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2018 年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一.选择题（将正确选项填在相应的位置上，每小题3 分，满分36 分）
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．2a
3
﹣•a4=2a
12
﹣B．（﹣3a2）3=
9a
﹣
6
C．a2÷a×
=a2 D．a•a3+a2•a2=2a4
3．（3 分）由5 个完全相同的小长方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，
则这个几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）在函数y=
中，自变量x 的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
5．（3 分）一组数据4，2，x，3，9 的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是
（ ）
A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．2，4
6．（3 分）如图，在长为15，宽为12 的矩形中，有形状、大小完全相同的5 个小矩
形，则图中阴影部分的面积为（ ）
第1页（共40页）
A．35
B．45
C．55
D．65
7．（3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，若sin∠BAC=
，BC=2
，则⊙O 的半径为（
）
A．3
B．6
C．4
D．2
8．（3 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），
将△ABC 绕着原点O 旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（ ）
A．（
，
）或（﹣
，﹣
）B．（
，
）或（﹣
，﹣
）C．（﹣
，﹣
）或（
，
）D．（﹣
，﹣
）或（
，
）
9．（3 分）将抛物线y=x2+2x+3 向下平移3 个单位长度后，所得到的抛物线与直线
y=3 的交点坐标是（ ）
A．
（0，3）或（﹣2，3）B．
（﹣3，0）或（1，0）C．
（3，3）或（﹣1，3）D．（﹣3，3）或（1，
3）
10．（3 分）如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落
在ED 上的点F 处，若BE=1，BC=3，则CD 的长为（ ）
第2页（共40页）
A．6B．5C．4D．3
11．（3 分）如图，直线y=kx
3
﹣（k≠0）与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y=﹣
（x＜0）交于点A（m，1），则AB 的长是（ ）
A．2
B．
C．2
D．
12．（3 分）如图，正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交AD，BC
及AB 的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO 并延长交AD 于点M．则下
列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③
=
；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二.填空题（将正确的答案填在相应的横线上，每小题3 分，满分24 分）
13．
（3 分）从党的“十八大”到“十九大”经历43800 小时，我国的“天宫、蛟龙、
天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展，这些记录下了
第3页（共40页）
党的极不平凡的壮阔进程，请将数43800 用科学记数法表示为
14．（3 分）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添
加的条件是
15．（3 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向
上的概率是 ．
16．（3 分）一列数1，4，7，10，13，……按此规律排列，第n 个数是
17．（3 分）小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40 元，这双鞋
的实际售价为 元．
18．
（3 分）用一个圆心角为240°，半径为3 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的
底面圆的半径为
19．（3 分）矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点M 在对角线AC 上，且AM：MC=2：3，过
点M 作EF⊥AC 交AD 于点E，交BC 于点F．在AC 上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则
AP 的长为 ．
20．（3 分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=
1
﹣，下列结论中：
①abc＜0；②9a
3b
﹣
+c＜0；③b2
4ac
﹣
＞0；④a＞b，
正确的结论是 （只填序号）
三.解答题（满分60 分）
21．（4 分）先化简，再求值：
•
﹣
，其中x=2．
第4页（共40页）
22．（4 分）如图，在⊙O 中，
=2
，AD⊥OC 于D．求证：AB=2AD．
23．（6 分）如图，抛物线y=
x
﹣2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴于点
C，点D 为抛物线的顶点，连接BD，点H 为BD 的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）在y 轴上找一点P，使PD+PH 的值最小，则PD+PH 的最小值为 ．
（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣
，顶点坐标为（﹣
，
）
24．（6 分）在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD 为腰作等腰
△ADE，使∠ADE=90°，过点E 作EF⊥DC 交直线CD 于点F．请画出图形，并直接写
出AF 的长．
25．（6 分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆
和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最
喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其
中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统
计图解答下列问题：
第5页（共40页）
（1）本次活动抽查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是
度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720 人，请求出最喜欢烈士陵园的人数
约有多少人？
26．（8 分）在一条笔直的公路上依次有A，C，B 三地，甲、乙两人同时出发，甲从A
地骑自行车去B 地，途经C 地休息1 分钟，继续按原速骑行至B 地，甲到达B 地后，
立即按原路原速返回A 地；乙步行从B 地前往A 地．甲、乙两人距A 地的路程y
（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度为 米/分，点M 的坐标为 ；
（2）求甲返回时距A 地的路程y 与时间x 之间的函数关系式（不需要写出自变量
的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A 地之前，经过多长时间两人距C 地的路
第6页（共40页）
程相等．
27．（8 分）在等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作
MN⊥AC 于点N，∠EMF=135°．将∠EMF 绕点M 旋转，使∠EMF 的两边交直线AB
于点E，交直线AC 于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF 绕点M 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM
之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=
，AN=
+1，则BM= ，CF=
．
28．（9 分）某书店现有资金7700 元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20
套，其中甲种图书每套500 元，乙种图书每套400 元，丙种图书每套250 元．书店
将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550 元，430 元，310 元．设书店购进甲
种图书x 套，乙种图书y 套，请解答下列问题：
（1）请求出y 与x 的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1 套，则该书店有几种进货方案？
（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调
整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a 为正整数）元，丙种图书的售
价下调a 元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多
出20 元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a 的值．
29．（9 分）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC 与BD 的
交点E 恰好在y 轴上，过点D 和BC 的中点H 的直线交AC 于点F，线段DE，CD 的
长是方程x2
9x
﹣
+18=0 的两根，请解答下列问题：
（1）求点D 的坐标；
第7页（共40页）
（2）若反比例函数y=
（k≠0）的图象经过点H，则k= ；
（3）点Q 在直线BD 上，在直线DH 上是否存在点P，使以点F，C，P，Q 为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2018 年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（将正确选项填在相应的位置上，每小题3 分，满分36 分）
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．
【解答】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形，是轴对称图
形，不是中心对称图形，
正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形
旋转180°后与原图形重合．
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．2a
3
﹣•a4=2a
12
﹣B．（﹣3a2）3=
9a
﹣
6
C．a2÷a×
=a2 D．a•a3+a2•a2=2a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出
答案．
【解答】解：A、2a
3
﹣•a4=2a，故此选项错误；
B、（﹣3a2）3=
27a
﹣
6，故此选项错误；
C、a2÷a×
=1，故此选项错误；
D、a•a3+a2•a2=2a4，正确．
第9页（共40页）
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关
运算法则是解题关键．
3．（3 分）由5 个完全相同的小长方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，
则这个几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】结合主视图、左视图可知俯视图中右上角有2 层，其余1 层，由此即可解
决问题；
【解答】解：结合主视图、左视图可知俯视图中右上角有2 层，其余1 层，
故选：A．
【点评】本题要分别对最多和最少两种情况进行讨论，然后根据“俯视图打地基，
正视图疯狂盖，左视图拆违章”来分析出小长方体的个数．
4．（3 分）在函数y=
中，自变量x 的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
【分析】直接利用二次根式的定义得出x 的取值范围．
【解答】解：在函数y=
中，x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
故自变量x 的取值范围是：x≥﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式的定义是解
题关键．
第10页（共40页）
5．（3 分）一组数据4，2，x，3，9 的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是
（ ）
A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．2，4
【分析】根据一组数据4，2，x，3，9 的平均数为4，可以求得x 的值，从而可以将这
组数据按照从小到大排列起来，从而可以求得这组数据的众数和中位数．
【解答】解：∵一组数据4，2，x，3，9 的平均数为4，
∴（4+2+x+3+9）÷5=4，
解得，x=2，
∴这组数据按照从小到大排列是：2，2，3，4，9，
∴这组数据的众数是2，中位数是3，
故选：C．
【点评】本题考查众数、中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，会求一
组数据的众数和中位数．
6．（3 分）如图，在长为15，宽为12 的矩形中，有形状、大小完全相同的5 个小矩
形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．35
B．45
C．55
D．65
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得出关于x、y 的二元一次方程组，
解之即可求出x、y 的值，再利用阴影部分的面积=大矩形的面积﹣5×小矩形的面
积，即可求出结论．
【解答】解：设小矩形的长为x，宽为y，
根据题意得：
，
解得：
，
∴S 阴影=15×12
5xy=45
﹣
．
故选：B．
第11页（共40页）
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
7．（3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，若sin∠BAC=
，BC=2
，则⊙O 的半径为（
）
A．3
B．6
C．4
D．2
【分析】连接OB，OC．作OD⊥BC 于D，根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可
得∠BOC=2∠A，根据等腰三角形的性质，可得CD=
，∠COD=∠A，根据锐角三
角函数可得圆的半径．
【解答】解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC 于D
∵OB=OC，OD⊥BC
∴CD=
BC，∠COD=
∠BOC
又∵∠BOC=2∠A，BC=2
∴∠COD=∠A，CD=
∵sin∠BAC=
∴sin∠COD=
∴OC=3
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角函数的定义，正确作
第12页（共40页）
出辅助线是关键．
8．（3 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），
将△ABC 绕着原点O 旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（ ）
A．（
，
）或（﹣
，﹣
）B．（
，
）或（﹣
，﹣
）C．（﹣
，﹣
）或（
，
）D．（﹣
，﹣
）或（
，
）
【分析】根据题意只研究点B 的旋转即可，OB 与x 轴夹角为45°，分别按顺时针和
逆时针旋转75°后，与y 轴负向、x 轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．
【解答】解：由点B 坐标为（2，﹣2）
则OB=
，且OB 与x 轴、y 轴夹角为45°
当点B 绕原点逆时针转动75°时，
OB1与x 轴正向夹角为30°
则B1到x 轴、y 轴距离分别为
，
，则点B1坐标为（
，
）；
同理，当点B 绕原点顺时针转动75°时，
OB1与y 轴负半轴夹角为30°，
则B1到x 轴、y 轴距离分别为
，
，则点B1坐标为（﹣
，﹣
）；
故选：C．
【点评】本题为坐标旋转变换问题，考查了图形旋转的性质、特殊角锐角三角函数
值，解答时注意分类讨论和确定象限符号．
9．（3 分）将抛物线y=x2+2x+3 向下平移3 个单位长度后，所得到的抛物线与直线
y=3 的交点坐标是（ ）
A．
（0，3）或（﹣2，3）B．
（﹣3，0）或（1，0）C．
（3，3）或（﹣1，3）D．（﹣3，3）或（1，
第13页（共40页）
3）
【分析】先把y=x2+2x+3 向下平移得到y=x2+2x，再求其与y=3 的交点即可．
【解答】解：将抛物线y=x2+2x+3 向下平移3 个单位长度后，所得到的抛物线为
y=x2+2x
当该抛物线与直线y=3 相交时，
x2+2x=3
解得：x1=
3
﹣，x2=1
则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3）
故选：D．
【点评】本题为二次函数图象问题，考查了二次函数图象平移以及函数图象求交
点问题，解答时需要注意求函数图象平移后解析式的解题技巧．
10．（3 分）如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落
在ED 上的点F 处，若BE=1，BC=3，则CD 的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】设CD=x，则AE=x
1
﹣，证明△ADE≌△FCD，得ED=CD=x，根据勾股定理列
方程可得CD 的长．
【解答】解：设CD=x，则AE=x
1
﹣，
由折叠得：CF=BC=3，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC=3，∠A=90°，AB∥CD，
∴∠AED=∠CDF，
∵∠A=∠CFD=90°，AD=CF=3，
∴△ADE≌△FCD，
∴ED=CD=x，
Rt△AED 中，AE2+AD2=ED2，
第14页（共40页）
（x
1
﹣）2+32=x2，
x=5，
∴CD=5，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的性质；熟练掌握
矩形的性质、折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．（3 分）如图，直线y=kx
3
﹣（k≠0）与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y=﹣
（x＜0）交于点A（m，1），则AB 的长是（ ）
A．2
B．
C．2
D．
【分析】作AD⊥y 轴，由点A（m，1）在y=﹣
上知A（﹣2，1），即AD=2、OD=1，由
y=kx
3
﹣可得B（0，﹣3），即BO=3、BD=4，再根据勾股定理求解可得．
【解答】解：如图，过点A 作AD⊥y 轴于点D，
∵点A（m，1）在y=﹣
上，
∴﹣
=1，
解得：m=
2
﹣，即A（﹣2，1），
则AD=2、OD=1，
第15页（共40页）
由y=kx
3
﹣可得B（0，﹣3），即BO=3，
∴BD=4，
则AB=
=
=2
，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键掌握函数
图象上的点的坐标必定满足函数解析式及勾股定理的运用．
12．（3 分）如图，正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交AD，BC
及AB 的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO 并延长交AD 于点M．则下
列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③
=
；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≌△GKF，则FG=AE，可得
FG=2AO；
②证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD 与HE 不平行；
③设正方形ABCD 的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得
HO=
x，AH=
，所以
=
，根据AR∥CD，得
，则
；
④证明△HAE∽△ODE，可得
，等量代换可得OE2=AH•DE；
⑤分别计算HC、OG、BH 的长，可得结论．
第16页（共40页）
【解答】解：①如图，过G 作GK⊥AD 于K，
∴∠GKF=90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，
∴∠ADE=∠GKF，
∵AE⊥FH，
∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，
∵∠OAF+∠AED=90°，
∴∠AFO=∠AED，
∴△ADE≌△GKF，
∴FG=AE，
∵FH 是AE 的中垂线，
∴AE=2AO，
∴FG=2AO，
故①正确；
②∵FH 是AE 的中垂线，
∴AH=EH，
∴∠HAE=∠HEA，
∵AB∥CD，
∴∠HAE=∠AED，
Rt△ADE 中，∵O 是AE 的中点，
∴OD=
AE=OE，
∴∠ODE=∠AED，
∴∠HEA=∠AED=∠ODE，
当∠DOE=∠HEA 时，OD∥HE，
但AE＞AD，即AE＞CD，
∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，
∴OD 与HE 不平行，
第17页（共40页）
故②不正确；
③设正方形ABCD 的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，
∴AE=
x，AO=
，
易得△ADE∽△HOA，
∴
，
∴
，
∴HO=
x，
Rt△AHO 中，由勾股定理得：AH=
=
，
∴BH=AH
AB=
﹣
2x=
﹣
，
∴
=
，
延长CM、BA 交于R，
∵RA∥CE，
∴∠ARO=∠ECO，
∵AO=EO，∠ROA=∠COE，
∴△ARO≌△ECO，
∴AR=CE，
∵AR∥CD，
∴
，
∴
，
∴
，
故③正确；
第18页（共40页）
④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，
∴△HAE∽△ODE，
∴
，
∵AE=2OE，OD=OE，
∴OE•2OE=AH•DE，
∴2OE2=AH•DE，
故④正确；
⑤由③知：HC=
=
x，
∵AE=2AO=OH=
x，
tan∠EAD=
，
∵AO=
，
∴OF=
x，
∵FG=AE=
x，
∴OG=
x﹣
=
x，
∴OG+BH=
x+
x，
∴OG+BH≠HC，
故⑤不正确；
本题正确的有；①③④，3 个，
故选：B．
第19页（共40页）
【点评】本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质、
正方形的性质的综合应用，正确作辅助线是关键，解答时证明三角形相似是难点
二.填空题（将正确的答案填在相应的横线上，每小题3 分，满分24 分）
13．
（3 分）从党的“十八大”到“十九大”经历43800 小时，我国的“天宫、蛟龙、
天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展，这些记录下了
党的极不平凡的壮阔进程，请将数43800 用科学记数法表示为
4.38
×
10
4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负
数．
【解答】解：将43800 用科学记数法表示为：4.38×104．
故答案为：4.38×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
14．（3 分）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添
加的条件是
∠
A=
∠
B 或
∠
ADC=
∠
BEC
或
CE=CD
等
第20页（共40页）
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B 或∠ADC=∠BEC 或CE=CD，
可得△ADC 与△BEC 全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，
故答案为：∠A=∠B 或∠ADC=∠BEC 或CE=CD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（3 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向
上的概率是
．
【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：画树形图得：
由树形图可知共4 种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有2
种，所以概率是
=
．
故答案是
．
【点评】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
16．（3 分）一列数1，4，7，10，13，……按此规律排列，第n 个数是
3n
2
﹣
【分析】观察依次为1，4，7，…，的一列数，分析找出规律，据此求出第n 个数．
【解答】解：通过观察得出：依次为1，4，7，…，的一列数是首项为1，公差为3 的等
差数列，
所以第n 个数为：1+（n
1
﹣）×3=3n
2
﹣，
故答案为：3n
2
﹣
第21页（共40页）
【点评】此题考查的知识点是数字的变化类问题，解题的关键是分析一列数找出
规律，按规律求解．
17．（3 分）小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40 元，这双鞋
的实际售价为
160
元．
【分析】等量关系为：标价×0.8=标价﹣40，依此列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这双鞋的标价为x 元，
根据题意，得0.8x=x
40
﹣
x=200.200
40=160
﹣
（元）
故答案是：160．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题
目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
18．
（3 分）用一个圆心角为240°，半径为3 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的
底面圆的半径为
2
【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于
圆锥底面圆的周长，则2πr=
，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr=
，解得r=2，
故答案为：2
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥
底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
19．（3 分）矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点M 在对角线AC 上，且AM：MC=2：3，过
点M 作EF⊥AC 交AD 于点E，交BC 于点F．在AC 上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则
AP 的长为
或
．
【分析】根据题意可得AC=10，由AM：MC=2：3 可得AM=4，根据三角函数求
第22页（共40页）
EM=3，根据∠MEP=∠EAC，则tan∠PEM=tan∠DAC=
，可求PM 的长，即可求AP
的长．
【解答】解：如图：
∵矩形ABCD
∴AB=CD=6，AD=BC=8
∴AC=10
∵AM：MC=2：3
∴AM=4，MC=6
∵tan∠DAC=
=
∴
∴EM=3
若P 在线段AM 上，
∵∠EAC=∠PEM
∴tan∠PEM=tan∠DAC=
∴
∴PM=
∴AP=AM
PM=
﹣
若P 在线段MC 上，
∵∠EAC=∠PEM
∴tan∠PEM=tan∠DAC=
第23页（共40页）
∴
∴PM=
∴AP=AM+PM=
∴AP 的长为
【点评】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，分类讨论思想，关键是用锐角三
角函数求出EM 的长．
20．（3 分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=
1
﹣，下列结论中：
①abc＜0；②9a
3b
﹣
+c＜0；③b2
4ac
﹣
＞0；④a＞b，
正确的结论是
②③④
（只填序号）
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线x=
1
﹣，与y 轴的交点，可得abc＞0，
则可判断①，根据图象可得x=
3
﹣时y＜0，代入解析式可判断②，根据抛物线与x
轴的交点个数可判断③．根据a
b=
a
﹣
﹣＞0，可判断④
【解答】解：∵抛物线开口向下
∴a＜0，
∵对称轴为x=
1
﹣
∴
=
1
﹣
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴
∴c＞0
∴abc＞0 故①错误
第24页（共40页）
∵由图象得x=
3
﹣时y＜0
∴9a
3b
﹣
+c＜0 故②正确，
∵图象与x 轴有两个交点
∴△=b2
4ac
﹣
＞0 故③正确
∵a
b=a
2a=
a
﹣
﹣
﹣＞0
∴a＞b 故④正确
故答案为②③④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0 时，抛物线向上开
口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴
的位置：当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab＜
0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于
（0，c）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b2
4ac
﹣
＞0 时，抛物线与x 轴有2 个
交点；△=b2
4ac=0
﹣
时，抛物线与x 轴有1 个交点；△=b2
4ac
﹣
＜0 时，抛物线与x
轴没有交点；同时运用对称性并与图形相结合进行判断
三.解答题（满分60 分）
21．（4 分）先化简，再求值：
•
﹣
，其中x=2．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．
【解答】解：原式=
•
﹣
=
﹣
=
﹣
=
，
当x=2 时，原式=
=
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺
第25页（共40页）
序和运算法则．
22．（4 分）如图，在⊙O 中，
=2
，AD⊥OC 于D．求证：AB=2AD．
【分析】延长AD 交⊙O 于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．
【解答】证明：延长AD 交⊙O 于E，
∵OC⊥AD，
∴
，AE=2AD，
∵
，
∴
，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．
23．（6 分）如图，抛物线y=
x
﹣2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴于点
C，点D 为抛物线的顶点，连接BD，点H 为BD 的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）在y 轴上找一点P，使PD+PH 的值最小，则PD+PH 的最小值为
．
（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣
，顶点坐标为（﹣
，
）
第26页（共40页）
【分析】（1）把已知两点的坐标代入，求出b、c 的值，就可以确定抛物线的解析式，
配方或用公式求出顶点坐标
（2）根据B、D 两点的坐标确定中点H 的坐标，作出H 点关于y 轴的对称点点H′，
连接H′D 与y 轴交点即为P，求出H′D 即可
【解答】解：（1）∵抛物线y=
x
﹣2+bx+c 过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得
∴所求函数的解析式为：y=
x
﹣2+2x+3
y=
x
﹣2+2x+3=﹣（x
1
﹣）2+4
∴顶点D（1，4）
（2）∵B（3，0），D（1，4）
∴中点H 的坐标为（2，2）其关于y 轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）
连接H′D 与y 轴交于点P，则PD+PH 最小
且最小值为：
=
∴答案：
【点评】此题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟
练掌握待定系数法是关键．
24．（6 分）在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD 为腰作等腰
△ADE，使∠ADE=90°，过点E 作EF⊥DC 交直线CD 于点F．请画出图形，并直接写
第27页（共40页）
出AF 的长．
【分析】分两种情形画出图形，分别求解即可解决问题；
【解答】解：如图1 中，作AN⊥CF 于N，DM⊥AB 于M．
∵∠B=∠C=∠DMB=90°，
∴四边形BCDM 是矩形，易证四边形AMDN 是矩形，
∴CD=BM=1，AM=AB
BM=2
﹣
，DM=BC=AN=4，DN=AM=2，
∵∠AMD=∠DFE，∠ADM=∠FDE，DA=DE，
∴△ADM≌△EDF，
∴DF=DM=4，
∴FN=DF
DN=2
﹣
，
在Rt△AFN 中，AF=
=2
．
如图2 中，作AN⊥FD 交FD 的延长线于N．
易证AN=BC=4，△ADN≌△DEF，
∴DF=AN=4，DN=CN
CD=2
﹣
，
∴FN=6，
第28页（共40页）
在Rt△AFN 中，AF=
=2
．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、
勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
属于中考常考题型．
25．（6 分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆
和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最
喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其
中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统
计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了
60
名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是
36
度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720 人，请求出最喜欢烈士陵园的人数
约有多少人？
【分析】（1）由虎园人数及其所占百分比可得总人数；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，根据各
参观项目人数和等于总人数求得x 的值，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以最喜欢植物园的学生人数占被调查人数的比例可得；
（4）用总人数乘以样本中最喜欢烈士陵园的人数所占比例．
【解答】解：（1）本次活动调查的学生人数为18÷30%=60 人，
第29页（共40页）
故答案为：60；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，
则x+2x=60
18
6
﹣
﹣，
解得：x=12，
即最喜欢博物馆的学生人数为12，则最喜欢烈士陵园的学生人数为24，
补全条形图如下：
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是360°×
=36°，
故答案为：36；
（4）最喜欢烈士陵园的人数约有720×
=288 人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
26．（8 分）在一条笔直的公路上依次有A，C，B 三地，甲、乙两人同时出发，甲从A
地骑自行车去B 地，途经C 地休息1 分钟，继续按原速骑行至B 地，甲到达B 地后，
立即按原路原速返回A 地；乙步行从B 地前往A 地．甲、乙两人距A 地的路程y
（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
第30页（共40页）
（1）请写出甲的骑行速度为
240
米/分，点M 的坐标为 （
6 ，
1200
）
；
（2）求甲返回时距A 地的路程y 与时间x 之间的函数关系式（不需要写出自变量
的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A 地之前，经过多长时间两人距C 地的路
程相等．
【分析】（1）根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11 分，
休息了一分，所以一共用了10 分钟，可得M 的坐标；
（2）利用待定系数法求MN 的解析式；
（3）先根据总路程1200 米，时间为20 分，计算乙的速度，根据A，C，B 三地在同一
直线上，计算B、C 之间的路程，分情况讨论：设甲返回A 地之前，经过x 分两人距
C 地的路程相等，
①因为乙从B 地到C 地一共需要3 小时，所以第一个时间为0＜x≤3，即乙在B、C
之间时，列方程可知不符合题意；
②3＜x＜6，根据两人距C 地的路程相等列方程可得结论；
③计算甲到B 地时，符合条件；
④计算乙走过C 地，即乙在A、C 之间时，列方程，注意此时甲用了（x
1
﹣）分．
【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：
=240（米/分），（1 分）
240×（11
1
﹣）÷2=1200（米），
则点M 的坐标为（6，1200），（2 分）
故答案为：240，（6，1200）；
第31页（共40页）
（2）设MN 的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴
，（3 分）
解得
，（4 分）
∴直线MN 的解析式为：y=
240x
﹣
+2640；（5 分）
即甲返回时距A 地的路程y 与时间x 之间的函数关系式：y=240x+2640；
（3）设甲返回A 地之前，经过x 分两人距C 地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），
如图1 所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200
1020=180
﹣
，
分4 种情况：
①当0＜x≤3 时，1020
240x=180
60x
﹣
﹣
，
x=
＞3，
此种情况不符合题意；
②当3＜x＜6 时，甲在A、C 之间，乙已经走过C 地，
∴1020
240x=60x
180
﹣
﹣
，
x=4，
③当x=6 时，甲到B 地，距离C 地180 米，
乙距C 地的距离：6×60
180=180
﹣
（米），
即x=6 时两人距C 地的路程相等，
④当x＞6 时，甲在返回途中，
当甲在B、C 之间时，不可以存在符合条件的时间，
当甲在A、C 之间时，240（x
1
﹣）﹣1200
180=60x
180
﹣
﹣
，
x=8，
综上所述，在甲返回A 地之前，经过4 分钟或6 分钟或8 分钟时两人距C 地的路
程相等．（8 分）
第32页（共40页）
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设未知数，学会结合方
程解决问题，此类题有难度，注意利用数形结合的思想解答问题．
27．（8 分）在等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作
MN⊥AC 于点N，∠EMF=135°．将∠EMF 绕点M 旋转，使∠EMF 的两边交直线AB
于点E，交直线AC 于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF 绕点M 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM
之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=
，AN=
+1，则BM=
1
，CF=
1 +
或
1﹣
．
【分析】（1）先判断出BM=NM，进而判断出△BME≌△NMF，得出BE=NF，即可得
出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）先求出AB，进而求出AC，即可求出CN，CM，最后求出BM，再用锐角三角函数
求出BE，即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵AM 是∠BAC 的平分线，MN⊥AC，
∴BM=MN，
在四边形ABMN 中，∠BMN=360°
90°
90°
45°=135°
﹣
﹣
﹣
，
∵∠ENF=135°，
∴∠BME=∠NMF，
第33页（共40页）
∴△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵CN=CF+NF，
∴BE+CF=BM；
（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=NF
CF
﹣
，
∴BE
CF=BM
﹣
；
针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=CF
NF
﹣
，
∴CF
BE=BM
﹣
；
（3）在Rt△ABM 和Rt△ANM 中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN=
+1，
在Rt△ABC 中，AC=AB=
+1，
∴AC=
AB=2+
，
第34页（共40页）
∴CN=AC
AN=2
﹣
+
﹣（
+1）=1，
在Rt△CMN 中，CM=
CN=
，
∴BM=BC
CM=
﹣
+1﹣
=1，
在Rt△BME 中，tan∠BEM=
=
=
，
∴BE=
，
∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，
∴CF=BM
BE=1
﹣
﹣
②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=
，
∴此种情况不成立；
③由（2）知，如图3，CF
BE=BM
﹣
，
∴CF=BM+BE=1+
，
故答案为1，1+
或1﹣
．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，角平分线定
理，勾股定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，判断出BE=NF 是解本题
的关键．
28．（9 分）某书店现有资金7700 元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20
套，其中甲种图书每套500 元，乙种图书每套400 元，丙种图书每套250 元．书店
将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550 元，430 元，310 元．设书店购进甲
种图书x 套，乙种图书y 套，请解答下列问题：
（1）请求出y 与x 的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1 套，则该书店有几种进货方案？
（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调
整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a 为正整数）元，丙种图书的售
价下调a 元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多
出20 元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a 的值．
【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可；
第35页（共40页）
（2）根据题意列出不等式，进而解答即可；
（3）根据（2）中解集得出购买方案．
【解答】解：（1）根据题意得购进丙种图书（20
x
y
﹣﹣）套，则有500x+400y+250（20
x
y
﹣﹣）=7700，
所以解析式为：y=﹣
x+18；
（2）根据题意得：
，
解得：x
，
又∵x≥1，
∴
，
因为x，y，（20
x
y
﹣﹣）为整数，
∴x=3，6，9，
即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3 套，13 套，4 套，
②甲、乙、丙三种图书分别为6 套，8 套，6 套，
③甲、乙、丙三种图书分别为9 套，3 套，8 套，
（3）若按方案一：则有13a
4a=20
﹣
，解得a=
（不是正整数，不符合题意），
若按方案二：则有8a
6a=20
﹣
，解得a=10（符合题意），
若按方案三：则有3a
8a=20
﹣
，解得a=
4
﹣（不是正整数，不符合题意），
所以购买方案是：甲种图书6 套，乙种图书8 套，丙种图书6 套，a=10．
【点评】本题考查一次函数的应用、不等式的应用、一元一次方程等知识，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．（9 分）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC 与BD 的
交点E 恰好在y 轴上，过点D 和BC 的中点H 的直线交AC 于点F，线段DE，CD 的
长是方程x2
9x
﹣
+18=0 的两根，请解答下列问题：
（1）求点D 的坐标；
第36页（共40页）
（2）若反比例函数y=
（k≠0）的图象经过点H，则k=
；
（3）点Q 在直线BD 上，在直线DH 上是否存在点P，使以点F，C，P，Q 为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先解方程可得CD 和DE 的长，根据直角三角形的性质可得
∠DCA=30°，分别计算AC、BD、DM 的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高
OM 的长，得D 的坐标；
（2）根据（1）中的结论可得B 和C 的坐标，根据中点坐标公式可得H 的坐标，代入
反比例函数可得k 的值；
（3）分三种情况：①以CF 为边时，在CF 的上方，②以CF 为边，在CF 的下方，③以
CF 为对角线时，分别根据平移规律求点P 的坐标．
【解答】解：（本题9 分）（1）x2
9x
﹣
+18=0，
（x
3
﹣）（x
6
﹣）=0，
x=3 或6，（1 分）
∵CD＞DE，
∴CD=6，DE=3，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AE=EC=
=3
，
∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，
Rt△DEM 中，∠DEM=30°，
第37页（共40页）
∴DM=
DE=
，
∵OM⊥AB，
∴S 菱形ABCD=
AC•BD=CD•OM，
∴
=6OM，OM=3
，
∴D（﹣
，3
）；（4 分）
（2）∵OB=DM=
，CM=6﹣
=
，
∴B（
，0），C（
，3
），
∵H 是BC 的中点，
∴H（3，
），
∴k=3×
=
；
故答案为：
；（6 分）
（3）①∵DC=BC，∠DCB=60°，
∴△DCB 是等边三角形，
∵H 是BC 的中点，
∴DH⊥BC，
∴当Q 与B 重合时，如图1，四边形CFQP 是平行四边形，
∵FC=FB，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°
30°=90°
﹣
，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF 中，∠FAB=30°，AB=6，
∴FB=2
=CP，
∴P（
，
）；
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②如图2，∵四边形QPFC 是平行四边形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC 中，BC=6，∠QBC=60°，
∴∠BQC=30°，
∴CQ=6
，
连接QA，
∵AE=EC，QE⊥AC，
∴QA=QC=6
，
∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，
∴∠QAB=90°，
∴Q（﹣
，6
），
由①知：F（
，2
），
由F 到C 的平移规律可得P 到Q 的平移规律，则P（﹣
﹣3，6
﹣
），即（﹣
，5
）；
③如图3，四边形CQFP 是平行四边形，
同理知：Q（﹣
，6
），F（
，2
），C（
，3
），
∴P（
，﹣
）；
综上所述，点P 的坐标为：（
，
）或（﹣
，5
）或（
，﹣
）．（9 分）
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【点评】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平
移规律、等边三边形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合
性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求Q 的坐标来求P 的坐标，根据平
移规律得出结果．
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