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浙江省嘉兴市2018 年中考数学试卷
一、选择题（共10 题；共20 分）
1.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.2018 年5 月25 日，中国探月工程的“桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2 点，它距
离地球约1500000km．数1500000 用科学记数法表示为（ ）
A. 15×105 B. 1.5×106 C. 0.15×107 D. 1.5×105
3.2018 年1－4 月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法错误的是（
）
A.
1
月
份
销
量
为
2.2
万
辆
B. 从2 月到3 月的月销量增长最快
C. 4月份销量比3月份增加了1万辆
D. 1－4 月新能源乘用车销量逐月增加
4.不等式1－x≥2 的解在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D
.
5.将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去
一个角，展开铺平后的图形是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（
）
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内
7.欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，
BC=
，AC=b，再在斜边AB 上截取BD=
。则该方程的一个正根是（ ）
A.AC 的长
B.AD 的长
C.BC 的长
D.CD 的长
8.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，点C 在反比例函数
（x＞0）的图象上，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点
A，B，且AB=BC，△AOB 的面积为1，则k 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3 分，
平一场得1 分，负一场得0 分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，
四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ）
A.甲
B.甲与丁
C.丙
D.丙与丁
二、填空题（共6 题；共7 分）
11.分解因式m2-3m=________。
12.如图，直线l1∥l2∥l3 ， 直线AC 交l1 ， l2 ， l3 ， 于点A，B，C；直线DF 交l1 ， l2 ， l3于
点D，E，F，已知
，则
=________。
13.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两
次是一正一反，则我赢，”小红赢的概率是________，据此判断该游戏________（填“公平”
或“不公平”）。
14.如图，量角器的0 度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器
相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D 在量角器上的读数为
60°，则该直尺的宽度为________ cm。
15.甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20 个，甲检测300 个比乙检测200 个所
用的时间少10％，若设甲每小时检x 个，则根据题意，可列处方程：________。
16.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，点E 在CD 上，DE=1，点F 是边AB 上一动点，以
EF 为斜边作Rt△EFP．若点P 在矩形ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则
AF 的值是________。
三、解答题（共8 题；共90 分）
17.
（1）计算：2（
－1）＋|-3|-（
-1）
0；
（2）化简并求值
，其中a=1，b=2。
18. 用消元法解方程组
时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”。
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答。
19.已知：在△ABC 中，AB=AC，D 为AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且
DE=DF。
求证：△ABC 是等边三角形。
20.某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围为176mm-185mm
的产品为合格），随机各轴取了20 个样品进行测，过程如下：收集数据（单位：mm）：
甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，
187，176，180。
乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，
182，180，183。
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）计算甲车间样品的合格率。
（2）估计乙车间生产的1000 个该款新产品中合格产品有多少个？
（3）结合上述数据信息，请判断个车间生产的新产品更好，并说明理由，
21.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与动时间t（s）之间的关系如图2 所
示。
（1）根据函数的定义，请判断变量h 是否为关于t 的函数？
（2）结合图象回答：①当t=0.7s 时，h 的值是多少？并说明它的实际意义，
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
22.如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC 垂直于地面AB，P 为立柱上的滑动调节点，伞体的
截面示意图为△PDE，F 为PD 中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°。当点P 位于初
始位置P0时，点D 与C 重合（图2），根据生活经验，当太阳光线与PE 垂直时，遮阳效果最佳。
（1）上午10：00 时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P 需从P0上
调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00 时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P 在（1）的基础上还
需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，
≈1.41，
≈1.73）
23.已知，点M 为二次函数y=-（x-b）
2＋4b＋1 图象的顶点，直线y=mx＋5 分别交x 轴正半轴，
y 轴于点A，B。
（1）判断顶点M 是否在直线y=4x＋1 上，并说明理由。
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx＋5＞-（x-b）
2＋4b＋1，根据图象，写出x 的
取值范围。
（3）如图2，点A 坐标为（5，0），点M 在△AOB 内，若点C（
，y1），D（
，y2）都在二次函
数图象上，试比较y1与y2的大小。
24.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三
角形，这条边叫做这个三角形的“等底”。
（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC 是否是“等高
底”三角形请说明理由。
（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在
直线的对称图形得到△A'BC，连结AA'交直线BC 于点D．若点B 是△AA'C 的重心，求
的值．
（3）应用拓展：如图3．已知l1∥l2 ， l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等
底”BC 在直线l1上，点A 在直线l2上，有一边的长是BC 的
倍．将△ABC 绕点C 按顺时
针方向旋转45°得到△A'B'C，AC 所在直线交l2于点D．求CD 的值。
答案解析部分
一、选择题
1.【答案】C
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】Ａ、圆锥的俯视图是一个圆并用圆心，故Ａ不符合题意；
Ｂ、长方体的俯视图是一个长方形，故Ｂ不符合题意；
Ｃ、直三棱柱的俯视图是三角形，故Ｃ符合题意；
Ｄ、四棱锥的俯视图是一个四边形，故Ｄ不符合题意；
故答案为C。
【分析】俯视图指的是在水平投影面上的正投影，通俗的讲是从上面往下面看到的图形．
2.【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：1500000=1.5×1000000=1.5×106
故答案为B。
【分析】考查用科学记数表示绝对值较大的数，将数表示形a×10n ， 其中1≤|a|<10，n 是正整
数．
3.【答案】D
【考点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、显然正确，故A 不符合题意；
B、2 月份到3 月份的线段最陡，所以2 月到3 月的月销量增长最快，说法正确，故B 不符合题
意；
C、4 月份销量为4.3 万辆，3 月份销量为3.3 万量，4.3-3.3=1（万辆），说法正确，故不符合题意；
D、1 月到2 月是减少的，说法错误，故D 符合题意；
故答案为D
【分析】A、正确读取1 月份的数据，即可知；B、根据折线统计图看增长快慢，只需要看各线段
的陡的程度，线段越陡，则越快；C、正确读取4 月、3 月的数据，即可知；D、观察折线的趋势，
逐月增加的应该是上升的折线，而图中有下降。
4.【答案】A
【考点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：因为1－x≥2，3≥x，
所以不等式的解为x≤3，
故答案为A。
【分析】解在不等式的解，并在数轴上表示，不等号是“≥”或“≤”的时候，点要打实心
5.【答案】A
【考点】剪纸问题
【解析】【解答】解：沿虚线剪开以后，剩下的图形先向右上方展开，缺失的部分是一个等腰直
角三角形，用直角边与正方形的边是分别平行的，再沿着对角线展开，得到图形A。
故答案为A。
【分析】根据对称的性质，用倒推法去展开这个折纸。
6.【答案】D
【考点】点与圆的位置关系，反证法
【解析】【解答】解：点与圆的位置关系只有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，
如果点不在圆外，那么点就有可能在圆上或圆内
故答案为D
【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有的
情况。
7.【答案】B
【考点】一元二次方程的根，勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC 中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2=（AD+BD）
2 ，
因为AC=b，BD=BC=
，
所以b2+
=
，
整理可得AD2+aAD=b2 ， 与方程x2＋ax=b2相同，
因为AD 的长度是正数，所以AD 是x2＋ax=b2的一个正根
故答案为B。
【分析】由勾股定理不难得到AC2+BC2=AB2=（AD+BD）
2 ， 代入b 和a 即可得到答案
8.【答案】C
【考点】平行四边形的性质，菱形的判定，作图—尺规作图的定义
【解析】【解答】解：A、作的辅助线AC 是BD 的垂直平分线，由平行四边形中心对称图形的性
质可得AC 与BD 互相平分且垂直，则四边形ABCD 是菱形，故A 不符合题意；
B、由辅助线可得AD=AB=BC，由平行四边形的性质可得AD//BC，则四边形ABCD 是菱形，
故B 不符合题意；
C、辅助线AB、CD 分别是原平行四边形一组对角的角平分线，只能说明四边形ABCD 是平
行四边形，故C 符合题意；
D、此题的作法是：连接AC，分别作两个角与已知角∠CAD、∠ACB 相等的角，即
∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
由AD//BC，得∠BAD+∠ABC=180°，
∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD，
则AB=BC，AD =CD,∠BAD=∠BCD，
则∠BCD+∠ABC=180°，
则AB//CD，
则四边形ABCD 是菱形
故D 不符合题意；
故答案为C
【分析】首先要理解每个图的作法，作的辅助线所具有的性质，再根据平行四边形的性质和菱
形的判定定理判定
9.【答案】D
【考点】反比例函数系数k 的几何意义
【解析】【解答】解：过点C 作CD 垂直于y 轴，垂足为D，作CE 垂直于x 轴，垂足为E，则
∠AOB=∠CDB=∠CEA=90°
又因为AB=BC，∠ABO=∠CBD，
所以△ABO≅△CBD，
所以S△CBD=S△ABO=1，
因为∠CDB=∠CEA=90°，∠BAO=∠CAE,
所以△ABO~△ACE，
所以
，则S△ACE=4，
所以S 矩形ODCE=S△CBD+S 四边形OBCE=S△ACE=4，
则k=4，
故答案为D
【分析】根据反比例函数k 的几何意义，可过C 点作CD 垂直于y 轴，垂足为D，作CE 垂直于
x 轴，垂足为E，即求矩形ODCE 的面积
10.【答案】B
【考点】推理与论证
【解析】【解答】解：小组赛一共需要比赛
场，
由分析可知甲是最高分，且可能是9 或7 分，
当甲是9 分时，乙、丙、丁分别是7 分、5 分、3 分，
因为比赛一场最高得分3 分，
所以4 个队的总分最多是6×3=18 分，
而9+7+5+3>18，故不符合；
当甲是7 分时，乙、丙、丁分别是5 分、3 分、1 分，7+5+3+1<18，符合题意，
因为每人要参加3 场比赛，
所以甲是2 胜一平，乙是1 胜2 平，丁是1 平2 负，
则甲胜丁1 次，胜丙1 次，与乙打平1 次，
因为丙是3 分，所以丙只能是1 胜2 负，
乙另外一次打平是与丁，
则与乙打平的是甲、丁
故答案是B。
【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛3 场，要是3 场全胜得最高9
分，根据已知“甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四
个连续奇数”，可推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场
数。
二、填空题
11.【答案】m（m-3）
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：原式=m2-3m=m·m-3·m=m(m-3)
故答案为m（m-3）
【分析】提取公因式m 即可
12.【答案】2
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由
和BC=AC-AB，
则
,
因为直线l1∥l2∥l3 ，
所以
=2
故答案为2
【分析】由
和BC=AC-AB，可得
的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得
13.【答案】
；不公平
【考点】游戏公平性，概率公式
【解析】【解答】解：抛硬币连续抛两次可能的情况：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正
面），（反面，反面），一共有4 种，
而两次都是正面的只有一次，则P（两次都是正面）=
<
所以该游戏是不公平的。
故答案为
；不公平
【分析】可列举抛硬币连续抛两次可能的情况，得出两次都是正面的情况数，可求得小红赢的
概率；游戏的公平是双方赢的概率都是
14.【答案】
【考点】垂径定理，切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连结OD，OC，OC 与AD 交于点G,设直尺另一边为EF，
因为点D 在量角器上的读数为60°，
所以∠AOD=120°，
因为直尺一边EF 与量角器相切于点C，
所以OC⊥EF，
因为EF//AD，
所以OC⊥AD，
由垂径定理得AG=DG=
AD=5 cm，∠AOG=
∠AOD=60°，
在Rt△AOG 中，AG=5 cm，∠AOG=60°，
则OG=
cm,OC=OA=
cm
则CG=OC-OG=
cm.
【分析】因为直尺另一边EF 与圆O 相切于点C，连接OC，可知求直尺的宽度就是求CG=OC-
OG，而OC=OA；OG 和OA 都在Rt△AOG 中，即根据解直角三角形的思路去做：由垂定理可
知AG=DG=
AD=5cm，∠AOG=
∠AOD=60°，从而可求答案。
15.【答案】
【考点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲每小时检x 个，则乙每小时检测（x-20）个，
甲检测300 个的时间为
,
乙检测200 个所用的时间为
由等量关系可得
故答案为
【分析】根据实际问题列方程，找出列方程的等量关系式：甲检测300 个的时间=乙检测200
个所用的时间×（1-10%），分别用未知数x 表示出各自的时间即可
16.【答案】0 或1＜AF＜
或4
【考点】矩形的性质，圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：以EF 为斜边的直角三角形的直角顶点P 是以EF 为直径的圆与矩形边的
交点，取EF 的中点O，
（1）如图1，当圆O 与AD 相切于点G 时，连结OG，此时点G 与点P 重合，只有一个点，此时
AF=OG=DE=1；
（2）如图2，当圆O 与BC 相切于点G，连结OG，EG，FG，此时有三个点P 可以构成
Rt△EFP，
∵OG 是圆O 的切线，
∴OG⊥BC
∴OG//AB//CD
∵OE=OF，
∴BG=CG，
∴OG=
（BF+CE），
设AF=x，则BF=4-x，OG=
(4-x+4-1)=
(7-x)，
则EF=2OG=7-x，EG2=EC2+CG2=9+1=10,FG2=BG2+BF2=1+(4-x)2
在Rt△EFG 中，由勾股定理得EF2=EG2+FG2 ， 得（7-x）
2=10+1+（4-x）
2,解得x=
所以当1＜AF＜
时，以EF 为直径的圆与矩形ABCD 的交点（除了点E 和F）只有两个；
（3）因为点F 是边AB 上一动点：
当点F 与A 点重合时，AF=0，此时Rt△EFP 正好有两个符合题意；
当点F 与B 点重合时，AF=4，此时Rt△EFP 正好有两个符合题意；
故答案为0 或1＜AF＜
或4
【分析】学习了圆周角的推论：直径所对的圆周角是直角，可提供解题思路，不妨以EF 为直径
作圆，以边界值去讨论该圆与矩形ABCD 交点的个数
三、解答题
17.【答案】（1）原式=4
-2+3-1=4
（2）原式=
=a-b
当a=1，b=2 时，原式=1-2=-1
【考点】实数的运算，利用分式运算化简求值
【解析】【分析】（1）按照实数的运算法则计算即可；
（2）分式的化简当中，可先运算括号里的，或都运用乘法分配律计算都可
18.【答案】（1）解法一中的计算有误（标记略）
（2）由①-②，得-3x=3，解得x=-1，
把x=-1 代入①，得-1-3y=5，解得y=-2，
所以原方程组的解是
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）解法一运用的是加减消元法，要注意用①-②，即用方程①左边和右边的式
子分别减去方程②左边和右边的式子；
（2）解法二运用整体代入的方法达到消元的目的
19.【答案】∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴∠DEA=∠DFC=Rt∠
∴D 为AC 的中点，
∴DA=DC
又∴DF=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴∠A=∠C．
∴∠A=∠B=∠C．
∴△ABC 是等边三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定
【解析】【分析】根据AB=AC，可得出∠B=∠C．根据垂直的定义，可证得∠DEA=∠DFC，根
据中点的定义可得出DA=DC，即可证明Rt△ADE≌Rt△CDF，就可得出∠A=∠C．从而可证
得∠A=∠B=∠C，即可求证结论。
20.【答案】（1）甲车间样品的合格率为
×100％=55％
（2）∵乙车间样品的合格产品数为20-（1＋2＋2）=15（个），
∴乙车间样品的合格率为
×100％=75％。
∴乙车间的合格产品数为1000×75％=750（个）．
（3）①从样品合格率看，乙车间合格率比甲车间高，所以乙车间生产的新产品更好。②从样品
的方差看，甲、乙平均数相等，且均在合格范围内，而乙的方差小于甲的方差，说明乙比甲稳
定，所以乙车间生产的新产品更好．
【考点】数据分析
【解析】【分析】（1）由题意可知，合格的产品的条件为尺寸范围为176mm-185mm 的产品，所
以甲车间合格的产品数是（5+6），再除总个数即可；
（2）需要先求出乙车间的产品的合格率；而合格产品数（a+b）的值除了可以样品数据中里数
出来，也可以由20-（1＋2＋2）得到；
（3）分析数据中的表格提供了甲、乙车间的平均数、众数、中位数和方差数据，根据它们的特
点结合数据的大小进行比较及评价即可
21.【答案】（1）∵对于每一个摆动时间t，都有一个唯一的h 的值与其对应，
∴变量h 是关于t 的函数。
（2）①h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s 时，离地面的高度为0.5m
②2.8s．
【考点】函数的概念，函数值
【解析】【分析】（1）从函数的定义出发：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果
对于x 的每个确定的值，y 都有唯一确定的值，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量。h 是否为
关于t 的函数：即表示t 为自变量时，每一个t 的值是否只对应唯一一个h 的值，从函数的图
象中即可得到答案；
（2）①结合实际我们知道在t=0 的时刻，秋千离地面最高；t=0.7 的时刻，观察该点的纵坐标h
的值即可；结合h 表示高度的实际意义说明即可；
②结合荡秋千的经验，秋千先从一端的最高点下落到最低点，再荡到另一端的最高点，再返
回到最低点，最后回到开始的一端，符合这一过程的即是0~2.8s。
22.【答案】（1）如图2，当点P 位于初始位置P0时，CP0=2m。
如图3，10：00 时，太阳光线与地面的夹角为65°，点P 上调至P1处，
∠1=90°，∠CAB=90°，
∴∠AP1E=115°，
∴∠CPE=65°．
∵∠DP1E=20°，
∴∠CP1F=45°
∵CF=P1F=1m，
∴∠C=∠CP1F=45°，
∴△CP1F 为等腰直角三角形，
∴CP1=
m，
P0P1=CP0-CP1=2-
≈0.6m，
即点P 需从P0上调0.6m
（2）如图4，中午12：00 时，太阳光线与PE，地面都垂直，点P 上调至P2处，
∴P2E∥AB
∵∠CAB=90°，
∴∠CP2E=90°
∵∠DP2E=20°，
∴∠CP2F=∠CP2E-∠DP2E=70°
∵CF=P2F=1m，得△CP2F 为等腰三角形，
∴∠C=∠CP2F=70
过点F 作FG⊥CP2于点G，
∴GP2=P2F·cos70°=1×0.34=0.34m
∴CP2=2GP2=0.68m，
∴P1P2=CP1-CP2=
-0.68≈0.7
即点P 在（1）的基础上还需上调0.7m。
【考点】等腰三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）求P 上升的高度，设上升后的点P 为P1 ， 即求P0P1=CP0-CP1的值，其中
CP0=2，即求CP1的长度，由已知可得P1F=CF=1，且可已知求出∠C=45°，从而可得△CP1F 为
等腰直角三角形，由勾股定理求出CP1即可；
（2）与（1）同理即求CP2的长度，因为△CP1F 为等腰三角形，由三线合一定理，作底中的垂线，
根据解直角三角形的方法求出底边的长即可
23.【答案】（1）∵点M 坐标是（b，4b＋1），
∴把x=b 代入y=4x＋1，得y=4b＋1，
∴点M 在直线y=4x＋1 上。
（2）如图1，∵直线y=mx＋5 与y 轴交于点为B，
∴点B 坐标为（0，5）
又∵B（0，5）在抛物线上，
∴5=-（0-b）
2＋4b＋1，解得b=2
∴二次函数的表达式为y=-（x-2）
2＋9
∴当y=0 时，得x1=5，x2=-1，
∴A（5，0）．
观察图象可得，当mx＋5＞-（x-b）
2＋4b＋1 时，
x 的取值范围为x＜0 或x＞5．
（3）如图2，∵直线y=4x＋1 与直线AB 交于点E，与y 轴交于点F，而直线AB 表达式为y=-x
＋5，
解方程组
，得
∴点E（
，
），F（0，1）
∵点M 在△AOB 内，
∴0<b<
.
当点C，D 关于抛物线对称轴（直线x=b）对称时，b-
=
-b
∴b=
且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线y=4x＋1 上，
综上：①当0＜b＜
时，y1＞y2；
②当b=
时，y1=y2；
③当
＜b＜
时，y1＜y2。
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）验证一个点的坐标是否在一个函数图象：即把该点的横坐标代入该函数
表达式，求出纵坐标与该点的纵坐标比较是否一样；
（2）求不等式mx＋5＞-（x-b）
2＋4b＋1 的解集，不能直接解不等式，需要结合函数图象解答，
因为次函数y=-（x-b）
2＋4b＋1，一次函数y=mx＋5，这个不等式即表示一次函数的值要大于
二次函数的值，结合图象，即一次函数的图象在二次函数图的上方时x 的取值范围，此时x 的
范围是在点B 的左边，点A 的右边，则需要分别求出点B 和点A 的横从标；因为点B 是在直
线直线y=mx＋5 与y 轴的交点，令x=0，可求得B（0,5）；因为二次函数y=-（x-b）
2＋4b＋1 图
象经过点B，将B（0,5）代入可求得b，然后令二次函数y=-（x-b）
2＋4b＋1=0，求出点A 的横
坐标的值即可
（3）二次函数y=-（x-b）
2＋4b＋1 的图象是开口向下的，所以有最大值，当点离对称轴越近时，
也就越大，因为C（
， y1），D（
， y2）的横坐标是确定的，则需要确定对称轴x=b 的位置，
先由顶点M 在△AOB 内，得出b 的取值范围；一般先确定y1=y2时对称轴位置，再结合“点
离对称轴越近时，也就越大”分三类讨论，当y1>y2 ， 当y1=y2 ， 当y1<y2时b 的取值范围．
24.【答案】（1）如图1，过点A 作AD⊥直线CB 于点D，
∴△ADC 为直角三角形，∠ADC=90°，
∵∠ACB=30°，AC=6，
∴AD=
AC=3
∴AD=BC=3.
即△ABC 是“等高底”三角形。
（2）如图2，
∵△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，
∴AD=BC．
∵△A'BC 与△ABC 关于直线BC 对称，
∴∠ADC=90°
∵点B 是△AA'C 的重心，
∴BC=2BD
设BD=x，则AD=BC=2x，
∴CD=
x
∴由勾股定理得AC
∴
（3）①当AB=
BC 时，
Ⅰ．如图3．作AE⊥l1于点E，DF⊥AC 于点F
∴“等高底”△ABC 的“等底”为BC，l1∥l2 ，
∵l1与l2之间的距离为2，AB=
BC
∴BC=AE=2，AB=
，
∴BE=2，即EC=4，
∴AC=
．
∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF=45°
设DF=CF=x
∵l1∥l2 ，
∴∠ACE=∠DAF，
∴
即AF=2x
AC=3x=
，可得x=
，
∴CD=
x=
Ⅱ．如图4，此时△ABC 是等腰直角三角形
∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴CD=
AC=
。
②当AC=
BC 时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC 是等腰直角三角形，
∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1 ，
∴CD=AB=BC=2．
Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，
∴AC=
BC=
AE，
∴∠ACE=45°
∴△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C 时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2 ， 即直线A'C 与l2无交点
综上，CD 的值为
，
，2
【考点】含30 度角的直角三角形，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点A 作AD⊥直线CB 于点D，根据30°角所对的直角边等于斜边的一
半，可求出AD 的长，从而可证得AD=BC，因此可证得结论。
（2）根据已知条件△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底，可得出AD=BC，再根据
△A'BC 与△ABC 关于直线BC 对称，可得出∠ADC=90°，然后根据点B 是△AA'C 的重心，
得出BC=2BD，利用勾股定理就可求解。
（2）分情况讨论：①当AB=
BC 时，Ⅰ．如图3．作AE⊥l1于点E，DF⊥AC 于点F，根据已
知及勾股定理求出AC 的长，再根据旋转的性质，得出∠DCF=45° ，然后证明
△ADF∽△AEC，得出对应边成比例，可求得CD 的长；Ⅱ．如图4，此时△ABC 是等腰直角
三角形，根据旋转的性质，可得出CD 的长；②当AC=
BC 时，Ⅰ．如图5，此时△ABC 是等
腰直角三角形，可得出A'C⊥l1 ， 可得出CD 的长；Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，
根据勾股定理及相似三角形的性质，可得出CD 的长。即可得出答案。
