
不等式组的解集．
21．（8.00 分）（2018•永州）永州植物园“清风园”共设11 个主题展区．为推进校
园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最
第16页（共28页）
喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、
“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不
完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为
40
人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为
15%
；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文
化”的学生甲被选中的概率为
．
【分析】（1）依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生
总人数；
（2）依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比；
（3）依据“德文化”的学生数为40
12
8
10
6=4
﹣
﹣﹣
﹣
，即可补全条形统计图；
（4）设最喜欢“德文化”的4 个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德
文化”的学生甲被选中的概率．
【解答】解：（1）参观的学生总人数为12÷30%=40（人）；
（2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为
×100%=15%；
（3）“德文化”的学生数为40
12
8
10
6=4
﹣
﹣﹣
﹣
，条形统计图如下：
第17页（共28页）
（4）设最喜欢“德文化”的4 个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：
∵共有12 种等可能的结果，甲同学被选中的有6 种情况，
∴甲同学被选中的概率是：
=
．
故答案为：40；15%；
．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，树状图法与列表法求概率．用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（10.00 分）（2018•永州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB
为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F．
（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；
（2）若AB=6，求平行四边形BCFD 的面积．
【分析】（1）在Rt△ABC 中，E 为AB 的中点，则CE=
AB，BE=
AB，得到
∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得
∠AFE=∠D=60 度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即
FD∥BC，则四边形BCFD 是平行四边形．
（2）在Rt△ABC 中，求出BC，AC 即可解决问题；
【解答】（1）证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
第18页（共28页）
在等边△ABD 中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E 为AB 的中点，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．
在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 的中点，
∴CE=
AB，BE=
AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形BCFD 是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABC 中，∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC=
AB=3，AC=
BC=3
，
∴S 平行四边形BCFD=3×
=9
．
第19页（共28页）
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角
形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形
解决问题，属于中考常考题型．
23．
（10.00 分）
（2018•永州）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班
上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，
求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x 人，女生人数为y 人，根据
“男生人数+女生人数=55、男生人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答．
【解答】解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x 人，女生人数为y 人，
依题意得：
，
解得
，
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35 人，女生人数为20 人．
【点评】考查了二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的
等量关系是解决问题的关键．
24．（10.00 分）（2018•永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C，E 在⊙O 上，
=
，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE 与线段CD 相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE=
，在AB 的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O 的半径为6．求证：
直线CM 是⊙O 的切线．
第20页（共28页）
【分析】（1）延长CD 交⊙O 于G，如图，利用垂径定理得到
=
，则可证明
=
，然后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得到CF=BF；
（2）连接OC 交BE 于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH 中利
用解直角三角形得到BH=
，OH=
，接着证明△OHB∽△OCM 得到
∠OCM=∠OHB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）延长CD 交⊙O 于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴
=
，
∵
=
，
∴
=
，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF；
（2）连接OC 交BE 于H，如图，
∵
=
，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH 中，cos∠OBH=
=
，
∴BH=
×6=
，
∴OH=
=
，
第21页（共28页）
∵
=
=
，
=
=
，
∴
=
，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆
的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
25．（12.00 分）（2018•永州）如图1，抛物线的顶点A 的坐标为（1，4），抛物线与x
轴相交于B、C 两点，与y 轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG 最小，
如果存在，求出点G 的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P 是线段OE 上的一动点，过点P 作线段AB 的垂线，分
别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N 都在抛物线对称轴的右侧），当MN
最大时，求△PON 的面积．
第22页（共28页）
【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E 关于对称轴的对称点E'，连接E'F 交对称轴
于G，此时EG+FG 的值最小，先求E'F 的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点
G；
（3）如图2，先利用待定系数法求AB 的解析式为：y=
2x
﹣
+6，设N（m，﹣
m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=
m
﹣
2+4m
3
﹣，证明
△QMN∽△ADB，列比例式可得MN 的表达式，根据配方法可得当m=2 时，MN 有
最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG 的长，从而得OP 的长，根据三角形的面
积公式可得结论，并将m=2 代入计算即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x
1
﹣）2+4，
把（0，3）代入得：3=a（0
1
﹣）2+4，
a=
1
﹣，
∴抛物线的表达式为：y=﹣（x
1
﹣）2+4=
x
﹣2+2x+3；
（2）存在，
如图1，作E 关于对称轴的对称点E'，连接E'F 交对称轴于G，此时EG+FG 的值最
小，
∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F 的解析式为：y=3x
3
﹣，
当x=1 时，y=3×1
3=0
﹣
，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB 的解析式为：y=
2x
﹣
+6，
第23页（共28页）
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），
∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=
m
﹣
2+4m
3
﹣，
∵AD∥NH，
∴∠DAB=∠NQM，
∵∠ADB=∠QMN=90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴
，
∴
，
∴MN=﹣
（m
2
﹣）2+
，
∵﹣
＜0，
∴当m=2 时，MN 有最大值；
过N 作NG⊥y 轴于G，
∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，
∴△NGP∽△ADB，
∴
=
=
，
∴PG=
NG=
m，
∴OP=OG
PG=
m
﹣
﹣
2+2m+3﹣
m=
m
﹣
2+
m+3，
∴S△PON=
OP•GN=
（﹣m2+
m+3）•m，
当m=2 时，S△PON=
×2（﹣4+3+3）=2．
第24页（共28页）
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形
的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m 的方程是解题答问题
（3）的关键．
26．（12.00 分）（2018•永州）如图1，在△ABC 中，矩形EFGH 的一边EF 在AB 上，
顶点G、H 分别在BC、AC 上，CD 是边AB 上的高，CD 交GH 于点I．若CI=4，HI=3，
AD=
．矩形DFGI 恰好为正方形．
（1）求正方形DFGI 的边长；
（2）如图2，延长AB 至P．使得AC=CP，将矩形EFGH 沿BP 的方向向右平移，当点
第25页（共28页）
G 刚好落在CP 上时，试判断移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形还
是四边形，为什么？
（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI 绕点D 顺时针旋转一定的角度得到正方形
DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB 相交于点M，N，求△MNG′的周长．
【分析】（1）由HI∥AD，得到
=
，求出AD 即可解决问题；
（2）如图2 中，设等G 落在PC 时对应的点为G′，点F 的对应的点为F′．求出IG′和
BD 的长比较即可判定；
（3）如图3 中，如图将△DMI′绕点D 逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R 共线
想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1 中，
∵HI∥AD，
∴
=
，
∴
=
，
∴AD=6，
∴ID=CD
CI=2
﹣
，
∴正方形的边长为2．
（2）如图2 中，设等G 落在PC 时对应的点为G′，点F 的对应的点为F′．
第26页（共28页）
∵CA=CP，CD⊥PA，
∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P，
∵HG′∥PA，
∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P，
∴∠CHG′=∠CG′H，
∴CH=CG′，
∴IH=IG′=DF′=3，
∵IG∥DB，
∴
=
，
∴
=
，
∴DB=3，
∴DB=DF′=3，
∴点B 与点F′重合，
∴移动后的矩形与△CBP 重叠部分是△BGG′，
∴移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形．
（3）如图3 中，如图将△DMI′绕点D 逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R 共线
∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，
∵DN=DN，DM=DR，
第27页（共28页）
∴△NDM≌△NDR，
∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，
∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定
理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
第28页（共28页）
