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2018 年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题（每小题4 分，共48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1．（4.00 分）（2018•宁波）在﹣3，﹣1，0，1 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0D．1
2．（4.00 分）（2018•宁波）2018 中国（宁波）特色文化产业博览会于4 月16 日在
宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55 万人次，其中55
万用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×106B．5.5×105 C．5.5×104 D．55×104
3．（4.00 分）（2018•宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=2a3 B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5
4．（4.00 分）（2018•宁波）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，
3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4.00 分）（2018•宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形
的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（4.00 分）（2018•宁波）如图是由6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个
几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和左视图
7．
（4.00 分）
（2018•宁波）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边
第1页（共30页）
CD 的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1 的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
8．（4.00 分）（2018•宁波）若一组数据4，1，7，x，5 的平均数为4，则这组数据的中
位数为（ ）
A．7B．5C．4D．3
9．（4.00 分）（2018•宁波）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B
为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点D，则
的长为（ ）
A．
π B．
π C．
π D．
π
10．（4.00 分）（2018•宁波）如图，平行于x 轴的直线与函数y=
（k1＞0，x＞0），
y=
（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上
的一个动点，若△ABC 的面积为4，则k1
k
﹣2的值为（ ）
A．8B．﹣8 C．4D．﹣4
11．
（4.00 分）
（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三
象限的点P．若点P 的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a
b
﹣）x+b 的图象大致是（
）
第2页（共30页）
A．
B．
C．
D
．
12．（4.00 分）（2018•宁波）在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b（a＞b）的正
方形纸片按图1，图2 两种方式放置（图1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠），
矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积
为S1，图2 中阴影部分的面积为S2．当AD
AB=2
﹣
时，S2
S
﹣1的值为（ ）
A．2a
B．2b
C．2a
2b
﹣
D．﹣2b
二、填空题（每小题4 分，共24 分）
13．（4.00 分）（2018•宁波）计算：|
2018
﹣
|= ．
14．（4.00 分）（2018•宁波）要使分式
有意义，x 的取值应满足 ．
15．（4.00 分）（2018•宁波）已知x，y 满足方程组
，则x2
4y
﹣
2的值为
第3页（共30页）
．
16．（4.00 分）（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，
飞机上的测量人员在C 处测得A，B 两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面
的高度CH 为1200 米，且点H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为
米（结果保留根号）．
17．（4.00 分）（2018•宁波）如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是
BC 边上的动点，连结PM，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P．当⊙P 与正方形
ABCD 的边相切时，BP 的长为 ．
18．（4.00 分）（2018•宁波）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠B 是锐角，AE⊥BC 于
点E，M 是AB 的中点，连结
MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB 的值为 ．
三、解答题（本大题有8 小题，共78 分）
19．（6.00 分）（2018•宁波）先化简，再求值：（x
1
﹣）2+x（3
x
﹣），其中x=﹣
．
20．（8.00 分）（2018•宁波）在5×3 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
第4页（共30页）
（1）在图1 中画出线段BD，使BD∥AC，其中D 是格点；
（2）在图2 中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E 是格点．
21．（8.00 分）（2018•宁波）在第23 个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学
生的每周课外阅读时间（用t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷
调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4 分为四个等级，并依次用A，
B，C，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计
图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1200 人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4 的人数．
22．（10.00 分）（2018•宁波）已知抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y=﹣
x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方
法及平移后的函数表达式．
23．（10.00 分）（2018•宁波）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB 边上
一点（点D 与A，B 不重合），连结CD，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得
第5页（共30页）
到线段CE，连结DE 交BC 于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF 时，求∠BEF 的度数．
24．
（10.00 分）
（2018•宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元
乙种商品共用了2400 元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且
购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，乙
种商品的销售单价为88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种
商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销
售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460 元，问甲种商品按
原销售单价至少销售多少件？
25．
（12.00 分）
（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我
们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC 是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；
（2）如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC，对角线BD 平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求
证：△ABC 是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求
的值．
26．（14.00 分）（2018•宁波）如图1，直线l：y=﹣
x+b 与x 轴交于点A（4，0），与y
轴交于点B，点C 是线段OA 上一动点（0＜AC＜
）．以点A 为圆心，AC 长为半径
第6页（共30页）
作⊙A 交x 轴于另一点D，交线段AB 于点E，连结OE 并延长交⊙A 于点F．
（1）求直线l 的函数表达式和tan∠BAO 的值；
（2）如图2，连结CE，当CE=EF 时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E 的坐标；
（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OE•EF 的最大值．
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2018 年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4 分，共48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1．（4.00 分）（2018•宁波）在﹣3，﹣1，0，1 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0D．1
【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得
3
﹣＜﹣1＜0＜1，
最小的数是﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．
2．（4.00 分）（2018•宁波）2018 中国（宁波）特色文化产业博览会于4 月16 日在
宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55 万人次，其中55
万用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×106B．5.5×105 C．5.5×104 D．55×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：550000=5.5×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（4.00 分）（2018•宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=2a3 B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5
第8页（共30页）
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方
法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a3+a3=2a3，
∴选项A 符合题意；
∵a3•a2=a5，
∴选项B 不符合题意；
∵a6÷a2=a4，
∴选项C 不符合题意；
∵（a3）2=a6，
∴选项D 不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并
同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确
①底数a≠0，因为0 不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应
用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底
数是什么，指数是什么．
4．（4.00 分）（2018•宁波）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，
3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5 即为所求的概率．
【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5 这5 张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶
数的有2、4 这2 种结果，
∴正面的数字是偶数的概率为
，
故选：C．
第9页（共30页）
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的
知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
5．（4.00 分）（2018•宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形
的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的
外角和等于360 度．
6．（4.00 分）（2018•宁波）如图是由6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个
几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和左视图
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用
了中心对称图形．
7．
（4.00 分）
（2018•宁波）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边
CD 的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1 的度数为（ ）
第10页（共30页）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA 的度数，再利用三角形中位线定理
结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠BCA=180°
60°
80°=40°
﹣
﹣
，
∵对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边CD 的中点，
∴EO 是△DBC 的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1=∠ACB=40°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO
是△DBC 的中位线是解题关键．
8．（4.00 分）（2018•宁波）若一组数据4，1，7，x，5 的平均数为4，则这组数据的中
位数为（ ）
A．7B．5C．4D．3
【分析】先根据平均数为4 求出x 的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵数据4，1，7，x，5 的平均数为4，
∴
=4，
解得：x=3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
第11页（共30页）
9．（4.00 分）（2018•宁波）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B
为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点D，则
的长为（ ）
A．
π B．
π C．
π D．
π
【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式
可得到弧CD 的长．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，
∴∠B=60°，BC=2
∴
的长为
=
，
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30 度角的性质，解题时注
意弧长公式为：l=
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
10．（4.00 分）（2018•宁波）如图，平行于x 轴的直线与函数y=
（k1＞0，x＞0），
y=
（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上
的一个动点，若△ABC 的面积为4，则k1
k
﹣2的值为（ ）
A．8B．﹣8 C．4D．﹣4
第12页（共30页）
【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，
bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=
AB•yA= （a
b
﹣）h= （ah
bh
﹣
）= （k1
k
﹣2）=4，求出k1
k
﹣2=8．
【解答】解：∵AB∥x 轴，
∴A，B 两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．
∵S△ABC=
AB•yA=
（a
b
﹣）h=
（ah
bh
﹣
）=
（k1
k
﹣2）=4，
∴k1
k
﹣2=8．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的
坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．
11．
（4.00 分）
（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三
象限的点P．若点P 的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a
b
﹣）x+b 的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D
．
第13页（共30页）
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a
b
﹣的正负情况，从而可以得到一次
函数经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x=
1
﹣时，y=a
b
﹣＜0，
∴y=（a
b
﹣）x+b 的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，
利用函数的思想解答．
12．（4.00 分）（2018•宁波）在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b（a＞b）的正
方形纸片按图1，图2 两种方式放置（图1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠），
矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积
为S1，图2 中阴影部分的面积为S2．当AD
AB=2
﹣
时，S2
S
﹣1的值为（ ）
A．2a
B．2b
C．2a
2b
﹣
D．﹣2b
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们
的差．
【解答】解：S1=（AB
a
﹣）•a+（CD
b
﹣）（AD
a
﹣）=（AB
a
﹣）•a+（AB
b
﹣）（AD
a
﹣），
S2=AB（AD
a
﹣）+（a
b
﹣）（AB
a
﹣），
∴S2
S
﹣1=AB（AD
a
﹣）+（a
b
﹣）（AB
a
﹣）﹣（AB
a
﹣）•a﹣（AB
b
﹣）（AD
a
﹣）=（AD﹣
a）（AB
AB
﹣
+b）+（AB
a
﹣）（a
b
a
﹣﹣）=b•AD
ab
b•AB
﹣
﹣
+ab=b（AD
AB
﹣
）=2b．
故选：B．
第14页（共30页）
【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采
用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体
的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
二、填空题（每小题4 分，共24 分）
13．（4.00 分）（2018•宁波）计算：|
2018
﹣
|=
2018
．
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：|
2018
﹣
|=2018．
故答案为：2018．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
14．（4.00 分）（2018•宁波）要使分式
有意义，x 的取值应满足
x ≠
1
．
【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．
【解答】解：要使分式
有意义，则：x
1
﹣≠0．
解得：x≠1，故x 的取值应满足：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
15．（4.00 分）（2018•宁波）已知x，y 满足方程组
，则x2
4y
﹣
2的值为 ﹣
8
．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式=（x+2y）（x
2y
﹣
）
=
3
﹣×5
=
15
﹣
故答案为：﹣15
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题
型．
第15页（共30页）
16．（4.00 分）（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，
飞机上的测量人员在C 处测得A，B 两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面
的高度CH 为1200 米，且点H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为
1200
（
﹣
1 ）
米（结果保留根号）．
【分析】在Rt△ACH 和Rt△HCB 中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH、BH 的长，
然后计算出AB 的长．
【解答】解：由于CD∥HB，
∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°
在Rt△ACH 中，∵∴∠CAH=45°
∴AH=CH=1200 米，
在Rt△HCB，∵tan∠B=
∴HB=
=
=
=1200
（米）．
∴AB=HB
HA
﹣
=1200
1200
﹣
=1200（
﹣1）米
故答案为：1200（
﹣1）
【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的
第16页（共30页）
关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH．
17．（4.00 分）（2018•宁波）如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是
BC 边上的动点，连结PM，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P．当⊙P 与正方形
ABCD 的边相切时，BP 的长为
3 或
4
．
【分析】分两种情形分别求解：如图1 中，当⊙P 与直线CD 相切时；如图2 中当⊙P
与直线AD 相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形；
【解答】解：如图1 中，当⊙P 与直线CD 相切时，设PC=PM=m．
在Rt△PBM 中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8
x
﹣）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC
PC=8
5=3
﹣
﹣
．
如图2 中当⊙P 与直线AD 相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC
是矩形．
第17页（共30页）
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM 中，PB=
=4
．
综上所述，BP 的长为3 或4
．
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学
会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
18．（4.00 分）（2018•宁波）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠B 是锐角，AE⊥BC 于
点E，M 是AB 的中点，连结
MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB 的值为
．
【分析】延长DM 交CB 的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理
构建方程求出x 即可解决问题．
【解答】解：延长DM 交CB 的延长线于点H．
第18页（共30页）
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，
∴∠ADM=∠H，
∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，
∴△ADM≌△BHM，
∴AD=HB=2，
∵EM⊥DH，
∴EH=ED，设BE=x，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=AB2
BE
﹣
2=DE2
AD
﹣
2，
∴22
x
﹣2=（2+x）2
2
﹣
2，
∴x=
1
﹣或﹣
﹣1（舍弃），
∴cosB=
=
，
故答案为
．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决
问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题有8 小题，共78 分）
19．（6.00 分）（2018•宁波）先化简，再求值：（x
1
﹣）2+x（3
x
﹣），其中x=﹣
．
【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再
把x 的值代入即可．
【解答】解：原式=x2
2x
﹣
+1+3x
x
﹣2=x+1，
当x=﹣
时，原式=﹣
+1=
．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把
第19页（共30页）
整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
20．（8.00 分）（2018•宁波）在5×3 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在图1 中画出线段BD，使BD∥AC，其中D 是格点；
（2）在图2 中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E 是格点．
【分析】（1）将线段AC 沿着AB 方向平移2 个单位，即可得到线段BD；
（2）利用2×3 的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．
【解答】解：（1）如图所示，线段BD 即为所求；
（2）如图所示，线段BE 即为所求．
【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题
中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
21．（8.00 分）（2018•宁波）在第23 个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学
生的每周课外阅读时间（用t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷
调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4 分为四个等级，并依次用A，
B，C，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计
图，由图中给出的信息解答下列问题：
第20页（共30页）
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1200 人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4 的人数．
【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A 的数字，可计算出调查学生人数；
（2）先计算出C 在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可
计算出B 在扇形图中的百分比，再计算出B 在扇形的圆心角．
（3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4 的百分比即得所求．
【解答】解：（1）由条形图知，A 级的人数为20 人，
由扇形图知：A 级人数占总调查人数的10%
所以：20÷10%=20×
=200（人）
即本次调查的学生人数为200 人；
（2）由条形图知：C 级的人数为60 人
所以C 级所占的百分比为：
×100%=30%，
B 级所占的百分比为：1
10%
30%
45%=15%
﹣
﹣
﹣
，
B 级的人数为200×15%=30（人）
D 级的人数为：200×45%=90（人）
B 所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．
（3）因为C 级所占的百分比为30%，
所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4 的人数为：1200×30%=360（人）
答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4 的约有360 人．
第21页（共30页）
【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的
百分比=
×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中
的百分比．
22．（10.00 分）（2018•宁波）已知抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y=﹣
x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方
法及平移后的函数表达式．
【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；
（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．
【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：
，
解得：
，
则抛物线解析式为y=﹣
x2
x
﹣+
；
（2）抛物线解析式为y=﹣
x2
x
﹣+
=﹣
（x+1）2+2，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2 个单位，解析式变为y=﹣
x2．
第22页（共30页）
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上
点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解
本题的关键．
23．（10.00 分）（2018•宁波）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB 边上
一点（点D 与A，B 不重合），连结CD，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得
到线段CE，连结DE 交BC 于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF 时，求∠BEF 的度数．
【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB
﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE
（SAS ）
（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF 的度
数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD 与△BCE 中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
第23页（共30页）
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质
以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
24．
（10.00 分）
（2018•宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元
乙种商品共用了2400 元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且
购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，乙
种商品的销售单价为88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种
商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销
售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460 元，问甲种商品按
原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x 元，乙种商品的每件进价为y 元．根据
“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了2400 元
购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a 件，则由“两种商品全部售完后共获利不少
于2460 元”列出不等式．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，
=
，
解得 x=40．
经检验，x=40 是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40 元，乙种商品的每件进价为48 元；
（2）甲乙两种商品的销售量为
=50．
设甲种商品按原销售单价销售a 件，则
（60
40
﹣
）a+（60×0.7
40
﹣
）（50
a
﹣）+（88
48
﹣
）×50≥2460，
第24页（共30页）
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20 件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售
中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．
25．
（12.00 分）
（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我
们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC 是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；
（2）如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC，对角线BD 平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求
证：△ABC 是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求
的值．
【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC 三种情
况分别代入计算可得；
（2）先证△ABC∽△DCA 得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD 知AB=AD 即可
得；
（3）作AH⊥BD，由AB=AD 知BH=
BD，再证△ABH∽△DBC 得AB•BC=BH•DB，即
AB•BC=
BD2，结合AB•BC=AC2知
BD2=AC2，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC 是比例三角形，且AB=2、AC=3，
①当AB2=BC•AC 时，得：4=3AC，解得：AC=
；
②当BC2=AB•AC 时，得：9=2AC，解得：AC=
；
③当AC2=AB•BC 时，得：AC=6，解得：AC=
（负值舍去）；
所以当AC=
或
或
时，△ABC 是比例三角形；
第25页（共30页）
（2）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵∠BAC=∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴
=
，即CA2=BC•AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴CA2=BC•AB，
∴△ABC 是比例三角形；
（3）如图，过点A 作AH⊥BD 于点H，
∵AB=AD，
∴BH=
BD，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BHA=∠BCD=90°，
又∵∠ABH=∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴
=
，即AB•BC=BH•DB，
第26页（共30页）
∴AB•BC=
BD2，
又∵AB•BC=AC2，
∴
BD2=AC2，
∴
=
．
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的
定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．
26．（14.00 分）（2018•宁波）如图1，直线l：y=﹣
x+b 与x 轴交于点A（4，0），与y
轴交于点B，点C 是线段OA 上一动点（0＜AC＜
）．以点A 为圆心，AC 长为半径
作⊙A 交x 轴于另一点D，交线段AB 于点E，连结OE 并延长交⊙A 于点F．
（1）求直线l 的函数表达式和tan∠BAO 的值；
（2）如图2，连结CE，当CE=EF 时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E 的坐标；
（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OE•EF 的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法求出b 即可得出直线l 表达式，即可求出OA，OB，即
可得出结论；
（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；
②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E 坐标，即可得出OE 的平方，再根据①的相
似得出比例式得出OE 的平方，建立方程即可得出结论；
（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．
第27页（共30页）
【解答】解：∵直线l：y=﹣
x+b 与x 轴交于点A（4，0），
∴﹣
×4+b=0，
∴b=3，
∴直线l 的函数表达式y=﹣
x+3，
∴B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB 中，tan∠BAO=
=
；
（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，
∴∠CDE=∠FDE，
∴∠CDF=2∠CDE，
∵∠OAE=2∠CDE，
∴∠OAE=∠ODF，
∵四边形CEFD 是⊙O 的圆内接四边形，
∴∠OEC=∠ODF，
∴∠OEC=∠OAE，
∵∠COE=∠EOA，
∴△COE∽△EOA，
②过点E⊥OA 于M，
由①知，tan∠OAB=
，
设EM=3m，则AM=4m，
∴OM=4
4m
﹣
，AE=5m，
∴E（4
4m
﹣
，3m），AC=5m，∴
OC=4
5m
﹣
，
由①知，△COE∽△EOA，
∴
，
第28页（共30页）
∴OE2=OA•OC=4（4
5m
﹣
）=16
20m
﹣
，
∵E（4
4m
﹣
，3m），
∴（4
4m
﹣
）2+9m2=25m2
32m
﹣
+16，
∴25m2
32m
﹣
+16=16
20m
﹣
，
∴m=0（舍）或m=
，
∴4
4m=
﹣
，3m=
，
∴（
，
），
（3）如图，设⊙O 的半径为r，过点O 作OG⊥AB 于G，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴
AB×OG=
OA×OB，
∴OG=
，
∴AG=
=
×
=
，
∴EG=AG
AE=
﹣
r
﹣，
连接FH，
∵EH 是⊙O 直径，
∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，
∵∠OEG=∠HEF，
∴△OEG∽△HEF，
∴
，
∴OE•EF=HE•EG=2r（
﹣r）=
2
﹣（r﹣
）2+
，
∴r=
时，OE•EF 最大值为
．
第29页（共30页）
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，
锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
第30页（共30页）
