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2018 年湖南省湘西州中考数学试卷
一、填空题（本大题8 小题，每小题4 分，共32 分）
1．（4.00 分）﹣2018 的绝对值是 ．
2．（4.00 分）分解因式：a2
9=
﹣
．
3．（4.00 分）要使分式
有意义，则x 的取值范围为 ．
4．（4.00 分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1 千克“可燃
冰”完全燃烧放出的热量约为420000000 焦耳，数据420000000 用科学记数法表
示为 ．
5．（4.00 分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．小明
妈妈买了3 个红豆粽、2 个碱水粽、5 个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均
相同．小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为 ．
6．
（4.00 分）按照如图的操作步骤，若输入x 的值为2，则输出的值是 ．
（用
科学计算器计算或笔算）
7．（4.00 分）如图，DA⊥CE 于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D= ．
8．（4.00 分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a
b=ab
a
※
﹣+b
2
﹣．例如，
2
5=2
※
×5
2
﹣+5
2=ll
﹣
．请根据上述的定义解决问题：若不等式3
x
※ ＜2，则不等式
的正整数解是 ．
二、选择题（本大题10 小题，每小题4 分，共40 分，每个小题所给四个选项只有
一个正确选项）
9．（4.00 分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a3=a5 B．2a
a=2
﹣
C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3b=5ab
10．（4.00 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（4.00 分）在某次体育测试中，九年级（1）班5 位同学的立定跳远成绩（单位：
m）分别为：1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据的众数为（ ）
A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.81
12．（4.00 分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（4.00 分）一次函数y=x+2 的图象与y 轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（﹣2，0）
14．（4.00 分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（4.00 分）已知⊙O 的半径为5cm，圆心O 到直线l 的距离为5cm，则直线l 与
⊙O 的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
16．（4.00 分）若关于x 的一元二次方程x2
2x
﹣
+m=0 有一个解为x=
1
﹣，则另一个
解为（ ）
A．1B．﹣3 C．3D．4
17．（4.00 分）下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
18．（4.00 分）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A，AC、CD 是⊙O 的两条弦，且
CD∥AB，若⊙O 的半径为5，CD=8，则弦AC 的长为（ ）
A．10
B．8C．4
D．4
三、解答题（本大题8 小题，共78 分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步
骤）
19．（6.00 分）计算：
+（π
2018
﹣
）0
2tan45°
﹣
20．（6.00 分）解方程组：
21．（8.00 分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB=6，AD=4，求△CDE 的周长．
22．
（8.00分）中华文化源远流长，在文学方面，
《西游记》
《三国演义》
《水浒传》
《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学
为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的
问题在全校学生中抽取n 名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的两个
不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）求n 的值；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000 名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．
23．（8.00 分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A、B 两个景点，景区
管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位
于B 的北偏东30°的方向上，且AB=10km．
（1）求景点B 与C 的距离；
（2）为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离
最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
24．（8.00 分）反比例函数y= （k 为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，
m）．
（1）求反比例函数的解析式及B 点的坐标；
（2）在x 轴上找一点P，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．
25．（12.00 分）某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400
元，B 型电脑每台的利润为500 元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共
100 台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍，设购进A 型电脑x 台，这
100 台电脑的销售总利润为y 元．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多
少？
（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多
购进A 型电脑60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计
出使这100 台电脑销售总利润最大的进货方案．
26．（22.00 分）如图1，经过原点O 的抛物线y=ax2+bx（a、b 为常数，a≠0）与x 轴
相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x 在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），
与抛物线的对称轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴上找一点P，使以点P、O、C 为顶点的三角形与以点A、O、B 为顶点的三
角形相似，求满足条件的点P 的坐标；
（3）直线l 沿着x 轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA 相交于点M，与x 轴下方的
抛物线相交于点N，过点N 作NE⊥x 轴于点E．把△MEN 沿直线l′折叠，当点E 恰
好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y 轴相交于点K，把△MOK 绕点O 顺时针
旋转90°得到△M′OK′，点F 为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足
条件的点F 的坐标．
2018 年湖南省湘西州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题8 小题，每小题4 分，共32 分）
1．（4.00 分）﹣2018 的绝对值是
2018
．
【分析】根据绝对值的定义即可求得．
【解答】解：﹣2018 的绝对值是2018．
故答案为：2018
【点评】本题主要考查的是绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（4.00 分）分解因式：a2
9=
﹣
（
a + 3 ）（
a
3
﹣
）
．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：a2
9=
﹣
（a+3）（a
3
﹣）．
故答案为：（a+3）（a
3
﹣）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
3．（4.00 分）要使分式
有意义，则x 的取值范围为
x ≠
﹣
2
．
【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故答案为：x≠﹣2
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，
本题属于基础题型．
4．（4.00 分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1 千克“可燃
冰”完全燃烧放出的热量约为420000000 焦耳，数据420000000 用科学记数法表
示为
4.2
×
10
8
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值大于10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于1 时，n
是负数．
【解答】解：420000000=4.2×108．
故答案为：4.2×108
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
5．（4.00 分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．小明
妈妈买了3 个红豆粽、2 个碱水粽、5 个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均
相同．小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为
．
【分析】根据题意和题目中的数据可以求得小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的
概率．
【解答】解：由题意可得，
小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为：
，
故答案为：
．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
6．
（4.00 分）按照如图的操作步骤，若输入x 的值为2，则输出的值是
2
．
（用科
学计算器计算或笔算）
【分析】将x=2 代入程序框图中计算即可得到结果．
【解答】解：将x=2 代入得：3×（2）2
10=12
10=2
﹣
﹣
．
故答案为：2．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（4.00 分）如图，DA⊥CE 于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=
60°
．
【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D
的度数．
【解答】解：∵DA⊥CE，
∴∠DAE=90°，
∵∠EAB=30°，
∴∠BAD=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠D=∠BAD=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，
内错角相等．
8．（4.00 分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a
b=ab
a
※
﹣+b
2
﹣．例如，
2
5=2
※
×5
2
﹣+5
2=ll
﹣
．请根据上述的定义解决问题：若不等式3
x
※ ＜2，则不等式
的正整数解是
1
．
【分析】根据新定义可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得
出结论．
【解答】解：∵3
x=3x
3
※
﹣+x
2
﹣＜2，
∴x＜
，
∵x 为正整数，
∴x=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出x
＜
是解题的关键．
二、选择题（本大题10 小题，每小题4 分，共40 分，每个小题所给四个选项只有
一个正确选项）
9．（4.00 分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a3=a5 B．2a
a=2
﹣
C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3b=5ab
【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选
项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3=a5，正确；
B、2a
a=a
﹣
，错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；
D、2a+3b=2a+3b，错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很
熟练，才能正确求出结果．
10．（4.00 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据圆锥体的三视图即可得．
【解答】解：圆锥体的主视图是等腰三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握常见几何体的三
视图．
11．（4.00 分）在某次体育测试中，九年级（1）班5 位同学的立定跳远成绩（单位：
m）分别为：1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据的众数为（ ）
A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.81
【分析】根据众数的概念解答．
【解答】解：在数据1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10 中，2.10 出现2 次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2.10，
故选：B．
【点评】本题考查的是众数的确定，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众
数是解题的关键．
12．（4.00 分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先定界点，再定方向即可得．
【解答】解：不等式组
的解集在数轴上表示如下：
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要
注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时
要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心
点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
13．（4.00 分）一次函数y=x+2 的图象与y 轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（﹣2，0）
【分析】代入x=0 求出y 值，进而即可得出发一次函数y=x+2 的图象与y 轴的交点
坐标．
【解答】解：当x=0 时，y=x+2=0+2=2，
∴一次函数y=x+2 的图象与y 轴的交点坐标为（0，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入x=0 求出y 值是解题的关
键．
14．（4.00 分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：D 选项的图形是轴对称图形，A，B，C 选项的图形不是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合．
15．（4.00 分）已知⊙O 的半径为5cm，圆心O 到直线l 的距离为5cm，则直线l 与
⊙O 的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离5 等于圆的半径5，则直线和圆相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆
的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线
与圆相离．
16．（4.00 分）若关于x 的一元二次方程x2
2x
﹣
+m=0 有一个解为x=
1
﹣，则另一个
解为（ ）
A．1B．﹣3 C．3D．4
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣
，即可得出关于x1的一元
一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于
﹣
、两根之积等于
是解题的关键．
17．（4.00 分）下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案
【解答】解：①对顶角相等，故①正确；
②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟
记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键．
18．（4.00 分）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A，AC、CD 是⊙O 的两条弦，且
CD∥AB，若⊙O 的半径为5，CD=8，则弦AC 的长为（ ）
A．10
B．8C．4
D．4
【分析】由AB 是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB 知AO⊥CD，从而得出CE=4，
Rt△COE 中求得OE=3 及AE=8，在Rt△ACE 中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB 与⊙O 相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=
CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE 中，OE=
=
=3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC=
=
=4
，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直
于经过切点的半径及垂径定理．
三、解答题（本大题8 小题，共78 分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步
骤）
19．（6.00 分）计算：
+（π
2018
﹣
）0
2tan45°
﹣
【分析】原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算
即可求出值．
【解答】解：原式=2+1
2=1
﹣
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6.00 分）解方程组：
【分析】①+②求出x，把x=2 代入①求出y 即可．
【解答】解：①+②得：4x=8，
解得：x=2，
把x=2 代入①得：2+y=3，
解得：y=1，
所以原方程组的解为
．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方
程是解此题的关键．
21．（8.00 分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB=6，AD=4，求△CDE 的周长．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS 证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE 的长度，结合三角
形的周长公式解答．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD 中，AD=BC，∠A=∠B=90°．
∵E 是AB 的中点，
∴AE=BE．
在△ADE 与△BCE 中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．
在直角△ADE 中，AE=4，AE=
AB=3，
由勾股定理知，DE=
=
=5，
∴△CDE 的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判
定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等
时，关键是选择恰当的判定条件．
22．
（8.00分）中华文化源远流长，在文学方面，
《西游记》
《三国演义》
《水浒传》
《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学
为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”
的问题在全校学生中抽取n 名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的
两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）求n 的值；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000 名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．
【分析】（1）由读完3 部的人数乘以占的百分比求出n 的值即可；
（2）求出读完2 部的人数，补全条形统计图即可；
（3）求出读完4 部的百分比，乘以2000 即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），
则n 的值为100；
（2）四大古典名著你读完了2 部的人数为100﹣（5+15+30+25）=25（人），
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：25%×2000=500（人），
则该校四大古典名著均已读完的人数为500 人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的
数据是解本题的关键．
23．（8.00 分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A、B 两个景点，景区
管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位
于B 的北偏东30°的方向上，且AB=10km．
（1）求景点B 与C 的距离；
（2）为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离
最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
【分析】（1）先根据方向角的定义得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形内角和
定理求出∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，则∠CAB=∠C=30°，根据等角对等边求
出BC=AB=10km．；
（2）首先过点C 作CE⊥AB 于点E，然后在Rt△CBE 中，求得答案．
【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠C=30°，
∴BC=AB=10km，
即景点B、C 相距的路程为10km．
（2）过点C 作CE⊥AB 于点E，
∵BC=10km，C 位于B 的北偏东30°的方向上，
∴∠CBE=60°，
在Rt△CBE 中，CE=
km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，比较简单．涉及到三角形内
角和定理，等腰三角形的判定等知识．根据条件得出∠CAB=∠C 是解题的关键．
24．（8.00 分）反比例函数y= （k 为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，
m）．
（1）求反比例函数的解析式及B 点的坐标；
（2）在x 轴上找一点P，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．
【分析】（1）先把A 点坐标代入y=
求出k 得到反比例函数解析式；然后把B（3，
m）代入反比例函数解析式求出m 得到B 点坐标；
（2）作A 点关于x 轴的对称点A′，连接BA′交x 轴于P 点，则A′（1，﹣3），利用两点
之间线段最短可判断此时此时PA+PB 的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′
的解析式，然后求出直线与x 轴的交点坐标即可得到P 点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y=
得k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=
；
把B（3，m）代入y=
得3m=3，解得m=1，
∴B 点坐标为（3，1）；
（2）作A 点关于x 轴的对称点A′，连接BA′交x 轴于P 点，则A′（1，﹣3），
∵PA+PB=PA′+PB=BA′，
∴此时此时PA+PB 的值最小，
设直线BA′的解析式为y=mx+n，
把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得
，解得
，
∴直线BA′的解析式为y=2x
5
﹣，
当y=0 时，2x
5=0
﹣
，解得x=
，
∴P 点坐标为（
，0）．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数
的反比例函数解析式y= （k 为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应
值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解
析式．也考查了最短路径问题．
25．（12.00 分）某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400
元，B 型电脑每台的利润为500 元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共
100 台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍，设购进A 型电脑x 台，这
100 台电脑的销售总利润为y 元．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多
少？
（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多
购进A 型电脑60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计
出使这100 台电脑销售总利润最大的进货方案．
【分析】（1）根据“总利润=A 型电脑每台利润×A 电脑数量+B 型电脑每台利润
×B 电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍且电脑数量为整数”求得x
的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y=（400+a）x+500（100
x
﹣），即y=（a
100
﹣
）x+50000，分三种情况讨
论，①当0＜a＜100 时，y 随x 的增大而减小，②a=100 时，y=50000，③当100＜m
＜200 时，a
100
﹣
＞0，y 随x 的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100
x
﹣）=
100x
﹣
+50000；
（2）∵100
x
﹣≤2x，
∴x≥
，
∵y=
100x
﹣
+50000 中k=
100
﹣
＜0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵x 为正数，
∴x=34 时，y 取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A 型34 台、B 型电脑66 台，才能使销售总利润最大，最大利润是
46600 元；
（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100
x
﹣），即y=（a
100
﹣
）x+50000，
33
≤x≤60
①当0＜a＜100 时，y 随x 的增大而减小，
∴当x=34 时，y 取最大值，
即商店购进34 台A 型电脑和66 台B 型电脑的销售利润最大．
②a=100 时，a
100=0
﹣
，y=50000，
即商店购进A 型电脑数量满足33
≤x≤60 的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜200 时，a
100
﹣
＞0，y 随x 的增大而增大，
∴当x=60 时，y 取得最大值．
即商店购进60 台A 型电脑和40 台B 型电脑的销售利润最大．
【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是
根据一次函数x 值的增大而确定y 值的增减情况．
26．（22.00 分）如图1，经过原点O 的抛物线y=ax2+bx（a、b 为常数，a≠0）与x 轴
相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x 在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），
与抛物线的对称轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴上找一点P，使以点P、O、C 为顶点的三角形与以点A、O、B 为顶点的三
角形相似，求满足条件的点P 的坐标；
（3）直线l 沿着x 轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA 相交于点M，与x 轴下方的
抛物线相交于点N，过点N 作NE⊥x 轴于点E．把△MEN 沿直线l′折叠，当点E 恰
好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y 轴相交于点K，把△MOK 绕点O 顺时针
旋转90°得到△M′OK′，点F 为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足
条件的点F 的坐标．
【分析】（1）应用待定系数法；
（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；
（3）由已知直线l′与x 轴所夹锐角为45°，△EMN 为等腰直角三角形，当沿直线l′
折叠时，四边形ENE′M 为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；
（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类
讨论可求解．
【解答】解：（1）由已知点B 坐标为（5，5）
把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得
解得
∴抛物线的解析式为：y=
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=
，则点C 坐标为（
，
）
∴OC=
，OB=5
当△OBA∽△OCP 时，
∴
∴OP=
当△OBA∽△OPC 时，
∴
∴OP=5
∴点P 坐标为（5，0）或（
，0）
（3）设点N 坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c
∵直线l′y=x+c 与x 轴夹角为45°
∴△MEN 为等腰直角三角形．
当把△MEN 沿直线l′折叠时，四边形ENE′M 为正方形
∴点′E 坐标为（a
b
﹣，b）
∵EE′平行于x 轴
∴E、E′关于抛物线对称轴对称
∵
∴b=2a
3
﹣
则点N 坐标可化为（a，2a
3
﹣）
把点N 坐标带入y=
得：
2a
3=
﹣
解得
a1=1，a2=6
∵a=6 时，b=2a
3=
9
﹣
﹣＜0
∴a=6 舍去
则点N 坐标为（1，﹣1）
把N 坐标带入y=x+c
则c=
2
﹣
∴直线l′的解析式为：y=x
2
﹣
（4）由（3）K 点坐标为（0，﹣2）
则△MOK 为等腰直角三角形
∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′
∴当M′K′=M′F 时，△M'FK′为等腰直角三角形
∴F 坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）
【点评】本题时代数几何综合题，考查了二次函数待定系数法及其轴对称性、三角
形相似以及等腰三角形的判定．解答过程中注意应用直线y=x 与x 轴正向夹角为
45°这个条件．
