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让更多的孩子得到更好的教育
实数全章复习与巩固（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些
数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一
一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂：389318 实数复习，知识要点】
要点一：平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
a
3 a
性质
一个正数有两个平方根，且互为
相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
3
3
3
3
)
(
a
a
a
a
a
a
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按与0 的大小关系分：
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实数
要点诠释：
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有
限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如
，
等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形
式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数
的绝对值是非负数，即|
|≥0；
（2）任何一个实数
的平方是非负数，即
2
a ≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即
0
a
(
0
a
).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数
的相反数是－
；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反
数；0 的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、
开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
大；
法则2．正数大于0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
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1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或
负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1 或
0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1 或0 ，其中错误的有（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【答案】B；
【解析】①负数有立方根；②0 的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.
【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.
举一反三：
【变式】下列运算正确的是（ ）
A．
4
2
B．
2
3
5
C．3
8
2
D．
| 2 |
2
【答案】C；
2、若102.01
10.1
，则± 1.0201 ＝
若
7160
.0
3670
.0
3
，
542
.1
670
.3
3
，则
___
__________
367
3
【答案】±1.01；7.16；
【解析】102.01 的小数点向左移动2 位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1 位，变成
1.01，注意符号；0.3670 的小数点向右移动3 位变成367，它的立方根的小数点向右
移动1 位，变成7.16
【总结升华】一个数的小数点向左移动2 位，它的平方根的小数点向左移动1 位；一个数的小
数点向右移动3 位，它的立方根的小数点向右移动1 位.
类型二、与实数有关的问题
3、把下列各数填入相应的集合：
－1、3 、π、－3.14、9 、
2
6
、
2
2
、
7.0 ．
（1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；
（4）负实数集合｛ ｝．
【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.
【答案与解析】
（1）有理数集合｛－1、－3.14、9 、
7.0 ｝；
（2）无理数集合｛ 3 、π、
2
6
、
2
2
｝；
（3）正实数集合｛ 3 、π、9 、
2
6
、
7.0 ｝；
（4）负实数集合｛ －1、－3.14、
2
2
｝．
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【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理
数形式.
举一反三：
【变式】（2015•绥化）在实数0、π、
、
、﹣
中，无理数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B；
4、计算（1）
2
3
3
)
3
2
(
1000
216
（2）
2
3
)
4
5
1(
1
27
26
（3）
3
2
)1
3
1
)(
9
5
1(
)
3
1
(
【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.
【答案与解析】
解：（1）
2
3
3
)
3
2
(
1000
216
＝
2
2
6 10
16
3
3
（2）
2
3
)
4
5
1(
1
27
26
＝
2
3
1
1
1
1
1
27
4
3
4
12
（3）
3
2
)1
3
1
)(
9
5
1(
)
3
1
(
＝
3
3
1
4
2
1
8
1
2
1
3
9
3
3
27
3
3
3
.
【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法
去求一个数的立方根、平方根.
举一反三：
【变式】计算(1)
3
3
3
000216
.0
008
.0
1
27
26
(2)
2
2
3
3
2
3
)
3
(
)
2
1
(
)
4
(
)
4
(
2
【答案】
解：(1)
3
3
3
000216
.0
008
.0
1
27
26
3
1
0.2
0.06
27
29
150
(2)
2
2
3
3
2
3
)
3
(
)
2
1
(
)
4
(
)
4
(
2
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1
8 4
4
3
4
32 1 3
36
.
5、（2015•资阳）已知：（a+6）2+
=0，则2b2
4b
a
﹣
﹣的值为 ．
【答案】12．
【解析】
解：∵（a+6）2+
=0，
a+6=0
∴
，b2
2b
3=0
﹣
﹣
，
解得，a=
6
﹣，b2
2b=3
﹣
，
可得2b2
4b=6
﹣
，
则2b2
4b
a=6
﹣
﹣
﹣（﹣6）=12，
故答案为：12．
【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、
二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0 时，必须满足其中的每一项都等于0．
举一反三：
【变式1】实数
、
在数轴上所对应的点的位置如图所示：
化简
2
a ＋∣
－
∣＝ .
【答案】
解：∵
＜0＜
,
∴
－
＜0
∴
2
a ＋∣
－
∣＝－
－(
－
)＝
－2
.
【高清课堂：389318 实数复习，例5】
【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则
2
,
1
,
,
a
a
a
a
的大小关系是： ；
0
-1
a
【答案】
2
1
a
a
a
a
；
类型三、实数综合应用
6、现有一面积为150 平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6 米，
那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4 个有效数字）？
【答案与解析】
解：因为原正方形鱼池的面积为150 平方米，根据面积公式，
它的边长为150
12.247
（米）．
由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，
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所以扩建后鱼池的面积为
≈333.0（平方米）．
答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．
【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150 平方米，由
此可得原鱼池的边长，再加上增加的6 米，故新鱼池面积可求．
举一反三：
【变式】一个底为正方形的水池的容积是486
，池深1.5
，求这个水池的底边长．
【答案】
解：设水池的底边长为
，由题意得
2 1.5
486
x
2
324
x
18
x
答：这个水池的底边长为18
.
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