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2018 年浙江省台州市温岭市中考数学模拟试卷（5 月份）
一、选择题（本题有10 小题，每小题4 分，共40 分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选、多选、错选，均不给分）
1．（4 分）在 0.5，0，﹣1，﹣2 这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．0.5
B．0
C．﹣1
D．﹣2
2．（4 分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食
物总量折合粮食大约是210000000 人一年的口粮．将210000000 用科学记数法表示为（
）
A．2.1×109
B．0.21×109
C．2.1×108
D．21×107
3．（4 分）不等式2x＜10 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4 分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．（4 分）某次数学趣味竞赛共有10 道题目，每道题答对得10 分，答错或不答得0 分．全班
40 名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：
人数
2
5
13
10
7
3
成绩（分）
50
60
70
80
90
100
则全班40 名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．75，70
B．70，70
C．80，80
D．75，80
7．（4 分）小米在用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E 为圆心，大于
DE 的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC 于点H；
③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E；
④取一点K，使K 和B 在AC 的两侧；
所以，BH 就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④
B．④③②①
C．②④③①
D．④③①②
8．（4 分）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB 的张角大小时，张角越大，射门
越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E 均在格点上，球员带球沿CD 方向进攻，最好
的射点在（ ）
A．点C
B．点D 或点E
C．线段DE（异于端点） 上一点
D．线段CD（异于端点） 上一点
9．（4 分）对于代数式ax+b（a，b 是常数），当x 分别等于3、2、1、0 时，小虎同学依次求得下面
四个结果：3、2、﹣1、﹣3，其中只有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3
B．2
C．﹣1
D．﹣3
10．
（4 分）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点（x，y）为整点．下列命题中错误
的是（ ）
A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点
B．若k 与b 都是无理数，则直线y＝kx+b 不经过任何整点
C．若直线y＝kx+b 经过无数多个整点，则k 与b 都是有理数
D．存在恰好经过一个整点的直线
二、填空题（本题有6 小题，每小题5 分，共30 分）
11．（5 分）9 的算术平方根是 ．
12．（5 分）掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1 到6 的点数），向上一面出现
的点数大于2 且小于5 的概率为 ．
13．（5 分）一个物体重100N，物体对地面的压强P（单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单
位：m2）变化而变化的函数关系式是 ．
14．（5 分）已知命题“对于非零实数 a，关于 x 的一元二次方程 ax2+4x﹣1＝0 必有实数
根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是 ．
15．（5 分）如图，在圆O 中有折线ABCO，BC＝6，CO＝4，∠B＝∠C＝60°，则弦AB 的长为
．
16．
（5 分）对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当﹣1≤x≤1 时，﹣1≤y≤1，则
称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x 均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）
是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a 的取值范围是 ．
三、解答题（第17～20 题，每题8 分，第21 题10 分，第22～23 题，每题12 分，第24 题14 分，
共80 分）
17．（8 分）计算：（
）﹣1﹣（π﹣3）0﹣2cos60°
18．（8 分）某学生化简分式
+
出现了错误，解答过程如下：
原式＝
+
（第一步）
＝
（第二步）
＝
．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
19．（8 分）小明家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角∠ABC＝45°，
为节省家里空间小明 想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高 55cm，垃圾桶高
BD＝33.1cm，桶盖直径 BC＝28.2cm，问垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有
碰到桌子下沿？（
≈1.41 ）
20．（8 分）有这样一个问题：探究函数y＝
的图象与性质，小静根据学习函数的经验，
对函数y＝
的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝
的自变量x 的取值范围是 ；
（2）下表是y 与x 的几组对应值．
x
…
﹣1
0
1
3
4
…
y
…
1
4
m
1
…
表中的m＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的
点画出该函数的图象；
（4）结合函数图象，写出一条该函数图象的性质： ．
21．（10 分）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作
PF⊥AE 于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形
也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．
22．（12 分）“农民也能报销医疗费了!”这是国家推行新型农村医疗合作的成果．村民只要
每人每年交10 元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一
定比例返回的返回款，这一举措极大地增强了农民抵御大病风险的能力．小华与同学随机
调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了以下的统计图．根据以上信息，解答
以下问题：
（1）本次调查了 名村民，被调查的村民中，有 人参加合作医疗得到了返回
款；
（2）该乡有10000 名村民，请你估计有 人参加了合作医疗；
（3）要使该乡两年后参加合作医疗的人数增加到9680 人，假设这两年的年平均增长率相
同，求年平均增长率？
23．（12 分）当前，交通拥堵是城市管理的一大难题．我市城东高架桥的开通为分流过境车辆、
缓解市内交通压力起到了关键作用，但为了保证安全，高架桥上最高限速80 千米/小时．
在一般条件下，高架桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的
函数，当桥上的车流密度达到180 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当0≤x≤20
时，桥上畅通无阻，车流速度都为80 千米/小时，研究表明：当20≤x≤180 时，车流速度v
是车流密度x 的一次函数．
（1）当0≤x≤20 和20≤x≤180 时，分别写出函数v 关于x 的函数关系式；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小
时）w＝x•v 可以达到最大，并求出最大值；
（3）某天早高峰（7：30﹣9：30）经交警部门控制管理，桥上的车流速度始终保持40 千米/小
时，问这天早高峰期间高架桥分流了多少辆车？
24．（14 分）（1）知识储备
①如图1，已知点P 为等边△ABC 外接圆的BC 上任意一点．求证：PB+PC＝PA．
②定义：在△ABC 所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点
P 为△ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C 均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
如图2，在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据（1）的结论，易知线
段 的长度即为△ABC 的费马距离．
②在图3 中，用不同于图2 的方法作出△ABC 的费马点P（要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打√，错误的打×）：
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ．
②已知正方形ABCD，P 是正方形内部一点，且PA+PB+PC 的最小值为
，求正方形
ABCD 的
边长．
2018 年浙江省台州市温岭市中考数学模拟试卷（5 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10 小题，每小题4 分，共40 分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选、多选、错选，均不给分）
1．（4 分）在 0.5，0，﹣1，﹣2 这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．0.5
B．0
C．﹣1
D．﹣2
【分析】首先根据绝对值的含义和求法，分别求出0.5，0，﹣1，﹣2 这四个数的绝对值各是
多少；然后根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值最大的数是哪个即可．
【解答】解：|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，|0|＝0，|0.5|＝0.5，
∵0＜0.5＜1＜2，
∴在0.5，0，﹣1，﹣2 这四个数中，绝对值最大的数是﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值
反而小．
2．（4 分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食
物总量折合粮食大约是210000000 人一年的口粮．将210000000 用科学记数法表示为（
）
A．2.1×109
B．0.21×109
C．2.1×108
D．21×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将210000000 用科学记数法表示为：2.1×108．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（4 分）不等式2x＜10 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式的两边同时除以2 得，x＜5，
在数轴上表示为：
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解
答此题的关键．
4．（4 分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．（4 分）下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ACD 均正确，而B 不正确，因为对角线互
相垂直的四边形也可能是梯形．
故选：B．
【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形
基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平
行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相
等，对角线互相垂直平分．
6．（4 分）某次数学趣味竞赛共有10 道题目，每道题答对得10 分，答错或不答得0 分．全班
40 名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：
人数
2
5
13
10
7
3
成绩（分）
50
60
70
80
90
100
则全班40 名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．75，70
B．70，70
C．80，80
D．75，80
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21 个数的平均数，
∴全班40 名同学的成绩的中位数是：
＝75；
70 出现了13 次，出现的次数最多，则众数是70；
故选：A．
【点评】此题考查了中位数和众数众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新
排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数
的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最
多的数．
7．（4 分）小米在用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E 为圆心，大于
DE 的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC 于点H；
③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E；
④取一点K，使K 和B 在AC 的两侧；
所以，BH 就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④
B．④③②①
C．②④③①
D．④③①②
【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC 即可．
【解答】解：用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH，作法如下：
取一点K，使K 和B 在AC 的两侧；
以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E；
分别以点D，E 为圆心，大于
DE 的长为半径作弧，两弧交于F；
作射线BF，交边AC 于点H；
所以，BH 就是所求作的高．
故正确的作图步骤是④③①②．
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．
8．（4 分）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB 的张角大小时，张角越大，射门
越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E 均在格点上，球员带球沿CD 方向进攻，最好
的射点在（ ）
A．点C
B．点D 或点E
C．线段DE（异于端点） 上一点
D．线段CD（异于端点） 上一点
【分析】连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，再比较∠ACB，∠ADB，∠AEB 的大小即可．
【解答】解：连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，
已知A，B，D，E 四点共圆，同弧所对的圆周角相等，因而∠ADB＝∠AEB，然后圆同弧对应
的“圆内角“大于圆周角，“圆外角“小于圆周角，因而射门点在DE 上时角最大，射门
点在D 点右上方或点E 左下方时角度则会更小．
故选：C．
【点评】本题考查了比较角的大小，一般情况下比较角的大小有两种方法：①测量法，即用
量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两
个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
9．（4 分）对于代数式ax+b（a，b 是常数），当x 分别等于3、2、1、0 时，小虎同学依次求得下面
四个结果：3、2、﹣1、﹣3，其中只有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3
B．2
C．﹣1
D．﹣3
【分析】解组成的各个方程组，根据方程组的解逐个判断即可．
【解答】解：∵当x 分别等于3、2 时，代数式的值是3、2，
∴代入得：
，
解得：a＝1，b＝0；
∵当x 分别等于3、1 时，代数式的值是3、﹣1，
∴代入得：
，
解得：a＝2，b＝﹣3；
∵当x 分别等于2、1 时，代数式的值是2、﹣1，
∴代入得：
，
解得：a＝3，b＝﹣4；
∵当x 分别等于1、0 时，代数式的值是﹣1、﹣3，
∴代入得：
，
解得：a＝2，b＝﹣3；
∴当x＝2 时，代数式是2 错误，
故选：B．
【点评】此题主要考查一元二次方程组的求解，通过判断所解的a、b 值是否相等即可得出
原来一元一次方程，即可判断哪个是否正确，所以此题的关键是要掌握解一元二次方程组．
10．
（4 分）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点（x，y）为整点．下列命题中错误
的是（ ）
A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点
B．若k 与b 都是无理数，则直线y＝kx+b 不经过任何整点
C．若直线y＝kx+b 经过无数多个整点，则k 与b 都是有理数
D．存在恰好经过一个整点的直线
【分析】通过特例对A、D 进行判断；利用反例可对B 进行判断；利用方程的整数解对C 进
行判断．
【解答】解：A、存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点，如直线y＝
x，
所以A 选项的说法正确；
B、若k 与b 都是无理数，如y＝
x﹣
经过整点（0，0）和（1，0），所以B 选项的说法错
误；
C、若直线y＝kx+b 经过无数多个整点，则方程y＝kx+b 有无数个整数解，k 与b 都是有理
数，所以C 选项的说法正确；
D、直线y＝
x 只经过整点（0，0），所以D 选项的说法正确．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的
部分是题设，“那么”后面解的部分是结论；命题的“真”“假”是就命题的内容而言．
任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命
题是假命题，只需举出一个反例即可．
二、填空题（本题有6 小题，每小题5 分，共30 分）
11．（5 分）9 的算术平方根是
3
．
【分析】9 的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9 的算术平方根是|±3|＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
12．（5 分）掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1 到6 的点数），向上一面出现
的点数大于2 且小于5 的概率为
．
【分析】向上一面出现的点数大于2 且小于5 的共2 种情况．
【解答】解：掷一枚均匀的骰子时，有6 种情况，出现点数大于2 且小于5 的情况有2 种，
故其概率是
＝
，
故答案为：
．
【点评】此题主要考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）＝
．
13．（5 分）一个物体重100N，物体对地面的压强P（单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单
位：m2）变化而变化的函数关系式是
P ＝
．
【分析】直接利用压强与接触面积和物体重量的关系进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，物体对地面的压强P（单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单
位：m2）变化而变化的函数关系式是：P＝
．
故答案为：P＝
．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确记忆压强与接触面积和物体重量的关系是解题
关键．
14．（5 分）已知命题“对于非零实数 a，关于 x 的一元二次方程 ax2+4x﹣1＝0 必有实数
根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是
a ＝﹣
5
．
【分析】把a＝﹣5 代入方程，根据一元二次方程根的判别式计算，判断即可．
【解答】解：当a＝﹣5 时，方程为﹣5x2+4x﹣1＝0，
△＝42﹣4×（﹣5）×（﹣1）＝16﹣20＝﹣4＜0，
则一元二次方程 ax2+4x﹣1＝0 无实数根，
故答案为：a＝﹣5．
【点评】本题考查的是命题和定理，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需
举出一个反例即可．
15．（5 分）如图，在圆O 中有折线ABCO，BC＝6，CO＝4，∠B＝∠C＝60°，则弦AB 的长为
10
．
【分析】作OD⊥AB 垂足为D，利用垂径定理得AB＝2BD，作OE∥AB 交BC 于E，构造等
边△COE，过E 点作EF⊥AB，垂足为F，得Rt△BEF，而∠B＝60°，可得BF＝
BE，再根
据BD＝BF+DF 求BD．
【解答】解：如图，作OD⊥AB 垂足为D，OE∥AB 交BC 于E，过E 点作EF⊥AB，垂足为
F，
∵OE∥AB，
∴△COE 为等边三角形，
∴OE＝CE＝OC＝4，
∵OD⊥AB，EF⊥AB，
∴DF＝OE＝4，BE＝BC﹣CE＝2，
在Rt△BEF 中，∵∠B＝60°，
∴BF＝
BE＝1，
∴BD＝BF+DF＝1+4＝5，
由垂径定理，得AB＝2BD＝10．
故答案为：10
【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质．关键是通过作辅助线，得出等边三角形，
30°的直角三角形，利用垂径定理求AB．
16．
（5 分）对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当﹣1≤x≤1 时，﹣1≤y≤1，则
称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x 均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）
是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a 的取值范围是 ﹣
≤
a
＜
0 或
0 ＜
a ≤
．
【分析】把A、B 的坐标代入函数解析式，即可求出a+c＝0，b＝﹣1，代入得出抛物线表达
式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），得出对称轴为x＝
，再进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②
①+②得：a+c＝0 即a 与c 互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为x＝
，
当a＜0 时，抛物线开口向下，且x＝
＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当
≤﹣1 时符合题意，此时﹣
≤a＜0，
当﹣1＜
＜0 时，图象不符合﹣1≤y≤1 的要求，舍去
同理，当a＞0 时，抛物线开口向上，且x＝
＞0，
画图可知，当
≥1 时符合题意，此时0＜a≤
，
当0＜
＜1 时，图象不符合﹣1≤y≤1 的要求，舍去，
综上所述：a 的取值范围是﹣
≤a＜0 或0＜a≤
，
故答案为：﹣
≤a＜0 或0＜a≤
．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质和二次函数图象上点的坐标特征，能灵活运用
性质和已知函数的新定义求解是解此题的关键．
三、解答题（第17～20 题，每题8 分，第21 题10 分，第22～23 题，每题12 分，第24 题14 分，
共80 分）
17．（8 分）计算：（
）﹣1﹣（π﹣3）0﹣2cos60°
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得
出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣2×
＝0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（8 分）某学生化简分式
+
出现了错误，解答过程如下：
原式＝
+
（第一步）
＝
（第二步）
＝
．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 一 步开始出错的，其错误原因是 分式的基本性质 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错；
（2）原式＝
+
＝
＝
故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题
型．
19．（8 分）小明家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角∠ABC＝45°，
为节省家里空间小明 想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高 55cm，垃圾桶高
BD＝33.1cm，桶盖直径 BC＝28.2cm，问垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有
碰到桌子下沿？（
≈1.41 ）
【分析】过点C 作CG⊥DE 交AB 于H．想办法求出CG 与55 比较即可解决问题；
【解答】解：过点C 作CG⊥DE 交AB 于H．
由题意得：四边形ABDE 是矩形，
∴AB∥DE，
∴∠CHB＝90°，CH＝BD＝33.1，
在Rt△CBH 中，sin∠CBH＝
，
∴CH＝BC•sin∠CBH＝28.2×
≈20，
∴CG＝CH+HG＝33.1+20＝53.1＜55，
答：桶盖完全打开时没有碰到碰到子下沿．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角
三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（8 分）有这样一个问题：探究函数y＝
的图象与性质，小静根据学习函数的经验，
对函数y＝
的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝
的自变量x 的取值范围是
x ≠
2
；
（2）下表是y 与x 的几组对应值．
x
…
﹣1
0
1
3
4
…
y
…
1
4
m
1
…
表中的m＝
4
；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的
点画出该函数的图象；
（4）结合函数图象，写出一条该函数图象的性质： 函数图象关于直线
x ＝
2 对称
．
【分析】（1）根据分式有意义条件即可得；
（2）根据x＝0 和x＝4、x＝1 和x＝3 时，函数值y 均相等可得x＝
和x＝
时，函数值相
等，为4；
（3）将表格中各组对应值用点标出，再用平滑曲线顺次连接可得；
（4）结合函数图象即可得．
【解答】解：（1）函数y＝
的自变量x 的取值范围是x﹣2≠0，即x≠2，
故答案为：x≠2；
（2）由表可知当x＝0 和x＝4、x＝1 和x＝3 时，函数值y 均相等，
∴当x＝
和x＝
时，函数值相等，为4，即m＝4，
故答案为：4；
（3）如下图所示：
（4）由图象可知，函数图象关于直线x＝2 对称，
故答案为：函数图象关于直线x＝2 对称．
【点评】本题主要考查函数图象及其性质，熟练掌握描点法画函数图象是解题的关键．
21．（10 分）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作
PF⊥AE 于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形
也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）在△PFA 与△ABE 中，易得∠PAF＝∠AEB 及∠PFA＝∠ABE＝90°；故可得
△PFA∽△ABE；
（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列
出关系式．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠AEB．
∵∠PFA＝∠ABE＝90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP 为矩形．
∴PA＝EB＝2，即x＝2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB．
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F 为AE 的中点．
∵AE＝
＝2
，
∴EF＝
AE＝
．
∵
，即
，
∴PE＝5，即x＝5．
∴满足条件的x 的值为2 或5．
【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，
搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
22．（12 分）“农民也能报销医疗费了!”这是国家推行新型农村医疗合作的成果．村民只要
每人每年交10 元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一
定比例返回的返回款，这一举措极大地增强了农民抵御大病风险的能力．小华与同学随机
调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了以下的统计图．根据以上信息，解答
以下问题：
（1）本次调查了
300
名村民，被调查的村民中，有
6
人参加合作医疗得到了返回款；
（2）该乡有10000 名村民，请你估计有
8000
人参加了合作医疗；
（3）要使该乡两年后参加合作医疗的人数增加到9680 人，假设这两年的年平均增长率相
同，求年平均增长率？
【分析】（1）根据样本容量为各组频数之和，可得共有240+60＝300（人）；其中有2.5%即6
人得到了返回款；
（2）、（3）用样本估计总体即可得出答案
【解答】解：（1）调查的村民数＝240+60＝300 人，
参加合作医疗得到了返回款的人数＝240×2.5%＝6 人；
故答案是：300；6；
（2）∵参加医疗合作的百分率为
×100%＝80%，
∴估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80%＝8000 人．
故答案是：8000；
（3）解：设年平均增长率为x
根据题意得：8000（x+1）2＝9680（10 分）
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）
答：年平均增长率为10%．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（12 分）当前，交通拥堵是城市管理的一大难题．我市城东高架桥的开通为分流过境车辆、
缓解市内交通压力起到了关键作用，但为了保证安全，高架桥上最高限速80 千米/小时．
在一般条件下，高架桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的
函数，当桥上的车流密度达到180 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当0≤x≤20
时，桥上畅通无阻，车流速度都为80 千米/小时，研究表明：当20≤x≤180 时，车流速度v
是车流密度x 的一次函数．
（1）当0≤x≤20 和20≤x≤180 时，分别写出函数v 关于x 的函数关系式；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小
时）w＝x•v 可以达到最大，并求出最大值；
（3）某天早高峰（7：30﹣9：30）经交警部门控制管理，桥上的车流速度始终保持40 千米/小
时，问这天早高峰期间高架桥分流了多少辆车？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）w＝x•v 进而得出函数关系式即可得出答案；
（3）利用当v＝40 时，得：﹣
x+90＝40，进而得出x 的值即可得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤20 时，v＝80；
当20≤x≤180 时，由题意可得：图象过（20，80），（180，0），
则设一次函数解析式为：v＝ax+b，
故
，
解得：
，
故函数v 关于x 的函数关系式为：v＝﹣
x+90；
（2）当0≤x≤20 时，w＝80x，
∵k＝80＞0，
∴w 随x 的增大而增大，
∴当x＝20 时，w 最大值＝80×20＝1600，
当20≤x≤180 时，W＝x（﹣
x+90）＝﹣
（x﹣90）2+4050，
∴当x＝90 时，w 最大值＝4050，
综合上述两种情况，当x＝90 时，w 最大值＝4050，
答：当车流密度为90 时，车流量最大，最大值为4050 辆/小时．
（3）当v＝40 时，得：﹣
x+90＝40，
解得 x＝100，
∴w＝100×40＝4000 分流了4000×2＝8000（辆），
答：这天早高峰期间高架桥分流了8000 辆车．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
24．（14 分）（1）知识储备
①如图1，已知点P 为等边△ABC 外接圆的BC 上任意一点．求证：PB+PC＝PA．
②定义：在△ABC 所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点
P 为△ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C 均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
如图2，在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据（1）的结论，易知线
段
AD
的长度即为△ABC 的费马距离．
②在图3 中，用不同于图2 的方法作出△ABC 的费马点P（要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打√，错误的打×）：
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 √ ；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部
×
．
②已知正方形ABCD，P 是正方形内部一点，且PA+PB+PC 的最小值为
，求正方形
ABCD 的
边长．
【分析】（1）①根据已知首先得出△PCE 为等边三角形，进而得出△ACP≌△BCE（SAS），
即AP＝AE+EP＝BP+PE＝BP+PC；
（2）①利用（1）中结论得出PA+PB+PC＝PA+（PB+PC）＝PA+PD；以及线段的性质“两点
之间线段最短”容易获解；
②画出图形即可；也可以将AC 绕点C 按顺时针旋转60°得到A′C，连接A′B，作
∠A′PC＝60°，然后在A′P 上截取PP′＝PC，则△P′PC 是等边三角形，由旋转的性
质及两点之间线段最短即可得出结论；
（3）①根据费马点和费马距离的定认直接判定即可；
②将△ABP 沿点B 逆时针旋转60°到△A1BP1，如图5，根据PA+PB+PC 的最小值为
，得P1A1+PP1+PC 的最小值为
，即A1C＝
，设正方形的边长为2x，
根据勾股定理列方程得：
，解出可得正方形的边长．
【解答】（1）①证明：在PA 上取一点E，使PE＝PC，连接CE，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，
又∵PE＝PC，
∴△PEC 是正三角形，
∴CE＝CP，∠ACB＝∠ECP＝60°，
∴∠ACE＝∠BCP，
又∵∠PBC＝∠PAC，BC＝AC，
∴△ACE≌△BCP （ASA），
∴AE＝PB，
∴PB+PC＝AE+PE＝AP；（4 分）
（2）①如图2，得：PA+PB+PC＝PA+（PB+PC）＝PA+PD，
∴当A、P、D 共线时，PA+PB+PC 的值最小，
∴线段AD 的长度即为△ABC 的费马距离；
故答案为：AD； （6 分）
②过AB 和AC 分别向外作等边三角形，连接CD，BE，交点即为P．（过AC 或AB 作外接
圆视作与图2 相同的方法，不得分）． （8 分）
（3）①ⅰ．（√）；ⅱ．如图4，点P 也可以在三角形的外部；（×） （10 分）
故答案为：i，√，ii，×；
②解：将△ABP 沿点B 逆时针旋转60°到△A1BP1，
如图5，过A1作A1H⊥BC，交CB 的延长线于H，连接P1P，
易得：A1B＝AB，PB＝P1B，PA＝P1 A1，∠P1BP＝∠A1BA＝60°，
∵PB＝P1B，∠P1BP＝60°，
∴△P1PB 是正三角形，
∴PP1＝PB，
∵PA+PB+PC 的最小值为
，
∴P1A1+PP1+PC 的最小值为
，
∴A1，P1，P，C 在同一直线上，即A1C＝
，（12 分）
设正方形的边长为2x，
∵∠A1BA＝60°，∠CBA＝90°，
∴∠1＝30°，
在Rt△A1HB 中，A1B＝AB＝2x，∠1＝30°，
得：A1H＝x，BH＝
，
在Rt△A1HC 中，由勾股定理得：
，
解得：x1＝1 x2＝﹣1（舍去）
∴正方形ABCD 的边长为2． （14 分）
【点评】此题是圆的综合题，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马
距离，还考查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识．难度很大，理解新定义是
本题的关键．
