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2018 年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的）
1．（3.00 分）（2018•随州）﹣
的相反数是（ ）
A．﹣
B．
C．﹣2 D．2
2．（3.00 分）（2018•随州）如图是一个由4 个相同正方体组成的立体图形，它的左
视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3.00 分）（2018•随州）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．a3÷a
3
﹣=1
C．（a
b
﹣）2=a2
ab
﹣
+b2 D．（﹣a2）3=
a
﹣
6
4．（3.00 分）（2018•随州）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板
的锐角顶点A，B 分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2 的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
5．（3.00 分）（2018•随州）某同学连续6 次考试的数学成绩分别是85，97，93，79，
85，95，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．85 和 89 B．85 和 86 C．89 和 85 D．89 和 86
6．（3.00 分）（2018•随州）如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两
第1页（共36页）
部分，则
的值为（ ）
A．1B．
C．
1D．
7．（3.00 分）（2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始
领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数
图象可以体现这一故事过程的是（ ）
A．
B．
C
．
D．
8．（3.00 分）（2018•随州）正方形ABCD 的边长为2，以各边为直径在正方形内画
半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴
影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
第2页（共36页）
9．（3.00 分）（2018•随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作
“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200 的
数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n 的值为（
）
A．33
B．301 C．386 D．571
10．（3.00 分）（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交
于A、B 两点，与y 轴交于点C 对称轴为直线x=1．直线y=
x
﹣+c 与抛物线
y=ax2+bx+c 交于C、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a
b
﹣+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
二.填空题（本大题共6 小题、每小题3 分，共18 分，只需要将结果直接填在答卡
对应题号处的横线上）
11．（3.00 分）（2018•随州）计算：
﹣|2
2
﹣
|+2tan45°= ．
第3页（共36页）
12．（3.00 分）（2018•随州）如图，点A，B，C 在⊙O 上，∠A=40 度，∠C=20 度，则
∠B= 度．
13．（3.00 分）（2018•随州）已知
是关于x，y 的二元一次方程组
的
一组解，则a+b= ．
14．（3.00 分）（2018•随州）如图，一次函数y=x
2
﹣的图象与反比例函数y= （k＞
0）的图象相交于A、B 两点，与x 轴交与点C，若tan∠AOC=
，则k 的值为
15．（3.00 分）（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的边长为
2，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC 绕点O 顺
时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B 的对应点B′的坐标为 ．
16．
（3.00 分）
（2018•随州）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且BC＞AB，
BD=8．给出以下判断：
①AC 垂直平分BD；
第4页（共36页）
②四边形ABCD 的面积S=AC•BD；
③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④当A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为
；
⑤将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F，当
BF⊥CD 时，点F 到直线AB 的距离为
．
其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
三、解答题（本人题共8 小题，共72 分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或
证明过程）
17．
（6.00 分）
（2018•随州）先化简，再求值：
，其中x 为整数且满
足不等式组
．
18．（7.00 分）（2018•随州）己知关于x 的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0 有两个
不相等的实数根x1，x2．
（1）求k 的取值范围；
（2）若
+
=
1
﹣，求k 的值．
19．（9.00 分）（2018•随州）为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽
取了30 名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，
己知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜100”．根据图中信息回答下列问题：
（1）图中a 的值为 ；
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（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x 在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心
角度数为 度；
（3）此次比赛共有300 名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得
“优秀“的学生大约有 人：
（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92 分，若从成绩在“50≤x＜60”和
“90≤x＜100”的学生中任选2 人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的
概率．
20．（8.00 分）（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣
兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258 米，宽32 米，为双向六车道，2018
年4 月3 日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉
桥的部分截面图如图2 所示，索塔AB 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE 和
最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC 在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，
∠ACB=30°，BE=6 米，AB=5BD．
（1）求最短的斜拉索DE 的长；
（2）求最长的斜拉索AC 的长．
21．（8.00 分）（2018•随州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O
的切线，OM⊥AB 于点O，分别交AC、CN 于D、M 两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O 的半径为5，AC=4
，求MC 的长．
第6页（共36页）
22．
（11.00 分）
（2018•随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一
批纪念品生产订单，按要求在15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20
元，设第x 天（1≤x≤15，且x 为整数）每件产品的成本是p 元，p 与x 之间符合一
次函数关系，部分数据如表：
天数（x）
1
3
6
10
每件成本p
（元）
7.5
8.5
10
12
任务完成后，统计发现工人李师傅第x 天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如
下关系：y=
设李师傅第x 天创造的产品利润为W 元．
（1）直接写出p 与x，W 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围：
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299 元．工厂制定如
下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得
20 元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
23．（11.00 分）（2018•随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小
数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1 的分数），
那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将0. 化为分数形式
由于0. =0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
第7页（共36页）
②﹣①得9x=7，解得x=
，于是得0. =
．
同理可得0. =
=
，1. =1+0. =1+
=
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1）0. = ，5. = ；
（2）将0.
化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）0. 1 = ，2.0
= ；
（注：0. 1 =0.315315…，2.0
=2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较0. 与1 的大小：0. 1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知0. 8571 =
，则3. 1428 = ．
（注：0. 857l =0.285714285714…）
24．（12.00 分）（2018•随州）如图1，抛物线C1：y=ax2
2ax
﹣
+c（a＜0）与x 轴交于
A、B 两点，与y 轴交于点C．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，
OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G 的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x 轴的
第8页（共36页）
交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k 的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上一动点，过点M 作x 轴的垂
线分别交抛物线C1、C2于P、Q 两点，试探究在直线y=
1
﹣上是否存在点N，使得以
P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ 全等，若存在，直接写出点M，N 的坐标：若不存
在，请说明理由．
第9页（共36页）
2018 年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的）
1．（3.00 分）（2018•随州）﹣
的相反数是（ ）
A．﹣
B．
C．﹣2 D．2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣
的相反数是
，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3.00 分）（2018•随州）如图是一个由4 个相同正方体组成的立体图形，它的左
视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3.00 分）（2018•随州）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．a3÷a
3
﹣=1
第10页（共36页）
C．（a
b
﹣）2=a2
ab
﹣
+b2 D．（﹣a2）3=
a
﹣
6
【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式及同底数幂的除法、幂的乘方逐一计
算可得．
【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项错误；
B、a3÷a
3
﹣=a6，此选项错误；
C、（a
b
﹣）2=a2
2ab
﹣
+b2，此选项错误；
D、（﹣a2）3=
a
﹣
6，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、完全平方公
式及同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则．
4．（3.00 分）（2018•随州）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板
的锐角顶点A，B 分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2 的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【分析】过点C 作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，过点C 作CD∥a，则∠1=∠ACD．
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2=∠DCB．
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=65°，
∴∠2=25°．
故选：A．
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【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答
此题的关键．
5．（3.00 分）（2018•随州）某同学连续6 次考试的数学成绩分别是85，97，93，79，
85，95，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．85 和 89 B．85 和 86 C．89 和 85 D．89 和 86
【分析】根据众数、中位数的定义即可判断；
【解答】解：将数据重新排列为79、85、85、93、95、97，
则这组数据的中位数为
=89，众数为85
故选：A．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．中位数是将一组数据从小到
大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这
组数据的中位数．众数是次数出现最多的数；
6．（3.00 分）（2018•随州）如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两
部分，则
的值为（ ）
A．1B．
C．
1D．
【分析】由DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S 四边
形BCED，可得出
=
，结合BD=AB
AD
﹣
即可求出
的值，此题得解．
第12页（共36页）
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（
）2=
．
∵S△ADE=S 四边形BCED，
∴
=
，
∴
=
=
=
1
﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相
似比的平方是解题的关键．
7．（3.00 分）（2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始
领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数
图象可以体现这一故事过程的是（ ）
A．
B．
C
．
D．
【分析】根据兔子的路程在一段时间内保持不变、乌龟比兔子所用时间少逐一判
断即可得．
【解答】解：由于兔子在图中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变，所以
第13页（共36页）
D 选项错误；
因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C 均错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的
意义及实际问题中自变量与因变量之间的关系．
8．（3.00 分）（2018•随州）正方形ABCD 的边长为2，以各边为直径在正方形内画
半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴
影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【解答】解：如图，连接PA、PB、OP；
则S 半圆O=
=
，S△ABP=
×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S 半圆O
S
﹣△ABP）
=4（
﹣1）=2π
4
﹣，
∴米粒落在阴影部分的概率为
=
，
故选：A．
第14页（共36页）
【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不
大．
9．（3.00 分）（2018•随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作
“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200 的
数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n 的值为（
）
A．33
B．301 C．386 D．571
【分析】由图形知第n 个三角形数为1+2+3+…+n=
，第n 个正方形数为n2，
据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
【解答】解：由图形知第n 个三角形数为1+2+3+…+n=
，第n 个正方形数为
n2，
当n=19 时，
=190＜200，当n=20 时，
=210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14 时，n2=196＜200，当n=15 时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n 个三角形
数为1+2+3+…+n=
，第n 个正方形数为n2．
第15页（共36页）
10．（3.00 分）（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交
于A、B 两点，与y 轴交于点C 对称轴为直线x=1．直线y=
x
﹣+c 与抛物线
y=ax2+bx+c 交于C、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a
b
﹣+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【分析】利用抛物线与y 轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=
2a
﹣
，则
2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另
一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=
1
﹣时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二
次函数的性质得到x=1 时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③
进行判断；由于直线y=
x
﹣+c 与抛物线y=ax2+bx+c 交于C、D 两点，D 点在x 轴下方
且横坐标小于3，利用函数图象得x=3 时，一次函数值比二次函数值大，即
9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=
2a
﹣
代入解a 的不等式，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1，
∴b=
2a
﹣
，
∴2a+b+c=2a
2a
﹣
+c=c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）左侧，
第16页（共36页）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x=
1
﹣时，y＜0，
∴a
b
﹣+c＜0，所以②正确；
∵x=1 时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=
x
﹣+c 与抛物线y=ax2+bx+c 交于C、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小
于3，
∴x=3 时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b=
2a
﹣
，
∴9a
6a
﹣
＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中
的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次
函数图象与系数的关系．
二.填空题（本大题共6 小题、每小题3 分，共18 分，只需要将结果直接填在答卡
对应题号处的横线上）
11．（3.00 分）（2018•随州）计算：
﹣|2
2
﹣
|+2tan45°=
4
．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分
别化简得出答案．
【解答】解：原式=2
﹣（2
2
﹣）+2×1
=2
2
﹣
+2+2
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3.00 分）（2018•随州）如图，点A，B，C 在⊙O 上，∠A=40 度，∠C=20 度，则
第17页（共36页）
∠B=
60
度．
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的
性质解答即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=20°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质
是解题的关键．
13．（3.00 分）（2018•随州）已知
是关于x，y 的二元一次方程组
的
一组解，则a+b=
5
．
【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b 的方程组，求出a、b 即可解
决问题；
【解答】解：∵
是关于x，y 的二元一次方程组
的一组解，
∴
，解得
，
∴a+b=5，
故答案为5．
第18页（共36页）
【点评】本题考查二元方程组，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问
题，所以中考常考题型．
14．（3.00 分）（2018•随州）如图，一次函数y=x
2
﹣的图象与反比例函数y= （k＞
0）的图象相交于A、B 两点，与x 轴交与点C，若tan∠AOC=
，则k 的值为
3
．
【分析】根据题意设出点A 的坐标，然后根据一次函数y=x
2
﹣的图象与反比例函
数y= （k＞0）的图象相交于A、B 两点，可以求得a 的值，进而求得k 的值，本题
得以解决．
【解答】解：设点A 的坐标为（3a，a），
∵一次函数y=x
2
﹣的图象与反比例函数y= （k＞0）的图象相交于A、B 两点，
∴a=3a
2
﹣，得a=1，
∴1=
，得k=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（3.00 分）（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的边长为
2，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC 绕点O 顺
时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B 的对应点B′的坐标为 （
，﹣
） ．
第19页（共36页）
【分析】作B′H⊥x 轴于H 点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠AOB=30°，再根
据旋转的性质得∠BOB′=75°，OB′=OB=2
，则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，所以
△OBH 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H=
，然后
根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标．
【解答】解：作B′H⊥x 轴于H 点，连结OB，OB′，如图，
∵四边形OABC 为菱形，
∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB 平分∠AOC，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2
，
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，
∴△OBH 为等腰直角三角形，
∴OH=B′H=
OB′=
，
∴点B′的坐标为（
，﹣
）．
故答案为：（
，﹣
）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角
度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，
45°，60°，90°，180°．
第20页（共36页）
16．
（3.00 分）
（2018•随州）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且BC＞AB，
BD=8．给出以下判断：
①AC 垂直平分BD；
②四边形ABCD 的面积S=AC•BD；
③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④当A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为
；
⑤将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F，当
BF⊥CD 时，点F 到直线AB 的距离为
．
其中正确的是
①③④
．（写出所有正确判断的序号）
【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC 是线段BD 的垂直平分线，故①正确；依据
四边形ABCD 的面积S=
，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形
ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D 四点在同一个
圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r
3
﹣）2+42，得r=
，故④正确；连接AF，设点F
到直线AB 的距离为h，由折叠可得，四边形ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，
BO=DO=4，依据S△BDE=
×BD×OE=
×BE×DF，可得DF=
，进而得出EF=
，再
根据S△ABF=S 梯形ABFD
S
﹣△ADF，即可得到h=
，故⑤错误．
【解答】解：∵在四边形ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD，
第21页（共36页）
∴AC 是线段BD 的垂直平分线，故①正确；
四边形ABCD 的面积S=
，故②错误；
当AC=BD 时，顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故③正
确；
当A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则
r2=（r
3
﹣）2+42，
得r=
，故④正确；
将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F，如图所
示，
连接AF，设点F 到直线AB 的距离为h，
由折叠可得，四边形ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，
∴AO=EO=3，
∵S△BDE=
×BD×OE=
×BE×DF，
∴DF=
=
，
∵BF⊥CD，BF∥AD，
∴AD⊥CD，EF=
=
，
∵S△ABF=S 梯形ABFD
S
﹣△ADF，
∴
×5h=
（5+5+
）×
﹣
×5×
，
解得h=
，故⑤错误；
故答案为：①③④．
第22页（共36页）
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定
理的综合运用，解决问题的关键是利用图形面积的和差关系进行计算．
三、解答题（本人题共8 小题，共72 分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或
证明过程）
17．
（6.00 分）
（2018•随州）先化简，再求值：
，其中x 为整数且满
足不等式组
．
【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，由x 为整数且满足不等式
组
可以求得x 的值，从而可以解答本题．
【解答】解：
=
=
=
，
由
得，2＜x≤3，
∵x 是整数，
∴x=3，
∴原式=
．
【点评】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整
数解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
18．（7.00 分）（2018•随州）己知关于x 的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0 有两个
不相等的实数根x1，x2．
第23页（共36页）
（1）求k 的取值范围；
（2）若
+
=
1
﹣，求k 的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k 的一元一次
方程，解之即可得出k 的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=
2k
3
﹣
﹣、x1x2=k2，结合
+
=
1
﹣即可得
出关于k 的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0 有两个不相等的实数
根，
∴△=（2k+3）2
4k
﹣
2＞0，
解得：k＞﹣
．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0 的实数根，
∴x1+x2=
2k
3
﹣
﹣，x1x2=k2，
∴
+
=
=﹣
=
1
﹣，
解得：k1=3，k2=
1
﹣，
经检验，k1=3，k2=
1
﹣都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣
，
∴k=3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记
“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合
+
=
1
﹣找出关于k 的分式方程．
19．（9.00 分）（2018•随州）为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽
取了30 名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，
己知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜100”．根据图中信息回答下列问题：
第24页（共36页）
（1）图中a 的值为
6
；
（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x 在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心
角度数为
144
度；
（3）此次比赛共有300 名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得
“优秀“的学生大约有
100
人：
（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92 分，若从成绩在“50≤x＜60”和
“90≤x＜100”的学生中任选2 人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的
概率．
【分析】（1）用总人数减去其他分组的人数即可求得60≤x＜70 的人数a；
（2）用360°乘以成绩在70≤x＜80 的人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可得；
（4）先画出树状图展示所有12 种等可能的结果数，再找出有C 的结果数，然后根
据概率公式求解．
【解答】解：（1）a=30﹣（2+12+8+2）=6，
故答案为：6；
（2）成绩x 在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为360°×
=144°，
故答案为：144；
（3）获得“优秀“的学生大约有300×
=100 人，
故答案为：100；
（4）50≤x＜60 的两名同学用A、B 表示，90≤x＜100 的两名同学用C、D 表示（小
明用C 表示），
第25页（共36页）
画树状图为：
共有12 种等可能的结果数，其中有C 的结果数为6，
所以小明被选中的概率为
=
．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能
的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后根据概率公式求
出事件A 或B 的概率．也考查了扇形统计图和频率分布直方图．
20．（8.00 分）（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣
兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258 米，宽32 米，为双向六车道，2018
年4 月3 日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉
桥的部分截面图如图2 所示，索塔AB 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE 和
最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC 在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，
∠ACB=30°，BE=6 米，AB=5BD．
（1）求最短的斜拉索DE 的长；
（2）求最长的斜拉索AC 的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE 的长；
（2）作AH⊥BC 于H，如图2，由于BD=DE=3
，则AB=3BD=15
，在Rt△ABH 中，
根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH 中利用含30 度
的直角三角形三边的关系即可得到AC 的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，
∴△BDE 为等腰直角三角形，
第26页（共36页）
∴DE=
BE=
×6=3
．
答：最短的斜拉索DE 的长为3
m；
（2）作AH⊥BC 于H，如图2，
∵BD=DE=3
，
∴AB=3BD=5×3
=15
，
在Rt△ABH 中，∵∠B=45°，
∴BH=AH=
AB=
×15
=15，
在Rt△ACH 中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=30．
答：最长的斜拉索AC 的长为30m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面
图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
21．（8.00 分）（2018•随州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O
的切线，OM⊥AB 于点O，分别交AC、CN 于D、M 两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O 的半径为5，AC=4
，求MC 的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
第27页（共36页）
【解答】解：（1）连接OC，
∵CN 为⊙O 的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4
，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=
，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴
，即
，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x=
，
即MC=
．
【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
第28页（共36页）
22．
（11.00 分）
（2018•随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一
批纪念品生产订单，按要求在15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20
元，设第x 天（1≤x≤15，且x 为整数）每件产品的成本是p 元，p 与x 之间符合一
次函数关系，部分数据如表：
天数（x）
1
3
6
10
每件成本p
（元）
7.5
8.5
10
12
任务完成后，统计发现工人李师傅第x 天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如
下关系：y=
设李师傅第x 天创造的产品利润为W 元．
（1）直接写出p 与x，W 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围：
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299 元．工厂制定如
下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得
20 元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p 与x，W 与x 之间的函数关系式，
并注明自变量x 的取值范围：
（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．
【解答】解：（1）设p 与x 之间的函数关系式为p=kx+b，
，解得，
，
即p 与x 的函数关系式为p=0.5x+7（1≤x≤15，x 为整数），
当1≤x＜10 时，
W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=
x
﹣2+16x+260，
当10≤x≤15 时，
W=[20﹣（0.5x+7）]×40=
20x
﹣
+520，
第29页（共36页）
即W=
；
（2）当1≤x＜10 时，
W=
x
﹣2+16x+260=﹣（x
8
﹣）2+324，
∴当x=8 时，W 取得最大值，此时W=324，
当10≤x≤15 时，
W=
20x
﹣
+520，
∴当x=10 时，W 取得最大值，此时W=320，
∵324＞320，
∴李师傅第8 天创造的利润最大，最大利润是324 元；
（3）当1≤x＜10 时，
令﹣x2+16x+260=299，得x1=3，x2=13，
当W＞299 时，3＜x＜13，
∵1≤x＜10，
∴3＜x＜10，
当10≤x≤15 时，
令W=
20x
﹣
+520＞299，得x＜11.05，
∴10≤x≤11，
由上可得，李师傅获得奖金的月份是4 月到11 月，李师傅共获得奖金为：20×
（11
3
﹣）=160（元），
即李师傅共可获得160 元奖金．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解不等式，解答本题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．（11.00 分）（2018•随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小
数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1 的分数），
那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将0. 化为分数形式
第30页（共36页）
由于0. =0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②﹣①得9x=7，解得x=
，于是得0. =
．
同理可得0. =
=
，1. =1+0. =1+
=
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1）0. =
，5. =
；
（2）将0.
化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）0. 1 =
，2.0
=
；
（注：0. 1 =0.315315…，2.0
=2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较0. 与1 的大小：0.
=
1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知0. 8571 =
，则3. 1428 =
．
（注：0. 857l =0.285714285714…）
【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式
形式，如果循环节有n 位，则这个分数的分母为n 个9，分子为循环节．
【解答】解：（1）由题意知0. =
、5. =5+
=
，
故答案为：
、
；
（2）0.
=0.232323……，
设x=0.232323……①，
第31页（共36页）
则100x=23.2323……②，
②﹣①，得：99x=23，
解得：x=
，
∴0.
=
；
（3）同理
0. 1 =
=
，2.0
=2+
=
故答案为：
，
（4）①0. =
=1
故答案为：=
②3. 1428 =3+
=3+
=
故答案为：
【点评】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用，解答时注意按照阅读
材料的示例找到规律．
24．（12.00 分）（2018•随州）如图1，抛物线C1：y=ax2
2ax
﹣
+c（a＜0）与x 轴交于
A、B 两点，与y 轴交于点C．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，
OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G 的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x 轴的
交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k 的值：
第32页（共36页）
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上一动点，过点M 作x 轴的垂
线分别交抛物线C1、C2于P、Q 两点，试探究在直线y=
1
﹣上是否存在点N，使得以
P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ 全等，若存在，直接写出点M，N 的坐标：若不存
在，请说明理由．
【分析】（1）由点A 的坐标及OC=3OA 得点C 坐标，将A、C 坐标代入解析式求解可
得；
（2）设抛物线C2的解析式为y=
x
﹣2+2x+3
k
﹣，即y=﹣（x
1
﹣）2+4
k
﹣，′作G′D⊥x
轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为
（1，
m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1 且∠AOQ、
∠PQN 均为钝角知△AOQ≌△PQN ，延长PQ 交直线y=
1
﹣
于点H ，证
△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x 的方程，解之求得x 的值从而进一
步求解．
【解答】解：（1）∵点A 的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C 的坐标为（0，3），
将A、C 坐标代入y=ax2
2ax
﹣
+c，得：
，
解得：
，
∴抛物线C1的解析式为y=
x
﹣2+2x+3=﹣（x
1
﹣）2+4，
所以点G 的坐标为（1，4）．
（2）设抛物线C2的解析式为y=
x
﹣2+2x+3
k
﹣，即y=﹣（x
1
﹣）2+4
k
﹣，
过点G′作G′D⊥x 轴于点D，设BD′=m，
第33页（共36页）
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=
B′D=
m，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，
m），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x
1
﹣）2+4
k
﹣，得：
，
解得：
（舍），
，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN 均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ 交直线y=
1
﹣于点H，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
第34页（共36页）
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即x=
x
﹣2+2x+2+1，
解得：x=
（负值舍去），
当x=
时，HN=QM=
x
﹣2+2x+2=
，点M（
，0），
∴点N 坐标为（
+
，﹣1），即（
，﹣1）；
或（
﹣
，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，
同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=
1
﹣（舍）或x=4，
当x=4 时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4
6
﹣，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M1（
，0）、N1（
，﹣1）；M2（
，0）、N2（1，﹣1）；
M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
第35页（共36页）
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函
数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．
第36页（共36页）
