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2018 年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分，每小题给出的四个选中，只有
一项是符题目要求的
1．（4 分）2017 年底我国高速公路已开通里程数达13.5 万公里，居世界第一，将数
据135000 用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.35×106B．1.35×105C．13.5×104D．13.5×103
2．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x3=x9 B．x8÷x4=x2 C．（ab3）2=ab6 D．（2x）3=8x3
3．（4 分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D
．
4．（4 分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥
5．（4 分）如图，直线AB、CD 相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD=∠BOC
B．∠AOE+∠BOD=90°
C．∠AOC=∠AOE
D．∠AOD+∠BOD=180°
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6．（4 分）益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见
下表：
文化程度
高中
大专
本科
硕士
博士
人数
9
17
20
9
5
关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是（ ）
A．众数是20
B．中位数是17 C．平均数是12 D．方差是26
7．
（4 分）如图，正方形ABCD 内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π
16
﹣
B．8π
16
﹣
C．16π
32
﹣
D．32π
16
﹣
8．（4 分）如图，小刚从山脚A 出发，沿坡角为α 的山坡向上走了300 米到达B 点，
则小刚上升了（ ）
A．300sinα 米
B．300cosα 米
C．300tanα 米
D．
米
9．（4 分）体育测试中，小进和小俊进行800 米跑测试，小进的速度是小俊的1.25
倍，小进比小俊少用了40 秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（
）
A．40×1.25x
40x=800
﹣
B．
﹣
=40
C．
﹣
=40 D．
﹣
=40
10．（4 分）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
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A．ac＜0
B．b＜0 C．b2
4ac
﹣
＜0 D．a+b+c＜0
二、填空题：本题共8 小题，每小题4 分，共32 分
11．（4 分）计算：
×
= ．
12．（4 分）因式分解：x3y2
x
﹣3= ．
13．（4 分）2018 年5 月18 日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A 地
到资阳B 地有两条路线可走，从资阳B 地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾
大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A 地出发经过资阳B 地到达益
阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 ．
14．（4 分）若反比例函数y=
的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是
．
15．（4 分）如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交
于点C，AD=DC，则∠C= 度．
16．（4 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E，F 分别为AB、BC、AC 的中点，则下列结
论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF 为菱形，③S△ADF：S△ABC=1：4．其中正确的结
论是 ．（填写所有正确结论的序号）
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17．
（4 分）规定：a⊗b=（a+b）b，如：2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x= ．
18．（4 分）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3．按以下步骤作图：
①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC 于点M，N；
②分别以M，N 为圆心，以大于
MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF．
AE 交BF 于点O，连接OC，则OC= ．
三、解答题：本题共8 小题，共78 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．（8 分）计算：|
5
﹣|﹣
+（﹣2）2+4÷（﹣
）．
20．（8 分）化简：（x
y
﹣+
）•
．
21．（8 分）如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：AM∥CN．
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22．（10 分）2018 年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案
与高校招生政策都将有重大变化．某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中
学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A，B，C，
D 四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图
中提供的信息完成下列问题：
（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中的A 等对应的扇形圆心角的度数；
（3）已知该校有1500 名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A 等的学
生有多少人？
23．
（10 分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），
（3，1），
（﹣2，﹣1），其中有
两点同时在反比例函数y=
的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C．
（1）求出k 的值；
（2）求直线AB 对应的一次函数的表达式；
（3）设点C 关于直线AB 的对称点为D，P 是x 轴上的一个动点，直接写出PC+PD
的最小值（不必说明理由）．
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24．
（10 分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降
低，马迹塘一农户需要将A，B 两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B
产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200 元，现在每运一次的运费比原来减
少了300 元．A，B 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：
品种
A
B
原运费
45
25
现运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B 产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运
送的产品总件数增加8 件，但总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2 倍
问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
25．（12 分）如图1，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 为直角顶点的直角三
角形EFG 的两边EF，EG 分别过点B，C，∠F=30°．
（1）求证：BE=CE；
（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动，若
EF，EG 分别与AB，BC 相交于点M，N（如图2）．
①求证：△BEM≌△CEN；
②若AB=2，求△BMN 面积的最大值；
第6页（共29页）
③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin∠EBG 的值．
26．
（12 分）如图，已知抛物线y=
x2﹣
x
n
﹣（n＞0）与x 轴交于A，B 两点（A 点在
B 点的左边），与y 轴交于点C．
（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以
BC 为边，以点B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；
（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D，交y 轴于点E，若
AE：ED=1：4，求n 的值．
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2018 年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分，每小题给出的四个选中，只有
一项是符题目要求的
1．（4 分）2017 年底我国高速公路已开通里程数达13.5 万公里，居世界第一，将数
据135000 用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.35×106B．1.35×105C．13.5×104D．13.5×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数
【解答】解：135000=1.35×105
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值
2．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x3=x9 B．x8÷x4=x2 C．（ab3）2=ab6 D．（2x）3=8x3
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方一一判断即可．
【解答】解：A、错误．应该是x3•x3=x6；
B、错误．应该是x8÷x4=x4；
C、错误．（ab3）2=a2b6．
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
3．（4 分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D
．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
在数轴上表示为：
，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根
据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
4．（4 分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形
【解答】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的
只有圆锥．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及
对立体图形的认识．
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5．（4 分）如图，直线AB、CD 相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD=∠BOC
B．∠AOE+∠BOD=90°
C．∠AOC=∠AOE
D．∠AOD+∠BOD=180°
【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．
【解答】解：A、∠AOD 与∠BOC 是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；
B、由EO⊥CD 知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；
C、∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；
D、∠AOD 与∠BOD 是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻
补角定义及垂线的定义．
6．（4 分）益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见
下表：
文化程度
高中
大专
本科
硕士
博士
人数
9
17
20
9
5
关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是（ ）
A．众数是20
B．中位数是17 C．平均数是12 D．方差是26
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解．
【解答】解：A、这组数据中9 出现的次数最多，众数为9，故本选项错误；
B、因为共有5 组，所以第3 组的人数为中位数，即9 是中位数，故本选项错误；
C、平均数=
=12，故本选项正确；
D、方差=
[（9
12
﹣
）2+（17
12
﹣
）2+（20
12
﹣
）2+（9
12
﹣
）2+（5
12
﹣
）2]=
，故本选
项错误；
故选：C．
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【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识
点的概念．
7．
（4 分）如图，正方形ABCD 内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π
16
﹣
B．8π
16
﹣
C．16π
32
﹣
D．32π
16
﹣
【分析】连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2
，根据阴影部分的
面积=S⊙O
S
﹣
正方形ABCD列式计算可得．
【解答】解：连接OA、OB，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴OA=ABcos45°=4×
=2
，
所以阴影部分的面积=S⊙O
S
﹣
正方形ABCD=π×（2
）2
4
﹣×4=8π
16
﹣
．
故选：B．
【点评】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和
圆的面积公式．
8．（4 分）如图，小刚从山脚A 出发，沿坡角为α 的山坡向上走了300 米到达B 点，
则小刚上升了（ ）
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A．300sinα 米
B．300cosα 米
C．300tanα 米
D．
米
【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
【解答】解：在Rt△AOB 中，∠AOB=90°，AB=300 米，
BO=AB•sinα=300sinα 米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选
择锐角三角函数得出AB，BO 的关系是解题关键．
9．（4 分）体育测试中，小进和小俊进行800 米跑测试，小进的速度是小俊的1.25
倍，小进比小俊少用了40 秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（
）
A．40×1.25x
40x=800
﹣
B．
﹣
=40
C．
﹣
=40 D．
﹣
=40
【分析】先分别表示出小进和小俊跑800 米的时间，再根据小进比小俊少用了40
秒列出方程即可．
【解答】解：小进跑800 米用的时间为
秒，小俊跑800 米用的时间为
秒，
∵小进比小俊少用了40 秒，
方程是
﹣
=40，
故选：C．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题
的关键．
10．（4 分）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
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A．ac＜0
B．b＜0 C．b2
4ac
﹣
＜0 D．a+b+c＜0
【分析】根据抛物线的开口方向确定a，根据抛物线与y 轴的交点确定c，根据对称
轴确定b，根据抛物线与x 轴的交点确定b2
4ac
﹣
，根据x=1 时，y＞0，确定a+b+c
的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线交于y 轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＞0，A 错误；
∵﹣
＞0，a＞0，
∴b＜0，∴B 正确；
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b2
4ac
﹣
＞0，C 错误；
当x=1 时，y＞0，
∴a+b+c＞0，D 错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c 系数符
号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确
定．
二、填空题：本题共8 小题，每小题4 分，共32 分
11．（4 分）计算：
×
=
6
．
【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．
【解答】解：原式=2
×
=6．
故答案为：6．
第13页（共29页）
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握运算法则是关键．
12．（4 分）因式分解：x3y2
x
﹣3=
x 3 （
y + 1 ）（
y
1
﹣
）
．
【分析】先提取公因式x3，再利用平方差公式分解可得．
【解答】解：原式=x3（y2
1
﹣）=x3（y+1）（y
1
﹣），
故答案为：x3（y+1）（y
1
﹣）．
【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握
一般整式的因式分解的步骤﹣﹣先提取公因式，再利用公式法分解．
13．（4 分）2018 年5 月18 日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A 地
到资阳B 地有两条路线可走，从资阳B 地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾
大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A 地出发经过资阳B 地到达益
阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是
．
【分析】由题意可知一共有6 种可能，经过西流湾大桥的路线有2 种可能，根据概
率公式计算即可；
【解答】解：由题意可知一共有6 种可能，经过西流湾大桥的路线有2 种可能，
所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率=
=
．
故答案为
．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状
图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（4 分）若反比例函数y=
的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是
k
第14页（共29页）
＞
2
．
【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2
k
﹣的符号，
即可解答．
【解答】解：∵反比例函数
的图象在第二、四象限，
∴2
k
﹣＜0，
∴k＞2．
故答案为：k＞2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0 时，图象分别位于
第一、三象限；当k＜0 时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．
15．（4 分）如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交
于点C，AD=DC，则∠C=
45
度．
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根
据等腰三角形的判定方法得到△ABC 为等腰直角三角形，从而得到∠C 的度数．
【解答】解：∵AB 为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BC 为切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵AD=CD，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠C=45°．
故答案为45．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰
第15页（共29页）
直角三角形的判定与性质．
16．（4 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E，F 分别为AB、BC、AC 的中点，则下列结
论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF 为菱形，③S△ADF：S△ABC=1：4．其中正确的结
论是
①②③
．（填写所有正确结论的序号）
【分析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC，进而可证出
△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD，进而可证出四边形ADEF 为平行
四边形，由AB=AC 结合D、F 分别为AB、AC 的中点可得出AD=AF，进而可得出四边
形ADEF 为菱形，结论②正确；
③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF=
BC，进而可得出△ADF∽△ABC，
再利用相似三角形的性质可得出
=
，结论③正确．此题得解．
【解答】解：①∵D、E、F 分别为AB、BC、AC 的中点，
∴DE、DF、EF 为△ABC 的中位线，
∴AD=
AB=FE，AF=
AC=FC，DF=
BC=EC．
在△ADF 和△FEC 中，
，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F 分别为BC、AC 的中点，
∴EF 为△ABC 的中位线，
第16页（共29页）
∴EF∥AB，EF=
AB=AD，
∴四边形ADEF 为平行四边形．
∵AB=AC，D、F 分别为AB、AC 的中点，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF 为菱形，结论②正确；
③∵D、F 分别为AB、AC 的中点，
∴DF 为△ABC 的中位线，
∴DF∥BC，DF=
BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴
=（
）2=
，结论③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的
判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
17．（4 分）规定：a⊗b=（a+b）b，如：2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x=
1 或﹣
3
．
【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x 的方程（2+x）x=3，解方程即可．
【解答】解：依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1 或x=
3
﹣．
故答案是：1 或﹣3．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
第17页（共29页）
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边
是一个负数，则判定此方程无实数解．
18．（4 分）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3．按以下步骤作图：
①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC 于点M，N；
②分别以M，N 为圆心，以大于
MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF．
AE 交BF 于点O，连接OC，则OC=
．
【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案．
【解答】解：过点O 作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，
由题意可得：O 是△ACB 的内心，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形OGCD 是正方形，
∴DO=OG=
=1，
∴CO=
．
故答案为：
．
第18页（共29页）
【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心，正确得出OD 的长是解题关
键．
三、解答题：本题共8 小题，共78 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．（8 分）计算：|
5
﹣|﹣
+（﹣2）2+4÷（﹣
）．
【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可；
【解答】解：原式=5
3
﹣+4
6=0
﹣
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，
有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算
都要注意先定符号后运算．
20．（8 分）化简：（x
y
﹣+
）•
．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到
结果．
【解答】解：原式=
•
=
•
=x．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8 分）如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：AM∥CN．
第19页（共29页）
【分析】只要证明∠AEM=∠ECN，根据同位角相等两直线平行即可证明；
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD，
∵∠1=∠2，
∴∠EAM=∠ECN，
∴AM∥CN．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和
判定，属于中考基础题．
22．（10 分）2018 年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案
与高校招生政策都将有重大变化．某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中
学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A，B，C，
D 四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图
中提供的信息完成下列问题：
（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中的A 等对应的扇形圆心角的度数；
（3）已知该校有1500 名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A 等的学
生有多少人？
【分析】（1）利用被调查学生的人数=了解程度达到B 等的学生数÷所占比例，即
可得出被调查学生的人数，由了解程度达到C 等占到的比例可求出了解程度达到
第20页（共29页）
C 等的学生数，再利用了解程度达到A 等的学生数=被调查学生的人数﹣了解程
度达到B 等的学生数﹣了解程度达到C 等的学生数﹣了解程度达到D 等的学生
数可求出了解程度达到A 等的学生数，依此数据即可将条形统计图补充完整；
（2）根据A 等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A 等的学生数÷被调查学
生的人数×360°，即可求出结论；
（3）利用该校现有学生数×了解程度达到A 等的学生所占比例，即可得出结论．
【解答】解：（1）48÷40%=120（人），
120×15%=18（人），
120
48
18
12=42
﹣
﹣
﹣
（人）．
将条形统计图补充完整，如图所示．
（2）42÷120×100%×360°=126°．
答：扇形统计图中的A 等对应的扇形圆心角为126°．
（3）1500×
=525（人）．
答：该校学生对政策内容了解程度达到A 等的学生有525 人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，观察条形统计
图及扇形统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
23．
（10 分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），
（3，1），
（﹣2，﹣1），其中有
两点同时在反比例函数y=
的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C．
（1）求出k 的值；
（2）求直线AB 对应的一次函数的表达式；
（3）设点C 关于直线AB 的对称点为D，P 是x 轴上的一个动点，直接写出PC+PD
第21页（共29页）
的最小值（不必说明理由）．
【分析】（1）确定A、B、C 的坐标即可解决问题；
（2）理由待定系数法即可解决问题；
（3）作D 关于x 轴的对称点D′（0，﹣4），连接CD′交x 轴于P，此时PC+PD 的值最
小，最小值=CD′的长；
【解答】解：（1）∵反比例函数y=
的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（3，1）
∴k=2．
（2）设直线AB 的解析式为y=mx+n，则有
，
解得
，
∴直线AB 的解析式为y=x+1
（3）∵C、D 关于直线AB 对称，
∴D（0，4）
作D 关于x 轴的对称点D′（0，﹣4），连接CD′交x 轴于P，此时PC+PD 的值最小，最
小值=CD′=
=
第22页（共29页）
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，一次函数的性质、反比例函数的
性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析
式，学会利用轴对称解决最短问题．
24．
（10 分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降
低，马迹塘一农户需要将A，B 两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B
产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200 元，现在每运一次的运费比原来减
少了300 元．A，B 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：
品种
A
B
原运费
45
25
现运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B 产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运
送的产品总件数增加8 件，但总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2 倍
问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
【分析】（1）设每次运输的农产品中A 产品有x 件，每次运输的农产品中B 产品有
y 件，根据表中的数量关系列出关于x 和y 的二元一次方程组，解之即可，
（2）设增加m 件A 产品，则增加了（8
m
﹣
）件B 产品，设增加供货量后得运费为W
元，根据（1）的结果结合图表列出W 关于m 的一次函数，再根据“总件数中B 产
品的件数不得超过A 产品件数的2 倍”，列出关于m 的一元一次不等式，求出m
的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．
【解答】解：（1）设每次运输的农产品中A 产品有x 件，每次运输的农产品中B 产
品有y 件，
第23页（共29页）
根据题意得：
，
解得：
，
答：每次运输的农产品中A 产品有10 件，每次运输的农产品中B 产品有30 件，
（2）设增加m 件A 产品，则增加了（8
m
﹣
）件B 产品，设增加供货量后得运费为W
元，
增加供货量后A 产品的数量为（10+m）件，B 产品的数量为30+（8
m
﹣）=（38
m
﹣
）
件，
根据题意得：W=30（10+m）+20（38
m
﹣
）=10m+1060，
由题意得：38
m
﹣
≤2（10+m），
解得：m≥6，
即6≤m≤8，
∵一次函数W 随m 的增大而增大
∴当m=6 时，W 最小=1120，
答：产品件数增加后，每次运费最少需要1120 元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式
得应用，解题的关键：（1）正确根据等量关系列出二元一次方程组，（2）根据数量
关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值．
25．（12 分）如图1，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 为直角顶点的直角三
角形EFG 的两边EF，EG 分别过点B，C，∠F=30°．
（1）求证：BE=CE；
（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动，若
EF，EG 分别与AB，BC 相交于点M，N（如图2）．
①求证：△BEM≌△CEN；
第24页（共29页）
②若AB=2，求△BMN 面积的最大值；
③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin∠EBG 的值．
【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE 即可；
（2）①利用（1）可知△EBC 是等腰直角三角形，根据ASA 即可证明；
②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
③如图3 中，作EH⊥BG 于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=
m，EB=
m．利用
面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1 中，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵E 是AD 中点，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE．
（2）①解：如图2 中，
由（1）可知，△EBC 是等腰直角三角形，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBM=∠ECN=45°，
第25页（共29页）
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△BEM≌△CEN；
②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4
x
﹣，
∴S△BMN=
•x（4
x
﹣）=﹣
（x
2
﹣）2+2，
∵﹣
＜0，
∴x=2 时，△BMN 的面积最大，最大值为2．
③解：如图3 中，作EH⊥BG 于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=
m，EB=
m．
∴EG=m+
m=（1+
）m，
∵S△BEG=
•EG•BN=
•BG•EH，
∴EH=
=
m，
在Rt△EBH 中，sin∠EBH=
=
=
．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全
等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻
找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中
考压轴题．
第26页（共29页）
26．
（12 分）如图，已知抛物线y=
x2﹣
x
n
﹣（n＞0）与x 轴交于A，B 两点（A 点在
B 点的左边），与y 轴交于点C．
（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以
BC 为边，以点B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；
（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D，交y 轴于点E，若
AE：ED=1：4，求n 的值．
【分析】（1）利用三角形相似可求AO•OB，再由一元二次方程根与系数关系求
AO•OB 构造方程求n；
（2）求出B、C 坐标，设出点Q 坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨
论点P 坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q 点坐标；
（3）设出点D 坐标（a，b），利用相似表示OA，再由一元二次方程根与系数关系表
示OB，得到点B 坐标，进而找到b 与a 关系，代入抛物线求a、n 即可．
【解答】解：（1）若△ABC 为直角三角形
∴△AOC∽△COB
∴OC2=AO•OB
当y=0 时，0=
x2﹣
x
n
﹣
由一元二次方程根与系数关系
OA•OB=OC
﹣
2
n2=
解得n=0（舍去）或n=2
第27页（共29页）
∴抛物线解析式为y=
x2﹣
x
2
﹣
（2）由（1）当
x2﹣
x
2=0
﹣
时
解得x1=
1
﹣，x2=4
∴OA=1，OB=4
∴B（4，0），C（0，﹣2）
∵抛物线对称轴为直线x=﹣
∴设点Q 坐标为（
，b）
由平行四边形性质可知
当BQ、CP 为平行四边形对角线时，点P 坐标为（
，b+2）
代入y=
x2﹣
x
2
﹣
解得b=
则P 点坐标为（
，
）
当CQ、PB 为为平行四边形对角线时，点P 坐标为（﹣
，b
2
﹣）
代入y=
x2﹣
x
2
﹣
解得b=
则P 坐标为（﹣
，
）
综上点P 坐标为（
，
）（﹣
，
）；
（3）设点D 坐标为（a，b）
∵AE：ED=1：4
则OE=
，OA=
∵AD∥AB
∴△AEO∽△BCO
第28页（共29页）
∵OC=n
∴
∴OB=
由一元二次方程根与系数关系
x1x2=
∴b=
将点A（﹣
，0），D（a，
）代入y=
x2﹣
x
n
﹣
解得a=6 或a=0（舍去）
则n=
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系
数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类
讨论思想．
第29页（共29页）
