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2018 年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（本题有10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3.00 分）（2018•金华）在0，1，﹣
，﹣1 四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．1C．
D．﹣1
2．（3.00 分）（2018•金华）计算（﹣a）3÷a 结果正确的是（ ）
A．a2
B．﹣a2 C．﹣a3 D．﹣a4
3．（3.00 分）（2018•金华）如图，∠B 的同位角可以是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
4．（3.00 分）（2018•金华）若分式
的值为0，则x 的值为（ ）
A．3B．﹣3 C．3 或﹣3 D．0
5．（3.00 分）（2018•金华）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．直三棱柱B．长方体C．圆锥D．立方体
6．（3.00 分）（2018•金华）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度
数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（
）
第1页（共33页）
A．
B．
C．
D．
7．（3.00 分）（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直
线为x 轴，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度
取1mm，则图中转折点P 的坐标表示正确的是（ ）
A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）
8．（3.00 分）（2018•金华）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得
∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3.00 分）（2018•金华）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC．若点
A，D，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是（ ）
第2页（共33页）
A．55° B．60° C．65° D．70°
10．（3.00 分）（2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C 三种月收费方式．
这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，
则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网时间不足25h 时，选择A 方式最省钱
B．每月上网费用为60 元时，B 方式可上网的时间比A 方式多
C．每月上网时间为35h 时，选择B 方式最省钱
D．每月上网时间超过70h 时，选择C 方式最省钱
二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．（4.00 分）（2018•金华）化简（x
1
﹣）（x+1）的结果是 ．
12．（4.00 分）（2018•金华）如图，△ABC 的两条高AD，BE 相交于点F，请添加一个
条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．
13．（4.00 分）（2018•金华）如图是我国2013～2017 年国内生产总值增长速度统
计图，则这5 年增长速度的众数是 ．
第3页（共33页）
14．（4.00 分）（2018•金华）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y=
+
．若1*（﹣1）=2，则（﹣2）*2 的值是 ．
15．（4.00 分）（2018•金华）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形
ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E，F 分别在边AB，BC 上，三角形①的边GD 在边
AD 上，则
的值是 ．
16．（4.00 分）（2018•金华）如图1 是小明制作的一副弓箭，点A，D 分别是弓臂
BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC=60cm．沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂
BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D1时，
有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2 中，弓臂两端B1，C1的距离为 cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2 为半圆，则D1D2 的长为
cm．
第4页（共33页）
三、解答题（本题有8 小题，共66 分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6.00 分）（2018•金华）计算：
+（﹣2018）0
4sin45°
﹣
+|
2
﹣|．
18．（6.00 分）（2018•金华）解不等式组：
19．（6.00 分）（2018•金华）为了解朝阳社区20～60 岁居民最喜欢的支付方式，某
兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中
一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解
答下列问题：
（1）求参与问卷调查的总人数．
（2）补全条形统计图．
（3）该社区中20～60 岁的居民约8000 人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的
人数．
20．（8.00 分）（2018•金华）如图，在6×6 的网格中，每个小正方形的边长为1，点
A 在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符
合相应条件的图形．
第5页（共33页）
21．（8.00 分）（2018•金华）如图，在Rt△ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，
OB 为半径作圆，分别与BC，AB 相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线．
（2）若BC=8，tanB=
，求⊙O 的半径．
22．（10.00 分）（2018•金华）如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形
ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C，D 在抛物线上．设A（t，
0），当t=2 时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2 时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的
边有两个交点G，H，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
23．（10.00 分）（2018•金华）如图，四边形ABCD 的四个顶点分别在反比例函数y=
第6页（共33页）
与y= （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y 轴，且BD⊥AC 于点P．已知点
B 的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20 时．
①若点P 的纵坐标为2，求直线AB 的函数表达式．
②若点P 是BD 的中点，试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD 能否成为正方形？若能，求此时m，n 之间的数量关系；若不能，
试说明理由．
24．（12.00 分）（2018•金华）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12．点D 在直线CB 上，
以CA，CD 为边作矩形ACDE，直线AB 与直线CE，DE 的交点分别为F，G．
（1）如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形．
①若点G 为DE 中点，求FG 的长．
②若DG=GF，求BC 的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的
腰长；若不存在，试说明理由．
第7页（共33页）
2018 年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3.00 分）（2018•金华）在0，1，﹣
，﹣1 四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．1C．
D．﹣1
【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切
负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．
【解答】解：∵﹣1＜﹣
＜0＜1，
∴最小的数是﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大
于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
2．（3.00 分）（2018•金华）计算（﹣a）3÷a 结果正确的是（ ）
A．a2
B．﹣a2 C．﹣a3 D．﹣a4
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别化简求出
答案
【解答】解：（﹣a）3÷a=
a
﹣
3÷a=
a
﹣
3
1
﹣=
a
﹣
2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算
法则是解题关键．
3．（3.00 分）（2018•金华）如图，∠B 的同位角可以是（ ）
第8页（共33页）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【分析】直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线
的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出
答案．
【解答】解：∠B 的同位角可以是：∠4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同位角的定义，正确把握定义是解题关键．
4．（3.00 分）（2018•金华）若分式
的值为0，则x 的值为（ ）
A．3B．﹣3 C．3 或﹣3 D．0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x
3=0
﹣
，且x+3≠0，
解得x=3．
故选：A．
【点评】本题考查了分式值为0 的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不
为0．这两个条件缺一不可．
5．（3.00 分）（2018•金华）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．直三棱柱B．长方体C．圆锥D．立方体
第9页（共33页）
【分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．
【解答】解：观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何
体的形状是关键．
6．（3.00 分）（2018•金华）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度
数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为
=
，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是
，
故选：B．
【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的
掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生
活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应
的面积与总面积之比．
7．（3.00 分）（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直
线为x 轴，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度
取1mm，则图中转折点P 的坐标表示正确的是（ ）
第10页（共33页）
A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）
【分析】先求得点P 的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P 的纵坐标
【解答】解：如图，
过点C 作CD⊥y 轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2
16=9
﹣
，
OA=OD
AD=40
30=10
﹣
﹣
，
∴P（9，10）；
故选：C．
【点评】此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出CD=9，AD=10 是解本题的关键．
8．（3.00 分）（2018•金华）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得
∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
第11页（共33页）
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD 即可解决问题；
【解答】解：在Rt△ABC 中，AB=
，
在Rt△ACD 中，AD=
，
∴AB：AD=
：
=
，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会
利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9．（3.00 分）（2018•金华）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC．若点
A，D，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°
20°=70°
﹣
，
∵点A，D，E 在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
第12页（共33页）
故选：C．
【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
10．（3.00 分）（2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C 三种月收费方式．
这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，
则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网时间不足25h 时，选择A 方式最省钱
B．每月上网费用为60 元时，B 方式可上网的时间比A 方式多
C．每月上网时间为35h 时，选择B 方式最省钱
D．每月上网时间超过70h 时，选择C 方式最省钱
【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h 时，选择A 方式最省钱
结论A 正确；
B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50 元时，B 方式可上网的时间比A
方式多，结论B 正确；
C、利用待定系数法求出：当x≥25 时，yA与x 之间的函数关系式，再利用一次函数
图象上点的坐标特征可求出当x=35 时yA的值，将其与50 比较后即可得出结论C
正确；
D、利用待定系数法求出：当x≥50 时，yB与x 之间的函数关系式，再利用一次函数
图象上点的坐标特征可求出当x=70 时yB的值，将其与120 比较后即可得出结论
D 错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h 时，选择A 方式最省
钱，结论A 正确；
B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50 元时，B 方式可上网的时间比A 方
第13页（共33页）
式多，结论B 正确；
C、设当x≥25 时，yA=kx+b，
将（25，30）、（55，120）代入yA=kx+b，得：
，解得：
，
∴yA=3x
45
﹣
（x≥25），
当x=35 时，yA=3x
45=60
﹣
＞50，
∴每月上网时间为35h 时，选择B 方式最省钱，结论C 正确；
D、设当x≥50 时，yB=mx+n，
将（50，50）、（55，65）代入yB=mx+n，得：
，解得：
，
∴yB=3x
100
﹣
（x≥50），
当x=70 时，yB=3x
100=110
﹣
＜120，
∴结论D 错误．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图
象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项
的正误是解题的关键．
二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．（4.00 分）（2018•金华）化简（x
1
﹣）（x+1）的结果是
x 2 1
﹣
．
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式=x2
1
﹣，
故答案为：x2
1
﹣
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（4.00 分）（2018•金华）如图，△ABC 的两条高AD，BE 相交于点F，请添加一个
条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是
AC=BC
．
第14页（共33页）
【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明
∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC 可利用AAS 判定△ADC≌△BEC．
【解答】解：添加AC=BC，
∵△ABC 的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC 和△BEC 中
，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC=BC．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方
法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．（4.00 分）（2018•金华）如图是我国2013～2017 年国内生产总值增长速度统
计图，则这5 年增长速度的众数是
6.9%
．
【分析】根据众数的概念判断即可．
第15页（共33页）
【解答】解：这5 年增长速度分别是7.8%、7.3%、6.9%、6.7%、6.9%，
则这5 年增长速度的众数是6.9%，
故答案为：6.9%．
【点评】本题考查的是众数的确定，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众
数是解题的关键．
14．（4.00 分）（2018•金华）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y=
+
．若1*（﹣1）=2，则（﹣2）*2 的值是 ﹣
1
．
【分析】根据新定义的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵1*（﹣1）=2，
∴
=2
即a
b=2
﹣
∴原式=
=
（a
b
﹣）=
1
﹣
故答案为：﹣1
【点评】本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础
题型．
15．（4.00 分）（2018•金华）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形
ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E，F 分别在边AB，BC 上，三角形①的边GD 在边
AD 上，则
的值是
．
【分析】设七巧板的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB，BC，
第16页（共33页）
进一步求出
的值．
【解答】解：设七巧板的边长为x，则
AB=
x+
x，
BC=
x+x+
x=2x，
=
=
．
故答案为：
．
【点评】考查了矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出AB，BC 的
长．
16．（4.00 分）（2018•金华）如图1 是小明制作的一副弓箭，点A，D 分别是弓臂
BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC=60cm．沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂
BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D1时，
有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2 中，弓臂两端B1，C1的距离为
30
cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为
10
﹣
10
cm．
【分析】（1）如图1 中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径
定理即可解决问题；
（2）如图3 中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆
半径即可解决问题；
第17页（共33页）
【解答】解：（1）如图2 中，连接B1C1交DD1于H．
∵D1A=D1B1=30
∴D1是
的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=15
，
∴B1C1=30
∴弓臂两端B1，C1的距离为30
（2）如图3 中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．
设半圆的半径为r，则πr=
，
∴r=20，
∴AG=GB2=20，GD1=30
20=10
﹣
，
在Rt△GB2D2中，GD2=
=10
∴D1D2=10
10
﹣
．
故答案为30
，10
10
﹣
，
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题有8 小题，共66 分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6.00 分）（2018•金华）计算：
+（﹣2018）0
4sin45°
﹣
+|
2
﹣|．
【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．
第18页（共33页）
【解答】解：原式=2
+1
4
﹣×
+2
=2
+1
2
﹣
+2
=3．
【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的
是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数
可以开平方．
18．（6.00 分）（2018•金华）解不等式组：
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：解不等式
+2＜x，得：x＞3，
解不等式2x+2≥3（x
1
﹣），得：x≤5，
∴不等式组的解集为3＜x≤5．
【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．（6.00 分）（2018•金华）为了解朝阳社区20～60 岁居民最喜欢的支付方式，某
兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中
一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解
答下列问题：
（1）求参与问卷调查的总人数．
（2）补全条形统计图．
第19页（共33页）
（3）该社区中20～60 岁的居民约8000 人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的
人数．
【分析】（1）根据喜欢支付宝支付的人数÷其所占各种支付方式的比例=参与问
卷调查的总人数，即可求出结论；
（2）根据喜欢现金支付的人数（41～60 岁）=参与问卷调查的总人数×现金支付所
占各种支付方式的比例﹣15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60 岁），再将条
形统计图补充完整即可得出结论；
（3）根据喜欢微信支付方式的人数=社区居民人数×微信支付所占各种支付方式
的比例，即可求出结论．
【解答】解：（1）（120+80）÷40%=500（人）．
答：参与问卷调查的总人数为500 人．
（2）500×15%
15=60
﹣
（人）．
补全条形统计图，如图所示．
（3）8000×（1
40%
10%
15%
﹣
﹣
﹣
）=2800（人）．
答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800 人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：
（1）观察统计图找出数据，再列式计算；（2）通过计算求出喜欢现金支付的人数
（41～60 岁）；（3）根据样本的比例×总人数，估算出喜欢微信支付方式的人数．
20．（8.00 分）（2018•金华）如图，在6×6 的网格中，每个小正方形的边长为1，点
A 在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符
合相应条件的图形．
第20页（共33页）
【分析】利用数形结合的思想解决问题即可；
【解答】解：符合条件的图形如图所示：
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8.00 分）（2018•金华）如图，在Rt△ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，
OB 为半径作圆，分别与BC，AB 相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线．
（2）若BC=8，tanB=
，求⊙O 的半径．
【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相
等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4 为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB 的长，再利用勾股定理列出
第21页（共33页）
关于r 的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠3=∠B，
∵∠B=∠1，
∴∠1=∠3，
在Rt△ACD 中，∠1+∠2=90°，
∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°，
∴OD⊥AD，
则AD 为圆O 的切线；
（2）设圆O 的半径为r，
在Rt△ABC 中，AC=BCtanB=4，
根据勾股定理得：AB=
=4
，
∴OA=4
r
﹣，
在Rt△ACD 中，tan∠1=tanB=
，
∴CD=ACtan∠1=2，
根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，
在Rt△ADO 中，OA2=OD2+AD2，即（4
r
﹣）2=r2+20，
解得：r=
．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性
质是解本题的关键．
22．（10.00 分）（2018•金华）如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形
ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C，D 在抛物线上．设A（t，
第22页（共33页）
0），当t=2 时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2 时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的
边有两个交点G，H，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【分析】（1）由点E 的坐标设抛物线的交点式，再把点D 的坐标（2，4）代入计算可
得；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10
2t
﹣
，再由x=t 时AD=﹣
t2+
t，
根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）由t=2 得出点A、B、C、D 及对角线交点P 的坐标，由直线GH 平分矩形的面积
知直线GH 必过点P，根据AB∥CD 知线段OD 平移后得到的线段是GH，由线段
OD 的中点Q 平移后的对应点是P 知PQ 是△OBD 中位线，据此可得．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x
10
﹣
），
∵当t=2 时，AD=4，
∴点D 的坐标为（2，4），
∴将点D 坐标代入解析式得﹣16a=4，
解得：a=﹣
，
抛物线的函数表达式为y=﹣
x2+
x；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，
∴AB=10
2t
﹣
，
当x=t 时，AD=﹣
t2+
t，
第23页（共33页）
∴矩形ABCD 的周长=2（AB+AD）
=2[（10
2t
﹣
）+（﹣
t2+
t）]
=﹣
t2+t+20
=﹣
（t
1
﹣）2+
，
∵﹣
＜0，
∴当t=1 时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为
；
（3）如图，
当t=2 时，点A、B、C、D 的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），
∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为（5，2），
当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为（4，4），此时GH 不能将矩形面积平分
当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为（6，0），此时GH 也不能将矩形面积平
分；
∴当G、H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形的面积平分，
当点G、H 分别落在线段AB、DC 上时，直线GH 过点P 必平分矩形ABCD 的面积，
∵AB∥CD，
∴线段OD 平移后得到的线段GH，
∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P，
在△OBD 中，PQ 是中位线，
∴PQ=
OB=4，
第24页（共33页）
所以抛物线向右平移的距离是4 个单位．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函
数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
23．（10.00 分）（2018•金华）如图，四边形ABCD 的四个顶点分别在反比例函数y=
与y= （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y 轴，且BD⊥AC 于点P．已知点
B 的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20 时．
①若点P 的纵坐标为2，求直线AB 的函数表达式．
②若点P 是BD 的中点，试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD 能否成为正方形？若能，求此时m，n 之间的数量关系；若不能，
试说明理由．
【分析】（1）①先确定出点A，B 坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
②先确定出点D 坐标，进而确定出点P 坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
（2）先确定出B（4，），进而得出A（4
t
﹣，+t），即：（4
t
﹣）（
+t）=m，即可得出
点D（4，8﹣
），即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1，∵m=4，
∴反比例函数为y=
，
当x=4 时，y=1，
第25页（共33页）
∴B（4，1），
当y=2 时，
∴2=
，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB 的解析式为y=kx+b，
∴
，
∴
，
∴直线AB 的解析式为y=﹣
x+3；
②四边形ABCD 是菱形，
理由如下：如图2，由①知，B（4，1），
∵BD∥y 轴，
∴D（4，5），
∵点P 是线段BD 的中点，
∴P（4，3），
当y=3 时，由y=
得，x=
，
由y=
得，x=
，
∴PA=4﹣
=
，PC=
4=
﹣
，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD 是菱形；
第26页（共33页）
（2）四边形ABCD 能是正方形，
理由：当四边形ABCD 是正方形，记AC，BD 的交点为P，
∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），
当x=4 时，y=
=
，
∴B（4，
），
∴A（4
t
﹣，
+t），C（4+t，
+t），
∴（4
t
﹣）（
+t）=m，
∴t=4﹣
，
∴C（8﹣
，4），
∴（8﹣
）×4=n，
∴m+n=32，
∵点D 的纵坐标为
+2t=
+2（4﹣
）=8﹣
，
∴D（4，8﹣
），
∴4（8﹣
）=n，
∴m+n=32．
第27页（共33页）
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，
菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD 是平行四边形是解本题
的关键．
24．（12.00 分）（2018•金华）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12．点D 在直线CB 上，
以CA，CD 为边作矩形ACDE，直线AB 与直线CE，DE 的交点分别为F，G．
（1）如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形．
①若点G 为DE 中点，求FG 的长．
②若DG=GF，求BC 的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的
腰长；若不存在，试说明理由．
第28页（共33页）
【分析】（1）①只要证明△ACF∽△GEF，推出
=
，即可解决问题；②如图1 中，
想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题；
（2）分四种情形：①如图2 中，当点D 中线段BC 上时，此时只有GF=GD，②如图3
中，当点D 中线段BC 的延长线上，且直线AB，CE 的交点中AE 上方时，此时只有
GF=DG，
③如图4 中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB，EC 的交点中BD 下方时，
此时只有DF=DG，如图5 中，当点D 中线段CB 的延长线上时，此时只有DF=DG，
分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）①在正方形ACDE 中，DG=GE=6，
中Rt△AEG 中，AG=
=6
，
∵EG∥AC，
∴△ACF∽△GEF，
∴
=
，
∴
=
=
，
∴FG=
AG=2
．
②如图1 中，正方形ACDE 中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，
∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，
∵AE∥BC，
第29页（共33页）
∴∠B=∠1=x，
∵GF=GD，
∴∠3=∠2=x，
在△DBF 中，∠3+∠FDB+∠B=180°，
∴x+（x+90°）+x=180°，
解得x=30°，
∴∠B=30°，
∴在Rt△ABC 中，BC=
=12
．
（2）在Rt△ABC 中，AB=
=
=15，
如图2 中，当点D 中线段BC 上时，此时只有GF=GD，
∵DG∥AC，
∴△BDG∽△BCA，
设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，
∴GF=GD=4x，则AF=15
9x
﹣
，
∵AE∥CB，
∴△AEF∽△BCF，
∴
=
，
∴
=
，
整理得：x2
6x
﹣
+5=0，
解得x=1 或5（舍弃）
∴腰长GD 为=4x=4．
如图3 中，当点D 中线段BC 的延长线上，且直线AB，CE 的交点中AE 上方时，此
时只有GF=DG，设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，
∴FG=DG=12+4x，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
第30页（共33页）
∴
=
，
∴
=
，
解得x=2 或﹣2（舍弃），
∴腰长DG=4x+12=20．
如图4 中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB，EC 的交点中BD 下方时，此
时只有DF=DG，过点D 作DH⊥FG．
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，
∴FH=GH=DG•cos∠DGB=（4x+12）×
=
，
∴GF=2GH=
，
∴AF=GF
AG=
﹣
，
∵AC∥DG，
∴△ACF∽△GEF，
∴
=
，
∴
=
，
解得x=
或﹣
（舍弃），
∴腰长GD=4x+12=
，
如图5 中，当点D 中线段CB 的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG 于H．
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x
12
﹣
，
∴FH=GH=DG•cos∠DGB=
，
∴FG=2FH=
，
第31页（共33页）
∴AF=AG
FG=
﹣
，
∵AC∥EG，
∴△ACF∽△GEF，
∴
=
，
∴
=
，
解得x=
或﹣
（舍弃），
∴腰长DG=4x
12=
﹣
，
综上所述，等腰三角形△DFG 的腰长为4 或20 或
或
．
第32页（共33页）
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定
和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分
类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
第33页（共33页）
