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2018 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3.00 分）（2018•大庆）2cos60°=（ ）
A．1B．
C．
D．
2．（3.00 分）（2018•大庆）一种花粉颗粒直径约为0.0000065 米，数字0.0000065
用科学记数法表示为（ ）
A．0.65×10
5
﹣
B．65×10
7
﹣C．6.5×10
6
﹣
D．6.5×10
5
﹣
3．（3.00 分）（2018•大庆）已知两个有理数a，b，如果ab＜0 且a+b＞0，那么
（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＞0
C．a、b 同号
D．a、b 异号，且正数的绝对值较大
4．（3.00 分）（2018•大庆）一个正n 边形的每一个外角都是36°，则n=（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（3.00 分）（2018•大庆）某商品打七折后价格为a 元，则原价为（ ）
A．a 元B．
a 元C．30%a 元D．
a 元
6．（3.00 分）（2018•大庆）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图
形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．庆
B．力
C．大
D．魅
7．（3.00 分）（2018•大庆）在同一直角坐标系中，函数y=
和y=kx
3
﹣的图象大致
是（ ）
第1页（共29页）
A．
B．
C．
D．
8．（3.00 分）（2018•大庆）已知一组数据：92，94，98，91，95 的中位数为a，方差为
b，则a+b=（ ）
A．98
B．99
C．100 D．102
9．
（3.00 分）
（2018•大庆）如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC，且
∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
10．（3.00 分）（2018•大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣1，0）、
点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y=ax2+bx+c 的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a=0 的两个根为﹣1 和
其中正确结论的个数是（ ）
第2页（共29页）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
11．（3.00 分）（2018•大庆）已知圆柱的底面积为60cm2，高为4cm，则这个圆柱体
积为 cm3．
12．（3.00 分）（2018•大庆）函数y=
的自变量x 取值范围是 ．
13．（3.00 分）（2018•大庆）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（a，3），点B 的坐
标是（4，b），若点A 与点B 关于原点O 对称，则ab= ．
14．（3.00 分）（2018•大庆）在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形
的内切圆半径为 ．
15．（3.00 分）（2018•大庆）若2x=5，2y=3，则22x+y= ．
16．（3.00 分）（2018•大庆）已知
=
+
，则实数A= ．
17．
（3.00 分）
（2018•大庆）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC
绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD，则图中阴影部
分的面积为 ．
18．
（3.00 分）
（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平
移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6 的⊙O 相交（点O 为坐标原
点），则m 的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10 小题，共66 分）
19．（4.00 分）（2018•大庆）求值：（﹣1）2018+|1﹣
|﹣
20．（4.00 分）（2018•大庆）解方程：
﹣
=1．
21．（5.00 分）（2018•大庆）已知：x2
y
﹣2=12，x+y=3，求2x2
2xy
﹣
的值．
22．（6.00 分）（2018•大庆）如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔
第3页（共29页）
P 的距离为80 海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南
偏东45°方向的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离．（参考数据：
≈2.449，结果保留整数）
23．（7.00 分）（2018•大庆）九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对
学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”
“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不定整的频数
分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
16
戏剧
4
散文
a
其他
b
合计
1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m 的值；
（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学
中任意选出2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，
求选取的2 人恰好乙和丙的概率．
24．（7.00 分）（2018•大庆）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是AB、AC
的中点，连接CD，过E 作EF∥DC 交BC 的延长线于F．
第4页（共29页）
（1）证明：四边形CDEF 是平行四边形；
（2）若四边形CDEF 的周长是25cm，AC 的长为5cm，求线段AB 的长度．
25．（7.00 分）（2018•大庆）某学校计划购买排球、篮球，已知购买1 个排球与1 个
篮球的总费用为180 元；3 个排球与2 个篮球的总费用为420 元．
（1）求购买1 个排球、1 个篮球的费用分别是多少元？
（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60 个，并且篮球的数量不超过排球数
量的2 倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值
26．（8.00 分）（2018•大庆）如图，A（4，3）是反比例函数y=
在第一象限图象上一
点，连接OA，过A 作AB∥x 轴，截取AB=OA（B 在A 右侧），连接OB，交反比例函数
y=
的图象于点P．
（1）求反比例函数y=
的表达式；
（2）求点B 的坐标；
（3）求△OAP 的面积．
27．（9.00 分）（2018•大庆）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与
O，B 重合），作EC⊥OB，交⊙O 于点C，作直径CD，过点C 的切线交DB 的延长线
于点P，作AF⊥PC 于点F，连接CB．
第5页（共29页）
（1）求证：AC 平分∠FAB；
（2）求证：BC2=CE•CP；
（3）当AB=4
且
=
时，求劣弧
的长度．
28．（9.00 分）（2018•大庆）如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，B 点坐
标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y=x+m 与直线BC 交于点E，与y 轴
交于点F，求PE+EF 的最大值；
（3）点D 为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，直接写出点D 的坐标；
②若△BCD 是锐角三角形，直接写出点D 的纵坐标n 的取值范围．
第6页（共29页）
2018 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3.00 分）（2018•大庆）2cos60°=（ ）
A．1B．
C．
D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
【解答】解：2cos60°=2×
=1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．（3.00 分）（2018•大庆）一种花粉颗粒直径约为0.0000065 米，数字0.0000065
用科学记数法表示为（ ）
A．0.65×10
5
﹣
B．65×10
7
﹣C．6.5×10
6
﹣
D．6.5×10
5
﹣
【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10
n
﹣，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
【解答】解：数字0.0000065 用科学记数法表示为6.5×10
6
﹣．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10
n
﹣，其中1≤|a|
＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
3．（3.00 分）（2018•大庆）已知两个有理数a，b，如果ab＜0 且a+b＞0，那么
（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＞0
C．a、b 同号
第7页（共29页）
D．a、b 异号，且正数的绝对值较大
【分析】先由有理数的乘法法则，判断出a，b 异号，再用有理数加法法则即可得出
结论．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b 异号，
∵a+b＞0，
∴正数的绝对值较大，
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的加法和乘法法则，熟记法则是解本题的关键．
4．（3.00 分）（2018•大庆）一个正n 边形的每一个外角都是36°，则n=（ D ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】由多边形的外角和为360°结合每个外角的度数，即可求出n 值，此题得解．
【解答】解：∵一个正n 边形的每一个外角都是36°，
∴n=360°÷36°=10．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，牢记多边形的外角和为360°是解题的关
键．
5．（3.00 分）（2018•大庆）某商品打七折后价格为a 元，则原价为（ ）
A．a 元B．
a 元C．30%a 元D．
a 元
【分析】直接利用打折的意义表示出价格进而得出答案．
【解答】解：设该商品原价为：x 元，
∵某商品打七折后价格为a 元，
∴原价为：0.7x=a，
则x=
a（元）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出打折后价格是解题关键．
第8页（共29页）
6．（3.00 分）（2018•大庆）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图
形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．庆
B．力
C．大
D．魅
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点
作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“建”与“力”是相对面，
“创”与“庆”是相对面，
“魅”与“大”是相对面．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从
相对面入手，分析及解答问题．
7．（3.00 分）（2018•大庆）在同一直角坐标系中，函数y=
和y=kx
3
﹣的图象大致
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0 和k＜0 两种情况
讨论．当两函数系数k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正
确答案．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当k＞0 时，y=kx
3
﹣与y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的
图象在第一、三象限；
第9页（共29页）
②当k＜0 时，y=kx
3
﹣与y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的
图象在第二、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是
由k 的取值确定函数所在的象限．
8．（3.00 分）（2018•大庆）已知一组数据：92，94，98，91，95 的中位数为a，方差为
b，则a+b=（ ）
A．98
B．99
C．100 D．102
【分析】首先求出该组数据的中位数和方差，进而求出答案．
【解答】解：数据：92，94，98，91，95 从小到大排列为91，92，94，95，98，处于中间
位置的数是94，
则该组数据的中位数是94，即a=94，
该组数据的平均数为
[92+94+98+91+95]=94，
其方差为
[（92
94
﹣
）2+（94
94
﹣
）2+（98
94
﹣
）2+（91
94
﹣
）2+（95
94
﹣
）2]
=6，所以b=6
所以a+b=94+6=100．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和方差，关于方差：一般地设n 个数据，x1，x2，…xn的平
均数为，则方差S2=
[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
9．
（3.00 分）
（2018•大庆）如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC，且
∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
第10页（共29页）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】作MN⊥AD 于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定
理得到∠MAB=
∠DAB，计算即可．
【解答】解：作MN⊥AD 于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM 平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M 是BC 的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=
∠DAB=35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两
边的距离相等是解题的关键．
10．（3.00 分）（2018•大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣1，0）、
点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y=ax2+bx+c 的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a=0 的两个根为﹣1 和
第11页（共29页）
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2
2ax
3a
﹣
﹣
，配成顶点式得y=a（x﹣
1）2 4a
﹣，则可对①进行判断；计算x=4 时，y=a•5•1=5a，则根据二次函数的性质可
对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b= 2a
﹣，c=﹣
3a，则方程cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2 2ax
﹣
+a=0，然后解方程可对④进行判断．
【解答】解：抛物线解析式为y=a（x+1）（x
3
﹣），
即y=ax2
2ax
3a
﹣
﹣
，
∵y=a（x
1
﹣）2
4a
﹣
，
∴当x=1 时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当x=4 时，y=a•5•1=5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
∵点C（1，5a）关于直线x=1 的对称点为（﹣2，﹣5a），
∴当y2＞y1，则x2＞4 或x＜﹣2，所以③错误；
∵b=
2a
﹣
，c=
3a
﹣
，
∴方程cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2
2ax
﹣
+a=0，
整理得3x2+2x
1=0
﹣
，解得x1=
1
﹣，x2=
，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常
数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次
函数的性质．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
第12页（共29页）
11．（3.00 分）（2018•大庆）已知圆柱的底面积为60cm2，高为4cm，则这个圆柱体
积为
240
cm3．
【分析】根据圆柱体积=底面积×高，即可求出结论．
【解答】解：V=S•h=60×4=240（cm3）．
故答案为：240．
【点评】本题考查了认识立体图形，牢记圆柱的体积公式是解题的关键．
12．（3.00 分）（2018•大庆）函数y=
的自变量x 取值范围是
x ≤
3
．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0 可知：3
x
﹣≥0，解得x 的范围
【解答】解：根据题意得：3
x
﹣≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三
个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（3.00 分）（2018•大庆）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（a，3），点B 的坐
标是（4，b），若点A 与点B 关于原点O 对称，则ab=
12
．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b 的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A 的坐标为（a，3），点B 的坐标是（4，b），点A 与点B 关于原点O
对称，
∴a=
4
﹣，b=
3
﹣，
则ab=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b 的值是解题关键．
14．（3.00 分）（2018•大庆）在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形
的内切圆半径为
2
．
第13页（共29页）
【分析】先利用勾股定理计算出BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径=
（a、b 为直角边，c 为斜边）进行计算．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=
=8，
∴这个三角形的内切圆半径=
=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相
等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半
径的计算方法．
15．（3.00 分）（2018•大庆）若2x=5，2y=3，则22x+y=
75
．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进
而得出答案．
【解答】解：∵2x=5，2y=3，
∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75．
故答案为：75．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算
法则是解题关键．
16．（3.00 分）（2018•大庆）已知
=
+
，则实数A=
1
．
【分析】先计算出
+
=
，再根据已知等式得出A、B 的方程组
解之可得．
【解答】解：
+
=
+
=
，
第14页（共29页）
∵
=
+
，
∴
，
解得：
，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则，并
根据题意得出关于A、B 的方程组．
17．
（3.00 分）
（2018•大庆）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC
绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD，则图中阴影部
分的面积为
．
【分析】先根据勾股定理得到AB=2
，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD，由
旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S 阴影部分=S△ADE+S 扇形ABD
S
﹣△ABC=S 扇形ABD．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2
，
∴S 扇形ABD=
=
．
又∵Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S 阴影部分=S△ADE+S 扇形ABD
S
﹣△ABC=S 扇形ABD=
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴
第15页（共29页）
影部分的面积转化为扇形ABD 的面积是解题的关键．
18．
（3.00 分）
（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平
移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6 的⊙O 相交（点O 为坐标原
点），则m 的取值范围为
m
＜
．
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴
交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答
【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx 得，
5=12k
﹣
，
∴k=﹣
；
由y=﹣
x 平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l 所对应的函数关系式为y=
﹣
x+m（m＞0），
设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A、B，（如下图所示）
当x=0 时，y=m；当y=0 时，x=
m，
∴A（
m，0），B（0，m），
即OA=
m，OB=m；
在Rt△OAB 中，
AB=
，
过点O 作OD⊥AB 于D，
∵S△ABO=
OD•AB=
OA•OB，
∴
OD•
=
×
，
∵m＞0，解得OD=
，
第16页（共29页）
由直线与圆的位置关系可知
＜6，解得m＜
．
故答案为：m＜
．
【点评】此题主要考查直线与圆的关系，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线
与圆的位置关系等知识解答．
三、解答题（本大题共10 小题，共66 分）
19．（4.00 分）（2018•大庆）求值：（﹣1）2018+|1﹣
|﹣
【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1+
1
2
﹣﹣
=
2
﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（4.00 分）（2018•大庆）解方程：
﹣
=1．
【分析】方程两边都乘以x（x+3）得出方程x
1
﹣+2x=2，求出方程的解，再代入x
（x+3）进行检验即可．
【解答】解：两边都乘以x（x+3），得：x2﹣（x+3）=x（x+3），
解得：x=﹣
，
检验：当x=﹣
时，x（x+3）=﹣
≠0，
所以分式方程的解为x=﹣
．
【点评】本题考查了解分式方程的应用，解此题的关键是把分式方程转化成整式
第17页（共29页）
方程，注意：解分式方程一定要进行检验．
21．（5.00 分）（2018•大庆）已知：x2
y
﹣2=12，x+y=3，求2x2
2xy
﹣
的值．
【分析】先求出x
y=4
﹣
，进而求出2x=7，而2x2
2xy=2x
﹣
（x
y
﹣），代入即可得出结论．
【解答】解：∵x2
y
﹣2=12，
∴（x+y）（x
y
﹣）=12，
∵x+y=3 ①，
∴x
y=4
﹣
②，
①+②得，2x=7，
∴2x2
2xy=2x
﹣
（x
y
﹣）=7×4=28．
【点评】此题主要考查了平方差公式，二元一次方程的解法，求出x
y=4
﹣
是解本
题的关键．
22．（6.00 分）（2018•大庆）如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔
P 的距离为80 海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南
偏东45°方向的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离．（参考数据：
≈2.449，结果保留整数）
【分析】过点P 作PC⊥AB，则在Rt△APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出
PB．
【解答】解：作PC⊥AB 于C 点，
第18页（共29页）
∴∠APC=30°，∠BPC=45° AP=80（海里）．
在Rt△APC 中，cos∠APC=
，
∴PC=PA•cos∠APC=40
（海里）．
在Rt△PCB 中，cos∠BPC=
，
∴PB=
=
=40
≈98（海里）．
答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98 海里．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的
问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23．（7.00 分）（2018•大庆）九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对
学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”
“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不定整的频数
分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
16
戏剧
4
散文
a
其他
b
合计
1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m 的值；
（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学
第19页（共29页）
中任意选出2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，
求选取的2 人恰好乙和丙的概率．
【分析】（1）先根据戏剧的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以散
文的百分比求得其人数，根据各类别人数之和等于总人数求得其他类别的人数，
最后用其他人数除以总人数求得m 的值；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出
所求概率．
【解答】解：（1）∵被调查的学生总人数为4÷10%=40 人，
∴散文的人数a=40×20%=8，其他的人数b=40﹣（16+4+8）=12，
则其他人数所占百分比m%=
×100%=30%，即m=30；
（2）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12 种，其中恰好是丙与乙的情况有2 种，
所以选取的2 人恰好乙和丙的概率为
=
．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
24．（7.00 分）（2018•大庆）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是AB、AC
的中点，连接CD，过E 作EF∥DC 交BC 的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF 是平行四边形；
（2）若四边形CDEF 的周长是25cm，AC 的长为5cm，求线段AB 的长度．
第20页（共29页）
【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件
“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE 为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出
四边形DCFE 的周长=AB+BC，故BC=25
AB
﹣
，然后根据勾股定理即可求得；
【解答】（1）证明：∵D、E 分别是AB、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，
∴ED 是Rt△ABC 的中位线，
∴ED∥FC．BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF 是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF 是平行四边形；
∴DC=EF，
∵DC 是Rt△ABC 斜边AB 上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE 的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE 的周长为25cm，AC 的长5cm，
∴BC=25
AB
﹣
，
∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25
AB
﹣
）2+52，
解得，AB=13cm，
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边
形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．（7.00 分）（2018•大庆）某学校计划购买排球、篮球，已知购买1 个排球与1 个
篮球的总费用为180 元；3 个排球与2 个篮球的总费用为420 元．
第21页（共29页）
（1）求购买1 个排球、1 个篮球的费用分别是多少元？
（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60 个，并且篮球的数量不超过排球数
量的2 倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值
【分析】（1）根据购买1 个排球与1 个篮球的总费用为180 元；3 个排球与2 个篮
球的总费用为420 元列出方程组，解方程组即可；
（2）根据购买排球和篮球共60 个，篮球的数量不超过排球数量的2 倍列出不等式，
解不等式即可．
【解答】解：（1）设每个排球的价格是x 元，每个篮球的价格是y 元，
根据题意得：
，
解得：
，
所以每个排球的价格是60 元，每个篮球的价格是120 元；
（2）设购买排球m 个，则购买篮球（60
m
﹣
）个．
根据题意得：60
m
﹣
≤2m，
解得m≥20，
又∵排球的单价小于蓝球的单价，
∴m=20 时，购买排球、篮球总费用的最大
购买排球、篮球总费用的最大值=20×60+40×120=6000 元．
【点评】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确
列出二元一次方程组、一元一次不等式是解题的关键．
26．（8.00 分）（2018•大庆）如图，A（4，3）是反比例函数y=
在第一象限图象上一
点，连接OA，过A 作AB∥x 轴，截取AB=OA（B 在A 右侧），连接OB，交反比例函数
y=
的图象于点P．
（1）求反比例函数y=
的表达式；
（2）求点B 的坐标；
（3）求△OAP 的面积．
第22页（共29页）
【分析】（1）将点A 的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x 轴即可得点B 的坐标；
（3）先根据点B 坐标得出OB 所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P 的
坐标，再利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）将点A（4，3）代入y=
，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=
；
（2）如图，过点A 作AC⊥x 轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA=
=5，
∵AB∥x 轴，且AB=OA=5，
∴点B 的坐标为（9，3）；
（3）∵点B 坐标为（9，3），
∴OB 所在直线解析式为y=
x，
第23页（共29页）
由
可得点P 坐标为（6，2），
过点P 作PD⊥x 轴，延长DP 交AB 于点E，
则点E 坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP 的面积=
×（2+6）×3﹣
×6×2﹣
×2×1=5．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待
定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标和割补法求三角形的面积．
27．（9.00 分）（2018•大庆）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与
O，B 重合），作EC⊥OB，交⊙O 于点C，作直径CD，过点C 的切线交DB 的延长线
于点P，作AF⊥PC 于点F，连接CB．
（1）求证：AC 平分∠FAB；
（2）求证：BC2=CE•CP；
（3）当AB=4
且
=
时，求劣弧
的长度．
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得
=
解决问题；
（3）作BM⊥PF 于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三
角形的性质求出BM，求出tan∠BCM 的值即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
第24页（共29页）
∵∠BCP=∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，
（2）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF 是⊙O 的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，
∵CD 是直径，
∴∠CBD=∠CBP=90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴
=
，
∴BC2=CE•CP；
（3）解：作BM⊥PF 于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，
∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，
∴∠MCB=∠PBM，
∵CD 是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB=∠BMP=90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴
=
，
∴BM2=CM•PM=3a2，
∴BM=
a，
∴tan∠BCM=
=
，
∴∠BCM=30°，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°
第25页（共29页）
∴
的长=
=
π．
【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似
三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
28．（9.00 分）（2018•大庆）如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，B 点坐
标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y=x+m 与直线BC 交于点E，与y 轴
交于点F，求PE+EF 的最大值；
（3）点D 为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，直接写出点D 的坐标；
②若△BCD 是锐角三角形，直接写出点D 的纵坐标n 的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）易得BC 的解析式为y=
x
﹣+4，先证明△ECF 为等腰直角三角形，作PH⊥y 轴于
H，PG∥y 轴交BC 于G，如图1，则△EPG 为等腰直角三角形，PE=
PG，设P（t，t2
第26页（共29页）
4t
﹣
+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t 表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=
﹣
t2+5
t，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=﹣点D 的纵坐标的取值范围．
②由于△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形有4+（y
3
﹣）2+1+y2=18，解得y1=
，y2=
，得到此时D 点坐标为（
，
）或（
，
），然后结合
图形可确定△BCD 是锐角三角形时点D 的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=x2
5x
﹣
+4；
（2）易得BC 的解析式为y=
x
﹣+4，
∵直线y=x+m 与直线y=x 平行，
∴直线y=
x
﹣+4 与直线y=x+m 垂直，
∴∠CEF=90°，
∴△ECF 为等腰直角三角形，
作PH⊥y 轴于H，PG∥y 轴交BC 于G，如图1，△EPG 为等腰直角三角形，PE=
PG，
设P（t，t2
5t
﹣
+4）（1＜t＜4），则G（t，﹣t+4），
∴PF=
PH=
t，PG=
t
﹣+4﹣（t2
5t
﹣
+4）=
t
﹣2+4t，
∴PE=
PG=﹣
t2+2
t，
∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣
t2+4
t+
t=﹣
t2+5
t=﹣
（t﹣
）
2+
，
当t=
时，PE+EF 的最大值为
；
第27页（共29页）
（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=
，
设D（
，y），则BC2=42+42=32，DC2=（
）2+（y
4
﹣）2，BD2=（4﹣
）2+y2=
+y2，
当△BCD 是以BC 为直角边，BD 为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即32+（
）
2+（y
4
﹣）2=
+y2，解得y=5，此时D 点坐标为（
，
）；
当△BCD 是以BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即32+
+y2=（
）2+（y
4
﹣）2，解得y=
1
﹣，此时D 点坐标为（
，﹣
）；
综上所述，符合条件的点D 的坐标是（
，
）或（
，﹣
）；
②当△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即（
）2+（y
4
﹣）2+
+y2=32，解得y1=
，y2=
，此时D 点坐标为（
，
）或（
，
），
所以△BCD 是锐角三角形，点D 的纵坐标的取值范围为
＜y＜
或﹣
＜y
＜
．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函
第28页（共29页）
数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会
利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论
的思想和数形结合的思想解决数学问题．
第29页（共29页）
