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2018 年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8 小题，每小题2 分，共16 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（2 分）下列实数为无理数的是（ ）
A．﹣5 B．
C．0D．π
2．（2 分）如图，这是由5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2 分）一元二次方程2x2
x
﹣+1=0 根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
4．
（2 分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10 次跳绳成绩，
下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
5．（2 分）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l 交于C，D 两点，把一块含30°角的三角
尺按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，则∠2 的度数为（ ）
A．92° B．98° C．102° D．108°
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6．（2 分）下列运算正确的是（ ）
A．7a
a=6
﹣
B．a2•a3=a5 C．（a3）3=a6 D．（ab）4=ab4
7．（2 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过B，C 两点的⊙O 交AC 于点D，交AB 于
点E，连接EO 并延长交⊙O 于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2
，则
AE2+BE2的值为（ ）
A．8B．12
C．16
D．20
8．（2 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm，动点P 从点A 出发，以
cm/s
的速度沿AB 方向运动到点B，动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线
AC→CB 方向运动到点B．设△APQ 的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列图
象能反映y 与x 之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
9．（3 分）因式分解：x3
4x=
﹣
．
10．（3 分）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在
上海合作组织银行联合体框架内，设立300 亿元人民币等值专项贷款，将300 亿
元用科学记数法表示为 元．
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11．（3 分）如图，这是一幅长为3m，宽为2m 的长方形世界杯宣传画，为测量宣传
画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰
子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发
现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4 附近，由此可估计宣传画上世界
杯图案的面积约为 m2．
12．
（3 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1 个单位长度的正
方形，已知△AOB 与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B 都
在格点上，则点B1的坐标为 ．
13．（3 分）如图，直线y1=
x
﹣+a 与y2=bx
4
﹣相交于点P，已知点P 的坐标为（1，﹣
3），则关于x 的不等式﹣x+a＜bx
4
﹣的解集是 ．
14．（3 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，过点A 作AH⊥BC 于点
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H，连接OH，若OB=4，S 菱形ABCD=24，则OH 的长为 ．
15．（3 分）如图，矩形OABC 的顶点A，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 在第一象限，
AB=1，将线段OA 饶点O 按逆时针方向旋转60°得到线段OP，连接AP，反比例函
数y=
（k≠0）的图象经过P，B 两点，则k 的值为 ．
16．（3 分）如图，射线OM 在第一象限，且与x 轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，
0）作DA⊥OM 于点A，作线段OD 的垂直平分线BE 交x 轴于点E，交AD 于点B，
作射线OB，以AB 为边在△AOB 的外侧作正方形ABCA1，延长A1C 交射线OB 于点
B1，以A1B1为边在△AOB 的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB 于点B2，
以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形
A2017B2017C2017A2018的周长为 ．
三、综合题
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17．（7 分）先化简，再求值：（2﹣
）÷
，其中x=3．
18．（7 分）为了解同学们每月零花钱数额，校园小记者随机调查了本校部分学生，
并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：
请根据以上图表，解答下列问题：
零花钱数额x/元
人数（频数）
频率
0≤x＜30
6
0.15
30≤x＜60
12
0.30
60≤x＜90
16
0.40
90≤x＜120
b
0.10
120≤x＜150
2
a
（1）这次被调查的人数共有 人，a= ．
（2）计算并补全频数分布直方图；
（3）请估计该校1500 名学生中每月零花钱数额低于90 元的人数．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8，共16 分）
19．（8 分）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有4 张（小猪佩
奇）角色卡片，分别是A 佩奇，B 乔治，C 佩奇妈妈，D 佩奇爸爸（四张卡片除字母
和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝
上放好．
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A 佩奇的概率为 ．
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（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰
好姐姐抽到A 佩奇，弟弟抽到B 乔治的概率．
20．（8 分）为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共310 人参加一次大型
公益活动，租用4 辆大客车和6 辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位
数比小客车多15 个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了40 人，学校决定调整租车方案，在
保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用
小客车多少辆？#LZ
五、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
21．（8 分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B
处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者，在消防车上点A 处测
得点B 和点C 的仰角分别为45°和65°，点A 距地面2.5 米，点B 距地面10.5 米，为
教出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？
（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
≈1.4）
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22．（8 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于点E，O 是AB 上一
点，经过A，E 两点的⊙O 交AB 于点D，连接DE，作∠DEA 的平分线EF 交⊙O 于点
F，连接AF．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线．
（2）若sin∠EFA=
，AF=5
，求线段AC 的长．
六、解答题（本大题共1 小题，共10 分）
23．
（10 分）某商场销售一种商品，进价为每个20 元，规定每个商品售价不低于进
价，且不高于60 元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）
满足一次函数关系，其部分数据如下所示：
每个商品的售价x（元）
…
30
40
50
…
每天的销售量y（个）
100
80
60
…
（1）求y 与x 之间的函数表达式；
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（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w 与x 之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最
大利润是多少？
七、解答题（本大题共2 小题，共24 分）
24．（12 分）如图1，以▱ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF，使点F 落在边AD
上，连接BE，交AF 于点G．
（1）猜想BG 与EG 的数量关系，并说明理由；
（2）延长DE、BA 交于点H，其他条件不变：
①如图2，若∠ADC=60°，求
的值；
②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出
的值（用含α 的三角函数表示）
25．（12 分）在平面直角坐标系中，直线y=
x
2
﹣与x 轴交于点B，与y 轴交于点
C，二次函数y=
x2+bx+c 的图象经过B，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A，动点
D 在直线BC 下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD 的面积为S，求S 的最大值；
（3）如图2，过点D 作DM⊥BC 于点M，是否存在点D，使得△CDM 中的某个角恰
好等于∠ABC 的2 倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．
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2018 年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题2 分，共16 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（2 分）下列实数为无理数的是（ ）
A．﹣5 B．
C．0D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数
的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而
无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣5 是整数，是有理数，选项错误；
B、
是分数，是有理数，选项错误；
C、0 是整数，是有理数，选项错误；
D、π 是无理数，选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π
等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2 分）如图，这是由5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解答】解：左视图有2 列，每列小正方形数目分别为2，1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．
3．（2 分）一元二次方程2x2
x
﹣+1=0 根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△=（﹣1）2
4
﹣×2×1=
7
﹣＜0，
所以方程无实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两
个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．
4．
（2 分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10 次跳绳成绩，
下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，
数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统
计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意
义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因
此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
5．（2 分）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l 交于C，D 两点，把一块含30°角的三角
尺按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，则∠2 的度数为（ ）
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A．92° B．98° C．102° D．108°
【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1=∠3=52°，再根据∠4=30°，即可得出从∠2=180°
﹣∠3﹣∠4=98°．
【解答】解：如图，∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=52°，
又∵∠4=30°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣∠4=180°
52°
30°=98°
﹣
﹣
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关
键是利用平行线的性质．
6．（2 分）下列运算正确的是（ ）
A．7a
a=6
﹣
B．a2•a3=a5 C．（a3）3=a6 D．（ab）4=ab4
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一计算可
得．
【解答】解：A、7a
a=6a
﹣
，此选项错误；
B、a2•a3=a5，此选项正确；
C、（a3）3=a9，此选项错误；
D、（ab）4=a4b4，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的
乘法、幂的乘方、积的乘方．
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7．（2 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过B，C 两点的⊙O 交AC 于点D，交AB 于
点E，连接EO 并延长交⊙O 于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2
，则
AE2+BE2的值为（ ）
A．8B．12
C．16
D．20
【分析】由四边形BCDE 内接于⊙O 知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC，由EF 是
⊙O 的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE，再根据四边形BECF 是⊙O
的内接四边形知∠AEC=∠BFC，从而证△ACE≌△BFC 得AE=BF，根据Rt△ECF 是等
腰直角三角形知EF2=16，继而可得答案．
【解答】解：∵四边形BCDE 内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴AC=BC，
又∵EF 是⊙O 的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACE，
∵四边形BECF 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，
∴△ACE≌△BFC（ASA），
∴AE=BF，
∵Rt△ECF 中，CF=2
、∠EFC=45°，
∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周
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角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．
8．（2 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm，动点P 从点A 出发，以
cm/s
的速度沿AB 方向运动到点B，动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线
AC→CB 方向运动到点B．设△APQ 的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列图
象能反映y 与x 之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】作QD⊥AB，分点Q 在AC、CB 上运动这两种情况，由直角三角形的性质表
示出QD 的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断．
【解答】解：（1）过点Q 作QD⊥AB 于点D，
①如图1，当点Q 在AC 上运动时，即0≤x≤3，
由题意知AQ=x、AP=
x，
∵∠A=45°，
∴QD=
AQ=
x，
则y=
•
x•
x=
x2；
②如图2，当点Q 在CB 上运动时，即3＜x≤6，此时点P 与点B 重合，
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由题意知BQ=6
x
﹣、AP=AB=3
，
∵∠B=45°，
∴QD=
BQ=
（6
x
﹣），
则y=
×3
×
（6
x
﹣）=﹣
x+9；
故选：D．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意弄清两点的
运动路线，据此分类讨论并得出函数解析式．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
9．（3 分）因式分解：x3
4x=
﹣
x （
x + 2 ）（
x
2
﹣
）
．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x3
4x
﹣
=x（x2
4
﹣）
=x（x+2）（x
2
﹣）．
故答案为：x（x+2）（x
2
﹣）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公
式是解题关键．
10．（3 分）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在
上海合作组织银行联合体框架内，设立300 亿元人民币等值专项贷款，将300 亿
元用科学记数法表示为
3 ×
10
10
元．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10
n
﹣，其中1≤|a|＜10，n
为整数，据此判断即可．
【解答】解：300 亿元=3×1010元．
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故答案为：3×1010．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10
n
﹣，其中
1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．
11．（3 分）如图，这是一幅长为3m，宽为2m 的长方形世界杯宣传画，为测量宣传
画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰
子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发
现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4 附近，由此可估计宣传画上世界
杯图案的面积约为
2.4
m2．
【分析】根据题意求出长方形的面积，根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣
传画的面积之间的关系计算即可．
【解答】解：长方形的面积=3×2=6（m2），
∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4 附近，
∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的40%，
∴世界杯图案的面积约为：6×40%=2.4m2，
故答案为：2.4．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，正确得到世界杯图案的面积与长方形
世界杯宣传画的面积之间的关系是解题的关键．
12．
（3 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1 个单位长度的正
方形，已知△AOB 与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B 都
在格点上，则点B1的坐标为 （
2 ，﹣
） ．
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【分析】把B 的横纵坐标分别乘以﹣
得到B′的坐标．
【解答】解：由题意得：△AOB 与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：
2，
又∵B（3，1）
∴B′的坐标是[3×（﹣
），1×（﹣
）]，即B′的坐标是（﹣2，﹣
）；
故答案为：（﹣2，﹣
）．
【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与
相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似
比的正负．
13．（3 分）如图，直线y1=
x
﹣+a 与y2=bx
4
﹣相交于点P，已知点P 的坐标为（1，﹣
3），则关于x 的不等式﹣x+a＜bx
4
﹣的解集是
x ＜
1
．
【分析】观察函数图象得到当x＞1 时，函数y=
x
﹣+a 的图象都在y=bx
4
﹣的图象
第17页（共34页）
下方，所以不等式﹣x+a＜bx
4
﹣的解集为x＞1；
【解答】解：当x＞1 时，函数y=
x
﹣+a 的图象都在y=bx
4
﹣的图象下方，所以不等
式﹣x+a＜bx
4
﹣的解集为x＞1；
故答案为x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一
次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0 的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，
就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．（3 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，过点A 作AH⊥BC 于点
H，连接OH，若OB=4，S 菱形ABCD=24，则OH 的长为
3
．
【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半．
【解答】解：∵ABCD 是菱形
∴BO=DO=4，AO=CO，S 菱形ABCD=
=24
∴AC=6
∵AH⊥BC，AO=CO=3
∴OH=
AC=3
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键
是灵活运用这些性质解决问题．
15．（3 分）如图，矩形OABC 的顶点A，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 在第一象限，
AB=1，将线段OA 饶点O 按逆时针方向旋转60°得到线段OP，连接AP，反比例函
数y=
（k≠0）的图象经过P，B 两点，则k 的值为
．
第18页（共34页）
【分析】作PQ⊥OA，由AB=1 知OA=k，由旋转性质知OP=OA=k、∠POQ=60°，据此
求得OQ=OPcos60°=
k，PQ=OPsin60°=
k，即P（
k，
k），代入解析式解之可
得．
【解答】解：过点P 作PQ⊥OA 于点Q，
∵AB=1，
∴OA=k，
由旋转性质知OP=OA=k、∠POQ=60°，
则OQ=OPcos60°=
k，PQ=OPsin60°=
k，
即P（
k，
k），
代入解析式，得：
k2=k，
解得：k=0（舍）或k=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点P 的坐标．
16．（3 分）如图，射线OM 在第一象限，且与x 轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，
0）作DA⊥OM 于点A，作线段OD 的垂直平分线BE 交x 轴于点E，交AD 于点B，
作射线OB，以AB 为边在△AOB 的外侧作正方形ABCA1，延长A1C 交射线OB 于点
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B1，以A1B1为边在△AOB 的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB 于点B2，
以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形
A2017B2017C2017A2018的周长为
4•
（
）
2016
• （
1 +
）
2017
．
【分析】从特殊到一般探究规律后即可解决问题；
【解答】解：由题意：正方形ABCA1的边长为
，
正方形A1B1C1A2的边长为
+1，
正方形A2B2C2A3…的边长为（
+1）（1+
），
正方形A3B3C3A4的边长为（
+1）（1+
）2，
由此规律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的边长为（
+1）（1+
）2016．
∴正方形A2017B2017C2017A2018的周长为4•（
+1）（1+
）2016=4•（
）2016•（1+
）
2017．
故答案为4•（
）2016•（1+
）2017．
【点评】本题考查规律型问题、解直角三角形、点的坐标等知识，解题的关键是学
会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、综合题
17．（7 分）先化简，再求值：（2﹣
）÷
，其中x=3．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x 的值代入求解可得．
第20页（共34页）
【解答】解：（2﹣
）÷
=[
﹣
]×
=
×
=﹣
，
当x=3 时，原式=﹣
=﹣
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是
解题的关键．
18．（7 分）为了解同学们每月零花钱数额，校园小记者随机调查了本校部分学生，
并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：
请根据以上图表，解答下列问题：
零花钱数额x/元
人数（频数）
频率
0≤x＜30
6
0.15
30≤x＜60
12
0.30
60≤x＜90
16
0.40
90≤x＜120
b
0.10
120≤x＜150
2
a
（1）这次被调查的人数共有
40
人，a=
0.05
．
（2）计算并补全频数分布直方图；
（3）请估计该校1500 名学生中每月零花钱数额低于90 元的人数．
第21页（共34页）
【分析】（1）根据0≤x＜30 组频数及其所占百分比可得总人数，120≤x＜150 组
人数除以总人数可得a 的值．
（2）根据以上所求结果即可补全直方图；
（3）利用总人数1500 乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）这次被调查的人数共有6÷0.15=40，则a=2÷40=0.05；
故答案为：40；0.05；
（2）补全频数直方图如下：
（3）估计每月零花钱的数额x＜90 范围的人数为
．
【点评】此题主要考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
第22页（共34页）
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8，共16 分）
19．（8 分）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有4 张（小猪佩
奇）角色卡片，分别是A 佩奇，B 乔治，C 佩奇妈妈，D 佩奇爸爸（四张卡片除字母
和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝
上放好．
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A 佩奇的概率为
．
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰
好姐姐抽到A 佩奇，弟弟抽到B 乔治的概率．
【分析】（1）直接利用求概率公式计算即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵姐姐从4 张卡片中随机抽取一张卡片，
∴恰好抽到A 佩奇的概率=
，
故答案为：
；
（2）画树状图为：
共有12 种等可能的结果数，其中姐姐抽到A 佩奇，弟弟抽到B 乔治的结果数为
2，
所以姐姐抽到A 佩奇，弟弟抽到B 乔治的概率=
=
．
第23页（共34页）
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完
成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8 分）为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共310 人参加一次大型
公益活动，租用4 辆大客车和6 辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位
数比小客车多15 个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了40 人，学校决定调整租车方案，在
保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用
小客车多少辆？#LZ
【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的座位数比小客车多15 个以及师生共301
人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为310+40，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设每辆小客车的座位数是x 个，每辆大客车的座位数是y 个，根据
题意可得：
，
解得：
．
答：每辆大客车的座位数是40 个，每辆小客车的座位数是25 个；
（2）设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
25a+40（10
a
﹣）≥310+40，
解得：a≤3
，
符合条件的a 最大整数为3．
答：最多租用小客车3 辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正
确得出不等关系是解题关键．
第24页（共34页）
五、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
21．（8 分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B
处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者，在消防车上点A 处测
得点B 和点C 的仰角分别为45°和65°，点A 距地面2.5 米，点B 距地面10.5 米，为
教出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？
（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
≈1.4）
【分析】如图作AH⊥CN 于H．承办方求出BH、CH 即可解决问题；
【解答】解：如图作AH⊥CN 于H．
在Rt△ABH 中，∵∠BAH=45°，BH=10.5
2.5=8
﹣
（m），
∴AH=BH=8（m），
在Rt△AHC 中，tan65°=
，
第25页（共34页）
∴CH=8×2.1≈17（m），
∴BC=CH
BH=17
8=9
﹣
﹣
（m），
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造直角三角形解决问题．
22．（8 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于点E，O 是AB 上一
点，经过A，E 两点的⊙O 交AB 于点D，连接DE，作∠DEA 的平分线EF 交⊙O 于点
F，连接AF．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线．
（2）若sin∠EFA=
，AF=5
，求线段AC 的长．
【分析】（1）连接OE，根据同圆的半径相等和角平分线可得：OE∥AC，则
∠BEO=∠C=90°，解决问题；
（2）过A 作AH⊥EF 于H，根据三角函数先计算AH=4
，证明△AEH 是等腰直角
三角形，则AE=
AH=8，证明△AED∽△ACE，可解决问题．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵AE 平分∠BAC，
∴∠OAE=∠CAE，
∴∠CAE=∠OEA，
∴OE∥AC，
第26页（共34页）
∴∠BEO=∠C=90°，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）过A 作AH⊥EF 于H，
Rt△AHF 中，sin∠EFA=
，
∵AF=5
，
∴AH=4
，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠AED=90°，
∵EF 平分∠AED，
∴∠AEF=45°，
∴△AEH 是等腰直角三角形，
∴AE=
AH=8，
∵sin∠EFA=sin∠ADE=
=
，
∴AD=10，
∵∠DAE=∠EAC，∠DEA=∠ECA=90°，
∴△AED∽△ACE，
∴
，
∴
，
∴AC=6.4．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的
第27页（共34页）
判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握
各自的性质是解本题的关键．
六、解答题（本大题共1 小题，共10 分）
23．
（10 分）某商场销售一种商品，进价为每个20 元，规定每个商品售价不低于进
价，且不高于60 元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）
满足一次函数关系，其部分数据如下所示：
每个商品的售价x（元）
…
30
40
50
…
每天的销售量y（个）
100
80
60
…
（1）求y 与x 之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w 与x 之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最
大利润是多少？
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
即y 与x 之间的函数表达式是y=
2x
﹣
+160；
（2）由题意可得，w=（x
20
﹣
）（﹣2x+160）=
2x
﹣
2+200x
3200
﹣
，
即w 与x 之间的函数表达式是w=
2x
﹣
2+200x
3200
﹣
；
（3）∵w=
2x
﹣
2+200x
3200=
2
﹣
﹣（x
50
﹣
）2+1800，20≤x≤60，
∴当20≤x≤50 时，w 随x 的增大而增大；
当50≤x≤60 时，w 随x 的增大而减小；
当x=50 时，w 取得最大值，此时w=1800．
即当商品的售价为50 元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函
数解析式及二次函数的性质．
第28页（共34页）
七、解答题（本大题共2 小题，共24 分）
24．（12 分）如图1，以▱ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF，使点F 落在边AD
上，连接BE，交AF 于点G．
（1）猜想BG 与EG 的数量关系，并说明理由；
（2）延长DE、BA 交于点H，其他条件不变：
①如图2，若∠ADC=60°，求
的值；
②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出
的值（用含α 的三角函数表示）
【分析】（1）证明△BAG≌△EFG 可得结论；
（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b，分别表示BH 和DG 的长，代入计算即
可；
②如图3，连接EC 交DF 于O 根据三角函数定义得cosα=
，则OF=bcosα，
DG=a+2bcosα，同理表示AH 的长，代入
计算即可．
【解答】解：（1）BG=EG，理由是：
如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵四边形CFED 是菱形，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴∠A=∠GFE，
第29页（共34页）
∵∠AGB=∠FGE，
∴△BAG≌△EFG，
∴BG=EG；
（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b，
由（1）知：△BAG≌△EFG，
∴FG=AG=a，
∵CD∥BH，
∴∠HAD=∠ADC=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°，
∴△ADH 是等边三角形，
∴AD=AH=2a+b，
∴
=
=
；
②如图3，连接EC 交DF 于O，
∵四边形CFED 是菱形，
∴EC⊥AD，FD=2FO，
设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，
Rt△EFO 中，cosα=
，
∴OF=bcosα，
∴DG=a+2bcosα，
过H 作HM⊥AD 于M，
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，
∴AH=AD，
∴AM=
AD=
（2a+2bcosα）=a+bcosα，
Rt△AHM 中，cosα=
，
∴AH=
，
第30页（共34页）
∴
=
=cosα．
【点评】本题是四边形综合题，其中涉及到菱形的性质，等边三角形、全等三角形、
平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合及类比思想是
解题的关键．
25．（12 分）在平面直角坐标系中，直线y=
x
2
﹣与x 轴交于点B，与y 轴交于点
C，二次函数y=
x2+bx+c 的图象经过B，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A，动点
D 在直线BC 下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD 的面积为S，求S 的最大值；
（3）如图2，过点D 作DM⊥BC 于点M，是否存在点D，使得△CDM 中的某个角恰
好等于∠ABC 的2 倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到B、C 两点的坐标，设抛物线的解析式为y= （x
4
﹣）（x
m
﹣），将点C 的坐标代入求得m 的值即可；
第31页（共34页）
（2）过点D 作DF⊥x 轴，交BC 与点F，设D（x，x2﹣
x
2
﹣），则DF=﹣
x2+2x，然
后列出S 与x 的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；
（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的
中点E，EA=EC=EB=
，过D 作Y 轴的垂线，垂足为R，交AC 的延线于G，设D（x，
x2﹣
x
2
﹣），则DR=x ，CR=﹣
x2+
x ，最后，分为∠DCM=2∠BAC 和
∠MDC=2∠BAC 两种情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）把x=0 代y=
x
2
﹣得y=
2
﹣，
∴C（0，﹣2）．
把y=0 代y=
x
2
﹣得x=4，
∴B（4，0），．
设抛物线的解析式为y= （x
4
﹣）（x
m
﹣
），将C（0，﹣2）代入得：2m=
2
﹣，解得：
m=
1
﹣，
∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式y=
（x
4
﹣）（x+1），即y=
x2﹣
x
2
﹣．
（2）如图所示：过点D 作DF⊥x 轴，交BC 与点F．
设D（x，x2﹣
x
2
﹣），则F（x，x
2
﹣），DF=（
x
2
﹣）﹣（
x2﹣
x
2
﹣）=﹣
x2+2x．
第32页（共34页）
∴S△BCD=
OB•DF=
×4×（﹣
x2+2x）=
x
﹣2+4x=﹣（x2
4x
﹣
+4
4
﹣）=﹣（x
2
﹣）2+4．
∴当x=2 时，S 有最大值，最大值为4．
（3）如图所示：过点D 作DR⊥y 垂足为R，DR 交BC 与点G．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AC=
，BC=2
，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 为直角三角形．
取AB 的中点E，连接CE，则CE=BE，
∴∠OEC=2∠ABC．
∴tan∠OEC=
=
．
当∠MCD=2∠ABC 时，则∠CDR=∠ABC=
．
设D（x，
x2﹣
x
2
﹣），则DR=x，CR=﹣
x2+
x．
∴
=
，解得：x=0（舍去）或x=2．
∴点D 的横坐标为2．
当∠CDM=2∠ABC 时，设MD=3k，CM=4k，CD=5k．
∵tan∠MGD=
，
∴GM=6k，GD=3
k，
∴GC=MG
CM=2k
﹣
，
第33页（共34页）
∴GR=
k，CR=
k．
∴RD=3
k﹣
k=
k．
∴
=
=
，整理得：﹣
x2+
x=0，解得：x=0（舍去）或x=
．
∴点D 的横坐标为
．
综上所述，当点D 的横坐标为2 或
．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
第34页（共34页）
