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2018 年黑龙江伊春市中考数学试卷（农垦、森工用）
一、填空题（每题3 分，满分30 分）
1．（3 分）2018 年1 月18 日，国家统计局对外公布，我国经济总量首次站上80 万
亿的历史新台阶，将80 万亿用科学记数法表示 亿元．
2．（3 分）在函数y=
中，自变量x 的取值范围是 ．
3．（3 分）如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件 ，使平行四边形
ABCD 是矩形．
4．（3 分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5 个红球、3 个白球、2
个绿球，任意摸出一球，摸到白球的概率是 ．
5．（3 分）不等式组
有3 个整数解，则a 的取值范围是 ．
6．（3 分）如图，AC 为⊙O 的直径，点B 在圆上，OD⊥AC 交⊙O 于点D，连接BD，
∠BDO=15°，则∠ACB= ．
7．（3 分）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆
锥的高为 ．
8．（3 分）如图，已知正方形ABCD 的边长是4，点E 是AB 边上一动点，连接CE，过
点B 作BG⊥CE 于点G，点P 是AB 边上另一动点，则PD+PG 的最小值为 ．
第1页（共35页）
9．
（3 分）Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个
三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
10．（3 分）如图，已知等边△ABC 的边长是2，以BC 边上的高AB1为边作等边三角
形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三
角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边
三角形，得到第三个等边△AB3C3；……．记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，
△B3C2B4面积为S3，则Sn= ．
二、选择题（每题3 分，满分30 分）
11．（3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a12÷a3=a4
B．（3a2）3=9a6
C．（a
b
﹣）2=a2
ab
﹣
+b2 D．2a•3a=6a2
12．（3 分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
第2页（共35页）
13．（3 分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，
则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
14．（3 分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94 分、98 分、
90 分、94 分、74 分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91 B．中位数是90 C．众数是94
D．极差是20
15．（3 分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，
计划安排15 场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4B．5C．6D．7
16．（3 分）已知关于x 的分式方程
=1 的解是负数，则m 的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≤3 且m≠2
C．m＜3D．m＜3 且m≠2
17．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC 绕A 逆时针方向旋转
40°得到△ADE，点B 经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（ ）
A．
π
6
﹣
B．
π C．
π
3
﹣
D．
+π
18．（3 分）如图，∠AOB=90°，且OA、OB 分别与反比例函数y= （x＞0）、y=﹣（x
＜0）的图象交于A、B 两点，则tan∠OAB 的值是（ ）
第3页（共35页）
A．
B．
C．1D．
19．（3 分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200 元购买篮球
和排球，其中篮球每个120 元，排球每个90 元，在购买资金恰好用尽的情况下，
购买方案有（ ）
A．4 种B．3 种C．2 种D．1 种
20．（3 分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，AE 平分∠BAD，
分别交BC、BD 于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=
BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=
③S 平行四边形ABCD=AB•AC ④OE=
AD ⑤S△APO=
，正确的个
数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
三、解答题（满分60 分）
21．（5 分）先化简，再求值：（a﹣
）÷
，其中a=
，b=1．
22．（6 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平
面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1．
（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求点A 所经过的路径长（结果保留π）．
第4页（共35页）
23．（6 分）如图，抛物线y=x2+bx+c 与y 轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=
2
﹣，
平行于x 轴的直线与抛物线交于B、C 两点，点B 在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P 在x 轴上，直线CP 将△ABC 面积分成2：3 两部分，请直接写出P 点坐标．
24．（7 分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“经典雅韵”诵读比赛活动，
现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制如下两个不完整的统计图，请结合
图中提供的信息，解答下列各题：
（1）直接写出a 的值，a= ，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B 的圆心角度数．
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（3）如果全校有2000 名学生参加这次活动，90 分以上（含90 分）为优秀，那么估
计获得优秀奖的学生有多少人？．
25．（8 分）某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这
项任务共用了9 天，乙车间在加工2 天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到
与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲
车间加工时间x（天），y 与x 之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲
车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）
所示．
（1）甲车间每天加工零件为 件，图中d 值为 ．
（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y 与x 之间的函数关系式．
（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000 件？
26．（8 分）如图，在Rt△BCD 中，∠CBD=90°，BC=BD，点A 在CB 的延长线上，且
BA=BC，点E 在直线BD 上移动，过点E 作射线EF⊥EA，交CD 所在直线于点F．
（1）当点E 在线段BD 上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；
（2）当点E 在直线BD 上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE 与EF 又有怎样的
数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
27．
（10 分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B 两城决定向C、D 两乡运送肥料
以支持农村生产，已知A、B 两城共有肥料500 吨，其中A 城肥料比B 城少100 吨，
第6页（共35页）
从A 城往C、D 两乡运肥料的费用分别为20 元/吨和25 元/吨；从B 城往C、D 两乡
运肥料的费用分别为15 元/吨和24 元/吨．现C 乡需要肥料240 吨，D 乡需要肥料
260 吨．
（1）A 城和B 城各有多少吨肥料？
（2）设从A 城运往C 乡肥料x 吨，总运费为y 元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A 城运往C 乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调
运才能使总运费最少？
28．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标
（﹣3，0），点C 在y 轴正半轴上，且sin∠CBO=
，点P 从原点O 出发，以每秒一个
单位长度的速度沿x 轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P 作平行于y
轴的直线l，直线l 扫过四边形OCDA 的面积为S．
（1）求点D 坐标．
（2）求S 关于t 的函数关系式．
（3）在直线l 移动过程中，l 上是否存在一点Q，使以B、C、Q 为顶点的三角形是等
腰直角三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2018 年黑龙江伊春市中考数学试卷（农垦、森工用）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3 分，满分30 分）
1．（3 分）2018 年1 月18 日，国家统计局对外公布，我国经济总量首次站上80 万
亿的历史新台阶，将80 万亿用科学记数法表示
8 ×
10
5
亿元．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负
数．
【解答】解：将80 万亿用科学记数法表示为：8×105亿．
故答案为：8×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
2．（3 分）在函数y=
中，自变量x 的取值范围是
x ≥
0 且
x ≠
1
．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于
0，可以求出x 的范围．
【解答】解：根据题意得：x≥0 且x
1
﹣≠0，
解得：x≥0 且x≠1．
故答案为：x≥0 且x≠1．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3 分）如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件
AC=BD
或
∠
ABC=90°
，
使平行四边形ABCD 是矩形．
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【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题；
【解答】解：若使▱ABCD 变为矩形，可添加的条件是：
AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC=90°等（有一个角是直角的平
行四边形是矩形），
故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD 或∠ABC=90°．
故答案为AC=BD 或∠ABC=90°
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊
的平行四边形是解题关键．
4．（3 分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5 个红球、3 个白球、2
个绿球，任意摸出一球，摸到白球的概率是
．
【分析】根据随机事件A 的概率P（A）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现
的结果数，用白球的个数除以总个数，求出恰好摸到白球的概率是多少即可．
【解答】解：∵袋子中共有10 个球，其中白球有3 个，
∴任意摸出一球，摸到白球的概率是
，
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
随机事件A 的概率P（A）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5．（3 分）不等式组
有3 个整数解，则a 的取值范围是 ﹣
2 ≤
a ＜
﹣
1
．
【分析】先解x 的不等式组，然后根据整数解的个数确定a 的取值范围．
【解答】解：解不等式x
a
﹣＞0，得：x＞a，
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解不等式1
x
﹣＞2x
5
﹣，得：x＜2，
∵不等式组有3 个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，
则﹣2≤a＜﹣1，
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解确
定关于a 的不等式组．
6．（3 分）如图，AC 为⊙O 的直径，点B 在圆上，OD⊥AC 交⊙O 于点D，连接BD，
∠BDO=15°，则∠ACB=
60°
．
【分析】连接DC，得出∠BDC 的度数，进而得出∠A 的度数，利用互余解答即可．
【解答】解：连接DC，
∵AC 为⊙O 的直径，OD⊥AC，
∴∠DOC=90°，∠ABC=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=45°，
∵∠BDO=15°，
∴∠BDC=30°，
∴∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
故答案为：60°．
第10页（共35页）
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据直径和垂直得出∠BDC 的度数．
7．（3 分）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆
锥的高为
．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形
的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=
，然后求出r 后利用勾
股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=
，解得r=1，
所以此圆锥的高=
=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等
于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（3 分）如图，已知正方形ABCD 的边长是4，点E 是AB 边上一动点，连接CE，过
点B 作BG⊥CE 于点G，点P 是AB 边上另一动点，则PD+PG 的最小值为
2
．
【分析】作DC 关于AB 的对称点D′C′，以BC 中的O 为圆心作半圆O，连D′O 分别交
AB 及半圆O 于P、G．将PD+PG 转化为D′G 找到最小值．
【解答】解：如图：
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取点D 关于直线AB 的对称点D′．以BC 中点O 为圆心，OB 为半径画半圆．
连接OD′交AB 于点P，交半圆O 于点G，连BG．连CG 并延长交AB 于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC 于G．
PD+PG=PD′+PG=D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG 最小．
∵D′C=4，OC′=6
∴D′O=
∴D′G=2
∴PD+PG 的最小值为2
故答案为：2
【点评】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点
之间的线段和最短．
9．
（3 分）Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个
三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是
3.6
或
4.32
或
4.8
．
【分析】在Rt△ABC 中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的
剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=
=5，S△ABC=
AB•BC=6．
沿过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有
三种情况：
第12页（共35页）
①当AB=AP=3 时，如图1 所示，
S 等腰△ABP=
S△ABC=
×6=3.6；
②当AB=BP=3，且P 在AC 上时，如图2 所示，
作△ABC 的高BD，则BD=
=
=2.4，
∴AD=DP=
=1.8，
∴AP=2AD=3.6，
∴S 等腰△ABP=
S△ABC=
×6=4.32；
④当CB=CP=4 时，如图3 所示，
S 等腰△BCP=
S△ABC=
×6=4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6 或4.32 或4.8．
故答案为3.6 或4.32 或4.8．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可
能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
10．（3 分）如图，已知等边△ABC 的边长是2，以BC 边上的高AB1为边作等边三角
形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三
角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边
三角形，得到第三个等边△AB3C3；……．记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，
第13页（共35页）
△B3C2B4面积为S3，则Sn=
•（
）
n
1
﹣
．
【分析】先计算出S1=
，再根据阴影三角形都相似，后面的三角形面积是前面面
积的
．
【解答】解：∵等边三角形ABC 的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=B1C=1，∠ACB=60°，
∴B1B2=
B1C=
，B2C=
，
∴S1=
×
×
=
依题意得，图中阴影部分的三角形都是相似图形，且相似比为
，
故Sn=
•（
）n
1
﹣．
故答案为：
•（
）n
1
﹣．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的
性质是解本题的关键．
二、选择题（每题3 分，满分30 分）
11．（3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a12÷a3=a4
B．（3a2）3=9a6
第14页（共35页）
C．（a
b
﹣）2=a2
ab
﹣
+b2 D．2a•3a=6a2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a9，不符合题意；
B、原式=27a6，不符合题意；
C、原式=a2
2ab
﹣
+b2，不符合题意；
D、原式=6a2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3 分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180 度后两部分重合．
13．（3 分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，
则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
第15页（共35页）
【分析】左视图底面有2 个小正方体，主视图与左视图相同，则可以判断出该几何
体底面最少有2 个小正方体，最多有4 个．根据这个思路可判断出该几何体有多
少个小立方块．
【解答】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2 个，最多有4 个小正方
体．而第二层则只有1 个小正方体．
则这个几何体的小立方块可能有3 或4 或5 个．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，难度不大，主要考查了考生的空间想象
能力以及三视图的相关知识．
14．（3 分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94 分、98 分、
90 分、94 分、74 分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91 B．中位数是90 C．众数是94
D．极差是20
【分析】直接利用平均数、中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、平均分为：（94+98+90+94+74）=90（分），故此选项错误；
B、五名同学成绩按大小顺序排序为：74，90，94，94，98，
故中位数是94 分，故此选项错误；
C、94 分、98 分、90 分、94 分、74 分中，众数是94 分．故此选项正确；
D、极差是98
74=24
﹣
，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平均数、中位数、众数以及极差的定义，正确把握相关定
义是解题关键．
15．（3 分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，
计划安排15 场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设共有x 个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x
1
﹣）场球，第二个
球队和其他球队打（x
2
﹣）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x
1
﹣）场球，然后
根据计划安排15 场比赛即可列出方程求解．
第16页（共35页）
【解答】解：设共有x 个班级参赛，根据题意得：
=15，
解得：x1=6，x2=
5
﹣（不合题意，舍去），
则共有6 个班级参赛．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系
准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
16．（3 分）已知关于x 的分式方程
=1 的解是负数，则m 的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≤3 且m≠2
C．m＜3D．m＜3 且m≠2
【分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠﹣1 求出答案．
【解答】解：
=1
解得：x=m
3
﹣，
∵关于x 的分式方程
=1 的解是负数，
∴m
3
﹣＜0，
解得：m＜3，
当x=m
3=
1
﹣
﹣时，方程无解，
则m≠2，
故m 的取值范围是：m＜3 且m≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键．
17．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC 绕A 逆时针方向旋转
40°得到△ADE，点B 经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（ ）
第17页（共35页）
A．
π
6
﹣
B．
π C．
π
3
﹣
D．
+π
【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4 和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋
转的性质得到△AED 的面积=△ABC 的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面
积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴△ABC 为直角三角形，
由题意得，△AED 的面积=△ABC 的面积，
由图形可知，阴影部分的面积=△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，
∴阴影部分的面积=扇形ADB 的面积=
=
π，
故选：B．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图
形得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积是解题的关键．
18．（3 分）如图，∠AOB=90°，且OA、OB 分别与反比例函数y= （x＞0）、y=﹣（x
＜0）的图象交于A、B 两点，则tan∠OAB 的值是（ ）
第18页（共35页）
A．
B．
C．1D．
【分析】首先过点A 作AC⊥x 轴于C ，过点B 作BD⊥x 轴于D ，易得
△OBD∽△AOC，又由点A 在反比例函数y=
的图象上，点B 在反比例函数y=﹣
的图象上，即可得S△AOC=2，S△OBD=
，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的
平方，即可得
=
，然后由正切函数的定义求得答案．
【解答】解：过点A 作AC⊥x 轴于C，过点B 作BD⊥x 轴于D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OBD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴
=（
）2，
∵点A 在反比例函数y=
的图象上，点B 在反比例函数y=﹣
的图象上，
∴S△OBD=
，S△AOC=2，
∴
=
，
∴tan∠OAB=
=
．
第19页（共35页）
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角
形的性质．注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
19．（3 分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200 元购买篮球
和排球，其中篮球每个120 元，排球每个90 元，在购买资金恰好用尽的情况下，
购买方案有（ ）
A．4 种B．3 种C．2 种D．1 种
【分析】设购买篮球x 个，排球y 个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数
=1200”列出关于x、y 的方程，由x、y 均为正整数即可得．
【解答】解：设购买篮球x 个，排球y 个，
根据题意可得120x+90y=1200，
则y=
，
∵x、y 均为正整数，
∴x=1、y=12；x=4、y=8；x=7、y=4；
所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3 种，
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关
系列出方程．
20．（3 分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，AE 平分∠BAD，
分别交BC、BD 于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=
BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=
③S 平行四边形ABCD=AB•AC ④OE=
AD ⑤S△APO=
，正确的个
第20页（共35页）
数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是
60 度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE 是等边三角形，由外角的性质和等腰
三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=
AB=
，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=
=
和OD 的长，可得BD 的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=
OE•OC=
，
=
，代入可得结论．
【解答】解：①∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE 是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
第21页（共35页）
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=
AB=
，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC 中，OC=
=
，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD 中，OD=
=
，
∴BD=2OD=
，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB•AC
▱
，
故③正确；
④由②知：OE 是△ABC 的中位线，
∴OE=
AB，
∵AB=
BC，
∴OE=
BC=
AD，
故④正确；
第22页（共35页）
⑤∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC=
，
∴S△AOE=S△EOC=
OE•OC=
=
，
∵OE∥AB，
∴
，
∴
=
，
∴S△AOP=
=
=
；
故⑤正确；
本题正确的有：①②③④⑤，5 个，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30 度角
的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证
明△ABE 是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
三、解答题（满分60 分）
21．（5 分）先化简，再求值：（a﹣
）÷
，其中a=
，b=1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b 的值代入化
简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（a﹣
）÷
=
=
=a
b
﹣，
当a=
，b=1 时，原式=
=﹣
．
第23页（共35页）
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（6 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平
面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1．
（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求点A 所经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）直接利用关于x 轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用弧长公式计算得出答案．
【解答】解：（1）如图：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图：△A2B2C2，即为所求；
（3）r=
=
，
A 经过的路径长：
×2×π×
=
π．
第24页（共35页）
【点评】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换和弧长公式应用，正确得出对
应点位置是解题关键．
23．（6 分）如图，抛物线y=x2+bx+c 与y 轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=
2
﹣，
平行于x 轴的直线与抛物线交于B、C 两点，点B 在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P 在x 轴上，直线CP 将△ABC 面积分成2：3 两部分，请直接写出P 点坐标．
【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A 点坐标确定出b 与c 的值，即可求出抛物
线解析式；
（2）由抛物线的对称轴及BC 的长，确定出B 与C 的横坐标，代入抛物线解析式求
出纵坐标，确定出B 与C 坐标，利用待定系数法求出直线AB 解析式，作出直线
CP，与AB 交于点Q，过Q 作QH⊥y 轴，与y 轴交于点H，BC 与y 轴交于点M，由已
知面积之比求出QH 的长，确定出Q 横坐标，代入直线AB 解析式求出纵坐标，确
定出Q 坐标，再利用待定系数法求出直线CQ 解析式，即可确定出P 的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：x=﹣
=﹣
=
2
﹣，c=2，
第25页（共35页）
解得：b=4，c=2，
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x=
2
﹣，BC=6，
∴B 横坐标为﹣5，C 横坐标为1，
把x=1 代入抛物线解析式得：y=7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB 解析式为y=kx+2，
把B 坐标代入得：k=
1
﹣，即y=
x
﹣+2，
作出直线CP，与AB 交于点Q，过Q 作QH⊥y 轴，与y 轴交于点H，BC 与y 轴交于
点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴
=
，
∵点P 在x 轴上，直线CP 将△ABC 面积分成2：3 两部分，
∴AQ：QB=2：3 或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5 或AQ：QB=3：5，
∵BM=5，
∴QH=2 或QH=3，
当QH=2 时，把x=
2
﹣代入直线AB 解析式得：y=4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ 解析式为y=x+6，令y=0，得到x=
6
﹣，即P（﹣6，0）；
当QH=3 时，把x=
3
﹣代入直线AB 解析式得：y=5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ 解析式为y=
x+
，令y=0，得到x=
13
﹣
，此时P（﹣13，
0），
综上，P 的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
第26页（共35页）
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数
图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．（7 分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“经典雅韵”诵读比赛活动，
现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制如下两个不完整的统计图，请结合
图中提供的信息，解答下列各题：
（1）直接写出a 的值，a=
30
，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B 的圆心角度数．
（3）如果全校有2000 名学生参加这次活动，90 分以上（含90 分）为优秀，那么估
计获得优秀奖的学生有多少人？．
【分析】（1）先根据E 等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用D 等级人
数除以总人数可得a 的值，用总人数减去其他各等级人数求得C 等级人数可补全
图形；
（2）用360°乘以A 等级人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中E 等级人数所占比例．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为10÷
=50（人），
∴D 等级人数所占百分比a%=
×100%=30%，即a=30，
C 等级人数为50﹣（5+7+15+10）=13 人，
补全图形如下：
第27页（共35页）
故答案为：30；
（2）扇形B 的圆心角度数为360°×
=50.4°；
（3）估计获得优秀奖的学生有2000×
=400 人．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不
同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每
个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（8 分）某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这
项任务共用了9 天，乙车间在加工2 天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到
与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲
车间加工时间x（天），y 与x 之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲
车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）
所示．
第28页（共35页）
（1）甲车间每天加工零件为
80
件，图中d 值为
770
．
（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y 与x 之间的函数关系式．
（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000 件？
【分析】（1）由图象的信息解答即可；
（2）利用待定系数法确定解析式即可；
（3）根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：（1）由图象甲车间每小时加工零件个数为720÷9=80 个，
d=770，
故答案为：80，770
（2）b=80×2
40=120
﹣
，a=（200
40
﹣
）÷80+2=4，
∴B（4，120），C（9，770）
设yBC=kx+b，过B、C，
∴
，解得
，
∴y=130x
400
﹣
（4≤x≤9）
（3）由题意得：80x+130x
400=1000
﹣
，
解得：x=
答：甲车间加工
天时，两车间加工零件总数为1000 件
【点评】本题为一次函数实际应用问题，关键是根据一次函数图象的实际意义和
根据图象确定一次函数关系式解答．
26．（8 分）如图，在Rt△BCD 中，∠CBD=90°，BC=BD，点A 在CB 的延长线上，且
第29页（共35页）
BA=BC，点E 在直线BD 上移动，过点E 作射线EF⊥EA，交CD 所在直线于点F．
（1）当点E 在线段BD 上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；
（2）当点E 在直线BD 上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE 与EF 又有怎样的
数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）如图1 中，在BA 上截取BH，使得BH=BE．构造全等三角形即可解决问
题；
（2）如图2 中，在BC 上截取BH=BE，同法可证；如图3 中，在BA 上截取BH，使得
BH=BE．同法可证；
【解答】（1）证明：如图1 中，在BA 上截取BH，使得BH=BE．
∵BC=AB=BD，BE=BH，
∴AH=ED，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FED=∠HAE，
∵∠BHE=∠CDB=45°，
∴∠AHE=∠EDF=135°，
∴△AHE≌△EDF，
∴AE=EF．
第30页（共35页）
（2）解：如图2 中，在BC 上截取BH=BE，同法可证：AE=EF
如图3 中，在BA 上截取BH，使得BH=BE．同法可证：AE=EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．
（10 分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B 两城决定向C、D 两乡运送肥料
以支持农村生产，已知A、B 两城共有肥料500 吨，其中A 城肥料比B 城少100 吨，
从A 城往C、D 两乡运肥料的费用分别为20 元/吨和25 元/吨；从B 城往C、D 两乡
运肥料的费用分别为15 元/吨和24 元/吨．现C 乡需要肥料240 吨，D 乡需要肥料
260 吨．
（1）A 城和B 城各有多少吨肥料？
（2）设从A 城运往C 乡肥料x 吨，总运费为y 元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A 城运往C 乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调
运才能使总运费最少？
【分析】（1）根据A、B 两城共有肥料500 吨，其中A 城肥料比B 城少100 吨，列方
程或方程组得答案；
（2）设从A 城运往C 乡肥料x 吨，用含x 的代数式分别表示出从A 运往运往D 乡
第31页（共35页）
的肥料吨数，从B 城运往C 乡肥料吨数，及从B 城运往D 乡肥料吨数，根据：运费
=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（3）列出当A 城运往C 乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利
用一次函数的性质讨论，并得结论．
【解答】解：（1）设A 城有化肥a 吨，B 城有化肥b 吨
根据题意，得
解得
答：A 城和B 城分别有200 吨和300 吨肥料；
（2）设从A 城运往C 乡肥料x 吨，则运往D 乡（200
x
﹣）吨
从B 城运往C 乡肥料（240
x
﹣）吨，则运往D 乡（60+x）吨
如总运费为y 元，根据题意，
则：y=20x+25（200
x
﹣）+15（240
x
﹣）+24（60+x）
=4x+10040
由于函数是一次函数，k=4＞0
所以当x=0 时，运费最少，最少运费是10040 元．
（3）从A 城运往C 乡肥料x 吨，由于A 城运往C 乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元
所以y=y=（20
a
﹣）x+25（200
x
﹣）+15（240
x
﹣）+24（60+x）
=（4
a
﹣）x+10040
当0＜a≤4 时，∵4
a
﹣≥0
∴当x=0 时，运费最少；
当4＜a＜6 时，∵4
a
﹣＜0
∴当x 最大时，运费最少．即当x=200 时，运费最少．
所以：当0＜a≤4 时，A 城化肥全部运往D 乡，B 城运往C 城240 吨，运往D 乡60
吨，运费最少；
当4＜a＜6 时，A 城化肥全部运往C 乡，B 城运往C 城40 吨，运往D 乡260 吨，运
费最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数
解析式是关键．注意到（3）需分类讨论，并且需注意A 城只有化肥200 吨．
第32页（共35页）
28．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标
（﹣3，0），点C 在y 轴正半轴上，且sin∠CBO=
，点P 从原点O 出发，以每秒一个
单位长度的速度沿x 轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P 作平行于y
轴的直线l，直线l 扫过四边形OCDA 的面积为S．
（1）求点D 坐标．
（2）求S 关于t 的函数关系式．
（3）在直线l 移动过程中，l 上是否存在一点Q，使以B、C、Q 为顶点的三角形是等
腰直角三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△BOC 中，OB=3，sin∠CBO=
=
，设CO=4k，BC=5k，根据
BC2=CO2+OB2，可得25k2=16k2+9，推出k=1 或﹣1（舍弃），求出菱形的边长即可解
决问题；
（2）①如图1 中，当0≤t≤2 时，直线l 扫过的图象是四边形CCQP，S=4t．②如图2
中，当2＜t≤5 时，直线l 扫过的图形是五边形OCQTA．分别求解即可解决问题；
（3）分三种情形分解求解即可解决问题；
【解答】解：（1）在Rt△BOC 中，OB=3，sin∠CBO=
=
，设CO=4k，BC=5k，
∵BC2=CO2+OB2，
∴25k2=16k2+9，
∴k=1 或﹣1（舍弃），
BC=5，OC=4，
∵四边形ABCD 是菱形，
第33页（共35页）
∴CD=BC=5，
∴D（5，4）．
（2）①如图1 中，当0≤t≤2 时，直线l 扫过的图象是四边形CCQP，S=4t．
②如图2 中，当2＜t≤5 时，直线l 扫过的图形是五边形OCQTA．
S=S 梯形OCDA
S
﹣△DQT=
×（2+5）×4﹣
×（5
t
﹣）× （5
t
﹣）=﹣
t2+
t﹣
．
（3）如图3 中，①当QB=QC，∠BQC=90°，Q（
，
）．
②当BC=CQ′，∠BCQ′=90°时，Q′（4，1）；
③当BC=BQ″，∠CBQ″=90°时，Q″（1，﹣3）；
第34页（共35页）
综上所述，满足条件的点Q 坐标为（
，
）或（4，1）或（1，﹣3）．
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属
于中考压轴题．
第35页（共35页）
