湖北省咸宁市2018 年初中毕业生学业考试
数学试卷
第Ⅰ卷（共60 分）
一、选择题：本大题共8 个小题,每小题3 分,共24 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.咸宁冬季里某一天的气温为- 3 ℃〜2 ℃ ，则这一天的温差是（ ）
A．1℃ B．-1℃ C．5℃ D．-5℃
2. 如图，已知a//b,l与 a,b 相 交 ，若∠1=70∘
，则∠2 的度数等于（ ）
A．120∘
B．110∘
C．100∘
D．70∘
3.2017 年,咸宁市经济运行总体保持平稳较快增长，全年
约123 500 000 000 元 ，
增速在全省17 个市州中排名第三.将123 500 000 000 用科学记数法表示为（ ）
A．123.5×109 B．12.35×1010
C．1.235×108 D． 1.235×1011
3. 用4 个完全相同的小正方体搭成如图所示的几何体，该几何体的（ ）
A.主视图和左视图相同 B.主视图和俯视图相同 C.左视图和俯视阁相同 D.三种
视图都相同
5.下列计算正确的是（ ）
A．a3⋅a3=2a3 B．a2+a2=a4 C. a6÷a2=a3 D．
（-2a2）3=-8a6
6.已知一元二次方程2 x2+2 x−1=0 的两个根为x1, x2，且x1<x2 ，下列结论正确的是（
）
A．x1+x2=1 B．x1⋅x2=-1 C. |x1|<|x2| D．
x
12+x2=1
2
7.如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ,CD 所对的圆心角分别是∠AOB ,∠COD ,若
∠AOB 与∠COD 互补，弦CD =6 ,则弦AB 的长为（ ）
A．6 B．8 C.5√2 D．5√3
8. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400 米，先到终点
的人原地休息.已知甲先出发4 分钟.在整个步行过程中，甲 、乙两人的距离y （米）与
甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60 米/分； ②乙走完全程用了32 分钟；
③乙用 16 分钟追上甲； ④乙到达终点时，甲离终点还有300 米
其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C. 3 个 D．4 个
第Ⅱ卷（共90 分）
二、填空题（每题3 分，满分24 分，将答案填在答题纸上）
9.如果分式
1
x−2 有意义，那么实数x 的取值范围是__________.
10.因式分解：ab 2−a= _____________________.
11.写出一个比2 大比3 小的无理数（用含根号的式子表示）________________.
12.—个不透明的口袋中有3 个完全相同的小球，它们的标号分別为1，2，3.随机摸出一
个小球然后放回，再随机摸出一个小球.两次摸出的小球标号相同的概率是
_________________.
13.如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45∘
，测得底部C 的俯角力
60∘
，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110m ，那么该建筑物的高度BC 约为
___________m .(结果保留整数，√3≈1.73).
14. 如图,将正方形OEFG 放在平而直角坐标系中，O 是坐标原点,点E 的坐标为（(2,3)
)，则点F 的坐标为_______________________.
15.按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列:
1
2
，1
6
，1
12
，1
20
，⋯，
则这个数列的前2018 个
数列的和为____________________________.
16.如图，已知∠MON =120∘
，点A ,B 分別在OM ,ON 上,且OA=OB =a,将射线OM
绕点O 逆时针旋转得到OM ' ，旋转角为α(0∘<α<120∘
且α≠60∘），作点A 关于直线
OM ' 的对称点C ，画直线BC 交OM ' 于点D ，连接AC ,AD .有下列结论：
①AD =CD ;
②∠ACD 的大小随着α 的变化而变化；
③ 当 α=30∘
时,四边形OADC 为荽形；
④Δ ACD 面积的最大值为√3a2
.
其中正确的是________________.(把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题 （本大题共8 小题，共72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17. （1）计算：√12−
3√8+|√3-2|；
（2）化简：(a+3)(a−2)−a(a−1).
18. 已知：∠AOB .
求作：∠A'O' B',使∠A'O' B'=∠AOB
作法：
（1）如图1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C , D ；
（2）如图2，画一条射线O' A' ,以点O' 为圆心OC 长为半径画弧，交于点O' A' 于点C' ；
（3）以点C' 为圆心，C , D 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D' ；
（4）过点 D' 画射线OB ' ，则 ∠A'O' B' =∠AOB .
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O' B' =∠AOB .
19. 近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行” 方式之一，自2016 年国庆
后，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车.某高校为了解本校学生出行
使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下
统计表.
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
11
15
23
28
18
5
（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是____________，众数是____________
该中位数的意义是____________；
（2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？（结果保留整数）
（3）若该校某天有1500 名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3 次以上（含3
次）的学生有多少人？
20.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4,2)，直线
y=−1
2 x+ 5
2 与边AB ,BC 分别相交于点M , N ，函数
y= k
x ( x>0)
的图象过点M .
(1) 试说明点N 也在函数
y= k
x ( x>0)
的图象上；
(2) 将直线MN 沿y 轴的负方向平移得到直线M' N ' ,当直线M' N ' 与函数
y= k
x ( x>0)
的图象仅有一个交点时，求直线M' N ' 的解析式.
21.如图，以Δ ABC 的边AC 为直径的⊙O 恰为Δ ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙
O 于点D ，过 点D 作DE // AC 交BC 的延长线于点E .
(1) 求证DE 是⊙O 的切线；
(2) 若AB =2√5,BC =√5,求DE 的长.
22.为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书木知识和生活经验的深度融合，我市
某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动.在参加此次活动的师生中，若每位老师
带17 个学生，还剩12 个学生没人带;若每位老师带18 个学生，就有一位老师少带4 个学
生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
30
42
租金（人/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100 元，为了安全，每辆客车上至少要有
2 名老师.
(1) 参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2) 既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2 名老师，可知租用客车
总数为_____辆；
(3) 你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由.
23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个
三角形相似（不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
理解：
（1）如图1，已知Rt ΔABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点
D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3 个即
可）；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC =80∘,∠ADC =140∘
，对角线BD 平分
∠ABC .
求证:BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；
运用：
(3)如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH =∠HFG =30∘
.连接
EG ，若 ΔEFG 的面积为2√3 ，求FH 的长.
24.如图，直线
y=−3
4 x+3
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ,抛物线
y=−3
8 x2+bx +c
。经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C .
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ,设点P 的横坐标为m ，
PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式， 并求出PQ 与OQ 的比值的最大值；
（3）点 D 是抛物线对称轴上的一动点，连接 OD 、CD .设ΔODC 外接圆的圆心为M ，
当sin∠ODC 的值最大时，求点M 的坐标.
湖北省咸宁市2018 年初中毕业生学业考试
数学试题参考答案
一、选择题
1-5:CBDAD 6-8：DBA
二、填空题
9.x≠2 10.a(b+1)(b−1) 11.答案不唯一，如√5 12.
1
3 13.300
14.(-1，5) 15.
2018
2019 16.①③④（多填或少填均不给分）
三、解答题
17.（1）解：原式=2√3-2+2-√3=√3 .
（2）解:原式=a2−2a+3a−6−a2+a =2a−6
18.
证明：由作图步骤可知，
在ΔC'O' D' 和ΔCOD 中，
{
O'C'=OC
O' D'=OD
C' D'=CD ,
∴ΔC ' O' D'≃ΔCOD (SSS ).
∴∠C ' O' D' =∠COD .
即∠A' O' B' =∠AOB .
19. 解：（1）3，
3，
表示这部分出行学生在这天约有一半人使用共享单车的次数在3 次以上（含3 次）.
(2)
x=0×11+1×15+2×23+3×28+4×18+5×5
11+15+23+28+18+5
≈2
（次）
答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车约2 次.
(3)
（人）
答 ：估计这天使用共享单车次数在3 次以上（含3 次）的学生有765 人.
20. 解：（1）∵矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4,2)，
∴点M 的横坐标为4，点N 的纵坐标为2.
把x=4 代入
y=−1
2 x+ 5
2 ，得
y=1
2 ，∴点M 的坐标为
(4, 1
2 )
.
把y=2 代入
y=−1
2 x+ 5
2 ，得x=1，∴点N 的坐标为(1,2).
∵函数
y= k
x ( x>0)
的图象过点M ,
∴k=4×1
2=2,∴y=2
x ( x>0).
把N (1,2)代入
y= 2
x ，得2=2.
∴点N 也在函数
y= k
x ( x>0)
的图像上.
(2)设直线M ' N ' 的解析式为
y=−1
2 x+b
.
由{
y=−1
2 x+b
y= 2
x
得，x2−2bx +4=0.
∵直线
y=−1
2 x+b
与函数
y= 2
x ( x>0)
的图像上仅有一个交点，
∴(−2b)2−4×4=0,解得b1=2,b2=−2（舍去）
∴直线M ' N ' 的解析式为
y=−1
2 x+2
.
21. 解：（1)证明：连接OD .
∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ABC =90∘
.
∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =45∘
.
∴∠AOD =90∘.
∵DE //AC ,
∠ODE =∠AOD =90∘
,
∴DE 是⊙O 的切线.
（2）在Rt ΔABC 中，AB =2√5,BC =√5,
∴AC =√AB 2+AC 2=5,∴OD =5
2 .
过点C 作CG ⊥DE , 垂足为G ,
则四边形ODEG 为正方形，
∴DG =CG =OD =5
2 .
∵DE //AC ,
∴∠CEG =∠ACB ,∴tan∠CEG =tan∠ACB
∴CG
GE = AB
BC ,
即
2.5
GE =2√5
√5 ,
∴GE = 5
4 ,
∴DE =DG +GE =15
4 .
22. 解 ：（1）设老师有x 人，学生有y 人，依题意得
{
17x=y−12
18x=y+4
，
解得{
x=16
y=284
答: 此次参加研学旅行活动的老师有16 人，学生有284 人.
(2)8.
(3)设乙种客车租x 辆，则甲种客车租(8- x)辆.
∵租车总费用不超过3100 元，
∴400x+300(8- x)≤3100,解得x≤7 .
为使300 名师生都有车座，
∴42 x+30(8−x)≥300，解得x≥5.
∴5≤x≤7( x 为整数）
∴共有3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆，租车费用2900 元；
方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆，租车费用3000 元；
方案三：租用甲种客车1 辆，乙种客车7 辆，租车费用3100 元；
∴最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆.
23. 解：（1）如图1 所示.
说明：画出一个点得1 分，学生画出3 个点即可，其中点D2, D4直接描出也给分
（2）证明：
∵∠ABC =80∘,BD 平分∠ABC ,
∴∠ABD =∠DBC =40∘,∴∠A =∠ADB =140∘.
∵∠ADC =140∘,∴∠BDC +∠ADB =140∘.
∠A =∠BDC ,
∴Δ ABD ∽ΔDBC .
∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”.
（3）∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，
∴三角形EFH 与三角形HFG 相似.
又∠EFH =∠HFG ,
∴ΔFEH ∽ΔFHG ,∴FE
FH =FH
FG ,
∴FH 2=FE⋅FG .
过点E 作EQ ⊥FG ,垂足为Q.
则
EQ =FE ×sin60∘=√3
2 FE .
∵1
2 FG ×EQ =2√3,∴1
2 FG ×√3
2 FE =2√3,
∴FG⋅FE =8,
∴FH 2=FE⋅FG =8,
∴FH =2√2.
24. 解：（1）在
y=−3
4 x x+3
中，令y=0 ，得x=4 ；令x=0 ，得y=3.
∴A(4,0),B(0,3).
把∴A(4,0),B(0,3)代入
y=−3
8 x2+bx +c ,
得
{
−3
8×42+4 b+c
c=3
=0
解得{
b= 3
4
c=3 .
∴抛物线的解析式为
y=−3
8 x2+ 3
4 x+3.
（2）
过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E .则ΔPEQ ∽ΔOBQ ,
∴PQ
OQ =PE
OB .
∵P(m,−3
8 m2+ 3
4 m+3), E(m,−3
4 m+3)
则
PE =(−3
8 m2+ 3
2 m+3)−(−3
4 m+3)=−3
8 m2+ 3
2 m
∴y=1
3 (−3
8 m2+ 3
2 m)=−1
8 m2+ 1
2 m(0<m<3)
∵y=−1
8 m2+ 1
2 m=−1
8 （m-2）2+ 1
2 (0<m<3)
∴当m=2 时，
y最大值=1
2 .
∴PQ 与OQ 的比值的最大值为
1
2 .
（3）
由抛物线
y=−3
8 x2+ 3
4 x+3.
易求C(−2,0),对称轴为x=1.
∵ΔODC 的外心为点M ,∴点M 在CO 的垂直平分线上.
设CO 的垂直平分线与CO 相交于点N .
连接OM 、CM 、DM ,
则
∠ODC =1
2 ∠CMO =∠OMN ,MC =MO =MD ,
sin∠ODC =sin∠OMN = NO
MO = 1
MO ,
∴sin∠ODC 的值随着MO 的减小而增大.
又∵MO =MD ,
∴当MD 取最小值时，sin∠ODC 最大，
此时，⊙M 与直线x=1相切，MD =2.
MN =√OM 2−ON 2=√3 ,
∴M(−1,−√3).
根据对称性性，另一点(−1,−√3)也符合题意.
综上所述，点M 的坐标为(−1,√3)或(−1,−√3).
