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2018 年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．﹣3 的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．
D．
解：|
3
﹣|=﹣（﹣3）=3．
故选A．
2．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．
故选B．
3．计算（x3）2的结果是（ ）
A．x5 B．2x3 C．x9 D．x6
解：（x3）2=x6．
故选D．
4．如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α 的度数为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
解：如图，
∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1=45°．
∵l∥l'，∴∠α=∠1=45°．
故选A．
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
1
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
解：由三视图知这个几何体是三棱柱．
故选C．
6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD 的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD．在Rt△AOB 中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：
OB=
=
=4，∴BD=2OB=8．
故选A．
7．一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后
放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：列表得：
2
所有等可能的情况数有9 种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5 种结果，
所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为
．
故选D．
8．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖
的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形
边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6
4
﹣×6x=32 B．（10
2x
﹣
）（6
2x
﹣
）=32 C．（10
x
﹣）（6
x
﹣）=32
D．10×6
4x
﹣
2=32
解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10
2x
﹣
）cm，宽为（6
2x
﹣
）cm，根据题意得：（10﹣
2x）（6
2x
﹣
）=32．
故选B．
9．如图，一次函数y=k1x+b 的图象与反比例函数y=
的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b＜
时，
x 的取值范围为（ ）
A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2 或x＞6
解：由图象可知，当k1x+b＜
时，x 的取值范围为0＜x＜2 或x＞6．
故选D．
10．如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转α，得到△EBD，若点A 恰好在ED 的延长线上，则∠CAD 的度数为（
）
3
A．90°
α
﹣ B．α C．180°
α
﹣ D．2α
解：由题意可得：
∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．
∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°
α
﹣．
故选C．
二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．因式分解：x2
x=
﹣
．
解：x2
x=x
﹣
（x
1
﹣）．
故答案为：x（x
1
﹣）．
12．五名学生一分钟跳绳的次数分别为189，195，163，184，201，该组数据的中位数是 ．
解：这5 名学生跳绳次数从小到大排列为163、184、189、195、201，所以该组数据的中位数是189．
故答案为：189．
13．一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为 cm．
解：∵L=
，∴R=
=9．
故答案为：9．
14．《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了100 片瓦，已知1 匹大马能拉3 片瓦，3 匹小马
能拉1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x 匹大马，y 匹小马，根据题意可列方程组为 ．
解：由题意可得：
．
故答案为：
．
15．如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置，在D 处
测得旗杆顶端A 的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB 的高度约为 m．（精确到0.1m．参
考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
4
解：过D 作DE⊥AB，
∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，∴∠ADE=53°．
∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m．
故答案为：9.5．
16．如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，点E 为AD 上一点，且∠ABE=30°，将△ABE 沿BE 翻折，得到△A′BE，连
接CA′并延长，与AD 相交于点F，则DF 的长为 ．
解：如图作A′H⊥BC 于H．
∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=
BA′=1，BH=
A′H=
，∴CH=3﹣
．
∵△CDF∽△A′HC，∴
=
，∴
=
，∴DF=6
2
﹣
．
故答案为：6
2
﹣
．
三、解答题（本题共4 小题，其中17、18、19 题各9 分，20 题12 分，共39 分）
17．计算：（
+2）2﹣
+2
2
﹣
5
解：原式=3+4
+4
4
﹣
+
=
．
18．解不等式组：
解：
∵解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为x≤﹣1．
19．如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E、F 在AC 上，且AF=CE．
求证：BE=DF．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．
∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO 和△DFO 中，
，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．
20．某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜
欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为
%；
（2）被调查学生的总数为 人，其中，最喜欢篮球的有 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数
的百分比为 %；
（3）该校共有450 名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．
6
解：（1）由题可得：被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有4 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分
比为32%．
故答案为：4；32；
（2）被调查学生的总数为10÷20%=50 人，最喜欢篮球的有50×32%=16 人，最喜欢足球的学生数占被调查
总人数的百分比=
×100%=24%；
故答案为：50；16；24；
（3）根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数为
×450=54 人．
四、解答题（本题共3 小题，其中21、22 题各9 分，23 题10 分，共28 分）
21．甲、乙两名学生练习打字，甲打135 个字所用时间与乙打180 个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比
乙少打20 个字，求甲平均每分钟打字的个数．
解：设甲平均每分钟打x 个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据题意得：
=
，解得：x=60，经检
验，x=60 是原分式方程的解．
答：甲平均每分钟打60 个字．
22．【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，
27×23=621，…，47×3=141，28×2=96，49×1=49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a 与b 的数量关系是 ．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn 的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．
故答案为：625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a 与b 的数量关系是a+b=50．
故答案为：a+b=50；
【类比】由题意，可得m+n=60，将n=60
m
﹣
代入mn，得mn=
m
﹣
2+60m=﹣（m
30
﹣
）2+900，∴m=30 时，mn 的
7
最大值为900．
故答案为：900．
23．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠BAD=90°，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2 时，求AC 的长．
解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵DE∥AC．
∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=
AC．
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．
∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴
，∴
，∴CD=4．在Rt△BCD 中，BD=
=4
同理：△CFD∽△BCD，∴
，∴
，∴CF=
，∴AC=2AF=
．
五、解答题（本题共3 小题，其中24 题11 分，25、26 题各12 分，共35 分）
24．如图1，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将
△ABC 沿射线BA 平移，当点C 到达x 轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x 轴下方部分的面积
为S，S 关于m 的函数图象如图2 所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b 时，函数的解析式不同）．
8
（1）填空：△ABC 的面积为 ；
（2）求直线AB 的解析式；
（3）求S 关于m 的解析式，并写出m 的取值范围．
解：（1）
结合△ABC 的移动和图2 知，点B 移动到点A 处，就是图2 中，m=a 时，S=S△A'B'D=
，点C 移动到x 轴上时，即：
m=b 时，S=S△A'B'C'=S△ABC=
．
故答案为：
，．
（2）如图2，过点C 作CE⊥x 轴于E，∴∠AEC=∠BOA=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAE=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠CAE，由旋转知，AB=AC，∴△AOB≌△CEA，∴AE=OB，CE=OA，由图2 知，
点C 的纵坐标是点B 纵坐标的2 倍，∴OA=2OB，∴AB2=5OB2，由（1）知，S△ABC=
=
AB2=
×5OB2，∴OB=1，
∴OA=2，∴A（2，0），B（0，1），∴直线AB 的解析式为y=﹣
x+1；
（3）由（2）知，AB2=5，∴AB=
，①当0≤m≤
时，如图3．
∵∠AOB=∠AA'F，∠OAB=∠A'AF，∴△AOB∽△AA'F，∴
，由运动知，AA'=m，∴
，
∴A'F=
m，∴S=
AA'×A'F=
m2，②当
＜m≤2
时，如图4
同①的方法得：A'F=
m，∴C'F=
﹣
m，过点C 作CE⊥x 轴于E，过点B 作BM⊥CE 于E，∴BM=3，CM=1，
易知，△ACE∽△FC'H，∴
，∴
9
∴C'H=
．在Rt△FHC'中，FH=
C'H=
由平移知，∠C'GF=∠CBM．
∵∠BMC=∠GHC'，∴△BMC∽△GHC'，∴
，∴
∴GH=
，∴GF=GH
FH=
﹣
∴S=S△A'B'C'
S
﹣△C'FG=
﹣
×
×
=
﹣
（2
m
﹣）2，即：S=
．
10
25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC 中，∠ACB=90°，点D 在AB 上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法1：如图2，作AE 平分∠CAB，与CD 相交于点E．
方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB 相交于点F．
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，且∠BDE=2∠ABC，点F 在BD 上，且∠AFE=∠BAC，延长
DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF 相等的角，并加以证明；
②若AB=kDF，猜想线段DE 与DB 的数量关系，并证明你的猜想．
解：（1）方法一：如图2 中，作AE 平分∠CAB，与CD 相交于点E．
∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°．
∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．
方法二：如图3 中，作∠DCF=∠DCB，与AB 相交于点F．
∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF．
11
∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°．
∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B．
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD．
（2）①如图4 中，结论：∠DEF=∠FDG．
理由：在△DEF 中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°．在△DFG 中，∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°．
∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，∴∠DEF=∠FDG．
②结论：BD=k•DE．
理由：如图4 中，如图延长AC 到K，使得∠CBK=∠ABC．
∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，∴∠EDF=∠ABK．
∵∠DFE=∠A，∴△DFE∽△BAK，∴
=
=
，∴BK=k•DE，∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．
∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，∴△BCD≌△BCK，∴BD=BK，∴BD=k•DE
26．如图，点A，B，C 都在抛物线y=ax2
2amx
﹣
+am2+2m
5
﹣（其中﹣
＜a＜0）上，AB∥x 轴，∠ABC=135°，且
AB=4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m 的代数式表示）；
（2）求△ABC 的面积（用含a 的代数式表示）；
（3）若△ABC 的面积为2，当2m
5
﹣≤x≤2m
2
﹣时，y 的最大值为2，求m 的值．
解：（1）∵y=ax2
2amx
﹣
+am2+2m
5=a
﹣
（x
m
﹣）2+2m
5
﹣，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m
5
﹣）．
故答案为：（m，2m
5
﹣）．
（2）过点C 作直线AB 的垂线，交线段AB 的延长线于点D，如图所示．
12
∵AB∥x 轴，且AB=4，∴点B 的坐标为（m+2，4a+2m
5
﹣）．
∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C 的坐标为（m+2+t，4a+2m
5
t
﹣﹣）．
∵点C 在抛物线y=a（x
m
﹣）2+2m
5
﹣上，∴4a+2m
5
t=a
﹣﹣
（2+t）2+2m
5
﹣，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：
t1=0（舍去），t2=﹣
，∴S△ABC=
AB•CD=﹣
．
（3）∵△ABC 的面积为2，∴﹣
=2，解得：a=﹣
，∴抛物线的解析式为y=﹣
（x
m
﹣）2+2m
5
﹣．
分三种情况考虑：
①当m＞2m
2
﹣，即m＜2 时，有﹣（2m
2
m
﹣﹣
）2+2m
5=2
﹣
，整理，得：m2
14m
﹣
+39=0，解得：m1=7﹣
（舍去），m2=7+
（舍去）；
②当2m
5
﹣≤m≤2m
2
﹣，即2≤m≤5 时，有2m
5=2
﹣
，解得：m=
；
③当m＜2m
5
﹣，即m＞5 时，有﹣（2m
5
m
﹣﹣
）2+2m
5=2
﹣
，整理，得：m2
20m
﹣
+60=0，解得：m3=10
2
﹣
（舍去），m4=10+2
．
综上所述：m 的值为
或10+2
．
13
