文档文本内容
2018 年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）本题每小题均有A、B、
C、D4 个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应
的答题卡上
1．（4.00 分）（2018•铜仁市）9 的平方根是（ ）
A．3B．﹣3 C．3 和﹣3 D．81
2．（4.00 分）（2018•铜仁市）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略
构想，意味着每年要减贫约11700000 人，将数据11700000 用科学记数法表示为
（ ）
A．1.17×107B．11.7×106C．0.117×107
D．1.17×108
3．（4.00 分）（2018•铜仁市）关于x 的一元二次方程x2
4x
﹣
+3=0 的解为（ ）
A．x1=
1
﹣，x2=3 B．x1=1，x2=
3
﹣C．x1=1，x2=3D．x1=
1
﹣，x2=
3
﹣
4．（4.00 分）（2018•铜仁市）掷一枚均匀的骰子，骰子的6 个面上分别刻有1、2、
3、4、5、6 点，则点数为奇数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4.00 分）（2018•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（
）
A．55° B．110° C．120° D．125°
6．（4.00 分）（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC 的面积为
16，则△DEF 的面积为（ ）
A．32
B．8C．4D．16
7．（4.00 分）（2018•铜仁市）如果一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多
边形的边数是（ ）
第1页（共26页）
A．8B．9C．10
D．11
8．（4.00 分）（2018•铜仁市）在同一平面内，设a、b、c 是三条互相平行的直线，已
知a 与b 的距离为4cm，b 与c 的距离为1cm，则a 与c 的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm 或3cm D．1cm 或3cm
9．（4.00 分）（2018•铜仁市）如图，已知一次函数y=ax+b 和反比例函数y=
的图
象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜
的解集为（ ）
A．x＜﹣2 或0＜x＜1
B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0 或x＞1
10．（4.00 分）（2018•铜仁市）计算
+
+
+
+
+……+
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
11．（4.00 分）（2018•铜仁市）分式方程
=4 的解是x= ．
12．（4.00 分）（2018•铜仁市）因式分解：a3
ab
﹣
2= ．
13．（4.00 分）（2018•铜仁市）一元一次不等式组
的解集为 ．
14．（4.00 分）（2018•铜仁市）如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3= °．
第2页（共26页）
15．（4.00 分）（2018•铜仁市）小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随
机抽取他的三次数学考试成绩，分别是87，93，90，则三次数学成绩的方差是
．
16．（4.00 分）（2018•铜仁市）定义新运算：a
b=a
※
2+b，例如3
2=3
※
2+2=11，已知
4
x=20
※
，则x= ．
17．
（4.00 分）
（2018•铜仁市）在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D、E 是边AB 上两
点，且CE 所在直线垂直平分线段AD，CD 平分∠BCE，BC=2
，则AB= ．
18．（4.00 分）（2018•铜仁市）已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，
0），动点P 在反比例函数y=
的图象上运动，当线段PA 与线段PB 之差的绝对值
最大时，点P 的坐标为 ．
三、简答题：（本大题共4 个小题，第19 题每小题10 分，第20、21、22 题每小题10
分，共40 分，要有解题的主要过程）
19．（10.00 分）（2018•铜仁市）（1）计算：
﹣4cos60°﹣（π
3.14
﹣
）0﹣（
）﹣1
（2）先化简，再求值：（1﹣
）÷
，其中x=2．
20．
（10.00 分）
（2018•铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B 在同一条直线上，AD=BC，
AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
第3页（共26页）
21．（10.00 分）（2018•铜仁市）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具
体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类
A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计
图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）请计算出A 类男生和C 类女生的人数，并将条形统计图补充完整．
（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机机抽取一位同
学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好
是一男一女同学的概率．
22．（10.00 分）（2018•铜仁市）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选
取C，D 两点，在点C 处测得A 的仰角为45°，距点C 的10 米D 处测得A 的仰角为
60°，且C、D、B 在同一水平直线上，求铁塔AB 的高度（结果精确到0.1 米，
≈1.732）
四、（本大题满分12 分）
第4页（共26页）
23．（12.00 分）（2018•铜仁市）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且
每买1 张办公桌必须买2 把椅子，椅子每把100 元，若学校购进20 张甲种办公桌
和15 张乙种办公桌共花费24000 元；购买10 张甲种办公桌比购买5 张乙种办公
桌多花费2000 元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40 张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌
数量的3 倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
五、（本大题满分12 分）
24．
（12.00 分）
（2018•铜仁市）如图，在三角形ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以BC 为直
径作⊙O 交AB 于点D，交AC 于点G，直线DF 是⊙O 的切线，D 为切点，交CB 的延
长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E 的值．
六、（本大题满分14 分）
25．（14.00 分）（2018•铜仁市）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C
（0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标
为（m，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q，交直线于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是
平行四边形？
（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M 为顶点的三角
形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共26页）
第6页（共26页）
2018 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）本题每小题均有A、B、
C、D4 个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应
的答题卡上
1．（4.00 分）（2018•铜仁市）9 的平方根是（ ）
A．3B．﹣3 C．3 和﹣3 D．81
【分析】依据平方根的定义求解即可．
【解答】解：9 的平方根是±3，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（4.00 分）（2018•铜仁市）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略
构想，意味着每年要减贫约11700000 人，将数据11700000 用科学记数法表示为
（ ）
A．1.17×107B．11.7×106C．0.117×107
D．1.17×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值大于10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于1 时，n
是负数．
【解答】解：11700000=1.17×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（4.00 分）（2018•铜仁市）关于x 的一元二次方程x2
4x
﹣
+3=0 的解为（ ）
A．x1=
1
﹣，x2=3 B．x1=1，x2=
3
﹣C．x1=1，x2=3D．x1=
1
﹣，x2=
3
﹣
第7页（共26页）
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
【解答】解：x2
4x
﹣
+3=0，
分解因式得：（x
1
﹣）（x
3
﹣）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是
解本题的关键．
4．（4.00 分）（2018•铜仁市）掷一枚均匀的骰子，骰子的6 个面上分别刻有1、2、
3、4、5、6 点，则点数为奇数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意和题目中的数据可以求得点数为奇数的概率．
【解答】解：由题意可得，
点数为奇数的概率是：
，
故选：C．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
5．（4.00 分）（2018•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（
）
A．55° B．110° C．120° D．125°
【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半．
【解答】解：根据圆周角定理，得
∠ACB=
（360°﹣∠AOB）=
×250°=125°．
第8页（共26页）
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．
6．（4.00 分）（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC 的面积为
16，则△DEF 的面积为（ ）
A．32
B．8C．4D．16
【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的
平方，即可得△ABC 与△DEF 的面积比为4，又由△ABC 的面积为16，即可求得
△DEF 的面积．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴△ABC 与△DEF 的面积比为4，
∵△ABC 的面积为16，
∴△DEF 的面积为：16×
=4．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面
积的比等于相似比的平方的性质的应用．
7．（4.00 分）（2018•铜仁市）如果一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多
边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10
D．11
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n
2
﹣）=3×360°
解得n=8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以
转化为方程的问题来解决．
第9页（共26页）
8．（4.00 分）（2018•铜仁市）在同一平面内，设a、b、c 是三条互相平行的直线，已
知a 与b 的距离为4cm，b 与c 的距离为1cm，则a 与c 的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm 或3cm D．1cm 或3cm
【分析】分类讨论：当直线c 在a、b 之间或直线c 不在a、b 之间，然后利用平行线
间的距离的意义分别求解．
【解答】解：当直线c 在a、b 之间时，
∵a、b、c 是三条平行直线，
而a 与b 的距离为4cm，b 与c 的距离为1cm，
∴a 与c 的距离=4
1=3
﹣
（cm）；
当直线c 不在a、b 之间时，
∵a、b、c 是三条平行直线，
而a 与b 的距离为4cm，b 与c 的距离为1cm，
∴a 与c 的距离=4+1=5（cm），
综上所述，a 与c 的距离为3cm 或3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直
线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．
注意分类讨论．
9．（4.00 分）（2018•铜仁市）如图，已知一次函数y=ax+b 和反比例函数y=
的图
象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜
的解集为（ ）
第10页（共26页）
A．x＜﹣2 或0＜x＜1
B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0 或x＞1
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即
可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0 或x＞1 时，一次函数图象在反比例
函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜
的解集是﹣2＜x＜0 或x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函
数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目
时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
10．（4.00 分）（2018•铜仁市）计算
+
+
+
+
+……+
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：原式=
+
+
+
+…+
=1﹣
+
﹣
+
﹣
+…+
﹣
=1﹣
=
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，正确分解分数将原式变形是解题关键．
二、填空题：（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
11．（4.00 分）（2018•铜仁市）分式方程
=4 的解是x= ﹣
9
．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验
即可得到分式方程的解．
第11页（共26页）
【解答】解：去分母得：3x
1=4x
﹣
+8，
解得：x=
9
﹣，
经检验x=
9
﹣是分式方程的解，
故答案为：﹣9
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（4.00 分）（2018•铜仁市）因式分解：a3
ab
﹣
2=
a （
a + b ）（
a
b
﹣
）
．
【分析】观察原式a3
ab
﹣
2，找到公因式a，提出公因式后发现a2
b
﹣
2是平方差公式，
利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3
ab
﹣
2=a（a2
b
﹣
2）=a（a+b）（a
b
﹣）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次
公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
13．（4.00 分）（2018•铜仁市）一元一次不等式组
的解集为
x ＞
﹣
1
．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：
，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x＞﹣2，
所以不等式组的解集为：x＞﹣1．
故答案为x＞﹣1．
【点评】主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的一
般步骤和确定不等式组解集的公共部分．
14．（4.00 分）（2018•铜仁市）如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=
150
°．
第12页（共26页）
【分析】两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为180°即可解答．
【解答】解：如图，
∵m∥n，∠1=110°，
∴∠4=70°，
∵∠2=100°，
∴∠5=80°，
∴∠6=180°﹣∠4﹣∠5=30°，
∴∠3=180°﹣∠6=150°，
故答案为：150．
【点评】本题主要考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两
直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
15．（4.00 分）（2018•铜仁市）小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随
机抽取他的三次数学考试成绩，分别是87，93，90，则三次数学成绩的方差是
6
．
【分析】根据题目中的数据可以求得相应的平均数，从而可以求得相应的方差，本
题得以解决．
【解答】解：
，
∴
=6，
故答案为：6．
第13页（共26页）
【点评】本题考查方差，解答本题的关键是明确方差的计算方法．
16．（4.00 分）（2018•铜仁市）定义新运算：a
b=a
※
2+b，例如3
2=3
※
2+2=11，已知
4
x=20
※
，则x=
4
．
【分析】根据新运算的定义，可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值．
【解答】解：∵4
x=4
※
2+x=20，
∴x=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，依照新运算的定义
找出关于x 的一元一次方程是解题的关键．
17．
（4.00 分）
（2018•铜仁市）在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D、E 是边AB 上两
点，且CE 所在直线垂直平分线段AD，CD 平分∠BCE，BC=2
，则AB=
4
．
【分析】由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD，进而可得出
∠ACE=∠DCE，由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合
∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数
值，即可求出AB 的长度．
【解答】解：∵CE 所在直线垂直平分线段AD，
∴CE 平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∵CD 平分∠BCE，
∴∠DCE=∠DCB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=
∠ACB=30°，
∴∠A=60°，
第14页（共26页）
∴AB=
=
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角
函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．
18．（4.00 分）（2018•铜仁市）已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，
0），动点P 在反比例函数y=
的图象上运动，当线段PA 与线段PB 之差的绝对值
最大时，点P 的坐标为 （﹣
1 ，﹣
2 ）或（
2 ，
1 ）
．
【分析】由三角形三边关系知|PA
PB
﹣
|≥AB 知直线AB 与双曲线y=
的交点即为
所求点P，据此先求出直线AB 解析式，继而联立反比例函数解析式求得点P 的坐
标．
【解答】解：如图，
设直线AB 的解析式为y=kx+b，
将A（1，0）、B（0，﹣1）代入，得：
，
第15页（共26页）
解得：
，
∴直线AB 的解析式为y=x
1
﹣，
直线AB 与双曲线y=
的交点即为所求点P，此时|PA
PB
﹣
|=AB，即线段PA 与线段
PB 之差的绝对值取得最大值，
由
可得
或
，
∴点P 的坐标为（﹣1，﹣2）或（2，1），
故答案为：（﹣1，﹣2）或（2，1）．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据三角
形三边关系得出点P 的位置．
三、简答题：（本大题共4 个小题，第19 题每小题10 分，第20、21、22 题每小题10
分，共40 分，要有解题的主要过程）
19．（10.00 分）（2018•铜仁市）（1）计算：
﹣4cos60°﹣（π
3.14
﹣
）0﹣（
）﹣1
（2）先化简，再求值：（1﹣
）÷
，其中x=2．
【分析】（1）先计算立方根、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再
分别计算乘法和加减运算可得；
（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式=2
4
﹣×
1
2
﹣﹣
=2
2
1
2
﹣﹣﹣
=
3
﹣；
（2）原式=（
﹣
）÷
=
•
第16页（共26页）
=
，
当x=2 时，原式=
=2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值与实数的混合运算，解题的关键是掌握立
方根、零指数幂和负整数指数幂及分式混合运算顺序和运算法则．
20．
（10.00 分）
（2018•铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B 在同一条直线上，AD=BC，
AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；
【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE 和△BDF 中，
，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A=∠B，
∴AE∥BF；
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是SSS
证明△ACE≌△BDF．
21．（10.00 分）（2018•铜仁市）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具
体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类
A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计
图，请你根据统计图解答下列问题：
第17页（共26页）
（1）请计算出A 类男生和C 类女生的人数，并将条形统计图补充完整．
（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机机抽取一位同
学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好
是一男一女同学的概率．
【分析】（1）由B 类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数分别乘以A、C
类别对应百分比求得其人数，据此结合条形图进一步得出答案；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到所选两位同学恰好是一男一女同学
的结果数，利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为（7+5）÷60%=20 人，
∴A 类别人数为20×15%=3 人、C 类别人数为20×（1
15%
60%
10%
﹣
﹣
﹣
）=3，
则A 类男生人数为3
1=2
﹣
、C 类女生人数为3
1=2
﹣
，
补全图形如下：
（2）画树状图得：
第18页（共26页）
∵共有6 种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3
种情况，
∴所选两位同学恰好是一男一女同学的概率为
．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知
识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（10.00 分）（2018•铜仁市）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选
取C，D 两点，在点C 处测得A 的仰角为45°，距点C 的10 米D 处测得A 的仰角为
60°，且C、D、B 在同一水平直线上，求铁塔AB 的高度（结果精确到0.1 米，
≈1.732）
【分析】根据AB 和∠ADB、AB 和∠ACB 可以求得DB、CB 的长度，根据CD=CB
DB
﹣
可以求出AB 的长度，即可解题．
【解答】解：在Rt△ADB 中，DB=
=
AB，
Rt△ACB 中，CB=
=AB，
∵CD=CB
DB
﹣
，
∴AB=
≈23.7（米）
答：电视塔AB 的高度约23.7 米．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的应
用，本题中求DB、CB 的长度是解题的关键．
四、（本大题满分12 分）
23．（12.00 分）（2018•铜仁市）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且
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每买1 张办公桌必须买2 把椅子，椅子每把100 元，若学校购进20 张甲种办公桌
和15 张乙种办公桌共花费24000 元；购买10 张甲种办公桌比购买5 张乙种办公
桌多花费2000 元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40 张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌
数量的3 倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）设甲种办公桌每张x 元，乙种办公桌每张y 元，根据“甲种桌子总钱
数+乙种桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10 把甲种桌子钱数﹣5 把乙种桌子
钱数+多出5 张桌子对应椅子的钱数=2000”列方程组求解可得；
（2）设甲种办公桌购买a 张，则购买乙种办公桌（40
a
﹣）张，购买的总费用为y，根
据“总费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解
析式，再由“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3 倍”得出自变量a 的取
值范围，继而利用一次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x 元，乙种办公桌每张y 元，
根据题意，得：
，
解得：
，
答：甲种办公桌每张400 元，乙种办公桌每张600 元；
（2）设甲种办公桌购买a 张，则购买乙种办公桌（40
a
﹣）张，购买的总费用为y，
则y=400a+600（40
a
﹣）+2×40×100
=
200a
﹣
+32000，
∵a≤3（40
a
﹣），
∴a≤30，
∵﹣200＜0，
∴y 随a 的增大而减小，
∴当a=30 时，y 取得最小值，最小值为26000 元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，解
题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式，
特别注意不能忽略每张桌子配套的椅子所产生的费用．
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五、（本大题满分12 分）
24．
（12.00 分）
（2018•铜仁市）如图，在三角形ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以BC 为直
径作⊙O 交AB 于点D，交AC 于点G，直线DF 是⊙O 的切线，D 为切点，交CB 的延
长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E 的值．
【分析】（1）连接OC，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一
的性质得：D 为AB 的中点，所以OD 是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，
根据切线的性质可得结论；
（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG 的正切即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，CD，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD 是△ABC 的中位线
∴OD∥AC，
∵DF 为⊙O 的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：如图，连接BG，
∵BC 是⊙O 的直径，
第21页（共26页）
∴∠BGC=90°，
∵∠EFC=90°=∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG=∠E，
Rt△BDC 中，∵BD=3，BC=5，
∴CD=4，
S△ABC=
，
6×4=5BG，
BG=
，
由勾股定理得：CG=
=
，
∴tan∠CBG=tan∠E=
=
=
．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股
定理的应用；把所求角的正切进行转移是基本思路，利用面积法求BG 的长是解
决本题的难点．
六、（本大题满分14 分）
25．（14.00 分）（2018•铜仁市）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C
（0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标
为（m，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q，交直线于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
第22页（共26页）
（2）已知点F（0，），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是
平行四边形？
（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M 为顶点的三角
形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=
x
2
﹣，则Q（m，﹣
m2+
m+2）、M（m，m
2
﹣），由QM∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF，据
此列出关于m 的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ 得
=
=
，再证△MBQ∽△BPQ 得
=
，即
=
，解之即可得此时m
的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q 坐标．
【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣
4），
将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，
解得：a=﹣
，
则抛物线解析式为y=﹣
（x+1）（x
4
﹣）=﹣
x2+
x+2；
第23页（共26页）
（2）由题意知点D 坐标为（0，﹣2），
设直线BD 解析式为y=kx+b，
将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：
，
解得：
，
∴直线BD 解析式为y=
x
2
﹣，
∵QM⊥x 轴，P（m，0），
∴Q（m，﹣
m2+
m+2）、M（m，
m
2
﹣），
则QM=﹣
m2+
m+2﹣（
m
2
﹣）=﹣
m2+m+4，
∵F（0，
）、D（0，﹣2），
∴DF=
，
∵QM∥DF，
∴当﹣
m2+m+4=
时，四边形DMQF 是平行四边形，
解得：m=
1
﹣（舍）或m=3，
即m=3 时，四边形DMQF 是平行四边形；
（3）如图所示：
第24页（共26页）
∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，
则
=
=
=
，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴
=
，即
=
，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4 时，点P、Q、M 均与点B 重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q 的坐标为（3，2）；
②当∠BQM=90°时，此时点Q 与点A 重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=
1
﹣，点Q 的坐标为（﹣1，0）；
综上，点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M 为顶点的三角形与△BOD
相似．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函
第25页（共26页）
数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想
的运用．
第26页（共26页）
