文档文本内容
2018 年福建省中考数学试卷（A 卷）
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题3 分，共40 分）
1．（4.00 分）（2018•福建）在实数|
3
﹣|，﹣2，0，π 中，最小的数是（ ）
A．|
3
﹣|
B．﹣2 C．0D．π
2．（4.00 分）（2018•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱B．三棱柱C．长方体D．四棱锥
3．（4.00 分）（2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
4．（4.00 分）（2018•福建）一个n 边形的内角和为360°，则n 等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（4.00 分）（2018•福建）如图，等边三角形ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，点E 在线
段AD 上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（4.00 分）（2018•福建）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1
到6 的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
第1页（共28页）
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
7．（4.00 分）（2018•福建）已知m=
+
，则以下对m 的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
8．（4.00 分）（2018•福建）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”
问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托
“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳
索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方
程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4.00 分）（2018•福建）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B，AC 交
⊙O 于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
10．（4.00 分）（2018•福建）已知关于x 的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0 有
两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）
A．1 一定不是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根
B．0 一定不是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根
C．1 和﹣1 都是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根
D．1 和﹣1 不都是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根
第2页（共28页）
二、细心填一填（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分，请把答案填在答題卷
相应题号的横线上）
11．（4.00 分）（2018•福建）计算：（
）0
1=
﹣
．
12．（4.00 分）（2018•福建）某8 种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，
126，120，118，124，则这组数据的众数为 ．
13．（4.00 分）（2018•福建）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，D 是AB 的中点，
则CD= ．
14．（4.00 分）（2018•福建）不等式组
的解集为 ．
15．（4.00 分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方
式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个
锐角顶点B，C，D 在同一直线上．若AB=
，则CD= ．
16．（4.00 分）（2018•福建）如图，直线y=x+m 与双曲线y=
相交于A，B 两点，
BC∥x 轴，AC∥y 轴，则△ABC 面积的最小值为 ．
第3页（共28页）
三、专心解一解（本大题共9 小题，满分86 分，请认真读题，冷静思考解答题应写
出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的
位置）
17．（8.00 分）（2018•福建）解方程组：
．
18．（8.00 分）（2018•福建）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O
且与AD，BC 分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
19．（8.00 分）（2018•福建）先化简，再求值：（
﹣1）÷
，其中m=
+1．
20．（8.00 分）（2018•福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC 及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给
出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
21．（8.00 分）（2018•福建）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD
由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得
到，且直线EF 过点D．
（1）求∠BDF 的大小；
（2）求CG 的长．
第4页（共28页）
22．（10.00 分）（2018•福建）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日
工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70 元/日，每揽收一件提成2
元；
乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成
4 元；若当日搅件数超过
40，超过部分每件多提成2 元．
如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形
统计图：
（1）现从今年四月份的30 天中随机抽取1 天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数
超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件
数视为该公司各揽件员的
揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑
请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．
23．（10.00 分）（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙
第5页（共28页）
MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜
园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；
（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．
24．（12.00 分）（2018•福建）已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 是⊙O 的
直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE 交⊙O 于点F，延长DC，FB 交于点P，如图1．求证：PC=PB；
（2）过点B 作BC⊥AD，垂足为G，BG 交DE 于点H，且点O 和点A 都在DE 的左侧，
如图2．若AB=
，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE 的大小．
25．（14.00 分）（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c 过点A（0，2）．
（1）若点（﹣
，0）也在该抛物线上，求a，b 满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0 时，（x1
x
﹣2）（y1
y
﹣2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1
x
﹣2）（y1
y
﹣2）＜0．以原点O 为心，OA 为半
径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC 有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P 与点O 关于点A 对称，且O，M，N 三点共线，求证：PA 平分∠MPN．
第6页（共28页）
2018 年福建省中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题3 分，共40 分）
1．（4.00 分）（2018•福建）在实数|
3
﹣|，﹣2，0，π 中，最小的数是（ ）
A．|
3
﹣|
B．﹣2 C．0D．π
【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
【解答】解：在实数|
3
﹣|，﹣2，0，π 中，
|
3
﹣|=3，则﹣2＜0＜|
3
﹣|＜π，
故最小的数是：﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方
法是解题关键．
2．（4.00 分）（2018•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱B．三棱柱C．长方体D．四棱锥
【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意；
C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；
D、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三
第7页（共28页）
视图．
3．（4.00 分）（2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可
求解．
【解答】解：A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形
时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的
长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（4.00 分）（2018•福建）一个n 边形的内角和为360°，则n 等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】n 边形的内角和是（n
2
﹣）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到
一个关于边数的方程，解方程就可以求n．
【解答】解：根据n 边形的内角和公式，得：
（n
2
﹣）•180=360，
解得n=4．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出
方程是解题的关键．
5．（4.00 分）（2018•福建）如图，等边三角形ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，点E 在线
段AD 上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于（ ）
第8页（共28页）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出AD 是BC 的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【解答】解：∵等边三角形ABC 中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD 是BC 的垂直平分线，
∵点E 在AD 上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角
形的性质，求出∠ECB 是解本题的关键．
6．（4.00 分）（2018•福建）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1
到6 的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定
第9页（共28页）
不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
称为随机事件进行分析即可．
【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；
C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；
D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件定义．
7．（4.00 分）（2018•福建）已知m=
+
，则以下对m 的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【分析】直接化简二次根式，得出
的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵m=
+
=2+
，
1＜
＜2，
∴3＜m＜4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出
的取值范围是解题关键．
8．（4.00 分）（2018•福建）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”
问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托
“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳
索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方
程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，
却比竿子短一托”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为x 尺，竿子长为y 尺，
第10页（共28页）
根据题意得：
．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
9．（4.00 分）（2018•福建）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B，AC 交
⊙O 于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆
周角定理计算即可．
【解答】解：∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的
半径是解题的关键．
10．（4.00 分）（2018•福建）已知关于x 的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0 有
两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）
A．1 一定不是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根
B．0 一定不是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根
C．1 和﹣1 都是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根
第11页（共28页）
D．1 和﹣1 不都是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1 或b=﹣（a+1），当b=a+1 时，
﹣1 是方程x2+bx+a=0 的根；当b=﹣（a+1）时，1 是方程x2+bx+a=0 的根．再结合
a+1≠﹣（a+1），可得出1 和﹣1 不都是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根，
∴
，
∴b=a+1 或b=﹣（a+1）．
当b=a+1 时，有a
b
﹣+1=0，此时﹣1 是方程x2+bx+a=0 的根；
当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1 是方程x2+bx+a=0 的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1 和﹣1 不都是关于x 的方程x2+bx+a=0 的根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0 时，方程
有两个相等的实数根”是解题的关键．
二、细心填一填（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分，请把答案填在答題卷
相应题号的横线上）
11．（4.00 分）（2018•福建）计算：（
）0
1=
﹣
0
．
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）进行计算即可．
【解答】解：原式=1
1=0
﹣
，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了零指数幂，关键是掌握a0=1（a≠0）．
12．（4.00 分）（2018•福建）某8 种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，
126，120，118，124，则这组数据的众数为
120
．
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数．
【解答】解：∵这组数据中120 出现次数最多，有3 次，
第12页（共28页）
∴这组数据的众数为120，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数
最多的数据．
13．（4.00 分）（2018•福建）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，D 是AB 的中点，
则CD=
3
．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，
∴CD=
AB=
×6=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质
是解题的关键．
14．（4.00 分）（2018•福建）不等式组
的解集为
x ＞
2
．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的
第13页（共28页）
解集是解此题的关键．
15．（4.00 分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方
式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个
锐角顶点B，C，D 在同一直线上．若AB=
，则CD=
﹣
1
．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出
DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A 作AF⊥BC 于F，
在Rt△ABC 中，∠B=45°，
∴BC=
AB=2，BF=AF=
AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF 中，根据勾股定理得，DF=
=
∴CD=BF+DF
BC=1
﹣
+
2=
﹣
1
﹣，
故答案为：
﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解
本题的关键．
16．（4.00 分）（2018•福建）如图，直线y=x+m 与双曲线y=
相交于A，B 两点，
BC∥x 轴，AC∥y 轴，则△ABC 面积的最小值为
6
．
第14页（共28页）
【分析】根据双曲线y=
过A，B 两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）．将
y=x+m 代入y=
，整理得x2+mx
3=0
﹣
，由于直线y=x+m 与双曲线y=
相交于A，B
两点，所以a、b 是方程x2+mx
3=0
﹣
的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=﹣
m，ab=
3
﹣，那么（a
b
﹣）2=（a+b）2
4ab=m
﹣
2+12．再根据三角形的面积公式得出
S△ABC=
AC•BC=
m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0 时，△ABC 的面积有
最小值6．
【解答】解：设A（a，
），B（b，
），则C（a，
）．
将y=x+m 代入y=
，得x+m=
，
整理，得x2+mx
3=0
﹣
，
则a+b=
m
﹣
，ab=
3
﹣，
∴（a
b
﹣）2=（a+b）2
4ab=m
﹣
2+12．
∵S△ABC=
AC•BC
=
（
﹣
）（a
b
﹣）
=
•
•（a
b
﹣）
=
（a
b
﹣）2
=
（m2+12）
第15页（共28页）
=
m2+6，
∴当m=0 时，△ABC 的面积有最小值6．
故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函
数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交
点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征，根与系数的
关系，三角形的面积，二次函数的性质．
三、专心解一解（本大题共9 小题，满分86 分，请认真读题，冷静思考解答题应写
出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的
位置）
17．（8.00 分）（2018•福建）解方程组：
．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：
，
②﹣①得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3 代入①得：y=
2
﹣，
则方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
18．（8.00 分）（2018•福建）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O
且与AD，BC 分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得
第16页（共28页）
△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE 和△OCF 中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度
适中，注意掌握数形结合思想的应用．
19．（8.00 分）（2018•福建）先化简，再求值：（
﹣1）÷
，其中m=
+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m 的值代入即可
解答本题．
【解答】解：（
﹣1）÷
=
=
=
，
当m=
+1 时，原式=
．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8.00 分）（2018•福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC 及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给
出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
第17页（共28页）
【分析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；
（2）依据D 是AB 的中点，D'是A'B'的中点，即可得到
=
，根据
△ABC∽△A'B'C' ，即可得到
=
，∠A'=∠A ，进而得出
△A'C'D'∽△ACD，可得
=
=k．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；
（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，
=
=
=k，D 是AB 的中点，
D'是A'B'的中点，
求证：
=k．
证明：∵D 是AB 的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD=
AB，A'D'=
A'B'，
∴
=
=
，
∵△ABC∽△A'B'C'，
第18页（共28页）
∴
=
，∠A'=∠A，
∵
=
，∠A'=∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴
=
=k．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相
似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述
性命题的证明格式．
21．（8.00 分）（2018•福建）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD
由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得
到，且直线EF 过点D．
（1）求∠BDF 的大小；
（2）求CG 的长．
【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出
结论；
（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可
得出结论．
【解答】解：（1）∵线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB=10，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG 是△ABC 沿CB 方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
第19页（共28页）
（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴
，
∵AB=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5，
由平移的性质得，CG=AE=12.5．
【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判
定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB 是解
本题的关键．
22．（10.00 分）（2018•福建）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日
工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70 元/日，每揽收一件提成2
元；
乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成
4 元；若当日搅件数超过
40，超过部分每件多提成2 元．
如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形
统计图：
第20页（共28页）
（1）现从今年四月份的30 天中随机抽取1 天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数
超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件
数视为该公司各揽件员的
揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑
请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．
【分析】（1）根据概率公式计算可得；
（2）分别根据平均数的定义及其意义解答可得．
【解答】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40 的有4 天，
所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为
=
；
（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为
=39
件；
②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2=148 元，
乙
公
司
揽
件
员
的
日
平
均
工
资
为
=[40+
]×4+
×6
=159.4 元，
第21页（共28页）
因为159.4＞148，
所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数
之比及平均数的定义及其意义．
23．（10.00 分）（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙
MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜
园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；
（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．
【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100
2x
﹣
）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣
2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100
2x
﹣
后与20 进行大小比较即可得
到AD 的长；
（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=
x（100
x
﹣），配方得到S=﹣（x
50
﹣
）
2+1250，讨论：当a≥50 时，根据二次函数的性质得S 的最大值为1250；当0＜a＜
50 时，则当0＜x≤a 时，根据二次函数的性质得S 的最大值为50a﹣
a2．
【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=（100
2x
﹣
）m，
根据题意得x（100
2x
﹣
）=450，解得x1=5，x2=45，
当x=5 时，100
2x=90
﹣
＞20，不合题意舍去；
当x=45 时，100
2x=10
﹣
，
答：AD 的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=
x（100
x
﹣）=﹣
（x
50
﹣
）2+1250，
第22页（共28页）
当a≥50 时，则x=50 时，S 的最大值为1250；
当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a 时，S 随x 的增大而增大，当x=a 时，S 的最大值为
50a﹣
a2，
综上所述，当a≥50 时，S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，S 的最大值为50a﹣
a2．
【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题
有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．
24．（12.00 分）（2018•福建）已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 是⊙O 的
直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE 交⊙O 于点F，延长DC，FB 交于点P，如图1．求证：PC=PB；
（2）过点B 作BC⊥AD，垂足为G，BG 交DE 于点H，且点O 和点A 都在DE 的左侧，
如图2．若AB=
，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE 的大小．
【分析】（1）先判断出BC∥DF，再利用同角的补角相等判断出∠F=∠PCB，即可得
出结论；
（2）先判断出四边形DHBC 是平行四边形，得出BC=DH=1，再用锐角三角函数求出
∠ACB=60°，进而判断出DH=OD，求出∠ODH=20°，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
第23页（共28页）
∴∠DEA=∠ABC，
∴BC∥DF，
∴∠F=∠PBC，
∵四边形BCDF 是圆内接四边形，
∴∠F+∠DCB=180°，
∵∠PCB+∠DCB=180°，
∴∠F=∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB；
（2）如图2，连接OD，∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，
∴四边形DHBC 是平行四边形，
∴BC=DH=1，
在Rt△ABC 中，AB=
，tan∠ACB=
，
∴∠ACB=60°，
∴BC=
AC=OD，
∴DH=OD，
在等腰三角形DOH 中，∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°，
设DE 交AC 于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH=∠ACB=60°，
∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，
第24页（共28页）
∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，
∵OA=OD，∴∠OAD=
∠DOC=20°，
∴∠CBD=∠OAD=20°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE=∠CBD=20°．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，
平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的
判定和性质，还考查了学生的运算能力，推理能力，空间观念与几何直观，判断出
DH=OD 是解本题的关键．
25．（14.00 分）（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c 过点A（0，2）．
（1）若点（﹣
，0）也在该抛物线上，求a，b 满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0 时，（x1
x
﹣2）（y1
y
﹣2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1
x
﹣2）（y1
y
﹣2）＜0．以原点O 为心，OA 为半
径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC 有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P 与点O 关于点A 对称，且O，M，N 三点共线，求证：PA 平分∠MPN．
【分析】（1）由抛物线经过点A 可求出c=2，再代入（﹣
，0）即可找出2a﹣
b+2=0（a≠0）；
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向下，进而可得
出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC 为等腰三角形，结合其有一个60°的内角
可得出△ABC 为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D，根据等边三角形的性质
可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；
第25页（共28页）
②由①的结论可得出点M 的坐标为（x1，﹣
+2）、点N 的坐标为（x2，﹣
+2），由O、M、N 三点共线可得出x2=﹣
，进而可得出点N 及点N′的坐标，由点
A、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点
的坐标特征可得出点N′在直线PM 上，进而即可证出PA 平分∠MPN．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c 过点A（0，2），
∴c=2．
又∵点（﹣
，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣
）2+b（﹣
）+c=0，
∴2a﹣
b+2=0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0 时，（x1
x
﹣2）（y1
y
﹣2）＞0，
∴x1
x
﹣2＜0，y1
y
﹣2＜0，
∴当x＜0 时，y 随x 的增大而增大；
同理：当x＞0 时，y 随x 的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向下，
∴b=0．
∵OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC 为等腰三角形，
又∵△ABC 有一个内角为60°，
∴△ABC 为等边三角形．
设线段BC 与y 轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，
又∵OB=OC=OA=2，
∴CD=OC•cos30°=
，OD=OC•sin30°=1．
不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为（
，﹣1）．
∵点C 在抛物线上，且c=2，b=0，
∴3a+2=
1
﹣，
∴a=
1
﹣，
∴抛物线的解析式为y=
x
﹣2+2．
第26页（共28页）
②证明：由①可知，点M 的坐标为（x1，﹣
+2），点N 的坐标为（x2，﹣
+2）．
直线OM 的解析式为y=k1x（k1≠0）．
∵O、M、N 三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且
=
，
∴﹣x1+
=
x
﹣2+
，
∴x1
x
﹣2=﹣
，
∴x1x2=
2
﹣，即x2=﹣
，
∴点N 的坐标为（﹣
，﹣
+2）．
设点N 关于y 轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（
，﹣
+2）．
∵点P 是点O 关于点A 的对称点，
∴OP=2OA=4，
∴点P 的坐标为（0，4）．
设直线PM 的解析式为y=k2x+4，
∵点M 的坐标为（x，﹣
+2），
∴﹣
+2=k2x1+4，
∴k2=﹣
，
∴直线PM 的解析式为y=﹣
+4．
第27页（共28页）
∵﹣
•
+4=
=﹣
+2，
∴点N′在直线PM 上，
∴PA 平分∠MPN．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边
三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利
用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形
的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点N′在直线
PM 上．
第28页（共28页）
