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2018 年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共8 小题，每题3 分，共24 分）
1．（3 分）﹣2 的相反数是（ ）
A．2B．﹣2 C．
D．±2
2．（3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）每年5 月11 日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解
全校2000 名学生的体重情况，随机抽测了200 名学生的体重，根据体质指数
（BMI）标准，体重超标的有15 名学生，则估计全校体重超标学生的人数为
（ ）
A．15
B．150 C．200 D．2000
4．（3 分）如图，点A 的坐标（﹣1，2），点A 关于y 轴的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
5．（3 分）如图，已知点E、F、G．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH
是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形
6．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（﹣x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
7．（3 分）若b＞0，则一次函数y=
x
﹣+b 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）若一元二次方程x2
2x
﹣
+m=0 有两个不相同的实数根，则实数m 的取值
范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1
二、填空题（本题共8 小题，每题3 分，共24 分）
9．（3 分）因式分解：a2
2ab
﹣
+b2= ．
10．（3 分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验
操作考试有4 个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中机抽取一个考题进行测
试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B 的概率是
11．（3 分）分式方程
=1 的解为 ．
12．（3 分）如图，在等边三角形ABC 中，点D 是边BC 的中点，则∠BAD= ．
13．（3 分）如图，AB 是⊙O 的切线，点B 为切点，若∠A=30°，则∠AOB= ．
14．（3 分）如图，点E 是AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可
添加的条件为 ．（任意添加一个符合题意的条件即可）
15．（3 分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载
了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几
何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求
AC 的长，如果设AC=x，则可列方程为 ．
16．（3 分）阅读材料：若ab=N，则b=logaN，称b 为以a 为底N 的对数，例如23=8，
则log28=log223=3．根据材料填空：log39= ．
三、解答题（本题共10 题，102 分）
17．（6 分）计算：|
5
﹣|+（﹣1）2﹣（
）﹣1﹣
．
18．（6 分）先化简，再求值：（1+
）÷
．其中x=3．
19．（6 分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018 年4 月12 日，中央军
委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军
巡逻舰在某海域航行到A 处时，该舰在观测点P 的南偏东45°的方向上，且与观测
点P 的距离PA 为400 海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观
测点P 的北偏东30°方向上的B 处，问此时巡逻舰与观测点P 的距离PB 为多少每
里？（参考数据：
≈1.414，
≈1.732，结果精确到1 海里）．
20．（6 分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体
系，某学校自主开发了A 书法、B 阅读，C 足球，D 器乐四门校本选修课程供学生选
择，每门课程被选到的机会均等．
（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；
（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的
概率为多少？
21．（6 分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校
积极响应，在3 月12 日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校
各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．
（1）求该校的班级总数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数．
22．（6 分）如图，在正方形ABCD 中，AF=BE，AE 与DF 相交于于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD 的度数．
23．（8 分）湘潭市继2017 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城
市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购
买2 个温馨提示牌和3 个垃圾箱共需550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价
的3 倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100 个，
且费用不超过10000 元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最
少？最少是多少元？
24．（8 分）如图，点M 在函数y= （x＞0）的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的
平行线交函数y=
（x＞0）的图象于点B、C．
（1）若点M 的坐标为（1，3）．
①求B、C 两点的坐标；
②求直线BC 的解析式；
（2）求△BMC 的面积．
25．（10 分）如图，AB 是以O 为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M 是
上的
动点，且不与点A、C、B 重合，直线AM 交直线OC 于点D，连结OM 与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM 的长；
②当AM=12 时，求DM 的长．
（2）探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．
26．（10 分）如图，点P 为抛物线y=
x2上一动点．
（1）若抛物线y=
x2是由抛物线y= （x+2）2
1
﹣通过图象平移得到的，请写出平移
的过程；
（2）若直线l 经过y 轴上一点N，且平行于x 轴，点N 的坐标为（0，﹣1），过点P 作
PM⊥l 于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF 恒成立？若存
在，求出点F 的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q 的坐标为（1.5），求QP+PF 的最小值．
2018 年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共8 小题，每题3 分，共24 分）
1．（3 分）﹣2 的相反数是（ ）
A．2B．﹣2 C．
D．±2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣2 的相反数是：﹣（﹣2）=2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反
数．
2．（3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：该几何体的主视图是三角形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐
进，通过仔细观察和想象．
3．（3 分）每年5 月11 日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解
全校2000 名学生的体重情况，随机抽测了200 名学生的体重，根据体质指数
（BMI）标准，体重超标的有15 名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（ ）
A．15
B．150 C．200 D．2000
【分析】用全校学生总人数乘以样本中体重超标的人数所占比例即可得．
【解答】解：估计全校体重超标学生的人数为2000×
=150 人，
故选：B．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越
具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
4．（3 分）如图，点A 的坐标（﹣1，2），点A 关于y 轴的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：点A 的坐标（﹣1，2），点A 关于y 轴的对称点的坐标为：（1，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题
关键．
5．（3 分）如图，已知点E、F、G．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH
是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
【解答】解：连接AC、BD．AC 交FG 于L．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH=HA，DG=GC，
∴GH∥AC，HG=
AC，
同法可得：EF=
AC，EF∥AC，
∴GH=EF，GH∥EF，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
同法可证：GF∥BD，
∴∠OLF=∠AOB=90°，
∵AC∥GH，
∴∠HGL=∠OLF=90°，
∴四边形EFGH 是矩形．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位
线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
6．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（﹣x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算
法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；
B、x2•x3=x5，正确；
C、（﹣x2）3=
x
﹣6，故此选项错误；
D、x6÷x2=x4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，
正确掌握运算法则是解题关键．
7．（3 分）若b＞0，则一次函数y=
x
﹣+b 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一次函数的k、b 的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【解答】解：∵一次函数y=x+b 中k=
1
﹣＜0，b＞0，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y=kx+b 的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b 的图象经过第
一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0 时，
函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0 时，函数y=kx+b 的图
象经过第二、三、四象限．
8．（3 分）若一元二次方程x2
2x
﹣
+m=0 有两个不相同的实数根，则实数m 的取值
范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等
式，解之即可得出实数m 的取值范围．
【解答】解：∵方程x2
2x
﹣
+m=0 有两个不相同的实数根，
∴△=（﹣2）2
4m
﹣
＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
二、填空题（本题共8 小题，每题3 分，共24 分）
9．（3 分）因式分解：a2
2ab
﹣
+b2= （
a
b
﹣
）
2
．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式=（a
b
﹣）2
故答案为：（a
b
﹣）2
【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础
题型．
10．（3 分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验
操作考试有4 个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中机抽取一个考题进行测
试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B 的概率是
．
【分析】根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵物实验操作考试有4 个考题备选，且每一个考题抽到的机会均等，
∴学生小林抽到考题B 的概率是：
．
故答案是：
．
【点评】此题考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比．
11．（3 分）分式方程
=1 的解为
x=2
．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：两边都乘以x+4，得：3x=x+4，
解得：x=2，
检验：x=2 时，x+4=6≠0，
所以分式方程的解为x=2，
故答案为：x=2．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（3 分）如图，在等边三角形ABC 中，点D 是边BC 的中点，则∠BAD=
30°
．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填
空．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
又点D 是边BC 的中点，
∴∠BAD=
∠BAC=30°．
故答案是：30°．
【点评】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分
对边，三边的垂直平分线是对称轴．
13．（3 分）如图，AB 是⊙O 的切线，点B 为切点，若∠A=30°，则∠AOB=
60°
．
【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的切线，
∴∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题
的关键．
14．（3 分）如图，点E 是AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可
添加的条件为
∠
A + ∠
ABC=180°
或
∠
C + ∠
ADC=180°
或
∠
CBD=
∠
ADB
或
∠
C=
∠
CDE
．（任意添加一个符合题意的条件即可）
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直
线平行，据此进行判断．
【解答】解：若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB 或∠C=∠CDE．
（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两
直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
15．（3 分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载
了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几
何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求
AC 的长，如果设AC=x，则可列方程为
x 2 + 3 2 = （
10
x
﹣
）
2
．
【分析】设AC=x，可知AB=10
x
﹣，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10
x
﹣．
∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10
x
﹣）2．
故答案为：x2+3 2=（10
x
﹣）2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一
数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
16．（3 分）阅读材料：若ab=N，则b=logaN，称b 为以a 为底N 的对数，例如23=8，
则log28=log223=3．根据材料填空：log39=
2
．
【分析】由于32=9，利用对数的定义计算．
【解答】解：∵32=9，
∴log39=log332=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n 个相同因数积的运算，
叫做乘方．
三、解答题（本题共10 题，102 分）
17．（6 分）计算：|
5
﹣|+（﹣1）2﹣（
）﹣1﹣
．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，负整数指数幂法则，以及算术
平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式=5+1
3
2=1
﹣﹣
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6 分）先化简，再求值：（1+
）÷
．其中x=3．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分后进行乘式的乘法运
算得到原式=x+2，然后把x=3 代入计算即可．
【解答】解：（1+
）÷
=
×
=x+2．
当x=3 时，原式=3+2=5．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的
值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最
后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（6 分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018 年4 月12 日，中央军
委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军
巡逻舰在某海域航行到A 处时，该舰在观测点P 的南偏东45°的方向上，且与观测
点P 的距离PA 为400 海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观
测点P 的北偏东30°方向上的B 处，问此时巡逻舰与观测点P 的距离PB 为多少每
里？（参考数据：
≈1.414，
≈1.732，结果精确到1 海里）．
【分析】通过勾股定理得到线段PC 的长度，然后解直角△BPC 求得线段PB 的长度
即可．
【解答】解：在△APC 中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．
∵AP=400 海里，
∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，
故PC=200
海里．
又∵在直角△BPC 中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，
∴PB=
=2PC=400
≈565.6（海里）．
答：此时巡逻舰与观测点P 的距离PB 约为565.6 每里．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用．此题是一道方
向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现
了数学应用于实际生活的思想．
20．（6 分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体
系，某学校自主开发了A 书法、B 阅读，C 足球，D 器乐四门校本选修课程供学生选
择，每门课程被选到的机会均等．
（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；
（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的
概率为多少？
【分析】（1）画树状图展示所有12 种等可能的结果数；
（2）画树状图展示所有16 种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门
课程的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有12 种等可能的结果数；
（2）画树状图为：
共有16 种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，
所以他们两人恰好选修同一门课程的概率=
=
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事
件A 或事件B 的概率．
21．（6 分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校
积极响应，在3 月12 日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校
各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．
（1）求该校的班级总数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数．
【分析】（1）根据统计图中植树12 颗的班级数以及所占百分比25%列出算式，即
可求出答案；
（2）根据条形统计图求出植树11 颗的班级数是4，画出即可；
（3）根据题意列出算式，即可求出答案．
【解答】解：（1）该校的班级总数=3÷25%=12，
答：该校的班级总数是12；
（2）植树11 颗的班级数：12
1
2
3
4=2
﹣﹣﹣﹣
，如图所示：
（3）（1×8+2×9+2×11+3×12+4×15）÷12=12（颗），
答：该校各班在这一活动中植树的平均数约是12 颗数．
【点评】本题考查了统计、条形图和扇形图，能根据图形得出正确信息是解此题的
关键．
22．（6 分）如图，在正方形ABCD 中，AF=BE，AE 与DF 相交于于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD 的度数．
【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角
形的内角和定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，
在△DAF 和△ABE 中，
，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，
∴∠ADF=∠BAE，
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，
∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角
和定理，判断出△DAF≌△ABR 是解本题的关键．
23．（8 分）湘潭市继2017 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城
市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购
买2 个温馨提示牌和3 个垃圾箱共需550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价
的3 倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100 个，
且费用不超过10000 元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最
少？最少是多少元？
【分析】（1）根据“购买2 个温馨提示牌和3 个垃圾箱共需550 元”，建立方程求
解即可得出结论；
（2）根据“费用不超过10000 元和至少需要安放48 个垃圾箱”，建立不等式即可
得出结论．
【解答】解：（1）设温情提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元，
根据题意得，2x+3×3x=550，
∴x=50，
经检验，符合题意，
∴3x=150 元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50 元和150 元；
（2）设购买温情提示牌y 个（y 为正整数），则垃圾箱为（100
y
﹣）个，
根据题意得，意，
，
∴
≤y≤52，
∵y 为正整数，
∴y 为42，43，44，45，46，47，48，49，50，51，52，共11 中方案；
即：温馨提示牌42 个，垃圾箱58 个，温馨提示牌43 个，垃圾箱57 个，温馨提示牌
44 个，垃圾箱56 个，
温馨提示牌45 个，垃圾箱55 个，温馨提示牌46 个，垃圾箱54 个，温馨提示牌47
个，垃圾箱53 个，
温馨提示牌48 个，垃圾箱52 个，温馨提示牌49 个，垃圾箱51 个，温馨提示牌50
个，垃圾箱50 个，
温馨提示牌51 个，垃圾箱49 个，温馨提示牌52 个，垃圾箱48 个，
根据题意，费用为30y+150（100
y
﹣）=
120y
﹣
+15000，
当y=52 时，所需资金最少，最少是8760 元．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等
关系是解本题的关键．
24．（8 分）如图，点M 在函数y= （x＞0）的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的
平行线交函数y=
（x＞0）的图象于点B、C．
（1）若点M 的坐标为（1，3）．
①求B、C 两点的坐标；
②求直线BC 的解析式；
（2）求△BMC 的面积．
【分析】（1）把点M 横纵坐标分别代入y=
解析式得到点B、C 坐标，应用待定系
数法求BC 解析式；
（2）设出点M 坐标（a，b），利用反比例函数性质，ab=3，用a、b 表示BM、MC，求
△BMC 的面积．
【解答】解：（1）①∵点M 的坐标为（1，3）
且B、C 函数y=
（x＞0）的图象上
∴点C 横坐标为1，纵坐标为1
点B 纵坐标为3，横坐标为
∴点C 坐标为（1，1），点B 坐标为（
，3）
②设直线BC 解析式为y=kx+b
把B、C 点坐标代入得
解得
∴直线BC 解析式为：y=
3x
﹣
+4
（2）设点M 坐标为（a，b）
∵点M 在函数y=
（x＞0）的图象上
∴ab=3
由（1）点C 坐标为（a，
），B 点坐标为（
，b）
∴BM=a﹣
，MC=b﹣
∴S△BMC=
【点评】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、数形结合数学思想，解答过程
中要注意用字母表示未知量，根据题意列出方程．
25．（10 分）如图，AB 是以O 为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M 是
上的
动点，且不与点A、C、B 重合，直线AM 交直线OC 于点D，连结OM 与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM 的长；
②当AM=12 时，求DM 的长．
（2）探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．
【分析】（1）①当∠AOM=60°时，所以△AMO 是等边三角形，从而可知
∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；
②过点M 作MF⊥OA 于点F，设AF=x，OF=10
x
﹣，利用勾股定理即可求出x 的值．
易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD 的长度，进而可求出MD 的长度．
（2）根据点M 的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即
可求出答案．
【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时，
∵OM=OA，
∴△AMO 是等边三角形，
∴∠A=∠MOA=60°，
∴∠MOD=30°，∠D=30°，
∴DM=OM=10
②过点M 作MF⊥OA 于点F，
设AF=x，
∴OF=10
x
﹣，
∵AM=12，OA=OM=10，
由勾股定理可知：122
x
﹣2=102﹣（10
x
﹣）2
∴x=
，
∴AF=
，
∵MF∥OD，
∴△AMF∽△ADO，
∴
，
∴
，
∴AD=
∴MD=AD
AM=
﹣
（2）当点M 位于
之间时，
连接BC，
∵C 是
的重点，
∴∠B=45°，
∵四边形AMCB 是圆内接四边形，
此时∠CMD=∠B=45°，
当点M 位于
之间时，
连接BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°
综上所述，∠CMD=45°
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定
与性质，含30 度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生
灵活运用所学知识．
26．（10 分）如图，点P 为抛物线y=
x2上一动点．
（1）若抛物线y=
x2是由抛物线y= （x+2）2
1
﹣通过图象平移得到的，请写出平移
的过程；
（2）若直线l 经过y 轴上一点N，且平行于x 轴，点N 的坐标为（0，﹣1），过点P 作
PM⊥l 于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF 恒成立？若存
在，求出点F 的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q 的坐标为（1.5），求QP+PF 的最小值．
【分析】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．
（2）①设出点P 坐标，利用PM=PF 计算BF，求得F 坐标；
②利用PM=PF，将QP+PF 转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y=
（x+2）2
1
﹣的顶点为（﹣2，﹣1）
∴抛物线y= （x+2）2
1
﹣的图象向上平移1 个单位，再向右2 个单位得到抛物线
y=
x2的图象．
（2）①存在一定点F，使得PM=PF 恒成立．
如图一，过点P 作PB⊥y 轴于点B
设点P 坐标为（a，
a2）
∴PM=PF=
a2+1
∵PB=a
∴Rt△PBF 中
BF=
∴OF=1
∴点F 坐标为（0，1）
②由①，PM=PF
QP+PF 的最小值为QP+QM 的最小值
当Q、P、M 三点共线时，QP+QM 有最小值为点Q 纵坐标5．
∴QP+PF 的最小值为5．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了数形结合思想、转换思想和学生解答问题
的符号意思．
