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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 设
，则
=
A. 2
B.
C.
D. 1
2. 已知集合
，则
A.
B.
C.
D.
3. 已知
，则
A.
B.
C.
D.
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽
喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端
的长度为26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm
B. 175 cm
C. 185 cm
D. 190cm
5. 函数f(x)=
在[—π，π]的图像大致为
A
B.
C
D.
6. 某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样
方法等距抽取100 名学生进行体质测验，若46 号学生被抽到，则下面4 名学生中被抽到的是
A. 8 号学生
B. 200 号学生
C. 616 号学生
D. 815 号学生
7. tan255°=
A. －2－
B. －2+
C. 2－
D. 2+
8. 已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
A.
B.
C.
D.
9. 如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入
A. A=
B. A=
C. A=
D. A=
10. 双曲线C:
的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为
A. 2sin40°
B. 2cos40°
C.
D.
11. △ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－
，则
=
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
12. 已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13. 曲线
在点
处的切线方程为___________．
14. 记Sn为等比数列{an}的前n 项和.若
，则S4=___________．
15. 函数
的最小值为___________．
16. 已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC=2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距离均为
，那么P
到平面ABC 的距离为___________．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意
或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意
概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
．
P
（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18. 记Sn为等差数列{an}
前n 项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n 的取值范围．
19. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，
BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
20. 已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
21. 已知点A，B 关于坐标原点O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点A，B 且与直线x+2=0 相切．
（1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
23. 已知a，b，c
正数，且满足abc=1．证明：
（1）
；
（2）
．
