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2018 年浙江省温州市五校协作体中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）在
，
，0，﹣2 这四个数中，最小的数是（ ）
A．
B．
C．0
D．﹣2
2．（4 分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5
B．a2•a3＝a5
C．（2a）2＝4a
D．（a2）3＝a5
3．（4 分）如图所示，该圆柱体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC 等于（ ）
A．22°
B．26°
C．32°
D．34°
5．（4 分）某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10 名同学参
加今年初中学业水平考试的体育成绩，统计结果如下表所示：
成绩（分）
36
37
38
39
40
人数（人）
1
2
1
4
2
表中表示成绩分数的数据中，中位数是（ ）
A．38 分
B．38.5 分
C．39 分
D．39.5 分
6．（4 分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0 时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2＝1
B．（x﹣3）2＝1
C．（x+3）2＝19
D．（x﹣3）2＝19
7．（4 分）不等式组
的解集是（ ）
A．x≥2
B．1＜x＜2
C．1＜x≤2
D．x≤2
8．（4 分）已知点（﹣2，y1），（1，0），（3，y2）都在一次函数y＝kx﹣2 的图象上，则
y1，y2，0 的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2
B．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
D．y2＜0＜y1
9．（4 分）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图是一个
七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中点E，P 分别是AD，CD 的
中点，AB＝2
，一只蚂蚁从A 处沿图中实线爬行到出口P 处，则它爬行的最
短路径长为（ ）
A．3
B．2+
C．4
D．3
10．（4 分）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转
得到矩形AEFG，AE，FG 分别交射线CD 于点PH，连结AH，若P 是CH 的中
点，则△APH 的周长为（ ）
A．15
B．18
C．20
D．24
二、填空题（本题有6 小题，每小题5 分，共30 分）
11．（5 分）分解因式：a2﹣4a＝ ．
12．
（5 分）一个布袋里装有10 个只有颜色不同的球，这10 个球中有m 个红球，从
布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复实验
后发现，摸到红球的频率稳定在0.3 左右，则m 的值约为 ．
13．（5 分）某种品牌手机经过4，5 月份连续两次降价，每部售价由5000 降到
3600 元，且5 月份降价的百分率是4 月份降价的百分率的2 倍．设4 月份降价
的百分率为x，根据题意可列方程： （不解方程）．
14．（5 分）如图，把菱形ABCD 沿折痕AH 翻折，使B 点落在BC 延长线上的点E
处，连结DE，若∠B＝30°，则∠CDE＝ °．
15．（5 分）如图，要在宽AB 为20 米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 与
灯柱BC 成120°角，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公
路路面的中心线（即O 为AB 的中点）时照明效果最佳，若CD＝
米，则路灯
的灯柱BC 高度应该设计为 米（计算结果保留根号）．
16．（5 分）如图，直角坐标系xOy 中，直线y＝﹣x+b 分别交x，y 轴的正半轴于点
A，B，交反比例函数y＝﹣
的图象于点C，D（点C 在第二象限内），过点C 作
CE⊥x 轴于点E，记四边形OBCE 的面积为S1，△OBD 的面积为S2，若
则CD 的长为 ．
三、解答题（本题有8 小题，共80 分）
17．（8 分）计算：（﹣2）0﹣（
）2+|﹣1|．
18．（8 分）如图，在△ABE 中，C 为边AB 延长线上一点，BC＝AE，点D 在∠EBC
内部，且∠EBD＝∠A＝∠DCB．
（1）求证：△ABE≌△CDB．
（2）连结DE，若∠CDB＝60°，∠AEB＝50°，求∠BDE 的度数．
19．（8 分）如图，5×5 的正方形网格中隐去了一些网格线，AB，CD 间的距离是2
个单位，CD，EF 间的距离是3 个单位，格点O 在CD 上（网格线的交点叫格
点）．请分别在图①、②中作格点三角形OPQ，使得∠POQ＝90°，其中点P 在
AB 上，点Q 在EF 上，且它们不全等．
20．（10 分）随着道路交通的不断完善，某市旅游业快速发展，该市旅游景区有A、
B、C、D、E 等著名景点，市旅游部门统计绘制出2017 年“五•一”长假期间旅
游情况统计图（不完整）如下所示，根据相关信息解答下列问题：
（1）2017 年“五•一”期间，该市旅游景点共接待游客 万人，扇形统计图
中A 景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）在等可能性的情况下，甲、乙两个旅行团在A、B、D 三个景点中选择去同一景
点的概率是多少？请用画树状图或列表加以说明．
21．（10 分）如图，钝角△ABC 中，AB＝AC，BC＝2
，O 是边AB 上一点，以O 为
圆心，OB 为半径作⊙O，交边AB 于点D，交边BC 于点E，过E 作⊙O 的切线
交边AC 于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连结DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O 的半径长．
22．
（10 分）如图，▱ABCD 位于直角坐标系中，AB＝2，点D（0，1），以点C 为顶点
的抛物线y＝ax2+bx+c 经过x 轴正半轴上的点A，B，CE⊥x 轴于点E．
（1）求点A，B，C 的坐标．
（2）将该抛物线向上平移m 个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x 轴于点
M，N．
①求MN 的长．
②点P 是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得AQ，则
OQ 的最小值为 （直接写出答案即可）
23．（12 分）如图，王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC，AB＝AC＝5 米，BC＝
6 米，现打算把它开垦出一个矩形MNFE 区域种植韭菜，△AMN 区域种植芹菜，
△CME 和△BNF 区域种植青菜（开垦土地面积损耗均忽略不计），其中点M，N
分别在AC，AB 上，点E，F 在BC 上，已知韭菜每平方米收益100 元，芹菜每平
方米收益60 元，青菜每平方米收益40 元，设CM＝5x 米，王爷爷的蔬菜总收益
为W 元．
（1）当矩形MNFE 恰好为正方形时，求韭菜种植区域矩形MNFE 的面积．
（2）若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2 倍，求这时x 的值．
（3）求王爷爷的蔬菜总收益为W 关于x 的函数表达式及W 的最大值．
24．（14 分）如图，矩形ABCD 中，AD＝10，CD＝15，E 是边CD 上一点，且DE＝
5，P 是射线AD 上一动点，过A，P，E 三点的⊙O 交直线AB 于点F，连结PE，
EF，PF，设AP＝m．
（1）当m＝6 时，求AF 的长．
（2）在点P 的整个运动过程中．
①tan∠PFE 的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围．
②当矩形ABCD 恰好有2 个顶点落在⊙O 上时，求m 的值．
（3）若点A，H 关于点O 成中心对称，连结EH，CH．当△CEH 是等腰三角形时，求
出所有符合条件的m 的值．（直接写出答案即可）
2018 年浙江省温州市五校协作体中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）在
，
，0，﹣2 这四个数中，最小的数是（ ）
A．
B．
C．0
D．﹣2
【考点】2A：实数大小比较．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，即可得出选项．
【解答】解：∵﹣2＜0＜
＜
，
∴在
，
，0，﹣2 这四个数中，最小的数是﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是
解此题的关键．
2．（4 分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5
B．a2•a3＝a5
C．（2a）2＝4a
D．（a2）3＝a5
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
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【专题】11：计算题；512：整式．
【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方依次计
算即可判断．
【解答】解：A、a2、a3不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、a2•a3＝a5，此选项正确；
C、（2a）2＝4a2，此选项错误；
D、（a2）3＝a6，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂
的乘法、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方．
3．（4 分）如图所示，该圆柱体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；55F：投影与视图．
【分析】先细心观察原立体图形，是一个圆柱，所以它的左视图是矩形．
【解答】解：该圆柱体的左视图是：
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱的三视图，应熟练掌握：圆柱的主视图和左视图都是矩形，
俯视图是圆．
4．（4 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC 等于（ ）
A．22°
B．26°
C．32°
D．34°
【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用圆周角定理得出∠BOC＝136°，再利用三角形内角和定理得出
答案．
【解答】解：连接CO，
∵∠A＝68°，
∴∠BOC＝136°，
∴∠OBC＝∠OCB＝
（180°﹣136°）＝22°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠BOC 的
度数是解题关键．
5．（4 分）某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10 名同学参
加今年初中学业水平考试的体育成绩，统计结果如下表所示：
成绩（分）
36
37
38
39
40
人数（人）
1
2
1
4
2
表中表示成绩分数的数据中，中位数是（ ）
A．38 分
B．38.5 分
C．39 分
D．39.5 分
【考点】W4：中位数．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：∵一共有1+2+1+4+2＝10 个数据，
∴第5 和第6 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：
＝39，
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
6．（4 分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0 时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2＝1
B．（x﹣3）2＝1
C．（x+3）2＝19
D．（x﹣3）2＝19
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝10，
配方得：x2﹣6x+9＝19，即（x﹣3）2＝19，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题
的关键．
7．（4 分）不等式组
的解集是（ ）
A．x≥2
B．1＜x＜2
C．1＜x≤2
D．x≤2
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】分别解两个不等式得到x＞1 和x≤2，然后利用大小小大中间找确定不等
式组的解集．
【解答】解：
解①得x＞1，
解②得x≤2，
所以不等式组的解集为1＜x≤2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其
中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不
等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小
找不到．
8．（4 分）已知点（﹣2，y1），（1，0），（3，y2）都在一次函数y＝kx﹣2 的图象上，则
y1，y2，0 的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2
B．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
D．y2＜0＜y1
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】先根据点（1，0）在一次函数y＝kx﹣2 的图象上，求出k＝2＞0，再利用一
次函数的性质判断出函数的增减性，然后根据三点横坐标的大小得出结论．
【解答】解：∵点（1，0）在一次函数y＝kx﹣2 的图象上，
∴k﹣2＝0，
∴k＝2＞0，
∴y 随x 的增大而增大，
∵﹣2＜1＜3，
∴y1＜0＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点
的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性
质．
9．（4 分）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图是一个
七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中点E，P 分别是AD，CD 的
中点，AB＝2
，一只蚂蚁从A 处沿图中实线爬行到出口P 处，则它爬行的最
短路径长为（ ）
A．3
B．2+
C．4
D．3
【考点】IM：七巧板；LF：正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】由图可知，蚂蚁从点A 处沿图中实线爬行到出口点P 处，它爬行的最短路
程为AE+EP．
【解答】解：∵正方形ABCD，E，P 分别是AD，CD 的中点，AB＝2
，
∴AE＝DE＝DP＝
，∠D＝90°，
∴EP＝
＝
＝2，
∴蚂蚁从点A 处沿图中实线爬行到出口点P 处，它爬行的最短路程为AE+EP＝
+2．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，七巧板以及勾股定理等知识，找出蚂蚁爬行的
最短路线是解题的关键．
10．（4 分）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转
得到矩形AEFG，AE，FG 分别交射线CD 于点PH，连结AH，若P 是CH 的中
点，则△APH 的周长为（ ）
A．15
B．18
C．20
D．24
【考点】LB：矩形的性质；R2：旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形 菱形 正方形；558：平移、旋转
与对称．
【分析】设HD 为x，表示HP，由面积法证明HP＝AP，由勾股定理求x，再由勾股
定理求HA，问题可解．
【解答】解：设HD＝x，由已知HC＝x+8
∵P 是CH 的中点
∴HP＝
有图形可知，△HPA 中，边HP 和边AP 边上高相等
∴由面积法HP＝AP
∴AP＝4+
∵DP＝HP﹣HD＝4﹣
∴Rt△APD 中
AP2＝DP2+AD2
∴（4+
）2＝（4﹣
）2+62
解得x＝
∴HP＝4+
＝
∴Rt△ADH 中，
HA＝
∴△APH 的周长为
＝20
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形
的判定与性质．
二、填空题（本题有6 小题，每小题5 分，共30 分）
11．（5 分）分解因式：a2﹣4a＝
a （
a ﹣
4 ）
．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【分析】由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．
【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．
故答案为：a（a﹣4）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式，是基础题．
12．
（5 分）一个布袋里装有10 个只有颜色不同的球，这10 个球中有m 个红球，从
布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复实验
后发现，摸到红球的频率稳定在0.3 左右，则m 的值约为
3
．
【考点】X8：利用频率估计概率．菁优网版权所有
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附
近，可以从比例关系入手，列出等式解答．
【解答】解：根据题意得，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到
的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（5 分）某种品牌手机经过4，5 月份连续两次降价，每部售价由5000 降到
3600 元，且5 月份降价的百分率是4 月份降价的百分率的2 倍．设4 月份降价
的百分率为x，根据题意可列方程：
5000
（ 1 ﹣
x ）（
1 ﹣
2 x ）＝
3600
（不解方
程）．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】123：增长率问题．
【分析】设4 月份降价的百分率为x，则5 月份降价的百分率为2x，根据某件商品
原价5000 元，经过两次降价后，售价为3600 元，可列方程．
【解答】解：设4 月份降价的百分率为x，则5 月份降价的百分率为2x，
根据题意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，
故答案为：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变
化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关
系为a（1±x）2＝b．
14．（5 分）如图，把菱形ABCD 沿折痕AH 翻折，使B 点落在BC 延长线上的点E
处，连结DE，若∠B＝30°，则∠CDE＝
45
°．
【考点】L8：菱形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】556：矩形 菱形 正方形；558：平移、旋转与对称．
【分析】由菱形性质可知∠BAD＝150，由折叠AB＝AE＝AD，∠BAE＝120°，则
∠DAE＝30°，由等腰三角形性质，可求∠ADE 从而求∠CDE．
【解答】解：由折叠，BA＝EA
∵∠B＝30°
∴∠BAC＝120°
∵四边形ABCD 为菱形
∴∠BAD＝150°
∴∠EAD＝30°
∵AD＝AB＝AE
∴∠ADE＝75°
∵∠ADC＝∠B＝30°
∴∠CDE＝45°
故答案为：45
【点评】本题为图形折叠问题，考查了菱形性质和图形折叠的相关性质，解答时注
意数形结合．
15．（5 分）如图，要在宽AB 为20 米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 与
灯柱BC 成120°角，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公
路路面的中心线（即O 为AB 的中点）时照明效果最佳，若CD＝
米，则路灯
的灯柱BC 高度应该设计为
8
米（计算结果保留根号）．
【考点】T8：解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、
PC，再相减即可求得BC 长．
【解答】解：如图，延长OD，BC 交于点P．
∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝10 米，CD＝
米，
∴在直角△CPD 中，DP＝DC•tan60°＝3m，PC＝CD÷（sin30°）＝2
（米），
∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴
＝
，
∴PB＝
＝
＝10
（米），
∴BC＝PB﹣PC＝10
﹣2
＝8
（米）．
故答案为：8
．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，
正确作出辅助线是解题关键．
16．（5 分）如图，直角坐标系xOy 中，直线y＝﹣x+b 分别交x，y 轴的正半轴于点
A，B，交反比例函数y＝﹣
的图象于点C，D（点C 在第二象限内），过点C 作
CE⊥x 轴于点E，记四边形OBCE 的面积为S1，△OBD 的面积为S2，若
则CD 的长为
5
．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】534：反比例函数及其应用．
【分析】由题意B（0，b），A（b，0），推出OA＝OB＝b，因为直线y＝﹣x+b 关于直线
y＝x 对称，反比例函数y＝﹣
关于y＝x 对称，推出BC＝AD，设BC＝AD＝a，
则C（﹣
a，b+
a），D（b+
a，﹣
a），想办法构建方程求出a、b 的关系，
求出点D 的坐标（用b 表示），再利用待定系数法即可解决问题；
【解答】解：由题意B（0，b），A（b，0），
∴OA＝OB＝b，
∵直线y＝﹣x+b 关于直线y＝x 对称，反比例函数y＝﹣
关于y＝x 对称，
∴BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（﹣
a，b+
a），D（b+
a，﹣
a），
∵
，
∴
＝
，
整理得：12a2+17
ab﹣7b2＝0，
解得a＝
b 或a＝﹣
b（舍弃），
∴D（
b，﹣
b），
∵D 在y＝﹣
的图象上，
∴
b×（﹣
b）＝﹣4，
解得b＝3 或﹣3（舍弃），
∴D（4，﹣1），C（﹣1，4），
∴CD＝
＝5
，
故答案为5
．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用轴
对称的性质解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的
压轴题．
三、解答题（本题有8 小题，共80 分）
17．（8 分）计算：（﹣2）0﹣（
）2+|﹣1|．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣6+1
＝﹣4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（8 分）如图，在△ABE 中，C 为边AB 延长线上一点，BC＝AE，点D 在∠EBC
内部，且∠EBD＝∠A＝∠DCB．
（1）求证：△ABE≌△CDB．
（2）连结DE，若∠CDB＝60°，∠AEB＝50°，求∠BDE 的度数．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】55：几何图形．
【分析】（1）根据角的关系得出∠AEB＝∠DBC，利用全等三角形的判定证明即可
（2）根据全等三角形的性质得出BE＝BD，再利用等腰三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠ABE+∠EBD+∠DBC＝180°，∠A+∠AEB+∠EBA＝180°，
∵∠EBD＝∠A＝∠DCB，
∴∠EBA＝∠DBC，
在△ABE 与△CDB 中
，
∴△ABE≌△CDB（AAS），
（2）∵△ABE≌△CDB，
∴BE＝DB，∠AEB＝∠DBC，
∵∠CDB＝60°，∠AEB＝50°，
∴∠DBC＝50°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠EBD＝∠DCB＝70°，
∴∠BDE＝
．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形
中隐含的相等或全等关系是解题的关键．
19．（8 分）如图，5×5 的正方形网格中隐去了一些网格线，AB，CD 间的距离是2
个单位，CD，EF 间的距离是3 个单位，格点O 在CD 上（网格线的交点叫格
点）．请分别在图①、②中作格点三角形OPQ，使得∠POQ＝90°，其中点P 在
AB 上，点Q 在EF 上，且它们不全等．
【考点】KA：全等三角形的性质；N4：作图—应用与设计作图．菁优网版权所有
【专题】13：作图题．
【分析】利用数形结合的思想，构造直角三角形即可解决问题；
【解答】解：△POQ 如图所示；
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常
考题型．
20．（10 分）随着道路交通的不断完善，某市旅游业快速发展，该市旅游景区有A、
B、C、D、E 等著名景点，市旅游部门统计绘制出2017 年“五•一”长假期间旅
游情况统计图（不完整）如下所示，根据相关信息解答下列问题：
（1）2017 年“五•一”期间，该市旅游景点共接待游客
50
万人，扇形统计图中
A 景点所对应的圆心角的度数是
108°
，并补全条形统计图．
（2）在等可能性的情况下，甲、乙两个旅行团在A、B、D 三个景点中选择去同一景
点的概率是多少？请用画树状图或列表加以说明．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；54：统计与概率．
【分析】（1）根据A 景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接
待游客数；根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
根据B 景点接待游客数补全条形统计图；
（2）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D 三个景点中各选择一个景点，画出树状图，
根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．
【解答】解：（1）该市旅游景点共接待游客15÷30%＝50（万人），
扇形统计图中A 景点所对应的圆心角的度数是360°×30%＝108°，
B 景点的人数为50×24%＝12（万人），
补全条形图如下：
故答案为：50、108°；
（2）画树状图可得：
∵共有9 种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一
个景点的结果有3 种，
∴同时选择去同一个景点的概率＝
＝
．
【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及概率的计算
的综合应用，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键．当有两个元素
时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率＝所求情况数与总情
况数之比．
21．（10 分）如图，钝角△ABC 中，AB＝AC，BC＝2
，O 是边AB 上一点，以O 为
圆心，OB 为半径作⊙O，交边AB 于点D，交边BC 于点E，过E 作⊙O 的切线
交边AC 于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连结DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O 的半径长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；MC：切线的性质．菁优网版权所有
【专题】55C：与圆有关的计算．
【分析】（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而
得到EF⊥AC；
（2）连接DE，如图，设
．⊙O 的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，
则DE＝
BD＝r，BE＝
r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r 表示
出DF＝
r，EF＝
r，CE＝
r，
从而得到
r+
r＝2
，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∵EF 为切线，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AC；
（2）解：连接DE，如图，设
．⊙O 的半径长为r，
∵BD 为直径，
∴∠BED＝90°，
在Rt△BDE 中，∵∠B＝30°，
∴DE＝
BD＝r，BE＝
r，
∵DF∥BC，
∴∠EDF＝∠BED＝90°，
∵∠C＝∠B＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴∠DFE＝∠CEF＝60°，
在Rt△DEF 中，DF＝
r，
∴EF＝2DF＝
r，
在Rt△CEF 中，CE＝2EF＝
r，
而BC＝2
，
∴
r+
r＝2
，解得r＝
，
即⊙O 的半径长为
．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切
线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，
见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理．
22．
（10 分）如图，▱ABCD 位于直角坐标系中，AB＝2，点D（0，1），以点C 为顶点
的抛物线y＝ax2+bx+c 经过x 轴正半轴上的点A，B，CE⊥x 轴于点E．
（1）求点A，B，C 的坐标．
（2）将该抛物线向上平移m 个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x 轴于点
M，N．
①求MN 的长．
②点P 是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得AQ，则
OQ 的最小值为
（直接写出答案即可）
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）先确定出OE＝2，进而得出AE＝BE＝1，OA＝2﹣1＝1．OB＝OE+BE
＝3 即可得出结论；
（2）先确定出抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，
①确定出平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+5，进而求出M（2+
，0），N
（2﹣
，0），即可得出结论；
②先确定出点Q 的运动轨迹，再利用三角形的面积即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∵CE⊥x 轴，
∴OE＝2，
∵点E 是AB 中点，
∴AE＝BE＝1，
∴OA＝2﹣1＝1．OB＝OE+BE＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
∵D（0，1），
∴C（2，1）；
（2）由（1）知，抛物线的顶点C（2，1），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
∵A（1，0）在抛物线上，
∴a（1﹣2）2+1＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，
①该抛物线向上平移m 个单位恰好经过点D，设平移后的抛物线解析式为y＝﹣
（x﹣2）2+1+m，
∵D（0，1），
∴﹣（﹣2）2+1+m＝1，
∴m＝4，
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+5，
令y＝0，
∴0＝﹣（x﹣2）2+5，
∴x＝2±
，
∴M（2+
，0），N（2﹣
，0），
∴MN＝2
；
②如图，
在第一象限的抛物线对称轴上取一点P1，使∠P1AB＝60°，
在Rt△AEP1中，AP1＝2AE＝2，P2E＝
∴点Q1和点B 重合，
∴Q1（3，0），P1（2，
），
在第一象限的抛物线对称轴上取一点P2，使∠P2AB＝30°，
在Rt△AEP2中，P2E＝AEtan30°＝
，
∴点Q2（2，﹣
），
∴直线Q1Q2的解析式y＝
x﹣
在第二象限的抛物线对称轴上取一点P3，使∠P3AE＝60°，
由旋转知，Q3和点P1关于点A 对称，
∴Q3（0，﹣
），
∴点Q3在直线Q1Q2上，
∴点Q 的运动轨迹是直线Q1Q2，
∴当OQ⊥Q1Q2时，OD 最短，
∵Q1Q3＝2
∴OD 最小＝
＝
，
故答案为
．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，含30 度的直角三角形
的性质，平移的性质，解本题的关键是确定出点Q 的轨迹．
23．（12 分）如图，王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC，AB＝AC＝5 米，BC＝
6 米，现打算把它开垦出一个矩形MNFE 区域种植韭菜，△AMN 区域种植芹菜，
△CME 和△BNF 区域种植青菜（开垦土地面积损耗均忽略不计），其中点M，N
分别在AC，AB 上，点E，F 在BC 上，已知韭菜每平方米收益100 元，芹菜每平
方米收益60 元，青菜每平方米收益40 元，设CM＝5x 米，王爷爷的蔬菜总收益
为W 元．
（1）当矩形MNFE 恰好为正方形时，求韭菜种植区域矩形MNFE 的面积．
（2）若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2 倍，求这时x 的值．
（3）求王爷爷的蔬菜总收益为W 关于x 的函数表达式及W 的最大值．
【考点】HE：二次函数的应用；SA：相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】552：三角形．
【分析】（1）作AH⊥BC 于H，交MN 于D．想办法用x 表示CE、EF、BF，构建方程
即可解决问题；
（2）根据种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2 倍，构建方程即可解决问
题；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）作AH⊥BC 于H，交MN 于D．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴CH＝HB＝3，
在Rt△ACH 中，AH＝
＝4，
∵ME∥AH，
∴
＝
＝
，
∴CE＝3x，EM＝EF＝4x，
易证△MEC≌△NFB，
∴CE＝BF＝3x，
∴3x+4x+3x＝6，
∴x＝
，
∴EM＝
，
∴矩形MNFE 的面积为
平方米．
（2）由题意：100×4x•（6﹣6x）＝2•[60×
×（6﹣6x）•（4﹣4x）+40×4x×3x]，
解得x＝
或
．
（3）由题意W＝100×4x•（6﹣6x）+60×
×（6﹣6x）•（4﹣4x）+40×4x×3x＝﹣
1200x2+960x+720＝﹣1200（x﹣
）2+912，
，∵﹣1200＜0，
∴x＝
时，W 有最大值，最大值为912 元．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、矩形的性质、平行线的性质、二次函数的性
质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（14 分）如图，矩形ABCD 中，AD＝10，CD＝15，E 是边CD 上一点，且DE＝
5，P 是射线AD 上一动点，过A，P，E 三点的⊙O 交直线AB 于点F，连结PE，
EF，PF，设AP＝m．
（1）当m＝6 时，求AF 的长．
（2）在点P 的整个运动过程中．
①tan∠PFE 的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围．
②当矩形ABCD 恰好有2 个顶点落在⊙O 上时，求m 的值．
（3）若点A，H 关于点O 成中心对称，连结EH，CH．当△CEH 是等腰三角形时，求
出所有符合条件的m 的值．（直接写出答案即可）
【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）如图1 中，连接AE．由△ADE∽△FEP，推出
＝
，求出PF，再利
用勾股定理即可解决问题；
（2）①由圆周角定理可知，∠PFE＝∠DAE，推出tan∠PFE＝tan∠DAF＝
即可
解决问题；
②分三种情形画出图形分别求解即可解决问题；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可；
【解答】解：（1）如图1 中，连接AE．
在Rt△DPE 中，∵DE＝5，DP＝AD﹣AP＝4，
∴PE＝
＝
，
在Rt△ADE 中，AE＝
＝5
，
∵∠PAF＝90°，
∴PF 是⊙O 的直径，
∴∠PEF＝∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝∠PFE，
∴△ADE∽△FEP，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴PF＝
，
在Rt△PAF 中，AF＝
＝
＝13．
（2）①tan∠PFE 的值不变．
理由：如图1 中，∵∠PFE＝∠DAE，
∴tan∠PFE＝tan∠DAF＝
＝
．
②如图2 中，当⊙O 经过A、D 时，点P 与D 重合，此时m＝10．
如图3 中，当⊙O 经过A、B 时，
在Rt△BCE 中，BE＝
＝10
，
∵tan∠PFE＝
，
∴PE＝5
，
∴PD＝
＝5，
∴m＝PA＝5．
如图4 中当⊙O 经过AC 时，作FM⊥DC 交DC 的延长线于M．
根据对称性可知，DE＝CM＝BF＝5，
在Rt△EFM 中，EF＝
＝5
，
∴PE＝
EF＝
，
∴PD＝
＝
，
∴m＝AD﹣PD＝
，
综上所述，m＝10 或5 或
时，矩形ABCD 恰好有2 个顶点落在⊙O 上
（3）如图5 中，当EC＝CH＝10 时，作HI⊥CD 交DC 的延长线于I．
∵△PDE∽△EIF，
∴
＝
，
∴EI＝20﹣2m，
∴CI＝20﹣2m﹣10＝10﹣2m，
在Rt△CIH 中，102＝（10﹣2m）2+（10﹣m）2，
解得m＝2 或10（舍弃）．
如图6 中当EC＝EH＝10 时，
在Rt△AEH 中，AH＝
＝
＝15，
易知PF＝AH＝15，
∵PE：EF：PF＝1：2：
，
∴PE＝3
，
在Rt△PDE 中，DP＝
＝2
，
∴m＝PA＝AD﹣PD＝10﹣2
．
如图7 中当HC＝HE 时，延长FH 交CD 于M，则EM＝CM＝BF＝5，
∵△PDE∽△EMF，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴PD＝
，
∴m＝10﹣
＝
如图8 中，当EH＝EC 时，连接FH，PH，延长CD 交FH 于M．
∵△PDE∽△EMF，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴EM＝2m﹣20，
在Rt△EHM 中，102＝（m﹣10）2+（20﹣2m）2
解得：m＝10+2
或10﹣2
（舍弃），
综上所述，满足条件的m 的值为2 或10﹣2
或
或10+2
．
【点评】本题考查圆综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐
角三角函数、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的首先思考问题，属于中考压轴题．
