文档文本内容
2018 年贵州省毕节市中考数学试卷
一、选择题（本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分）
1．（3 分）﹣2018 的倒数是（ ）
A．2018 B．
C．﹣2018 D．
2．（3 分）习近平主席在2018 年新年贺词中指出，2017 年，基本医疗保险已经覆
盖1350000000 人．将1350000000 用科学记数法表示为（ ）
A．135×107 B．1.35×109C．13.5×108D．1.35×1014
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a+b）（a
b
﹣）×a2
b
﹣
2=a2
b
﹣
2 B．a3+a4=a7
C．a3•a2=a5 D．23=6
4．（3 分）如图所示的几何体是由一个圆柱体挖去一个长方体后得到的，它的主视
图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）已知一个三角形的两边长分别为8 和2，则这个三角形的第三边长可能
是（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（3 分）某同学将自己7 次体育测试成绩（单位：分）绘制成折线统计图，则该同
学7 次测试成绩的众数和中位数分别是（ ）
第1页（共26页）
A．50 和48 B．50 和47 C．48 和48 D．48 和43
7．（3 分）将抛物线y=x2向左平移2 个单位，再向下平移5 个单位，平移后所得新
抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2
5
﹣B．y=（x+2）2+5 C．y=（x
2
﹣）2
5
﹣D．y=（x
2
﹣）2+5
8．（3 分）如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3 的度数为（ ）
A．30° B．50° C．80° D．100°
9．（3 分）已知点P（﹣3，2），点Q（2，a）都在反比例函数y= （k≠0）的图象上，过
点Q 分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
10．（3 分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D
．
11．
（3 分）在平面直角坐标系中，△OAB 各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），
B（0，3），以O 为位似中心，△OA′B′与△OAB 位似，若B 点的对应点B′的坐标为
（0，﹣6），则A 点的对应点A′坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
12．（3 分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE：EC=3：2，连接AE 交
第2页（共26页）
BD 于点F，则△DEF 与△BAF 的面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
13．（3 分）某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用10000 元购进这
种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000 元购进了第二批这种衬衫，所购
数量是第一批购进量的2 倍．但单价贵了4 元，求这两批衬衫的购进单价，若设第
一批衬衫购进单价为x 元，则所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，AD=3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM
对折得到△ANM，若AN 平分∠MAB，则折痕AM 的长为（ ）
A．3B．
C．
D．6
15．（3 分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞
0；②2a+b＞0；③b2
4ac
﹣
＞0；④a
b
﹣+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
第3页（共26页）
二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.请把答案填在答题卡相应题
号后的横线上）
16．（5 分）因式分解：a3
a=
﹣
．
17．（5 分）如图，在△ABC 中，AC=10，BC=6，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交AC
于点E，则△BCE 的周长是 ．
18．（5 分）已知关于x 的一元二次方程x2
x
﹣+m
1=0
﹣
有两个不相等的实数根，则
实数m 的取值范围是 ．
19．
（5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 为半圆的三等分点，CE⊥AB 于点E，∠ACE
的度数为 ．
20．（5 分）观察下列运算过程：
请
运
用
上
面
的
运
算
方
法
计
算
：
= ．
三、解答题（本大题共7 小题，各题分值见题号后，共80 分.请解答在答题卡相应
题号后，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
第4页（共26页）
21．（8 分）计算：
22．（8 分）先化简，再求值：
，其中a 是方程a2+a
6=0
﹣
的解．
23．（10 分）2017 年9 月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文
教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著
作的阅读，某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展
“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选
且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图
（1）本次一共调查了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用
树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
24．（12 分）如图，在平行四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过点C 作
CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP 为菱形．
25．
（12 分）某商店销售一款进价为每件40 元的护肤品，调查发现，销售单价不低
于40 元且不高于80 元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在
第5页（共26页）
一次函数关系，当销售单价为44 元时，日销售量为72 件；当销售单价为48 元时，
日销售量为64 件．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x 为多少时，日销售利润w
最大，最大日销售利润是多少？
26．（14 分）如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点E，过点E 作AB 的垂
线交AB 于点F，交CB 的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．
（1）求证：EG 是⊙O 的切线；
（2）若tanC=
，AC=8，求⊙O 的半径．
27．（16 分）如图，以D 为顶点的抛物线y=
x
﹣2+bx+c 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于
点C，直线BC 的表达式为y=
x
﹣+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC 上有一点P，使PO+PA 的值最小，求点P 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若
存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共26页）
2018 年贵州省毕节市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分）
1．（3 分）﹣2018 的倒数是（ ）
A．2018 B．
C．﹣2018 D．
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2018 的倒数是：﹣
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．（3 分）习近平主席在2018 年新年贺词中指出，2017 年，基本医疗保险已经覆
盖1350000000 人．将1350000000 用科学记数法表示为（ ）
A．135×107 B．1.35×109C．13.5×108D．1.35×1014
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n
为整数，据此判断即可．
【解答】解：1350000000=1.35×109，
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中
1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a+b）（a
b
﹣）×a2
b
﹣
2=a2
b
﹣
2 B．a3+a4=a7
C．a3•a2=a5 D．23=6
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=（﹣a2
b
﹣
2+2ab）×a2
b
﹣
2=[﹣（a
b
﹣）2]×（a2
b
﹣
2）
B、a3+a4=a7，底数相同，指数不同不能相加，故本选项错误；
第7页（共26页）
C、a3•a2=a5，运算正确；
D、23=2×2×2=8，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘方和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
4．（3 分）如图所示的几何体是由一个圆柱体挖去一个长方体后得到的，它的主视
图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的视图，注意圆柱内的长方体的放置．
【解答】解：其主视图是
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图，关键是要注意视图中每一个闭合的线框都表示
物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．从实线和虚线想
象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．
5．（3 分）已知一个三角形的两边长分别为8 和2，则这个三角形的第三边长可能
是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根据已知边长求第三边x 的取值范围为：6＜x＜10，因此只有选项C 符合．
第8页（共26页）
【解答】解：设第三边长为x，
则8
2
﹣＜x＜2+8，
6＜x＜10，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为
大于两边差且小于两边和．
6．（3 分）某同学将自己7 次体育测试成绩（单位：分）绘制成折线统计图，则该同
学7 次测试成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．50 和48 B．50 和47 C．48 和48 D．48 和43
【分析】根据折线统计图，可得该同学7 次的成绩，根据众数、中位数，可得答案．
【解答】解：由折线统计图，得：42，43，47，48，49，50，50，
7 次测试成绩的众数为50，中位数为48，
故选：A．
【点评】本题考查了折线统计图，利用折线统计图获得有效信息是解题关键，又利
用了众数、中位数的定义．
7．（3 分）将抛物线y=x2向左平移2 个单位，再向下平移5 个单位，平移后所得新
抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2
5
﹣B．y=（x+2）2+5 C．y=（x
2
﹣）2
5
﹣D．y=（x
2
﹣）2+5
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即
可．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2 个单位再向下平移5 个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
第9页（共26页）
所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2
5
﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右
减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．
8．（3 分）如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3 的度数为（ ）
A．30° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据平角的定义即可得到∠4 的度数，再根据平行线的性质即可得到∠3
的度数．
【解答】解：∵∠1=50°，∠2=30°，
∴∠4=100°，
∵a∥b，
∴∠3=∠4=100°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
9．（3 分）已知点P（﹣3，2），点Q（2，a）都在反比例函数y= （k≠0）的图象上，过
点Q 分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=
3
﹣×2=2×a，易得k=﹣
6，a=
3
﹣，然后根据反比例函数的比例系数k 的几何意义求S 的值．
第10页（共26页）
【解答】解：∵点P（﹣3，2）、点Q（2，a）都在反比例函数y=
的图象上，
∴k=
3
﹣×2=2×a，
∴k=
6
﹣，a=
3
﹣，
∵过点Q 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，
∴S=|
6
﹣|=6．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=
图象
中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
是定值|k|．
10．（3 分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D
．
【分析】解不等式组，把解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式2x+1≥﹣3 得：x≥﹣2，
不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
不等式组的解集在数轴上表示如图：
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式
组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无
解了．
11．
（3 分）在平面直角坐标系中，△OAB 各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），
第11页（共26页）
B（0，3），以O 为位似中心，△OA′B′与△OAB 位似，若B 点的对应点B′的坐标为
（0，﹣6），则A 点的对应点A′坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．
【解答】解：∵△OA′B′与△OAB 关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点
B′的坐标为（0，﹣6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（﹣2，﹣4）
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键
12．（3 分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE：EC=3：2，连接AE 交
BD 于点F，则△DEF 与△BAF 的面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据
相似三角形的性质结合DE：EC=3：2，即可得出△DEF 与△BAF 的面积之比，此题
得解．
【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=3：2，
∴
=
=
，
∴
=（
）2=
．
第12页（共26页）
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似
三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13．（3 分）某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用10000 元购进这
种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000 元购进了第二批这种衬衫，所购
数量是第一批购进量的2 倍．但单价贵了4 元，求这两批衬衫的购进单价，若设第
一批衬衫购进单价为x 元，则所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设第一批衬衫购进单价为x 元，则购进第二批这种衬衫是（x+4）元，根据
第二批所购数量是第一批购进数量的2 倍，列出方程即可．
【解答】解：设第一批衬衫购进单价为x 元，则购进第二批这种衬衫是（x+4）元，
依题意有：2×
=
．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方
程是解题的关键．
14．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，AD=3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM
对折得到△ANM，若AN 平分∠MAB，则折痕AM 的长为（ ）
A．3B．
C．
D．6
【分析】由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数
解答即可．
【解答】解：由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
第13页（共26页）
∴∠MAN=∠DAM，
∵AN 平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴AM=
=
，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，关键是由折叠性质得
∠MAN=∠DAM．
15．（3 分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞
0；②2a+b＞0；③b2
4ac
﹣
＞0；④a
b
﹣+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c
的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进
行判断．
【解答】解：①∵抛物线对称轴是y 轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y 轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵a＞0，x=﹣
＜1，
第14页（共26页）
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b2
4ac
﹣
＞0，
故③正确；
④当x=
1
﹣时，y＞0，
∴a
b
﹣+c＞0，
故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c
系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点
的个数确定．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.请把答案填在答题卡相应题
号后的横线上）
16．（5 分）因式分解：a3
a=
﹣
a （
a + 1 ）（
a
1
﹣
）
．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2
1
﹣）=a（a+1）（a
1
﹣），
故答案为：a（a+1）（a
1
﹣）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是
解本题的关键．
17．（5 分）如图，在△ABC 中，AC=10，BC=6，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交AC
于点E，则△BCE 的周长是
16
．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，从而得
第15页（共26页）
到△BCE 的周长=AC+BC，然后代入数据计算即可求解．
【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AC=10，BC=6，
∴△BCE 的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10+6=16．
故答案为：16
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质
证明出三角形的周长等于AC 与BC 的和是解题的关键．
18．（5 分）已知关于x 的一元二次方程x2
x
﹣+m
1=0
﹣
有两个不相等的实数根，则
实数m 的取值范围是
m
．
【分析】由方程有两个不等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一
次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2
x
﹣+m
1=0
﹣
有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣1）2
4
﹣×1×（m
1
﹣）=5
4m
﹣
＞0，
∴m
．
故答案为：m
．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
19．
（5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 为半圆的三等分点，CE⊥AB 于点E，∠ACE
的度数为
30°
．
【分析】想办法证明△AOC 是等边三角形即可解决问题．
第16页（共26页）
【解答】解：如图，连接OC．
∵AB 是直径，
=
=
，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°
60°=30°
﹣
．
故答案为30°
【点评】本题考查等弧所对的圆心角相等的性质、等边三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（5 分）观察下列运算过程：
请
运
用
上
面
的
运
算
方
法
计
算
：
=
．
【分析】先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式= （
﹣1）+ （
﹣
）+ （
﹣
）+…+ （
﹣
）+
（
﹣
）
第17页（共26页）
=
（
﹣1+
﹣
+…+
﹣
）
=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后
进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题
目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
三、解答题（本大题共7 小题，各题分值见题号后，共80 分.请解答在答题卡相应
题号后，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（8 分）计算：
【分析】分别进行负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的
三角函数值即可
【解答】解：
=
3
2
﹣﹣
+
1
﹣+
1=
5
﹣
﹣
【点评】此题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角
函数值，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则
22．（8 分）先化简，再求值：
，其中a 是方程a2+a
6=0
﹣
的解．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程a2+a
6=0
﹣
可
以求得a 的值，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a 的值
必须使得原分式有意义．
【解答】解：
=
第18页（共26页）
=
=
=
，
由a2+a
6=0
﹣
，得a=
3
﹣或a=2，
∵a
2
﹣≠0，
∴a≠2，
∴a=
3
﹣，
当a=
3
﹣时，原式=
=
．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分
式化简求值的方法．
23．（10 分）2017 年9 月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文
教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著
作的阅读，某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展
“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选
且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图
（1）本次一共调查了
50
名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用
树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
【分析】（1）依据C 部分的数据，即可得到本次一共调查的人数；
（2）依据总人数以及其余各部分的人数，即可得到B 对应的人数；
第19页（共26页）
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）；
故答案为：50；
（2）B 对应的人数为：50
16
15
7=12
﹣
﹣
﹣
，
如图所示：
（3）列表：
A
B
C
D
A
AB AC AD
B BA
BC BD
C CA CB
CD
D DA DB DC
∵共有12 种等可能的结果，恰好选中A、B 的有2 种，
∴P（选中A、B）=
=
．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，列表与树状图的应用，解题的关键
是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解．
24．（12 分）如图，在平行四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过点C 作
CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP 为菱形．
第20页（共26页）
【分析】（1）只要证明AD=BC，∠ADP=∠BCQ，DP=CQ 即可解决问题；
（2）首先证明四边形ABQP 是平行四边形，再证明AB=AP 即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ=∠DBC，
∵DP=CQ，
∴△ADP≌△BCQ．
（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，
∴四边形CQPD 是平行四边形，
∴CD=PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP 是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD=∠BQC，
∵∠APD+∠APB=180°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP，
∴四边形ABQP 是菱形．
第21页（共26页）
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性
质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．
（12 分）某商店销售一款进价为每件40 元的护肤品，调查发现，销售单价不低
于40 元且不高于80 元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在
一次函数关系，当销售单价为44 元时，日销售量为72 件；当销售单价为48 元时，
日销售量为64 件．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x 为多少时，日销售利润w
最大，最大日销售利润是多少？
【分析】（1）设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），将（44，72），（48，64）代入，
利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据（1）的函数关系式，利用求二次函数最值的方法便可解出答案．
【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），
由题意得：
，
解得：k=
2
﹣，b=160，
所以y 与x 之间的函数关系式是y=
2x
﹣
+160（40≤x≤80）；
（2）由题意得，w 与x 的函数关系式为：
w=（x
40
﹣
）（﹣2x+160）=
2x
﹣
2+240x
6400=
2
﹣
﹣（x
60
﹣
）2+800，
当x=60 元时，利润w 最大是800 元，
所以当销售单价x 为60 元时，日销售利润w 最大，最大日销售利润是800 元．
【点评】此题考查了一次函数与二次函数的应用，根据已知求出一次函数与二次
函数的解析式是解题的关键．
第22页（共26页）
26．（14 分）如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点E，过点E 作AB 的垂
线交AB 于点F，交CB 的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．
（1）求证：EG 是⊙O 的切线；
（2）若tanC=
，AC=8，求⊙O 的半径．
【分析】（1）由∠ABG=2∠C．可得△ABC 是等腰三角形，且BE⊥AC 可得AE=CE，根
据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG 可得OE⊥EG，即可证EG 是⊙O 的切线
（2）根据三角函数求BE，CE 的长，再用勾股定理求BC 的长即可求半径的长．
【解答】证明（1）如图：连接OE，BE
∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A
∴∠C=∠A
∴BC=AB，
∵BC 是直径
∴∠CEB=90°，且AB=BC
∴CE=AE，且CO=OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE 是半径
∴EG 是⊙O 的切线
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（2）∵AC=8，
∴CE=AE=4
∵tan∠C=
=
∴BE=2
∴BC=
=2
∴CO=
即⊙O 半径为
【点评】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，关键是灵活运用切线的判定解
决问题．
27．（16 分）如图，以D 为顶点的抛物线y=
x
﹣2+bx+c 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于
点C，直线BC 的表达式为y=
x
﹣+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC 上有一点P，使PO+PA 的值最小，求点P 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若
存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点B 和点C 的坐标，然后将点B 和点C 的坐标代入抛物线的解
析式得到关于b、c 的方程，从而可求得b、c 的值；
（2）作点O 关于BC 的对称点O′，则O′（3，3），则OP+AP 的最小值为AO′的长，然
后依据两点间的距离公式求得O′A 的长即可；
（3）先求得点D 的坐标，然后求得CD、BC、BD 的长，依据勾股定理的逆定理证明
第24页（共26页）
△BCD 为直角三角形，然后分为△AQC∽△DCB 和△ACQ∽△DCB 两种情况求解
即可．
【解答】解：（1）把x=0 代入y=
x
﹣+3，得：y=3，
∴C（0，3）．
把y=0 代入y=
x
﹣+3 得：x=3，
∴B（3，0），A（﹣1，0）
将C（0，3）、B（3，0）代入y=
x
﹣2+bx+c 得：
，解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=
x
﹣2+2x+3．
（2）如图所示：作点O 关于BC 的对称点O′，则O′（3，3）．
∵O′与O 关于BC 对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP 的最小值=O′A=
=5．
（3）y=
x
﹣2+2x+3=﹣（x
1
﹣）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3，B（3，0），
∴CD=
，BC=3
，DB=2
．
∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA=1，CO=3．
∴
=
=
．
第25页（共26页）
又∵∠AOC=DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图所示：连接AC，过点C 作CQ⊥AC，交x 轴与点Q．
∵△ACQ 为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴
=
，即
=
，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q 为顶点的三角形与△BCD
相似．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨
论是解答本题的关键．
第26页（共26页）
