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甘肃省兰州市2018 年中考数学试卷(解析版)
一、选择题(本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分)
1.－2018 的绝对值是( C )．
2.如图是有5 个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是( A )．
A． B． C． D．
3.据中国电子商务研究中心（100EC．CN）发布《2017 年度中国共享经济发展报告》显示，截
止2017 年12 月，共有190 家共享经济平台获得1159．56 亿元投资．数据1159．56 亿元用科
学计数法可表示为（ C ）
A.1159．56×108元 B.11.5956×1010元
C.1.15956×1011元 D.1.15956×108元
4.下列二次根式中,是最简二次根式的是( B ).
A.
B.
C.
D.
5 如图,AB//CD,AD＝CD，∠1＝65°则∠2 的度数是（ A ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
6.下列计算正确的是（ D ）
A.
B.
C.
D.
7.如图,边长为4 的等边△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点，则△ADE 的面积是（ A ）
A.
B.
C.
D.
8.如图,矩形ABCD 中,AB＝3,BC＝4,BE//DF 且BE 与DF 之间的距离为3,则AE 的长度是（
C）
A.
B．
C．
D．
9．如图，将口ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F．若
ABD＝48°，
CFD＝40°，则
E 为（ B ）
( 第7 题)
C
A
E
D
B
A
B
C
D
E
F
A．102° B．112° C．122° D．92°
10．关于x 的分式方程
的解为负数，则a 的取值范围为（ D ）
A. a＞1 B．a＜1 C．a＜1 且a －2 D．a＞1 且a 2
D.解析：化简得x＝a－1<0（x －1）即a>1 且a 2．
11．如图，已知二次函数
的图像如图所示，有下列5 个结论：
①
；②b－a＞c；
③
．其中正确的结论
有（ B ）
A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤
B.解析：开口向下，a<0，与y 轴交点在上方，c>0，
，即b>0，故
；x＝
－1 时，y＝a－b＋c<0，故b－a>c；x＝2 时，y＝4a＋2b＋c<0；
是2 到3 之间的数x
－1 到0 之间的数> －3 ，故3a< －c ；⑤式化解得，
，
，无论m 大于1 还是1，该式总成立，故⑤成立，即答案为B．
12．如图，抛物线
与x 轴的交于点A、B，把抛物线在x 轴即其下方的部分
记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x 轴的交于点B、D．若直线
与C1、C2共有三个
不同的交点，则m 的取值范围是（ C ）
A.
B.
C.
D.
A
E
B
D
C
F
y
O
D
A
B
C2
C1
第11 题图
x
O
y
-
1
1
C.解析:在y＝
中，令y＝0，解得x1＝9,x2＝5，∴点A，B 的坐标分别为（9，0），
（5，0）．∵C2是由C1向左平移得到的，∴点D 的坐标为（1，0），C2对应的函数解析式为y＝
＝
（1≤x≤5）．当直线y＝
与C2相切时，可知关于x 的
一元二次方程
＝
有两个相等的实数根，即方程x2－7x＋5－2m＝0 有两
个相等的实数根，∴Δ＝（－7）2－4×1×（5－2m）＝0，解得m＝
．当直线y＝
过点
B 时，可得0＝
，解得m＝
．如图，故当
<m<
，直线y＝
与C1，C2
共有3 个不同的交点．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题3 分，共24 分．
13．因式分解：
＝ ．
y(x＋y)(x－y)
14．不等式组
的解集为 ．
－1<x<3.
15．如图，△ABC 的外接圆O 的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB 的长是 ．
.
13. 如图，M、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM＝BN，连接AB 交BN 于点
E，连接DE 交AM 于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是
．
O
A
C
B
N
第16 题图
M
F
E
D
B
A
C
三、解答题（本大题共11 小题，满分102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5 分）计算：
．
解:
．
18.解方程:
．
解:移项,得3x2－2x＝2,
配方,得3（x－
）2＝
,
解得x1＝
，x2＝
．
19．先化简，再求值：
，其中
．
解:原式＝
＝
,代入
得原式＝
．
20. （6 分）如图，在Rt
ABC
△
中．
（1）利用尺度作图，在BC 边上求作一点P，使得点P 到AB 的距离（PD 的长）等于PC 的长；
（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
解: A
∠
的角平分线作法.作图略．
21．（7 分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛帮助，学校为了解全校学生
课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计
图表．
学生借阅图书的次数统计表 学生借阅图书的次数统计图
借阅图书
的次数
0 次
1 次
2 次
3 次
4 次及
以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
C
A
B
第20 题图
2 次
0 次
1 次
26%
3 次
b%
4 次及
以上
（2）该调查统计数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）请计算扇形统计图中的“3 次”所对应的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000 名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以
上”的人数．
解:(1)17，20%.
＝17,b＝
＝20%；
(2)10,10.由中位数和众数的定义即可得；（3）72°.360° 20%＝72°；
（4）120 人.
（人）
22．（7 分）在一个不透明的布袋里装有4 个标有1，2，3，4 的小球，它们的形状是、大小完全
相同．李强从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3 个小球中随机取出一
个小球，记下数字为y，这样就确定了点M 的坐标（x，y）．
（1）画树状图或列表，写出点M 所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝x＋1 的图像上的概率．
解:（1）
x
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
y
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
（2）
.解:一共12 个点坐标，有三个点坐标在上面．
23.（7 分）如图，斜坡BE，坡顶B 到水平地面的距离AB 为3 米，坡底AE 为18 米，在B 处，E
处分别测得CD 顶部点D 的仰角为30°，60°．求CD 的高度．（结果保留根号）
解:过B 点作CD 的垂线，垂足为F,设CD＝x 米,则
DF＝（x－3）（米），BF＝AC，BF＝
，AC＝AE＋CE
＝
，即
，
解得，
，即CD 长为9
米．
24．
（7 分）某商家销售一款商品，进价每件80 元，售价每件145 元，每天销售40 件，每销售一
件需支付给商家管理费5 元，未来一个月（按30 天计算），这款商品将开展“每天降价1 元”
的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1 元，通过市场调查发现，该商品单价
每降1 元，每天的销售量增加2 件，设第x 天（1≤x≤30，且x 为整数）的销量为y 件．
（1）直接写出y 与x 的函数关系式；
（2）设第x 天的利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？
最大利润是多少元？
解:（1）y＝38＋2x；解析：y＝40＋2（x－1）＝2x＋38；
（2）
＝
故x＝21 时，w 值最大，为2041 元，即第21 天时，利润最大，最大利润为2041 元．
25．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax＋b 的图像与反比例函数
的图
像交于点A（1，2）和B（－2，m）．
B
A
D
C
F
E
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出
时，x 的取值范围；
（3）过点B 做BE//x 轴，
于点D，点C 是直线BE 上一点，若AC＝2CD，求点C 的
坐标．
解:（1）
；解析：代入点坐标即可；
（3）
；解析：观察图像可知；
（3）C 点的坐标为
；解析：易知D（1，－1），设C 点坐标为（x，
－1 ），故AC ＝
，BC ＝
，由AC ＝2BC 可知，
，即
，解得
，故
C
点的坐标为
．
26．（8 分）如图，在
ABC 中，过点C 作CD//AB，E 是AC 的中点，连接DE 并延长，交AB 于
点F，交CB 的延长线于点G．连接AD、CF．
（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；
（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝
，求AB 的长．
证明（1）
（2）
y2
y1
y
x
D
O
A
E
B
第25 题图
A
D
C
B
E
F
G
第26 题图
即AB 的长为6．
27．（9 分）如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上的一点，D 为BA 延长线上的一点，
．
（1）求证：DC 为圆O 的切线；
（2）线段DF 分别交AC，BC 于点E，F，且
＝45°，圆O 的半径为5，
，求CF
的长．
（1）连接OC，
（2）解析：由∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，可知，∠CFE＝∠CEF＝45°，即CF＝CE． 由
，可得AC＝6,由勾股定理得，BC＝8，设CF＝CE＝x，由∠CDE＝∠BDF，∠ECD
＝∠FBD，可知，△CED 相似于△BFD，即
，由∠CFD＝∠AED，∠EDA
＝∠FDC，可知△CFD 相似于△AED，即
，联立①②得，
，即CF
的长为
．
28．
（12 分）如图，抛物线
经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y 轴交于点C，
连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB 平分
；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得
是以AB 为直角边的直角三角形．若存在，
求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
A
F
C
O
B
D
E
A
C
B
x
y
O
第28 题图
解:（1）将A，B 两点的坐标分别代入，
得
解得
故抛物线的表达式为y＝
．
（2）证明：设直线AB 的表达式为y＝kx＋b’，
则
解得
故直线AB 的表达式为y＝
．
设直线AB 与y 轴的交点为点D，则点D 的坐标为（0，
）．
易得点C 的坐标为（0，－4），
则由勾股定理，可得AC＝
．
设点B 到直线AC 的距离为h，
则
,
解得h＝4．
易得点B 到x 轴的距离为4，
故AB 平分∠CAO．
（3）存在．
易得抛物线的对称轴为直线
，
设点M 的坐标为（
）．
由勾股定理，得AB2＝[5－(－3)]2＋(－4－0)2＝80，AM2＝[
－(－3)]2＋(m－0)2＝
＋m2，
BM2＝（
－5）2＋[m－(－4)]2＝m2＋8m＋
．
当AM 为该直角三角形的斜边时，
有AM2＝AB2＋BM2，即
＋m2＝80＋m2＋8m＋
，
解得m＝－9，
故此时点M 的坐标为（
，－9）．
当BM 为该直角三角形的斜边时，
有BM2＝AB2＋AM2，即m2＋8m＋
＝80＋
＋m2，
解得m＝11，
故此时点M 的坐标为（
，11）．
综上所述，点M 的坐标为（
，－9）或（
，11）．
