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2018 年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题共16 小题，共42 分，1-10 小题各3 分，11-16 小题各2 分）
1．（3.00 分）（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2 ．（3.00 分）（2018• 河北）一个整数815550…0 用科学记数法表示为
8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．10
3．（3.00 分）（2018•河北）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称
轴是直线（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
4．（3.00 分）（2018•河北）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10
0.5
﹣
）
C．9.52=102
2
﹣×10×0.5+0.52
D．9.52=92+9×0.5+0.52
5．（3.00 分）（2018•河北）图中三视图对应的几何体是（ ）
第1页（共31页）
A．
B．
C．
D．
6．（3.00 分）（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；
Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
7．
（3.00 分）
（2018•河北）有三种不同质量的物体“
”“
”“
”，其中，同
一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有
一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A．
B．
C
．
D．
8．（3.00 分）（2018•河北）已知：如图，点P 在线段AB 外，且PA=PB，求证：点P 在
线段AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（
）
第2页（共31页）
A．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C
B．过点P 作PC⊥AB 于点C 且AC=BC
C．取AB 中点C，连接PC
D．过点P 作PC⊥AB，垂足为C
9．（3.00 分）（2018•河北）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别
从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：
=
=13，
=
=15：s 甲2=s 丁2=3.6，s 乙2=s 丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
10．（3.00 分）（2018•河北）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的
题数是（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
11．（2.00 分）（2018•河北）如图，快艇从P 处向正北航行到A 处时，向左转50°航
行到B 处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
第3页（共31页）
A．北偏东30°
B．北偏东80°
C．北偏西30°
D．北偏西50°
12．（2.00 分）（2018•河北）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个
正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁
丝需增加（ ）
A．4cm B．8cm C．
（a+4）cm D．（a+8）cm
13．（2.00 分）（2018•河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0D．
14．
（2.00 分）
（2018•河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规
则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，
最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
15．（2.00 分）（2018•河北）如图，点I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将
∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4C．3D．2
16．（2.00 分）（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=
x
﹣（x
3
﹣）+c（0≤x≤3）
与直线l：y=x+2 有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c=1，
第4页（共31页）
乙的结果是c=3 或4，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
二、填空题（本大题有3 个小题，共12 分.17～18 小题各3 分：19 小题有2 个空，
每空3 分，把答案写在题中横线上）
17．（3.00 分）（2018•河北）计算：
= ．
18．（3.00 分）（2018•河北）若a，b 互为相反数，则a2
b
﹣
2= ．
19．（6.00 分）（2018•河北）如图1，作∠BPC 平分线的反向延长线PA，现要分别以
∠APB，∠APC，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形
填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1 的
正方形，此时∠BPC=90°，而
=45 是360°（多边形外角和）的
，这样就恰好可
作出两个边长均为1 的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2
所示．
图2 中的图案外轮廓周长是 ；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周
长是 ．
三、解答题（本大题共7 小题，共计66 分）
20．（8.00 分）（2018•河北）嘉淇准备完成题目：
发现
第5页（共31页）
系数“
”印刷不清楚．
（1）他把“
”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明
原题中“
”是几？
21．（9.00 分）（2018•河北）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘
制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；
（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5 册的学生的概
率；
（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6 册，将其与之前的数据合并后，发
现册数的中位数没改变，则最多补查了 人．
22．
（9.00 分）
（2018•河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的
第1 个至第4 个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都
相等．
尝试 （1）求前4 个台阶上数的和是多少？
（2）求第5 个台阶上的数x 是多少？
应用 求从下到上前31 个台阶上数的和．
发现 试用含k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
第6页（共31页）
23．（9.00 分）（2018•河北）如图，∠A=∠B=50°，P 为AB 中点，点M 为射线AC 上
（不与点A 重合）的任意点，连接MP，并使MP 的延长线交射线BD 于点N，设
∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN 时，求α 的度数；
（3）若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出α 的取值范围．
24．（10.00 分）（2018•河北）如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y=﹣
x+5 的图
象l1分别与x，y 轴交于A，B 两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m 的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC
S
﹣△BOC的值；
（3）一次函数y=kx+1 的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k 的值．
25．（10.00 分）（2018•河北）如图，点A 在数轴上对应的数为26，以原点O 为圆心，
OA 为半径作优弧
，使点B 在O 右下方，且tan∠AOB=
，在优弧
上任取一点
P，且能过P 作直线l∥OB 交数轴于点Q，设Q 在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧
上一段
的长为13π，求∠AOP 的度数及x 的值；
（2）求x 的最小值，并指出此时直线l 与
所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ 的长为12.5，直接写出这时x 的值．
第7页（共31页）
26．（11.00 分）（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水
平）18 米，与y 轴交于点B，与滑道y= （x≥1）交于点A，且AB=1 米．运动员（看
成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线
的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A 的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的
平方成正比，且t=1 时h=5，M，A 的水平距离是vt 米．
（1）求k，并用t 表示h；
（2）设v=5．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y，并求y 与x 的关系式（不写x 的
取值范围），及y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5 米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴
1.8 米，且乙位于甲右侧超过4.5 米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．
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2018 年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16 小题，共42 分，1-10 小题各3 分，11-16 小题各2 分）
1．（3.00 分）（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【解答】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性
质是解题关键．
2 ．（3.00 分）（2018• 河北）一个整数815550…0 用科学记数法表示为
8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．10
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【解答】解：∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选：B．
【点评】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0 时，n 是几，小数
点就向后移几位．
3．（3.00 分）（2018•河北）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称
轴是直线（ ）
第9页（共31页）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：该图形的对称轴是直线l3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
4．（3.00 分）（2018•河北）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10
0.5
﹣
）
C．9.52=102
2
﹣×10×0.5+0.52
D．9.52=92+9×0.5+0.52
【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【解答】解：9.52=（10
0.5
﹣
）2=102
2
﹣×10×0.5+0.52，
故选：C．
【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记
为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
5．（3.00 分）（2018•河北）图中三视图对应的几何体是（ ）
第10页（共31页）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先画出各个图形的三视图，对照给出的三视图，找出正确的答案；或者
用排除法．
【解答】解：观察图象可知选项C 符合三视图的要求，
故选：C．
【点评】考查三视图问题，关键是由主视图和左视图、俯视图可判断确定几何体的
具体形状．
6．（3.00 分）（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；
Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作
法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案
【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
第11页（共31页）
则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
7．
（3.00 分）
（2018•河北）有三种不同质量的物体“
”“
”“
”，其中，同
一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有
一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A．
B．
C
．
D．
【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．
【解答】解：设
的质量为x，
的质量为y，
的质量为：a，
假设A 正确，则，x=1.5y，此时B，C，D 选项中都是x=2y，
故A 选项错误，符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．
8．（3.00 分）（2018•河北）已知：如图，点P 在线段AB 外，且PA=PB，求证：点P 在
线段AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（
）
第12页（共31页）
A．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C
B．过点P 作PC⊥AB 于点C 且AC=BC
C．取AB 中点C，连接PC
D．过点P 作PC⊥AB，垂足为C
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【解答】解：A、利用SAS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点
P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意；
C、利用SSS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P 在线段AB
的垂直平分线上，符合题意；
D、利用HL 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，
符合题意，
B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全
等三角形的判断方法是解本题的关键．
9．（3.00 分）（2018•河北）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别
从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：
=
=13，
=
=15：s 甲2=s 丁2=3.6，s 乙2=s 丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明
这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦
长势比较整齐的是哪种小麦即可．
【解答】解：∵
=
＞
=
，
第13页（共31页）
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s 甲2=s 丁2＜s 乙2=s 丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这
组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
10．（3.00 分）（2018•河北）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的
题数是（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【分析】根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式
除以单项式的法则逐一判断可得．
【解答】解：①﹣1 的倒数是﹣1，原题错误，该同学判断正确；
②|
3
﹣|=3，原题计算正确，该同学判断错误；
③1、2、3、3 的众数为3，原题错误，该同学判断错误；
④20=1，原题正确，该同学判断正确；
⑤2m2÷（﹣m）=
2m
﹣
，原题正确，该同学判断正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查倒数、绝对值、众数、零指数幂及整式的运算，解题的关键是
掌握倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单
项式的法则．
第14页（共31页）
11．（2.00 分）（2018•河北）如图，快艇从P 处向正北航行到A 处时，向左转50°航
行到B 处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30°
B．北偏东80°
C．北偏西30°
D．北偏西50°
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图
，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°．
∠3=∠4﹣∠2=80°
50°=30°
﹣
，
此时的航行方向为北偏东30°，
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2 是解题关键．
12．（2.00 分）（2018•河北）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个
正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁
丝需增加（ ）
A．4cm B．8cm C．
（a+4）cm D．（a+8）cm
第15页（共31页）
【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．
【解答】解：∵原正方形的周长为acm，
∴原正方形的边长为
cm，
∵将它按图的方式向外等距扩1cm，
∴新正方形的边长为（
+2）cm，
则新正方形的周长为4（
+2）=a+8（cm），
因此需要增加的长度为a+8
A=8cm
﹣
．
故选：B．
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长
及代数式的书写规范．
13．（2.00 分）（2018•河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0D．
【分析】利用乘法的意义得到4•2n=2，则2•2n=1，根据同底数幂的乘法得到21+n=1，
然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n 的方程即可．
【解答】解：∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4•2n=2，
∴2•2n=1，
∴21+n=1，
∴1+n=0，
∴n=
1
﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
am•an=a m+n（m，n 是正整数）．
14．
（2.00 分）
（2018•河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规
则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，
第16页（共31页）
最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：∵
÷
=
•
=
•
=
•
=
=
，
∴出现错误是在乙和丁，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．
15．（2.00 分）（2018•河北）如图，点I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将
∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4C．3D．2
第17页（共31页）
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI 是∠CAB 的平
分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的
周长就是边AB 的长．
【解答】解：连接AI、BI，
∵点I 为△ABC 的内心，
∴AI 平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟
练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
16．（2.00 分）（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=
x
﹣（x
3
﹣）+c（0≤x≤3）
与直线l：y=x+2 有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c=1，
乙的结果是c=3 或4，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，求出方程中的△=
4
﹣+4c=0，求出
第18页（共31页）
即可．
【解答】解：把y=x+2 代入y=
x
﹣（x
3
﹣）+c 得：x+2=
x
﹣（x
3
﹣）+c，
即x2
2x
﹣
+2
c=0
﹣
，
所以△=（﹣2）2
4
﹣×1×（2
c
﹣）=
4
﹣+4c=0，
解得：c=1，
所以甲的结果正确；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特
征和一元二次方程的根的判别式等知识点，能得出一个关于x 的一元二次方程是
解此题的关键．
二、填空题（本大题有3 个小题，共12 分.17～18 小题各3 分：19 小题有2 个空，
每空3 分，把答案写在题中横线上）
17．（3.00 分）（2018•河北）计算：
=
2
．
【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．
【解答】解：
=
=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．
18．（3.00 分）（2018•河北）若a，b 互为相反数，则a2
b
﹣
2=
0
．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵a，b 互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2
b
﹣
2=（a+b）（a
b
﹣）=0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解
题关键．
19．（6.00 分）（2018•河北）如图1，作∠BPC 平分线的反向延长线PA，现要分别以
第19页（共31页）
∠APB，∠APC，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形
填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1 的
正方形，此时∠BPC=90°，而
=45 是360°（多边形外角和）的
，这样就恰好可
作出两个边长均为1 的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2
所示．
图2 中的图案外轮廓周长是
14
；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周
长是
21
．
【分析】根据图2 将外围长相加可得图案外轮廓周长；
设∠BPC=2x，先表示中间正多边形的边数：外角为180°
2x
﹣
，根据外角和可得边
数=
，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为
，计算其周长可
得结论．
【解答】解：图2 中的图案外轮廓周长是：8
2
﹣+2+8
2=14
﹣
；
设∠BPC=2x，
∴以∠BPC 为内角的正多边形的边数为：
=
，
以∠APB 为内角的正多边形的边数为：
，
∴图案外轮廓周长是=
2
﹣+
2
﹣+
2=
﹣
+
6
﹣，
根据题意可知：2x 的值只能为60°，90°，120°，144°，
当x 越小时，周长越大，
∴当x=30 时，周长最大，此时图案定为会标，
第20页（共31页）
则则会标的外轮廓周长是=
+
6=21
﹣
，
故答案为：14，21．
【点评】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正
多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360°是关键，并利用数形结合的
思想解决问题．
三、解答题（本大题共7 小题，共计66 分）
20．（8.00 分）（2018•河北）嘉淇准备完成题目：
发现
系数“
”印刷不清楚．
（1）他把“
”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明
原题中“
”是几？
【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；
（2）设“
”是a，将a 看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次
项系数为0，据此得出a 的值．
【解答】解：（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）
=3x2+6x+8
6x
5x
﹣
﹣
2
2
﹣
=
2x
﹣
2+6；
（2）设“
”是a，
则原式=（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）
=ax2+6x+8
6x
5x
﹣
﹣
2
2
﹣
=（a
5
﹣）x2+6，
∵标准答案的结果是常数，
∴a
5=0
﹣
，
第21页（共31页）
解得：a=5．
【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
21．（9.00 分）（2018•河北）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘
制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；
（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5 册的学生的概
率；
（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6 册，将其与之前的数据合并后，发
现册数的中位数没改变，则最多补查了
3
人．
【分析】（1）用读书为6 册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用
总人数分别减去读书为4 册、6 册和7 册的人数得到读书5 册的人数，然后根据中
位数的定义求册数的中位数；
（2）用读书为6 册和7 册的人数和除以总人数得到选中读书超过5 册的学生的概
率；
（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．
【解答】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人），
读书为5 册的学生数为24
5
6
4=9
﹣﹣﹣
（人），
所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；
（2）选中读书超过5 册的学生的概率=
=
；
（3）因为4 册和5 册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即
最多补查了3 人．
故答案为3．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P（A）=事件A 可能出现的结果
第22页（共31页）
数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图和中位数．
22．
（9.00 分）
（2018•河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的
第1 个至第4 个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都
相等．
尝试 （1）求前4 个台阶上数的和是多少？
（2）求第5 个台阶上的数x 是多少？
应用 求从下到上前31 个台阶上数的和．
发现 试用含k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【分析】尝试：
（1）将前4 个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相
等”列出方程求解可得；
应用：根据“台阶上的数字是每4 个一循环”求解可得；
发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k
1
﹣．
【解答】解：尝试：（1）由题意得前4 个台阶上数的和是﹣5
2
﹣+1+9=3；
（2）由题意得﹣2+1+9+x=3，
解得：x=
5
﹣，
则第5 个台阶上的数x 是﹣5；
应用：由题意知台阶上的数字是每4 个一循环，
∵31÷4=7…3，
∴7×3+1
2
5=15
﹣﹣
，
即从下到上前31 个台阶上数的和为15；
发现：数“1”所在的台阶数为4k
1
﹣．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的
和都相等得出台阶上的数字是每4 个一循环．
第23页（共31页）
23．（9.00 分）（2018•河北）如图，∠A=∠B=50°，P 为AB 中点，点M 为射线AC 上
（不与点A 重合）的任意点，连接MP，并使MP 的延长线交射线BD 于点N，设
∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN 时，求α 的度数；
（3）若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出α 的取值范围．
【分析】（1）根据AAS 证明：△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心
在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三
角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN 是锐角三角形，由三角形的内角
和可得结论．
【解答】（1）证明：∵P 是AB 的中点，
∴PA=PB，
在△APM 和△BPN 中，
∵
，
∴△APM≌△BPN；
（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
第24页（共31页）
（3）解：∵△BPN 的外心在该三角形的内部，
∴△BPN 是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
【点评】本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质
求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题
难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．
24．（10.00 分）（2018•河北）如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y=﹣
x+5 的图
象l1分别与x，y 轴交于A，B 两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m 的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC
S
﹣△BOC的值；
（3）一次函数y=kx+1 的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k 的值．
【分析】（1）先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C 作CD⊥AO 于D，CE⊥BO 于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），
可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC
S
﹣△BOC的值；
（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=
；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，
k=﹣
；故k 的值为
或2 或﹣
．
【解答】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣
x+5，可得
4=﹣
m+5，
第25页（共31页）
解得m=2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y=ax，则4=2a，
解得a=2，
∴l2的解析式为y=2x；
（2）如图，过C 作CD⊥AO 于D，CE⊥BO 于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣
x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S△AOC
S
﹣△BOC=
×10×4﹣
×5×2=20
5=15
﹣
；
（3）一次函数y=kx+1 的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k=
；
当l2，l3平行时，k=2；
当11，l3平行时，k=﹣
；
故k 的值为
或2 或﹣
．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法
求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分
类讨论思想等．
25．（10.00 分）（2018•河北）如图，点A 在数轴上对应的数为26，以原点O 为圆心，
第26页（共31页）
OA 为半径作优弧
，使点B 在O 右下方，且tan∠AOB=
，在优弧
上任取一点
P，且能过P 作直线l∥OB 交数轴于点Q，设Q 在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧
上一段
的长为13π，求∠AOP 的度数及x 的值；
（2）求x 的最小值，并指出此时直线l 与
所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ 的长为12.5，直接写出这时x 的值．
【分析】（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；
（2）如图当直线PQ 与⊙O 相切时时，x 的值最小．
（3）由于P 是优弧
上的任意一点，所以P 点的位置分三种情形，分别求解即可
解决问题．
【解答】解：（1）如图1 中，
由
=13π，
解得n=90°，
∴∠POQ=90°，
∵PQ∥OB，
∴∠PQO=∠BOQ，
∴tan∠PQO=tan∠QOB=
=
，
∴OQ=
，
第27页（共31页）
∴x=
．
（2）如图当直线PQ 与⊙O 相切时时，x 的值最小．
在Rt△OPQ 中，OQ=OP÷
=32.5，
此时x 的值为﹣32.5．
（3）分三种情况：
①如图2 中，作OH⊥PQ 于H，设OH=4k，QH=3k．
在Rt△OPH 中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5
3k
﹣
）2，
整理得：k2
3k
20.79=0
﹣
﹣
，
解得k=6.3 或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5．
此时x 的值为31.5．
②如图3 中，作OH⊥PQ 交PQ 的延长线于H．设OH=4k，QH=3k．
第28页（共31页）
在Rt△在Rt△OPH 中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，
整理得：k2+3k
20.79=0
﹣
，
解得k=
6.3
﹣
（舍弃）或3.3，
∴OQ=5k=16.5，
此时x 的值为﹣16.5．
③如图4 中，作OH⊥PQ 于H，设OH=4k，AH=3k．
在Rt△OPH 中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5
3k
﹣
）2，
整理得：k2
3k
20.79=0
﹣
﹣
，
解得k=6.3 或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5 不合题意舍弃．
此时x 的值为﹣31.5．
综上所述，满足条件的x 的值为﹣16.5 或31.5 或﹣31.5．
【点评】本题考查圆综合题、平行线的性质、弧长公式、解直角三角形等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思
想思考问题，属于中考压轴题．
26．（11.00 分）（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水
第29页（共31页）
平）18 米，与y 轴交于点B，与滑道y= （x≥1）交于点A，且AB=1 米．运动员（看
成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线
的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A 的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的
平方成正比，且t=1 时h=5，M，A 的水平距离是vt 米．
（1）求k，并用t 表示h；
（2）设v=5．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y，并求y 与x 的关系式（不写x 的
取值范围），及y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5 米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴
1.8 米，且乙位于甲右侧超过4.5 米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t 表示x、y，再用代入消元法得出y 与x 之间的关系式；
（3）求出甲距x 轴1.8 米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5 米的v
乙．
【解答】解：（1）由题意，点A（1，18）带入y=
得：18=
∴k=18
设h=at2，把t=1，h=5 代入
∴a=5
∴h=5t2
（2）∵v=5，AB=1
∴x=5t+1
∵h=5t2，OB=18
第30页（共31页）
∴y=
5t
﹣
2+18
由x=5t+1
则t=
∴y=﹣
当y=13 时，13=﹣
解得x=6 或﹣4
∵x≥1
∴x=6
把x=6 代入y=
y=3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13
3=10
﹣
（米）
（3）把y=1.8 代入y=
5t
﹣
2+18
得t2=
解得t=1.8 或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=
上
此时，乙的坐标为（1+1.8v 乙，1.8）
由题意：1+1.8v 乙﹣（1+5×1.8）＞4.5
∴v 乙＞7.5
【点评】本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的临界
点问题．
第31页（共31页）
