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江苏省连云港市2018 年中考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2018 年江苏省连云港市）﹣8 的相反数是（ ）
A．﹣8
B．
C．8 D．﹣
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
[来%^~&源#:中教网]
【解答】解：﹣8 的相反数是8，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（2018 年江苏省连云港市）下列运算正确的是（ ）
A．x
2x=
x
﹣
﹣B．2x
y=xy
﹣
C．x2+x2=x4
D．（x
l
﹣）
2=x2
1
﹣
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（B）原式=2x
y
﹣，故B 错误；
[来&~源:*zzstep.c@om%]
（C）原式=2x2，故C 错误；
（D）原式=x2
2x
﹣
+1，故D 错误；
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题
型．
3．（2018 年江苏省连云港市）地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科
学记数法表示为（ ）
A．1.5×108
B．1.5×107
C．1.5×109
D．1.5×106[来源:%^中教&@网#]
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：150 000 000=1.5×108，
故选：A．
[来~源#:中国教育出版网*&%]
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4．（2018 年江苏省连云港市）一组数据2，1，2，5，3，2 的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．
【解答】解：在数据2，1，2，5，3，2 中2 出现3 次，次数最多，
[来源@:zzstep.*%&c#om]
所以众数为2，
故选：B．
【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
[来&源:z*zstep.co@~m%]
5．（2018 年江苏省连云港市）如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指
向大于3 的数的概率是（ ）
[来源%#:@*中教网&]
A．
B．
C．
D．
[来%源#:zz@step.c*om&]
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值
就是其发生的概率．
【解答】解：∵共6 个数，大于3 的有3 个，
∴P（大于3）=
=
；
故选：D．
[来源:中@^国#教育出~版网&]
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）=
．
6．（2018 年江苏省连云港市）如图是由5 个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的
俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方
形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
7．（2018 年江苏省连云港市）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间
t（s）满足函数表达式h=
t
﹣2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s 和点火后13s 的升空高度相同
B．点火后24s 火箭落于地面
C．点火后10s 的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【分析】分别求出t=9、13、24、10 时h 的值可判断A、B、C 三个选项，将解析式配方成顶点式可
判断D 选项．
[来*源:中教网^%&~]
【解答】解：A、当t=9 时，h=136；当t=13 时，h=144；所以点火后9s 和点火后13s 的升空高度不
相同，此选项错误；
B、当t=24 时h=1≠0，所以点火后24s 火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
[来#源:中教%*&网~]
C、当t=10 时h=141m，此选项错误；
[中^国教@育%&*出版网]
D、由h=
t
﹣2+24t+1=﹣（t
12
﹣
）
2+145 知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
[www#.%z~z@st&ep.com]
故选：D．
[www&.z@zstep~.*c%om]
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
8．
（2018 年江苏省连云港市）如图，菱形ABCD 的两个顶点B、D 在反比例函数y=
的图象上，
对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k 的值是（ ）
A．﹣5
B．﹣4
C．﹣3
D．﹣2
【分析】根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
[ww^w.%zzst&ep.~c#om]
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵点A（1，1），
[来源^:z&z~step.c*#om]
∴OA=
，
[来源#*:中国^教育出~&版网]
∴BO=
，
∵直线AC 的解析式为y=x，
∴直线BD 的解析式为y=
x
﹣，
∵OB=
，
∴点B 的坐标为（
，
），
[w@ww.zzstep.%~co&*m]
∵点B 在反比例函数y=
的图象上，
∴
，
解得，k=
3
﹣，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，
利用反比例函数的性质解答．
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二、填空题（本大题共8 小题，毎小题3 分，共24 分,不需要写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
[www#.z@zs*tep.%com~]
9．（2018 年江苏省连云港市）使
有意义的x 的取值范围是
x ≥
2
．
【分析】当被开方数x
2
﹣为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
[中国~教育出@*版&网%]
【解答】解：根据二次根式的意义，得
x
2
﹣≥0，解得x≥2．
[来&源:中国^%教@育出版~网]
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根
式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2018 年江苏省连云港市）分解因式：16
x
﹣2= （
4 + x ）（
4
x
﹣
）
．
【分析】16 和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式
进行因式分解即可．
【解答】解：16
x
﹣2=（4+x）（4
x
﹣）．
【点评】本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
11．（2018 年江苏省连云港市）如图，△ABC 中，点D、E 分別在AB、AC 上，DE∥BC，AD：DB=1：
2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为
1 ：
9
．
【分析】根据DE∥BC 得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：
9，问题得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
[来%源&:z*zstep.co@~m]
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC是1：9．
故答案为：1：9．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平
方是解答此题的关键．
12．（2018 年江苏省连云港市）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣
图象上的两
个点，则y1与y2的大小关系为
y 1＜
y 2 ．
【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解
答本题．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣
，﹣4＜0，
[w%ww.#z*zstep.com@~]
∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大，
∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣
图象上的两个点，﹣4＜﹣1，
∴y1＜y2，
[w~w%w.zz^ste*&p.com]
故答案为：y1＜y2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性
质，利用函数的思想解答．
13．（2018 年江苏省连云港市）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为
2π
cm．
【分析】根据弧长公式可得结论．
【解答】解：根据题意，扇形的弧长为
=2π，
故答案为：2π
[来源:^@中教网&~%]
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
[来&%源:中教网@~^]
14．（2018 年江苏省连云港市）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC⊥OA，OC
交AB 于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=
44°
．
【分析】首先连接OB，由点C 在过点B 的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得
∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵BC 是⊙O 的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
[www.~@zzst^ep#*.com]
∴∠APO=∠CBP=68°，
[来源&%:#中国教育出版~网*]
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°
68°
68°=44°
﹣
﹣
，
故答案为：44°
【点评】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合
思想与方程思想的应用．
15．（2018 年江苏省连云港市）如图，一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A、B 两
点，⊙O 经过A，B 两点，已知AB=2，则
的值为 ﹣
．
【分析】由图形可知：△OAB 是等腰直角三角形，AB=2，可得A，B 两点坐标，利用待定系数法
可求k 和b 的值，进而得到答案．
【解答】解：由图形可知：△OAB 是等腰直角三角形，OA=OB
∵AB=2，OA2+OB2=AB2
∴OA=OB=
∴A 点坐标是（
，0），B 点坐标是（0，
）
∵一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A、B 两点
∴将A，B 两点坐标带入y=kx+b，得k=
1
﹣，b=
∴
=﹣
故答案为：﹣
[中国教育出版&网^*#%]
【点评】本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出A，B 两点的坐标对解题是
关键之举．
16．（2018 年江苏省连云港市）如图，E、F，G、H 分别为矩形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，
连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=
，则AB 的长为
2
．
【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得
=
，推出
=
，
可得b=
a，在Rt△GCF 中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；
【解答】解：如图，连接BD．
[中~国%&*教育出^版网]
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=
，
∵CG=DG，CF=FB，
∴GF=
BD=
，
∵AG⊥FG，
∴∠AGF=90°，
∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，
[中~^#国教育出版网&%]
∴∠DAG=∠CGF，
∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，
∴
=
，
∴
=
，
∴b2=2a2，
∵a＞0．b＞0，
∴b=
a，
在Rt△GCF 中，3a2=
，
∴a=
，
∴AB=2b=2．
故答案为2．
【点评】本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共11 小题，共102 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2018 年江苏省连云港市）计算：（﹣2）
2+20180﹣
【分析】首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．
【解答】解：原式=4+1
6=
1
﹣
﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的
性质．
18．（2018 年江苏省连云港市）解方程：
﹣
=0
【分析】根据灯饰的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边乘x（x
1
﹣），得
3x
2
﹣（x
1
﹣）=0，
解得x=2，
经检验：x=2 是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要
检验方程的根．
19．（2018 年江苏省连云港市）解不等式组：
【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．
【解答】解：
，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣3，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图
，
原不等式组的解集为﹣3≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
20．（2018 年江苏省连云港市）随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越
高．某社区为了了解家庭对于文化教育的消费悄况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的文化
教育年消费金额进行问卷调査，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调査的家庭有
150
户，表中 m=
42
；
（2）本次调查数据的中位数出现在
B
组．扇形统计图中，D 组所在扇形的圆心角是
36
度；
（3）这个社区有2500 户家庭，请你估计家庭年文化教育消费10000 元以上的家庭有多少户？
组
別
家庭年文化教育消费金额x（元）
户
数
A
x≤5000
36
B
5000＜x≤10000
m
C
10000＜x≤15000
27
D
15000＜x≤20000
15
E
x＞20000
30
【分析】（1）依据A 组或E 组数据，即可得到样本容量，进而得出m 的值；
（2）依据中位数为第75 和76 个数据的平均数，即可得到中位数的位置，利用圆心角计算公
式，即可得到D 组所在扇形的圆心角；
（3）依据家庭年文化教育消费10000 元以上的家庭所占的比例，即可得到家庭年文化教育消
费10000 元以上的家庭的数量．
【解答】解：（1）样本容量为：36÷24%=150，
m=150
36
27
15
30=42
﹣
﹣
﹣
﹣
，
故答案为：150，42；
（2）中位数为第75 和76 个数据的平均数，而36+42=78＞76，
[来源:中国教育出版&^@网*~]
∴中位数落在B 组，
D 组所在扇形的圆心角为360°×
=36°，
故答案为：B，36；
[www.z%#z&step*@.com]
（3）家庭年文化教育消费10000 元以上的家庭有2500×
=1200（户）．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体以及中位数的运用，解题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
21．（2018 年江苏省连云港市）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间
进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．
假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是
；
（2）现甲队在前两周比赛中已取得2：0 的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8 种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率
公式求．
[w@ww^.z*zstep.com%~]
【解答】解：（1）甲队最终获胜的概率是
；
故答案为
；
（2）画树状图为：
共有8 种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
[来#源%:@&中教网*]
所以甲队最终获胜的概率=
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再
从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
22．（2018 年江苏省连云港市）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE，BA 交于点F，连
接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；
（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即
可得出四边形ACDF 是平行四边形；
（2）先判定△CDE 是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E 是AD 的中点，可得AD=2CD，依
据AD=BC，即可得到BC=2CD．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF 是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF 平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
[中国@%*^教育~出版网]
∴CD=DE，
∵E 是AD 的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
[来&@~源*:zzstep.c^om]
∴BC=2CD．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两
线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的
位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
23．（2018 年江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b 的图象与反比
例函数y=
的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x 轴交于点C．
[来源&:zzs#t~ep.c*@om]
（1）求k2，n 的值；
（2）请直接写出不等式k1x+b
的解集；
（3）将x 轴下方的图象沿x 轴翻折，点A 落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC 的面积．
【分析】（1）将A 点坐标代入y=
[中&*%@国教育~出版网]
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
【解答】解：（1）将A（4，﹣2）代入y=
，得k2=
8
﹣．
∴y=﹣
将（﹣2，n）代入y=﹣
[ww~w.%z^zstep.c#*om]
n=4．
∴k2=
8
﹣，n=4
（2）根据函数图象可知：
2
﹣＜x＜0 或x＞4
（3）将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入y=k1x+b，得k1=
1
﹣，b=2
∴一次函数的关系式为y=
x
﹣+2
与x 轴交于点C（2，0）
∴图象沿x 轴翻折后，得A′（4，2），
S△A'BC=（4+2）×（4+2）×
﹣
×4×4﹣
×2×2=8
∴△A'BC 的面积为8．
【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不
等式问题．
24．（2018 年江苏省连云港市）某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相
同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调査．获取信息如下：
购买数量低于5000 块
购买数量不低于5000 块
红色地砖
原价销售
以八折销售
蓝色地砖
原价销售
以九折销售
如果购买红色地砖4000 块，蓝色地砖6000 块，需付款86000 元；如果购买红色地砖10000 块，
蓝色地砖3500 块，需付款99000 元．
（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖12000 块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不
超过6000 块，如何购买付款最少？请说明理由．
[来源:&#中教*@网~]
【分析】（1）根据题意结合表格中数据，购买红色地砖4000 块，蓝色地砖6000 块，需付款
86000 元；购买红色地砖10000 块，蓝色地砖3500 块，需付款99000 元，分别得出方程得出答
案；
[来源:中~*国教@%育出版网^]
（2）利用已知得出x 的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设红色地砖每块a 元，蓝色地砖每块b 元，由题意可得：
[中国教&^*育%@出版网]
，
解得：
，
答：红色地砖每块8 元，蓝色地砖每块10 元；
[中国教育出版@^&网*%]
（2）设购置蓝色地砖x 块，则购置红色地砖（12000
x
﹣）块，所需的总费用为y 元，
由题意可得：x≥
（12000
x
﹣），
解得：x≥4000，
又x≤6000，
所以蓝砖块数x 的取值范围：4000≤x≤6000，
当4000≤x＜5000 时，
y=10x+×0.8（12000
x
﹣）
=76800+3.6x，
所以x=4000 时，y 有最小值91200，
[来@源:中^%教&网*]
当5000≤x≤6000 时，y=0.9×10x+8×0.8（1200
x
﹣）=2.6x+76800，
所以x=5000 时，y 有最小值89800，
∵89800＜91200，
∴购买蓝色地砖5000 块，红色地砖7000 块，费用最少，最少费用为89800 元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式
是解题关键．
[w~ww.zz#s^tep%@.com]
25．（2018 年江苏省连云港市）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，
背水坡AD 的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m．
（1）求坝高；
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（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底间时拓宽
加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF 的长．（参考数据：sin37°≈
，cos37°≈
，tan37°≈
）
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【分析】
（1）作DM⊥AB 于M，CN⊥AN 于N．由题意：tan∠DAB=
=2，设AM=x，则DM=2x，在
Rt△BCN 中，求出BN，构建方程即可解决问题；
（2）作FH⊥AB 于H．设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y
y=3
﹣
+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，
由△EFH∽△FBH，可得
=
，即
=
，求出y 即可；
【解答】解：（1）作DM⊥AB 于M，CN⊥AN 于N．
由题意：tan∠DAB=
=2，设AM=x，则DM=2x，
∵四边形DMNC 是矩形，
∴DM=CN=2x，
在Rt△NBC 中，tan37°=
=
=
，
∴BN=
x，
∵x+3+
x=14，
∴x=3，
∴DM=6，
答：坝高为6m．
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（2）作FH⊥AB 于H．设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y
y=3
﹣
+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，
由△EFH∽△FBH，可得
=
，
即
=
，
解得y=
7
﹣+2
或﹣7
2
﹣
（舍弃），
∴DF=2
7
﹣，
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答：DF 的长为（2
7
﹣）m．
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【点评】本题考查了坡度坡角的求解，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三
角形中运用，解题的关键是学会理由参数构建方程解决问题．
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[来源:中教^网%@~&]
26．（2018 年江苏省连云港市）如图1，图形ABCD 是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与
y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD 是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD 上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC 与△ADE 相似（其中点C 与点E 是
对应顶点）的点E 的坐标
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
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（2）先确定出MM'=（1
m
﹣
2）﹣（3m2
3
﹣）=4
4m
﹣
2，进而建立方程2m=4
4m
﹣
2，即可得出结论；
（3）先利用勾股定理求出AD=
，同理：CD=
，BC=
，再分两种情况：
①如图1，当△DBC∽△DAE 时，得出
，进而求出DE=
，即可得出E（0，﹣
），
再判断出△DEF∽△DAO，得出
，求出DF=
，EF=
，再用面积法求出
E'M=
，即可得出结论；
②如图2，当△DBC∽△ADE 时，得出
，求出AE=
，
当E 在直线AD 左侧时，先利用勾股定理求出PA=
，PO=
，进而得出PE=
，再判断出
即可得出点E 坐标，当E'在直线DA 右侧时，即可得出结论．
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【解答】解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1=kx2+m（k＜0）的图象上，
∴
，
∴
，
∴二次函数解析式为y1=
x
﹣2+1，
[www^.%zzste~p*.c@om]
∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2=ax2+b（a＞0）的图象上，
∴
，
∴
，
∴二次函数y2=3x2
3
﹣；
（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD 上一点，M'（m，3m2
3
﹣）为第四象限的图形
上一点，
∴MM'=（1
m
﹣
2）﹣（3m2
3
﹣）=4
4m
﹣
2，
由抛物线的对称性知，若有内接正方形，
∴2m=4
4m
﹣
2，
∴m=
或m=
（舍），
∵0＜
＜1，
∴存在内接正方形，此时其边长为
；
（3）在Rt△AOD 中，OA=1，OD=3，
∴AD=
=
，
同理：CD=
，
在Rt△BOC 中，OB=OC=1，
∴BC=
=
，
①如图1，当△DBC∽△DAE 时，
∵∠CDB=∠ADO，
∴在y 轴上存在E，由
，
∴
，
[来源^:z&z~step.c*o#m]
∴DE=
，
∵D（0，﹣3），
∴E（0，﹣
），
由对称性知，在直线DA 右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，
连接EE'交DA 于F 点，作E'M⊥OD 于M，连接E'D，
∵E，E'关于DA 对称，
∴DF 垂直平分线EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴
，
∴
，
∴DF=
，EF=
，
∵S△DEE'=
DE•E'M=EF×DF=
，
[ww&w.~z*zs#tep.co@m]
∴E'M=
，
∵DE'=DE=
，
在Rt△DE'M 中，DM=
=2，
∴OM=1，
∴E'（
，﹣1），
②如图2，
[来源%:中@教网#*~]
当△DBC∽△ADE 时，有∠BDC=∠DAE，
，
∴
，
∴AE=
，
当E 在直线AD 左侧时，设AE 交y 轴于P，作EQ⊥AC 于Q，
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，
∴PD=PA，
[中~国@%*教^育出版网]
设PD=n，
[来^源:#中教%*网&]
∴PO=3
n
﹣，PA=n，
[中国^教#育~出&版%网]
在Rt△AOP 中，PA2=OA2+OP2，
∴n2=（3
n
﹣）
2+1，
[来源:z^z#s*tep.c~o&m]
∴n=
，
∴PA=
，PO=
，
∵AE=
，
[来源^:zz&step.co@~m%]
∴PE=
，
在AEQ 中，OP∥EQ，
∴
，
∴OQ=
，
∵
，
∴QE=2，
[w~^%ww#.zz*step.com]
∴E（﹣
，﹣2），
当E'在直线DA 右侧时，
根据勾股定理得，AE=
=
，
[来~源^:中国%教育&出*版网]
∴AE'=
[来源#:%zzst^~ep.com&]
∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，
∴∠BDA=∠DAE'，
∴AE'∥OD，
[来源:中国教&育出版网~%@#]
∴E'（1，﹣
），
综上，使得△BDC 与△ADE 相似（其中点C 与E 是对应顶点）的点E 的坐标有4 个，
即：（0，﹣
）或（
，﹣1）或（1，﹣
）或（﹣
，﹣2）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性
质，对称性，正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键．
[来@#源^:%*中教网]
27．
（12018 年江苏省连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC 是边
长为2 的等边形，E 是AC 上一点，小亮以BE 为边向BE 的右侧作等边三角形BEF，连接CF．
[来源:zzs~t#*ep.@com^]
（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，EF、BC 相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找
出来，并证明．
（2）当点E 在线段上运动时，点F 也随着运动，若四边形ABFC 的面积为
，求AE 的长．
（3）如图2，当点E 在AC 的延长线上运动时，CF、BE 相交于点D，请你探求△ECD 的面积S1与
△DBF 的面积S2之间的数量关系．并说明理由．
[来&源~^:@中教网*]
（4）如图2，当△ECD 的面积S1=
时，求AE 的长．
[w*ww.~z@zstep.c%o#m]
【分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS 即可证明；
[中国教育出版网&*^@%]
（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S 四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=
，由S 四
边形ABCF=
，推出S△ABE=
，再利用三角形的面积公式求出AE 即可；
[来@源:%^中*教网#]
（3）结论：S2
S
﹣1=
．利用全等三角形的性质即可证明；
（4）首先求出△BDF 的面积，由CF∥AB，则△BDF 的BF 边上的高为
，可得DF=
，设CE=x，
则2+x=CD+DF=CD+
，推出CD=x﹣
，由CD∥AB，可得
=
，即
=
，求出x 即可；
【解答】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．
理由：如图1 中，
[来源:zz#step^.%&~com]
∴∵△ABC，△BEF 都是等边三角形，
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF．
[来源~:@中^国#教%育出版网]
（2）如图1 中，∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE=S△BCF，
∴S 四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=
，
∵S 四边形ABCF=
，
∴S△ABE=
，
∴
•AE•AB•siin60°=
，
∴AE=
．
[来&源:中@教#~*网]
（3）结论：S2
S
﹣1=
．
理由：如图2 中，
∵∵△ABC，△BEF 都是等边三角形，
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF，
[中国#教*%~育&出版网]
∴S△ABE=S△BCF，
∵S△BCF
S
﹣△BCE=S2
S
﹣1，
∴S2
S
﹣1=S△ABE
S
﹣△BCE=S△ABC=
．
[www.z@zs^te%#p.com~]
（4）由（3）可知：S△BDF
S
﹣△ECD=
，∵S△ECD=
，
∴S△BDF=
，
∵△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，
∴∠ABC=∠DCB，
∴CF∥AB，则△BDF 的BF 边上的高为
，可得DF=
，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+
，
∴CD=x﹣
，
∵CD∥AB，
∴
=
，即
=
，
化简得：3x2
x
2=0
﹣﹣
，
解得x=1 或﹣
（舍弃），
∴CE=1，AE=3．
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三
角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，
属于中考压轴题．
