专题33
算法、复数、推理与证明
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
理1[来源:学|科|网Z|X|X|K]
复数[来源:Z|xx|k.Com]
复数的除法运算，共轭复数
文2
复数
复数的除法运算
理3 文5
算法与框图
计算程序框图运行结果
2012
理3
复数，命题真假判断
复数的除法运算，复数的相关概念，命题真假判断
文2
复数
复数的除法运算，共轭复数
文理6
算法与框图
计算程序框图运行结果
2013
卷1
理2
复数
复数的概念，复数的乘除法运算
文2
复数
复数的平方、除法运算
理5 文7
算法与框图
框图表示算法的意义
卷2
理2
复数
复数的除法运算
理6 文7
算法与框图
计算程序框图运行结果
文2
复数
复数的模长，复数的乘除法运算
2014
卷1
理2
复数
复数的平方、立方、除法运算
文3
复数
复数的加法、除法运算，复数的模长计算
理7 文9
算法与框图
计算程序框图运行结果
文理14
推理与证明
演绎推理，逻辑分析
卷2
理2
复数
复数的概念，复数的乘法运算
文2
复数
复数的除法运算
理7 文8
算法与框图
计算程序框图运行结果
2015
卷1
理1
复数
复数的除法运算，复数的模长计算
文3
复数
复数的乘除法运算
文理9
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷2
理2
复数
复数的乘除法运算
文2
复数
复数的乘除法运算
文理8
算法与框图
计算程序框图运行结果，数学文化
2016
卷1
理2
复数
复数的乘除法运算，复数模长的计算
文2
复数
复数的概念及复数的乘法运算
理9 文10
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷2
理1
复数
复数的几何意义
文2
复数
复数的运算，共轭复数
理8 文9
算法与框图
计算程序框图运行结果，数学文化
理15文16
推理与证明
演绎推理
卷3
理2
复数
复数的运算，共轭复数
文2
复数
复数的运算，共轭复数，复数的模长计算
理7 文8
算法与框图
计算程序框图运行结果
2017
卷1
理3
复数
复数的运算，复数的分类，命题真假的判断
文3
复数
复数的运算，复数的概念
理8 文10
算法与框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷2
理1
复数
复数的除法运算
文2
复数
复数的乘法运算
理7 文9
推理与证明
演绎推理
理8 文10
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷3
理2
复数
复数的乘除法运算，复数模长的计算
文2
复数
复数的乘法运算，复数的几何意义
理7 文8
算法与框图
由运行结果计算程序框图输入值的最小值
2018
卷1
理1 文2
复数
复数的运算，复数模长的计算
卷2
理1
复数
复数的除法运算
文1
复数
复数的乘法运算
理7 文8
算法框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷3
文理2
复数
复数的乘法运算
2019
卷1
理2
复数
复数的几何意义和模的运算
文1
复数
复数的乘法运算，复数模的计算
理4 文4
推理与证明
类比归纳与合情推理
理8 文9
算法与框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷2
理2
复数
共轭复数的概念，复数的几何意义
文2
复数
复数乘法运算，共轭复数的概念
卷3
文理2
复数
复数乘法运算
文理9
算法与框图
计算程序框图运行结果
2020
卷1
理2
复数
复数的乘方、加法运算，复数模长的计算
文2
复数
复数的平方、减法运算，复数模长的计算
文9
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷2
文2
复数
复数的乘方运算
文7
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷3
理2
复数
复数的除法运算，复数的概念
文2
复数
复数的乘除法运算，共轭复数的概念
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点113 算法
23 次考19 次
2021 年，“算法初步”重点考查程序框图中的“结果输出型”问
题；“复数”重点考查复数的概念及其几何意义、复数的四则运
算；“推理与证明”重点考查演绎推理及其应用．
考点114 复数
23 次考23 次
考点115 推理与证明
23 次考5 次
十年试题分类*探求规律
考点113
算法
1．(2020 全国Ⅰ文9)执行下面的程序框图，则输出的n
(
)
A．17
B．19
C．21
D．23
【答案】C
【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足1
3
5
100
n
的最小正奇数，
2
1
1
1
1
2
1 3
5
1
100
2
4
n
n
n
n
，解得
19
n
，∴输出的
21
n
，故选C．
2．(2020 全国Ⅱ文7)执行右图的程序框图，若输入的
0,
0
k
a
，则输出的k 为
(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程：
0 ,
0
k
a
，第1 次循环，
2 0 1 1
a ,
0 1
1
k
，2
10
为否；
第2 次循环，
2 1 1
3
a
,
1 1
2
k
，3
10
为否；
第3 次循环，
2 3 1
7
a
,
2 1
3
k
，7
10
为否；
第4 次循环，
2 7 1 15
a
,
3 1
4
k
，15
10
为是，退出循环，输出
4
k
．故选C．
3．(2019 天津文理】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为
A．5
B．8
C．24
D．29
【答案】B
【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．
【解析】
1,
2
S
i
；
1
1,
1
2 2
5,
3
j
S
i
；
8,
4
S
i
，
结束循环，输出
8
S
．故选B．
4．(2019 北京文理】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B【解析】初始：
1
s
，
1
k ，运行第一次，
2
2 1
2
3 1 2
s
，
2
k
，运行第二次，
2
2 2
2
3 2
2
s
，
3
k
，运行第三次，
2
2 2
2
3 2
2
s
，结束循环，输出
2
s
，故选B．
5．(2019 全国Ⅰ文理】如图是求
1
1
2
1
2
2
的程序框图，图中空白框中应填入(
)
A．
1
2
A
A
B．
1
2
A
A
C．
1
1
2
A
A
D．
1
1
2
A
A
【答案】A
【解析】初始：
1 ,
1
2
2
A
k
，∵第一次应该计算
1
1
2
2
=
1
2
A
，
1
k
k
=2；
执行第2 次，
2
2
k
，∵第二次应该计算
1
1
2
1
2
2
=
1
2
A
，
1
k
k
=3，
结束循环，故循环体为
1
2
A
A
，故选A．
【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为
1
2
A
A
．
6．(2019 全国Ⅲ文理】执行下边的程序框图，如果输入的为0．01，则输出s 的值等于
A．
4
1
2
2
B．
5
1
2
2
C．
6
1
2
2
D．
7
1
2
2
【答案】C
【解析】输入的为0.01，
1
1,
0 1,
0.01?
2
x
s
x
不满足条件；
1
1
0 1
,
0.01?
2
4
s
x
不满足条件；
6
1
1
1
0 1
,
0.0078125
0.01?
2
2
128
S
x
满足条件，结束循环；
输出
6
7
6
1
1
1
1
1
2 (1
)
2
2
2
2
2
S
，故选C．
7．(2018 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A．1
2
B．5
6
C．7
6
D．7
12
【答案】B【解析】运行程序框图，k =l，s =1；
1
1
1
1
( 1)
2
2
s
，
2
k
；
2
1
1
5
( 1)
2
3
6
s
，k =3；
满足条件，跳出循环，输出的
5
6
s
，故选B．
8．(2018 全国Ⅱ文理)为计算
1
1
1
1
1
1
2
3
4
99
100
…
S
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应
填入
A．
1
i
i
B．
2
i
i
C．
3
i
i
D．
4
i
i
【答案】B【解析】由程序框图的算法功能知执行框
1
N
N
i
计算的是连续奇数的倒数和，而执行框
1
1
T
T
i
计算的是连续偶数的倒数和，∴在空白执行框中应填入的命令是
2
i
i
，故选B．
9．(2018 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B【解析】
20
N
，
2
i
，
0
T
，
20
10
2
N
i
，是整数；
0 1 1
T
，
2 1
3
i
，3
5
，
20
3
N
i
，不是整数；
3 1
4
i
，4
5
，
20
5
4
N
i
，是整数；
1 1
2
T
，
4 1
5
i
，结束循
环，输出的
2
T
，故选B．
10．(2017 新课标Ⅰ文理)下面程序框图是为了求出满足3
2
1000
n
n
的最小偶数n ，那么在
和
两个空白框中，可以分别填入
A．
1000
A
和
1
n
n
B．
1000
A
和
2
n
n
C．
1000
A≤
和
1
n
n
D．
1000
A≤
和
2
n
n
【答案】D【解析】由题意选择3
2
1000
n
n
，则判定框内填
1000
A
，由∵选择偶数，∴矩形框内填
2
n
n
，故选D．
11．(2017 新课标Ⅱ文理)执行右面的程序框图，如果输入的
1
a ，则输出的S =
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B【解析】初始输值为
1
a ，
1
k
，
0
S
．则第一次：
0 1
1
S
，
1
a
，
2
k
；第二
次：
1 2
1
S
，
1
a ，
3
k
；第三次：
1 3
2
S ，
1
a
，
4
k
；第四次：
2
4
2
S
，
1
a ，
5
k
；第五次：
2
5
3
S
，
1
a
，
6
k
；第六次：
3
6
3
S
，
1
a ，
7
k
；
循环结束，输出
3
S
．故选B．
12．(2017 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为
19
N
，第一次循环：
1
18
N
N
，不满足
3
N
；第二次循环：
6
3
N
N
，不满足
3
N
；第三次循环：
2
3
N
N
，
满足
3
N
；此时跳出循环体，输出
2
N
，故选C．
13．(2017 新课标Ⅲ文理)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D【解析】若
2
N
，第一次循环，1
2
≤
成立，
100
S
，
10
M
，
2
2
i
≤
成立，第二次
循环，此时
90
S
，
1
M
，
3
2
i ≤
不成立，∴输出
90
91
S
成立，∴输入的正整数N 的最小值是
2，故选D．
14．(2017 山东文)执行如图的程序框图，当输入的x 的值为4 时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条
件可能为
【答案】B【解析】输入x 的值为4 时，由
2
2
6,log 4
2
x
可知
4
x
不满足判断框中的条件，只能是
4
x
，
故选B．
15．(2017 山东理)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7 ，第二次输入的x 的值为9，
则第一次、第二次输出的a 的值分别为
A．0，0
B．1，1
C．0，1
D．1，0
【答案】D【解析】第一次
7
x
，
2
2
7
，
3
b
，
23
7
，
1
a
；
第二次
9
x
，
2
2
9
，
3
b
，
23
9
，
0
a
．选D．
16．(2017 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A．2
B．3
2
C．5
3
D．8
5
【答案】C【解析】
0
k
时，0
3
成立，第一次进入循环
1
k
，
2
s
，1
3
成立；第二次进入循环，
2
k
，
3
2
s
，2
3
成立；第三次进入循环
3
k
，
5
3
s
，3
3
否，输出
5
3
s
，故选C．
17．(2016 全国I 文理)执行如图的程序框图，如果输入的
0
1
1
x
y
n
，
，
，则输出x，y 的值满足
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
4
y
x
D．
5
y
x
【答案】C【解析】运行程序，第1 次循环得
0,
1,
2
x
y
n
，第2 次循环得
1 ,
2,
3
2
x
y
n
，第3
次循环得
3 ,
6
2
x
y
，此时
2
2
36
x
y
.
，输出,x y ，满足C 选项．
18．(2016 全国II 文理)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程
序框图，若输入的
2
x
，
2
n
，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s
A．7
B．12
C．17
D．34
【答案】C【解析】由程序框图知，第一次循环：
2,
2,
2,
0
2
2
2,
1
x
n
a
s
k
；
第二次循环：
2,
2
2
2
6,
2
a
s
k
；第三次循环：
5,
6
2
5
17,
3
a
s
k
．
结束循环，输出s 的值为17，故选C．
19．(2016 全国III 文理)执行如图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B【解析】第一次循环，得
2,
4,
6,
6,
1
a
b
a
s
n
；第二次循环，得
2
a ，
6,
4,
10,
2
b
a
s
n
；第三次循环，得
2,
4,
6,
16,
3
a
b
a
s
n
；第四次循环，得
2,
6,
4,
20,
4
a
b
a
s
n
，此时
20
16
s
，退出循环，输出的
4
n
，故选B．
20．(2015 湖南文理)执行如图所示的程序框图，如果输入
3
n
，则输出的S
A．6
7
B．3
7
C．8
9
D．4
9
【答案】B【解析】第一次循环，
1
1 3
S
，此时
2
i =
，不满足条件，继续第二次循环
1
1
1 3
3 5
S
，
此时
3
i =
，不满足条件，继续第三次循环
1
1
1
3
1 3
3 5
5 7
7
S
，此时
4
3
i
，退出循环，输出S
的值为3
7
，故选B．
21．(2015 重庆文理)执行如图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可填入的条件是
A．
3
4
s ≤
B．
5
6
s ≤
C．
11
12
s ≤
D．
25
24
s ≤
【答案】C 【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此
1
1
1
11
2
4
6
12
S
(此时
6
k
)还必
须计算一次，因此可填
11
12
S
，故选C．
22．(2015 新课标I 文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的
0.01
t
，则输出的n =
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C【解析】由程序框图可知
1
1
1
1
1
,
,
1,
0.01
2
2
4
2
S
m
n
；
1
1
1
1
1
,
,
2,
0.01
2
4
4
8
4
S
m
n
；
1
1
1
1
1
,
,
3,
0.01
4
8
8
16
8
S
m
n
；
1
1
1
1
1
,
,
4,
0.01
8
16
16
32
16
S
m
n
；
1
1
1
1
1
,
,
5,
0.01
16
32
32
64
32
S
m
n
；
1
1
1
1
1
,
,
6,
0.01
32
64
64
128
64
S
m
n
；
1
1
1
1
1
,
,
7,
0.01
64
128
128
256
128
S
m
n
，故选C．
23．(2015 新课标II 文理)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，
执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a =
A．0
B．2
C．4
D．14
【答案】B【解析】第一次执行，输入
14
a =
，
18
b =
，∵a
b
<
，∴
18 14
4
b
；
第二次执行，输入
14
a =
，
4
b =
，∵a
b
，∴
14
4
10
a
；
第三次执行，输入
10
a =
，
4
b =
，∵a
b
，∴
10
4
6
a
；
第四次执行，输入
6
a =
，
4
b =
，∵a
b
，∴
6
4
2
a
；
第五次执行，输入
2
a =
，
4
b =
，∵a
b
，∴
4
2
2
b
；此时
2
a
b
=
=
．
24．(2015 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A．
2
2
，
B．
4
0
，
C．
4
4
，
D．
0
8
，
【答案】B 【解析】初始值
1,
1,
0
x
y
k
，执行程序框图，则
0,
2
s
t
，
0,
2,
1
x
y
k
；
2,
2,
2,
2,
2
s
t
x
y
k
；
4,
0,
4,
0,
3
s
t
x
y
k
，此时输出( , )
x y ，则输出的结果为
( 4,0)
．
25．(2015 四川文理)执行如图所示的程序框图，输出S 的值是
A．
3
2
B．
3
2
C．
1
2
D．1
2
【答案】D【解析】这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：
2;
3;
4;
5
k
k
k
k
，
大于4，∴输出的
5
1
sin
sin
6
6
2
S
．
26．(2014 新课标I 文理)执行如图的程序框图，若输入的, ,
a b k 分别为1，2，3，则输出的M =
A．20
3
B．7
2
C．16
5
D．15
8
【答案】D【解析】第一次循环：
3
3
,
2,
,
2
2
2
M
a
b
n
；
第二次循环：
8
3
,
3
2
M
a
，
8 ,
3
3
b
n
；
第三次循环：
15
8
15
,
,
,
4
8
3
8
M
a
b
n
则输出的
15
8
M
，故选D．
27．(2014 新课标II 文理)执行如图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D【解析】第一步
2,
5,
2
M
S
k
；第二步
2,
7,
3
M
S
k
，故输出的结果为7．
28．(2014 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为
A．15
B．105
C．245
D．945
【答案】B【解析】
1
i = 时，
3
T =
，
3
S =
；
2
i =
时，
5
T =
，
15
S =
；
3
i =
时，
7
T =
，
105
S =
，
4
i =
输出
105
S =
．
29．(2014 重庆文理)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6 ，则判断框内可填入的条件是
A．
1
2
s
B．
3
5
s
C．
7
10
s
D．
4
5
s
【答案】C【解析】当输出
6
k
时，
9
8
7
7
1 10
9
8
10
s
，结合题中的程序框图知，故选C．
30．(2014 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是
A．34
B．55
C．78
D．89
【答案】B【解析】55
50
，故运算7 次后输出的结果为55．
31．(2014 福建文理)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于
A．18
B．20
C．21
D．40
x
1
1
2
3
5
8
13
21
y
1
2
3
5
8
13
21
34
z
2
3
5
8
13
21
34
55
【答案】B【解析】
1
0,
1,
0
2
1
3,
2
S
n
S
n
；∵3
15
≥
不成立，执行循环：
2
3
2
2
9
S
，
3
n
，∵9
15
≥
不成立，执行循环：
3
9
2
3
20,
4
S
n
，∵20
15
≥
成立，
停止循环：∴输出的S 得值为20 ．
32．(2014 湖南文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的
[ 2,2]
t
，则输出的S 属于
A．[ 6, 2]
B．[ 5, 1]
C．[ 4,5]
D．[ 3,6]
【答案】D【解析】由程序框图可知，
2
2
1 3,
[ 2,0)
3,
[0,2]
t
t
S
t
t
，其值域为( 2,6]
[ 3, 1]
[ 3,6]
．
33．(2014 四川文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y
R
，则输出的S 的最大值为
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C【解析】当
0
0
1
x
y
x
y
时，函数
2
S
x
y
的最大值为2．
34．(2013 新课标I 文理)执行如图程序框图，如果输入的
[ 1,3]
t
，则输出s 属于
A．[-3，4]
B．[-5，2]
C．[-4，3]
D．[-2，5]
【答案】A【解析】有题意知，当
[ 1,1)
t
时，
3
s
t
[ 3,3)
，当
[1,3]
t
时，
2
4
s
t
t
[3,4]
，∴输
出s 属于[3，4]，故选A ．
35．(2013 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(
)
A．1
6
B．25
24
C．3
4
D．11
12
【答案】D【解析】
.
12
11
,
12
11
12
2
3
6
6
1
4
1
2
1
0
s
s
故选D．
36．(2013 江西文理)阅读如图程序框图，如果输出
5
i
，那么在空白矩形框中应填入的语句为
A．
2*
2
S
i
B．
2*
1
S
i
C．
2*
S
i
D．
2*
4
S
i
【答案】C【解析】由题意，当
5
i
时，空白的判断框中的语句应使
10
S ≥
；故选项A，B 中，当
5
i
时，
都有
10
S
；故排除；假设空白的判断框中的语句是C 项中的
2*
S
i
，则第一次运行时，
2,
5
i
S
；
第二次运行时，
3,
6
i
S
；第三次运行时，
4,
9
i
S
；第四次运行时，
5,
10
i
S
；此时不满足
10
S
，
故输出
5
i
，满足题意，故选C．
37．(2013 福建文理)阅读如图所示的程序框图，若输入的
10
k
，则该算法的功能是
A．计算数列
1
2n
的前10 项和
B．计算数列
1
2n
的前9 项和
C．计算数列
2
1
n
的前10 项和
D．计算数列
2
1
n
的前9 项和
【答案】C【解析】第一次循环：
1,
2
S
i
，
10
i
；第二次循环：
3,
3,
10
S
i
i
；第三次循环：
7,
4,
10
S
i
i
…．第九次循环：
92
1,
10,
10
S
i
i
；第十次循环：
10
2
1,
11,
10
S
i
i
，输
出S．根据故选项，
10
1(1 2 )
1 2
S
，故为数列
1
2n的前10 项和，故选A．
38．(2013 浙江文理)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是5
9 ，则
A．
4
a
B．
5
a
C．
6
a
D．
7
a
【答案】A【解析】
1
3
1
5
1,
1 1
;
2,
1 1
;
2
2
3
3
k
s
k
s
1
7
1
9
3,
1 1
;
4,
1 1
4
4
5
5
k
s
k
s
；
输出的结果为5
9 ，此时
5
k
a
，故
4
a
．
39．(2013 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为
A．64
B．73
C．512
D．585
【答案】B【解析】第一次循环，
1
S
，
2
x
；第二次循环，
9,
4
S
x
；第三次循环，
73
S
，跳出
循环．
40．(2013 陕西文理)根据下列算法语句，当输入x 为60 时，输出y 的值为
A．25
B．30
C．31
D．61
【答案】C【解析】此算法的功能是计算分段函数
0.5 ,
50
( )
25
0.6(x 50),
50
x x
f x
x
≤
的值，
∴
(60)
25
0.6 (60
50)
31
f
，故选C．
41．(2012 新课标文理)如果执行如图的程序框图，输入正整数
)
2
(
N
N
和实数
N
a
a
a
,
,
,
2
1
，输出A 、B ，
则
输入x
If x≤50 Then
y=0．5 * x
Else
y=25+0．6*(x-50)
End If
输出y
1
k
k
x
A
x
B
1
1,
,1
a
B
a
A
k
ka
x
?
A
x
?
B
x
?
N
k
B
A,
输出
N
a
a
a
,
,
,
N,
2
1
输入
开始
结束
是
是
是
否
否
否
A．
B
A
为
N
a
a
a
,
,
,
2
1
的和
B．
2
B
A
为
N
a
a
a
,
,
,
2
1
的算术平均数
C．A 和B 分别是
N
a
a
a
,
,
,
2
1
中最大的数和最小的数
D．A 和B 分别是
N
a
a
a
,
,
,
2
1
中最小的数和最大的数
【答案】C【解析】由当x
A
时A
x
可知A 应为
1
2
,
,
,
N
a a
a
中最大的数，由当x
B
时B
x
可知B 应
为
1
2
,
,
,
N
a a
a
中最小的数．
42．(2012 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(
)
A．3
B．4
C．
D．
【答案】B【解析】
x
1
2
4
8
y
1
2
3
4
第一次进入循环体有x=2，y=2，第二次进入循环体有x=4，y=3，第三次进入循环体有x=8，y=4，跳出循
环体，输出结果为4，故选D．
43．(2011 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4，则输出y 的值为
A．0．5
B．1
C．2
D．4
【答案】C【解析】由框图可知：
4
x ，|
| 3
x
，
| 4
3| 7
x
；
7,|
| 3,
| 7
3| 4
x
x
x
；
4,|
| 3,
| 4
3| 1
3
x
x
x
，
12
2
y
，故选C．
44．(2011 陕西文理)如图中，
1x ，
2x ，
3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终
得分．当
1
2
6,
9
x
x
，
8.5
p
时，
3x 等于
A．11
B．10
C．8
D．7
【答案】C【解析】本题代入数据验证较为合理，显然满足
8.5
p
的可能为6 11
8.5
2
或9
8
8.5
2
，显
然若
3
11
x
，不满足
3
1
3
2
|
| |
|
x
x
x
x
，则
1
11
x
，计算
11 9
10
2
p
，不满足题意；而若
3
8
x
，
不满足
3
1
3
2
|
| |
|
x
x
x
x
，则
1
8
x
，计算
8
9
8.5
2
p
，满足题意．
45．(2020 江苏5)下图是一个算法流程图，若输出y 的值为2
，则输入x 的值是
．
【答案】3
【解析】由题可知
2 ,
0 ,
1,
0
x
x
y
x
x
，当
2
y 时，得
1
2
x ，解得
3
x ．
46．(2019 江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．
【答案】5
【解析】执行第一次，
1 ,
1
4
2
2
x
S
S
x
不成立，继续循环，
1
2
x
x
；
执行第二次，
3 ,
2
4
2
2
x
S
S
x
不成立，继续循环，
1
3
x
x
；
执行第三次，
3,
3
4
2
x
S
S
x
不成立，继续循环，
1
4
x
x
；
执行第四次，
5,
4
4
2
x
S
S
x
成立，输出
5.
S
47．(2018 江苏)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为
．
【答案】8【解析】该伪代码运行3 次，第1 次，I =3，S =2；第2 次，I =5，S =4；第3 次，
I =7，S =8，结束运行，故输出的S 的值为8．
48．(2017 江苏)如图是一个算法流程图，若输入x 的值为1
16
，则输出的y 的值是
．
【答案】2
【解析】由题意得
2
1
2
log
2
16
y
．
49．(2015 安徽文理)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为
【答案】4 【解析】由题意，程序框图循环如下：①
1,
1
a
n
；②
1
3
1
,
2
1 1
2
a
n
；③
1
7
1
,
3
3
5
1
2
a
n
；④
1
17
1
,
4
7
12
1
5
a
n
，此时17
|
1.414 | 0.003
0.005
12
，∴输出
4
n
．
50．(2014 山东文理)执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为
．
【答案】3【解析】
21
4 1 3
0,
2,
1
x
n
≤
；
2
2
4 2
3
0,
3,
2
x
n
≤
；
23
4 3
3
0,
4,
3
x
n
≤
；
2
4
4 4
3
0,
5,
4
x
n
，此时输出n 值，故输出n 的值为3．
51．(2014 江苏)如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是
．
【答案】5【解析】该流程图共运行5 次，各次2n 的值分别是2,4,8,16,32,∴输出的n 的值是5．
52．(2014 辽宁文理)执行如图的程序框图，若输入
9
x
，则输出y
．
【答案】29
9
【解析】第一次循环：
5,
5
y
x
；第二次循环：
11
11
,
3
3
y
x
；第三次循环：
29
9
y
，
此时
29
11
4
1
9
3
9
y
x
，故输出
29
9
y
．
53．(2013 浙江文理)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_____．
【答案】9
5
【解析】
1
1
1
1,
1;
1
,
2;
1
,
3
1 2
1 2
2 3
k
S
S
k
S
k
当
5
k
时程序结束，此时
1
1
9
1 1 2
4 5
5
S
．
54．(2013 山东文理)执行如图的程序框图，若输入的的值为0．25，则输出的n 的值为___．
【答案】3【解析】第一次循环，
，此时
不成立．第二次循环，
，
此时
成立，输出
．
55．(2012 江西文理)如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________．
【答案】3【解析】由程序框图可知：
第一次：T=0，k=1，sin
1
sin 0
0
2
成立，a=1，T=T+a=1，k=2，2<6，满足判断条件，继续循环；第
二次：sin
0
sin
1
2
不成立，a=0，T=T+a=1，k=3，3<6，满足判断条件，继续循环；第三次：
3
sin
1
sin
0
2
不成立，a=0，T=T+a=1，k=4，4<6，满足判断条件，继续循环；第四次：
3
sin 2
0
sin
1
2
成立，a=1，T=T+a=2，k=5，满足判断条件，继续循环；第五次：
5
sin
1
sin 2
0
2
成立，a=1，T=T+a=2，k=6，6<6 不成立，不满足判断条件，跳出循环，故输出T
的值3．
56．(2012 江苏)如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是
．
【答案】5【解析】由
4
5
2
k
k
＞0 得
1
k
或
4
k
，∴
5
k
．
57．(2011 福建文理)运行如图所示的程序，输出的结果是_______．
【答案】3【解析】
1,
2
a
b
把1 与2 的和输给a ，即
3
a
，输出的结果为3．
58．(2011 江苏)根据如图所示的伪代码，当输入a，b 分别为2，3 时，最后输出的m 的值是
．
Read
a，b
If
a>b
Then
ma
Else
mb
End
If
Print
m
【答案】3【解析】伪代码的含义是输出两个数的较大者，∴输出的
3
m
．
考点114
复数
59．(2020 全国Ⅰ文2)若
3
1
2i
i
z
，则z
(
)
A．0
B．1
C．
2
D．2
【答案】C
【解析】∵
3
1+2
1+2
i
i
i
i
1 i
z
，∴
2
2
1
1
2
z
，故选C．
60．(2020 全国Ⅰ理1)若
1 i
z ，则
2
2
z
z
(
)
A．0
B．1
C．
2
D．2
【答案】D
【解析】由题意可得：
2
2
1 i
2i
z
，则
2
2
2
2 1
2
z
z
i
i
，故
2
2
2
2
z
z
，故选D．
61．(2020 全国Ⅱ文2)
4
1
i
(
)
A．4
B．4
C．
i4
D．i4
【答案】A
【解析】
4
2 2
2
2
2
(1 i)
[(1 i) ]
(1 2i
i )
( 2i)
4
．故选A．
62．(2020 全国Ⅲ文2)复数
1
i
1 i
z
，则z
(
)
A．1 i
B．1 i
C．i
D．i
【答案】D
【解析】∵
2
1
(1
)
2
1
(1
)(1
)
2
i
i
i
z
i
i
i
i
，∴z
i
=
，故选D
63．(2020 全国Ⅲ理2)复数
1
1 3i
的虚部是
(
)
A．
3
10
B．
1
10
C．1
10
D．3
10
【答案】D
【解析】∵
1
1
3
1
3
1
3
(1
3 )(1
3 )
10
10
i
z
i
i
i
i
，∴复数
1
1 3
z
i
的虚部为3
10
，故选D．
64．(2020 浙江2)已知aR ，若
1
2 i
a
a
(i 为虚数单位)是实数，则a
(
)
A．1
B．1
C．2
D．2
【答案】C
【解析】由条件可知
2
0
a
，即
2
a
，故选C．
65．(2020 北京2)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是
1, 2 ，则i z
(
)
A．1
2i
B．2
i
C．1
2i
D．2
i
【答案】B
【解析】由题意z=1+2i，iz=-2+i，故选B．
66．(2020 山东2) 2
i
1
2i
(
)
A．1
B．1
C．i
D．i
【答案】D
【解析】2
(2
)(1 2 )
5
1
2
(1
2 )(1 2 )
5
i
i
i
i
i
i
i
i
，故选D．
67．(2019 全国Ⅰ文)设
3
i
1
2i
z
，则|
|z
A．2
B．
3
C．
2
D．1
【答案】C
【解析】方法1：由题可得
(3
i)(1 2i)
1
7 i
(1
2i)(1 2i)
5
5
z
，∴
2
2
1
7
( )
(
)
|
|
2
5
5
z
，故选C．
方法2：由题可得
2
2
2
2
| 3
i |
10
|
|
2
|1
2i
3
( 1
|
5
)
1
2
z
，故选C．
68．(2019 全国Ⅰ理)设复数z 满足
=1
i
z
，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．
2
2
+1
1
(
)
x
y
B．
2
2
1
(
1)
x
y
C．
2
2
(
1)
1
y
x
D．
2
2
( +1)
1
y
x
【答案】C
【解析】由题可得
i,
i
(
1)i,
z
x
y z
x
y
2
2
i
(
1)
1,
z
x
y
则
2
2
(
1)
1
x
y
．故选C．
69．(2019 全国Ⅱ文)设
)
i
i
(2
z
，则z
A．1
2i
B．1
2i
C．1
2i
D．1
2i
【答案】D
【解析】由题可得
2
i(2
i)
2i
i
1
2i
z
，∴
1
2i
z
，故选D．
70．(2019 全国Ⅱ理)设z=–3+2i，则在复平面内z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】由
3
2i,
z
得
3
2i,
z
则
3
2i
z
对应的点(-3，-2)位于第三象限．故选C．
71．(2019 全国Ⅲ文理)若(1 i)
2i
z
，则z
A．1 i
B．1
i
C．1 i
D．1 i
【答案】D
【解析】由题可得
(
)
(
2i
2i 1 i
1 i
1 i
1 i 1 i
)(
)
z
．故选D．
72．(2019 年高考北京文理)已知复数
2
i
z
，则z z
A．
3
B．
5
C．3
D．5
【答案】D
【解析】由题
2
i
z
，则
(2
i)(2
i)
5
z z
，故选D．
74．(2018 北京文理)在复平面内，复数1
1
i
的共轭复数对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D【解析】1
1 i
1 i
1
1 i
1 i
(1 i)(1 i)
2
2
2
，其共轭复数为1
1 i
2
2
，对应的点为1
1
( ,
)
2
2
，故
选D．
75．(2018 全国卷Ⅰ文理)设
1 i
2i
1 i
z
，则|
|z
A．0
B．1
2
C．1
D．2
【答案】C【解析】∵
2
1 i
(1 i)
2i=
2i
i
2i
i
1 i
(1 i)(1 i)
z
，∴| z | 1
，故选C．
76．(2018 全国卷Ⅱ文)
i 2
3i
A．3
2i
B．3
2i
C．3
2i
D．3
2i
【答案】D【解析】
i 2
3i
3
2i
，故选D．
77．(2018 全国卷Ⅱ理)1
2i
1
2i
A．
4
3 i
5
5
B．
4
3 i
5
5
C．
3
4 i
5
5
D．
3
4 i
5
5
【答案】D【解析】1
2i
(1
2i)(1
2i)
3
4 i
1 2i
(1 2i)(1
2i)
5
5
，故选D．
78．(2018 全国卷Ⅲ文理)(1 i)(2
i)
=
A．3 i
B．3 i
C．3 i
D．3
i
【答案】D【解析】
2
(1 i)(2
i)
2
i
2i
i
3
i
．故选D．
79．(2018 浙江)复数2
1 i
(i 为虚数单位)的共轭复数是
A．1 i
B．1 i
C．1
i
D．1 i
【答案】B【解析】∵2
2(1 i)
1 i
1 i
(1 i)(1 i)
，∴复数2
1 i
的共轭复数为1 i
．故选B．
80．(2017 新课标Ⅰ文)下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．
2
i(1 i)
B．2i (1 i)
C．
2
(1 i)
D．i(1 i)
【答案】C【解析】由
2
(1
)
2
i
i
为纯虚数知选C．
81．(2017 新课标Ⅰ理)设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1
z R ，则z R ；
2p ：若复数z 满足
2z R ，则z R ；
3p ：若复数
1z ，
2z 满足
1 2
z z R ，则
1
2
z
z
；
4p ：若复数z R ，则z R ．
其中的真命题为
A．
1p ，
3p
B．
1p ，
4p
C．
2p ，
3p
D．
2p ，
4p
【答案】B【解析】设
i
z
a
b
( ,a bR )，则
2
2
1
1
i
(
i)
a
b
z
a
b
a
b
R ，得
0
b
，∴z R ，
1p 正确；
2
2
2
2
(
i)
2
i
z
a
b
a
b
ab
R ，则
0
ab
，即
0
a
或
0
b
，不能确定z R ，
2p 不正确；若z R ，
则
0
b
，此时
i
z
a
b
a
R ，
4p 正确．选B．
82．(2017 新课标Ⅱ文)(1
)(2
)
i
i
A．1 i
B．1 3i
C．3
i
D．3 3i
【答案】B【解析】由复数的运算法则，
2
(1 i)(2
i)
1 2
3i
i
1 3i
，故选B．
83．(2017 新课标Ⅱ理) 3
i
1 i
A．1 + 2i
B．1 −2i
C．2 + i
D．2 −i
84．(2017 新课标Ⅲ文)复平面内表示复数
i( 2
i)
z
的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C【解析】∵
i( 2
i)
1
2i
z
，∴复数z 在复平面内对应的点
( 1, 2)
Z
，位于第三象限，
故选C．
85．(2017 新课标Ⅲ)设复数z 满足(1 i)
2
z
i
，则|
|
z =
A．1
2
B．
2
2
C．
2
D．2
【答案】C【解析】由(1 i)
2
z
i
，得
2i
1 i
1 i
z
，∴
2
2
|
|
1
1
2
z
．故选C．
86．(2017 山东文)已知i 是虚数单位，若复数z 满足i
1 i
z ，则
2z =
A．2i
B．2i
C．2
D．2
【答案】A【解析】由i
1 i
z ，得
1 i
1 i
i
z
，
2
2
(1 i)
2i
z
，故选A．
87．(2017 山东理)已知a
R
，i 是虚数单位，若
3i
z
a
，
4
z z
，则a =
A．1 或1
B．
7 或
7
C．
3
D．
3
【答案】A【解析】由
3 ,
4
z
a
i z z
得
2
3
4
a
，∴
1
a ，故选A．
88．(2017 北京文理)若复数(1 i)(
i)
a
在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
A．(
,1)
B．(
, 1)
C．(1,
)
D．( 1,
)
【答案】B【解析】
(1 i)(
i)
(
1)
(1
)i
z
a
a
a
，∵对应的点在第二象限，∴
1
0
1
0
a
a
，解得
1
a ，
故选B．
89．(2016 全国I 文)设(1
2i)(
i)
a
的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=
A．−3
B．−2
C．2
D．3
【答案】A【解析】∵(1
2i)(
i)
a
=(
2)
(2
1)i
a
a
，由已知的
2
2
1
a
a
，
解得
3
a ．故选A．
90．(2016 年全国I 理)设(1
)
1
i x
yi
，其中,x y 是实数，则
i =
x
y
A．1
B．2
C．
3
D．2
【答案】B【解析】∵(1
)
1
i x
x
xi
yi
，∴
1
x
y
，
∴
2
2
|
| |1
|
1
2
2
x
yi
i
，故选B．
91．(2016 全国II 文)设复数z 满足
i
3
i
z ，则z =
A．1
2i
B．1
2i
C．3
2i
D．3
2i
【答案】C【解析】由
i
3
i
z 得，
3
2
z
i
，∴
3
2
z
i
，故选C．
92．(2016 年全国II 理)已知
(
3)
(
1)i
z
m
m
在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
A．
3 1
，
B．
1 3
，
C．
1,
+
D．
3
-
，
【答案】A【解析】由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(
3,
1)
m
m
，
∴
3
0
m
，
1
0
m
，解得∴3
1
m
，故选A．
93．(2016 全国III 文)若
4
3i
z
，则|
|
z
z
=
A．1
B．1
C．4
3i
5
5
D．4
3 i
5
5
【答案】D【解析】
2
2
4
3
4
3
|
|
5
5
4
3
z
i
i
z
，故选D．
94．(2016 年全国III 理)若
1 2
z
i
，则
4
1
i
zz
(
)
A．1
B．1
C．i
D．i
【答案】C【解析】
4
4
1
(1
2 )(1
2 )
1
i
i
i
zz
i
i
，故选C．
95．(2016 年山东理) 若复数z 满足2
3
2
z
z
i
其中i 为虚数单位，则z =
A．1+2i
B．1 2i
C．1
2i
D．1
2i
【答案】B【解析】设
( ,
)
z
a
bi a b
R
，则z
a
bi
，
故2
2(
)
3
3
2
z
z
a
bi
a
bi
a
bi
i
，
∴
1,
2
a
b
，∴
1
2
z
i
，故选B．
96．(2015 新课标I 文理)设复数z 满足1
1
z
i
z
，则|
|
z =
A．1
B．
2
C．
3
D．2
【答案】A【解析】由题意知1 z
i
zi
+
= -
，
2
1
(
1)
1
(
1)(
1)
i
i
z
i
i
i
i
-
-
=
=
=
+
+
-
，∴| z | 1
=
．
97．(2015 广东文理)若复数
3
2
z
i
i
(i 是虚数单位)，则z
A．2
3i
B．2
3i
C．3
2i
D．3
2i
【答案】A 【解析】∵
2 3
z
i
=
+
，∴
2 3
z
i
=
-
．
98．(2015 安徽文理)设i 是虚数单位，则复数2
1
i
i
在复平面内所对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B【解析】由题意2
2 (1
)
2
2
1
1
(1
)(1
)
2
i
i
i
i
i
i
i
i
，其对应的点坐标为( 1,1)
，位于第二象
限，故选B．
99．(2015 山东文理)若复数z 满足1
z
i
i
，其中i 为虚数单位，则z =
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
【答案】A【解析】
2
(1
)
1
,
1
z
i i
i
i
i z
i
．
100．(2015 四川文理)设i 是虚数单位，则复数3
2
i
i
=
A．i
B．3i
C．i
D．3i
【答案】C【解析】3
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
-
= - -
= - +
=
．
101．(2015 湖北文理)i 为虚数单位，
607
i
的共轭复数为
A．i
B．i
C．1
D．1
【答案】A【解析】
i
i
i
i
3
151
4
607
，故选B．
102．(2015 湖南文理)已知
2
1
1
i
i
z
(i 为虚数单位)，则复数z =
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
【答案】D【解析】由题意得，
i
i
i
i
i
z
1
1
2
1
)
1(
2
，故选D．
103．(2014 新课标I 文理)设
i
i
z
1
1
，则
|
| z
A．2
1
B．2
2
C．2
3
D．2
【答案】B【解析】
i
i
z
1
1
= 1
1
2
2 i
，∴
2
2
1
1
2
|
|
( )
( )
2
2
2
z
．
104．(2014 新课标I 文理)
3
2
(1
)
(1
)
i
i
=
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
【答案】D【解析】
3
2
(1
)
(1
)
i
i
=1
3
3
2
2
1
2
2
i
i
i
i
i
i
．
105．(2014 新课标II 文理)设复数
1z ，
2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，
1
2
z
i
，则
1
2
z z
A．5
B．5
C．4
i
D．4
i
【答案】A【解析】
2
2
z
i
，∴
1
2
z z (2
)( 2
)
5
i
i
．
106．(2014 新课标II 文理)1
3
1
i
i
A．1
2i
B．1
2i
C．1-2i
D．1-2i
【答案】B【解析】1
3
1
i
i
1 2i
．
107．(2014 山东文理)已知
i
R
b
a
,
,
是虚数单位，若
i
a 与
bi
2
互为共轭复数，则
2
）
（
bi
a
A．
i4
5
B．
i4
5
C．
i4
3
D．
i4
3
【答案】D【解析】由已知得
2,
1
a
b
，∴
2
2
(2
)
3
4
a
bi
i
i
（
）
．
108．(2014 广东文理)已知复数z 满足(3
4 )
25
i z
，则z =
A．3
4i
B．3
4i
C．3
4i
D．3
4i
【答案】D【解析】由(3
4 )
25
i z
得
25
25(3
4 )
(3
4 )
3
4
25
i
z
i
i
，故选D．
109．(2014 安徽文理)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若
,
1 i
z
则z
i z
i
A．2
B．2i
C．2
D．2i
【答案】C【解析】
1
(1
)
(
1)
(
1)
2
z
i
i z
i
i
i
i
i
i
．
110．(2014 福建文理)复数
(3
2 )
z
i i
的共轭复数z 等于
A．2
3i
B．2
3i
C．2
3i
D．2
3i
【答案】C【解析】∵
(3
2 )
z
i i
= 2
3i
，∴
2
3
z
i
．
111．(2014 天津文理)i 是虚数单位，复数7
3
4
i
i
+
=
+
A．1
i
-
B．
1
i
- +
C．17
31
25
25i
+
D．
17
25
7
7 i
-
+
【答案】A【解析】
(
)(
)
(
)(
)
7
3
4
7
25
25
1
3
4
3
4
3
4
25
i
i
i
i
i
i
i
i
+
-
+
-
=
=
= -
+
+
-
．
112．(2014 重庆文理)实部为2
，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B【解析】实部为-2，虚部为1 的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，故选B．
113．(2013 新课标I 文理)若复数z 满足(3
4i)
| 4
3i |
z
，则z 的虚部为
A．－4
B．
4
5
C．4
D．4
5
【答案】D【解析】由题知z = | 4
3 |
3
4
i
i
=
2
2
4
3 (3
4 )
(3
4 )(3
4 )
i
i
i
= 3
4
5
5 i
，故z 的虚部为4
5
，故选D．
114．(2013 新课标II 文)设复数z 满足
1
2
i z
i
，则z =
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
【答案】A【解析】
2 1
2
2
2
1
1
1
1
2
i
i
i
i
z
i
i
i
i
．
115．(2013 山东文理)复数z 满足
3
2
5
z
i
(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为
A．2+i
B．2-i
C．5+i
D．5-i
【答案】D【解析】
3
2
5
z
i
，得
5
3
5
,
5
2
z
i z
i
i
．
116．(2013 安徽文理)设i 是虚数单位，
_
z 是复数z 的共轭复数，若
2
2
z zi
z
，则z =
A．1+i
B．1 i
C．1+i
D．1-i
【答案】A【解析】设z
a
bi
，则z
a
bi
，由
2
2
z zi
z
得，
2
2
2
2
2
2
a
bi
a
bi i
a
b
i
a
bi
i
z
b
a
a
1
1
1
2
2
2b
b
a
2
2
，故选A ．
117．(2013 广东文理)若复数z 满足
2
4
iz
i
，则在复平面内，z 对应的点的坐标是
A ．
2,4
B．
2, 4
C．
4, 2
D．
4,2
【答案】C【解析】
2
4
4
2
i
z
i
i
对应的点的坐标是
4, 2
，故选C．
118．(2013 江西文理)已知集合
1,2,
M
zi
，i 为虚数单位，
3,4
N
，
{4}
M
N
，则复数z =
A．-2i
B．2i
C．-4i
D．4i
【答案】C【解析】由
{4}
M
N
知，
4
zi
，∴
4
z
i
．
119．(2013 湖北文理)在复平面内，复数
2
1
i
z
i
(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D【解析】
2
1
1
i
z
i
i
，
1
z
i
．
120．(2013 北京文理)在复平面内，复数(2
)
i
i
对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A【解析】
2
1 2
i
i
i
，故选A．
121．(2013 四川文理)如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】B【解析】设
( , )
A x y 表示复数z
x
yi
，则z 的共轭复数z
x
yi
对应的点位
( ,
)
B x
y
．
122．(2013 辽宁文理)复数的
1
1
z
i
模为(
)
A．1
2
B．
2
2
C．2
D．2
【答案】B【解析】由已知
1
1
1
( 1
)( 1
)
2
2
i
z
i
i
i
，∴
2
|
|
2
z
．
123．(2012 新课标文理)复数z＝3
2
i
i
的共轭复数是(
)
A．2
i
B．2
i
C．1 i
D．1 i
【答案】D【解析】∵z = 3
2
i
i
= 1 i
，∴z 的共轭复数为1 i
，故选D．
124．(2012 北京文理)在复平面内，复数10
3
i
i
对应的点坐标为(
)
A．(1，3)
B．(3，1)
C．( 1,3
）
D．3
1
（，）
【答案】A【解析】由10
10 (3
)
1 3
3
(3
)(3
)
i
i
i
i
i
i
i
对应复平面内的点为A．
125．(2012 广东文理)设i 为虚数单位，则复数5
6i
i
=
A．6
5i
B．6
5i
C．6
5i
D．6
5i
【答案】D【解析】依题意：
2
5
6
(5
6 )
6
5
i
i i
i
i
i
，故选D ．
126．(2012 辽宁文理)复数2- =
2+
i
i
A．3 4
-
5 5 i
B．3
4
+
5
5 i
C．
4
1- 5 i
D．
3
1+ 5 i
【答案】A【解析】
2
2-
2-
3-4
3 4
=
=
=
-
2+
2+
2-
5
5 5
i
i
i
i
i
i
i
，故选A．
127．(2012 湖南文理)复数
(
1)
z
i i
(i 为虚数单位)的共轭复数是
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
【答案】A【解析】由
(
1)
z
i i
= 1 i
，及共轭复数定义得
1
z
i
．
128．(2012 天津文理)i 是虚数单位，复数7
3
i
i
=
A．2
i
B．2
i
C．2
i
D．2
i
【答案】B【解析】7
3
i
i
= (7
)(3
)
(3
)(3
)
i
i
i
i
= 21 7
3
1
10
i
i
= 2
i
．
129．(2012 浙江文理)已知i 是虚数单位，则3
1
i
i
A．1 2i
B．2
i
C．2
i
D．1 2i
【答案】D【解析】3
(3
)(1
)
2
4
1
2
1
(1
)(1
)
2
i
i
i
i
i
i
i
i
．
130．(2012 江西文理)若复数
1
z
i
(i 为虚数单位) z 是z 的共轭复数，则
2
2
z
z
的虚部为
A．0
B．－1
C．1
D．－2
【答案】A【解析】∵
1
z
i
，∴
1
z
i
，∴
2
2z
z
=0．
131．(2012 山东文理)若复数z 满足
i
i
z
7
11
2
(i 为虚数单位)，则z 为
(A)
i5
3
(B)
i5
3
(C)
i5
3
(D)
i5
3
【答案】A【解析】
i
i
i
i
i
i
z
5
3
5
)
11
14
(
7
22
5
)
2
)(
7
11
(
2
7
11
．故选A．
另解：设
)
,
(
R
b
a
bi
a
z
，则
i
i
a
b
b
a
i
bi
a
7
11
)
2
(
2
)
2
)(
(
根据复数相等可知
7
2,
11
2
a
b
b
a
，解得
5
,3
b
a
，于是
i
z
5
3
．
132．(2012 陕西文理)设,a b
R
，i 是虚数单位，则“
0
ab
”是“复数
b
a
i
为纯虚数”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】“
0
ab
”则
0
a
或
0
b
，“复数
b
a
i
为纯虚数”则
0
a
且
0
b
，则“
0
ab
”
是“复数
b
a
i
为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．
133．(2011 山东文理)复数z = 2
2
i
i
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D【解析】z = 2
2
i
i
= 3
4
5
5 i
在复平面内对应的点所在象限为第四象限．
134．(2011 安徽文理)设i 是虚数单位，复数
ai
i
为纯虚数，则实数a 为
A．2
B．2
C．
D．
【答案】A【解析】设
(
)
ai bi b
R
i
=
，则1+
(2
)
2
ai
bi
i
b
bi
，∴
1,
2
b
a
．故选A．
135．(2011 新课标文理)复数2
1 2
i
i
的共轭复数是
A．
3
5 i
B．3
5 i
C．i
D．i
【答案】C【解析】2
1 2
i
i
= (2
)(1
2 )
,
5
i
i
i
共轭复数为C．
136．(2011 湖南文理)若,a b
R
，i 为虚数单位，且(
)
a
i i
b
i
，则
A．
1,
1
a
b
B．
1,
1
a
b
C．
1,
1
a
b
D．
1,
1
a
b
【答案】D【解析】因(
)
1
a
i i
ai
b
i
，根据复数相等的条件可知
1,
1
a
b
．
137．(2011 广东文理)设复数z 满足(1+i ) z =2，其中i 为虚数单位，则z =
A．1+i
B．1-i
C．2+2i
D．2-2i
【答案】B【解析】
2
2(1
)
1
1
(1
)(1
)
i
z
i
i
i
i
．
138．(2011 辽宁文理)i 为虚数单位，
7
5
3
1
1
1
1
i
i
i
i
A．0
B．2i
C．
i2
D．4i
【答案】A【解析】∵2
1
i ，∴
7
5
3
1
1
1
1
i
i
i
i
1
1
1
1
0
i
i
i
i
．
139．(2011 福建文理)i 是虚数单位，若集合S=
1.0.1
，则
A．i
S
B．
2i
S
C．3i
S
D．2
S
i
【答案】B【解析】∵
2
1
i ，1
S
，∴2i
S
．
140．(2011 浙江文理)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若
1
,
(1
)
z
i
z
z
则
=
A．3－i
B．3+i
C．1+3i
D．3
【答案】A【解析】(1
)
(2
)(1 i)
3
i
z
z
i
．
141．(2020 全国Ⅱ理15)设复数
2
1, z
z
满足
i
z
z
z
z
3
2
2
1
2
1
，
，则
2
1
z
z
．
【答案】2 3
【解析】
1
2
2
z
z
，可设
1
2cos
2sin
z
i
，
2
2cos
2sin
z
i
，
1
2
2 cos
cos
2 sin
sin
3
z
z
i
i
，
2 cos
cos
3
2 sin
sin
1
，两式平方作和得：
4 2
2cos cos
2sin sin
4
，
化简得：
1
cos cos
sin sin
2
，
1
2
2 cos
cos
2 sin
sin
z
z
i
2
2
4 cos
cos
4 sin
sin
8
8 cos
cos
sin
sin
8
4
2 3
．
故答案为：2 3 ．
142．(2020 江苏2)已知i 为虚数单位，则复数
1 i
2
i
z
的实部是
．
【答案】3
【解析】
1 i
2
i
3 i
z
，则复数z 的实部为3．
143．(2020 天津10)i 是虚数单位，复数8
2
i
i
_________．
【答案】3
2i
【解析】
8
2
8
15 10
3
2
2
2
2
5
i
i
i
i
i
i
i
i
．故答案为：3
2i
．
144．(2020 上海3)已知复数
1
2
z
i
(i 为虚数单位)，则| z |
．
【答案】
5
【解析】
2
21
2
5
z
，故答案为：
5 ．
145．(2020 海南2)
1 2i
2
i
=
(
)
A．1
B．1
C．i
D．i
【答案】B
【解析】
2
(1
2 )(2
)
2
4
2
5
i
i
i
i
i
i
，故选B．
146．(2019 天津文理】i 是虚数单位，则5
|
i
i |
1
的值为______________．
【答案】13
【解析】5
i
(5
i)(1 i)
|
| |
| | 2
3i |
13
1 i
(1 i)(1 i)
．
147．(2019 浙江卷】复数
1
1
i
z
(i 为虚数单位)，则|
|
z =______________．
【答案】
2
2
【解析】由题可得
1
1
2
|
| |1 i |
2
2
z
．
148．(2019 江苏卷】已知复数(
2i)(1 i)
a
的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________．
【答案】2
【解析】
2
(
2i)(1 i)
i 2i 2i
2
(
2)i
a
a
a
a
a
，令
2
0
a
，解得
2
a
．
149．(2018 天津文理)i 是虚数单位，复数6
7i
1 2i
．
【答案】4
i
【解析】6
7i
(6
7i)(1 2i)
20
5i
4
i
1
2i
(1
2i)(1 2i)
5
．
150．(2018 上海文理)已知复数z 满足(1 i)
1 7i
z
(i 是虚数单位)，则|
|
z =
．
【答案】5【解析】由题意
1 7i
(1 7i)(1 i)
6
8i
3
4i
1 i
(1 i)(1 i)
2
z
，∴
2
2
|
| | 3
4i |
3
4
5
z
．
151．(2018 江苏)若复数z 满足i
1
2i
z
，其中i 是虚数单位，则z 的实部为
．
【答案】2【解析】复数
1
2i
(1
2i)( i)
2
i
i
z
的实部是2．
152．(2017 天津文理)已知aR ，i 为虚数单位，若
i
2
i
a
为实数，则a 的值为
．
【答案】2
【解析】
(
)(2
)
(2
1)
(
2)
2
1
2
2
(2
)(2
)
5
5
5
a
i
a
i
i
a
a
i
a
a
i
i
i
i
为实数，
则
2
0,
2
5
a
a
．
153．(2017 浙江文)已知a，b∈R，
2
i
3
4i
a
b
（
）
(i 是虚数单位)则
2
2
a
b
，ab =
．
【答案】5，2【解析】∵
2
2
2
(
i)
2
i
3
4i
a
b
a
b
ab
，∴
2
2
3
a
b
，
2
ab
，
又
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
4
9 16
25
a
b
a
b
a b
，∴
2
2
5
a
b
，
2
ab
．
154．(2017 江苏文理)已知复数
(1 i)(1
2i)
z
，其中i 是虚数单位，则z 的模是______．
【答案】10 【解析】|
| |1 i ||1
2i |
2
5
10
z
．
155．(2015 天津文理)i 是虚数单位，若复数(1
2 )(
)
i a
i
是纯虚数，则实数a 的值为
．
【答案】2
【解析】
1
2
2
1
2
i
a
i
a
a i
是纯度数，∴
2
0
a
，即
2
a ．
156．(2015 重庆文理)设复数
( ,
R)
a
bi a b
的模为
3 ，则(
)(
)
a
bi a
bi
＝
．
【答案】3【解析】由
3
a
bi
得
2
2
3
a
b
，即
2
2
3
a
b
，∴
2
2
(
)(
)
3
a
bi a
bi
a
b
．
157．(2014 江苏文理)已知复数
2
(5
2 )
z
i
(i 为虚数单位)，则z 的实部为
．
【答案】21【解析】
2
(5
2 )
z
i
=21 20i
，z 的实部为21．
158．(2014 浙江文理)已知i 是虚数单位，计算
2
1
(1
)
i
i
＝________．
【答案】1
2
i
【解析】
2
1
1
(1
)
1
(1
)
2
2
2
i
i
i i
i
i
i
．
159．(2014 北京文理)复数
2
1
1
i
i
________．
【答案】1
1【解析】
2
1
1
i
i
2
2
(1
)
1
(1
)
i
i
．
160．(2014 湖南文理)复数
2
3
i
i
(i 为虚数单位)的实部等于_________．
【答案】3
【解析】
2
3
i
i
= 3 i
．实部为3
．
161．(2013 重庆文理)已知复数
5
1
2
i
z
i
(i 是虚数单位)，则
_________
z
【答案】
5 【解析】
5 (1 2 )
2
(1
2 )(1 2 )
i
i
z
i
i
i
，∴
2
2
|
|
2
1
5
z
．
162．(2013 天津文理)已知a，b∈R，i 是虚数单位．若(a + i)(1 + i) = bi，则a + bi =
．
【答案】1 2i
【解析】由题意
1
0
1
a
a
b
，即
1
2
a
b
，∴a + bi=1 2i
．
163．(2012 湖北文理)若3
1
bi
i
=a
bi
( ,a b 为实数，i 为虚数单位)，则a
b
=____________．
【答案】3【解析】∵3
1
bi
a bi
i
，∴
3
1
bi
a bi
i
a b
b a i
．又∵,a b 都为实数，故由复
数的相等的充要条件得
3,
,
a b
b a
b
解得
0,
3,
a
b
∴
3
a b
．
164．(2011 江苏文理)设复数ｚ满足
i
z
i
2
3
)1
(
(i 是虚数单位)，则z 的实部是___．
【答案】1【解析】
3
2
1
1 3
i
z
i
i
，∴z 的实部是1．
考点115
推理与证明
165．(2019 全国I 文)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5
1
2
(
5
1
2
≈0．618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5
1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头
顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
【答案】B
【解析】方法一：如下图所示．依题意可知：
5
1
5
1
,
2
2
AC
AB
CD
BC
，
①腿长为105 cm 得，即
>105
CD
，
5
1
64.89
2
AC
CD
，
64.89 105
169.89
AD
AC
CD
，
∴AD>169．89．
②头顶至脖子下端长度为26 cm，即AB<26，
42.07
5
1
2
AB
BC
，
=
+
<68.07
AC AB BC
，
110.15
5
1
2
AC
CD
，
+
<68.07+110.15=178.22
AC CD
，∴
<178.22
AD
．
综上，169.89<
<178.22
AD
，故选B．
方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则26
26
5
1
105
2
x
x
y
，得
42.07cm,
5.15cm
x
y
．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，∴其身高约为
42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
166．(2019 全国II 理)2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联
系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
2
L 点的轨道运行．
2
L 点
是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，
2
L 点到月球的
距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
1
2
1
2
2
3
(
)
(
)
M
M
M
R
r
R
r
r
R
．设
r
R
，由
于的值很小，因此在近似计算中
3
4
5
3
2
3
3
3
(1
)
，则r 的近似值为(
)
A．
2
1
M R
M
B．
2
1
2
M
R
M
C．
2
3
1
3M R
M
D．
2
3
1
3
M R
M
【答案】D
【解析】由
r
R
，得r
R
，∵
1
2
1
2
2
3
(
)
(
)
M
M
M
R
r
R
r
r
R
，∴
1
2
1
2
2
2
2
2
(1
)
(1
)
M
M
M
R
R
R
，
即
5
4
3
2
3
2
2
2
1
1
3
3
[(1
)
]
3
(1
)
(1
)
M
M
，
解得
3
2
1
3
M
M
，∴
3
2
1
.
3
M
r
R
R
M
167．(2019 年高考北京文理)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
满足m2−m1= 5
2
lg
2
1
E
E ，其中星等为mk 的星的亮度为Ek(k=1，2)．已知太阳的星等是−26．7，天狼星的星等
是−1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010．1
B．10．1
C．lg10．1
D．10–10．1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足
1
2
1
2
5 lg
2
E
m
m
E
，令
2
1
1.45,
26.7
m
m
，
10.1
1
1
2
1
2
2
2
2
lg
( 1.45
26.7)
10.1,
10
5
5
E
E
m
m
E
E
，故选A．
168．(2018 浙江)已知
1a ，
2a ，
3a ，
4a 成等比数列，且
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
．若
1
1
a
，则
A．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
B．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
C．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
D．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
【答案】B【解析】解法一∵ln
1
x
x
≤
(
0
x
)，∴
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
1
2
3
1
a
a
a
≤
，∴
4
1
a
≤
，又
1
1
a
，∴等比数列的公比
0
q
．
若
1
q
≤
，则
2
1
2
3
4
1(1
)(1
0
a
a
a
a
a
q
q
）≤
，
而
1
2
3
1
1
a
a
a
a
≥
，∴
1
2
3
ln(
)
0
a
a
a
，
与
1
2
3
1
2
3
4
ln(
)
0
a
a
a
a
a
a
a
≤
矛盾，
∴1
0
q
，∴
2
1
3
1(1
)
0
a
a
a
q
，
2
2
4
1 (1
)
0
a
a
a q
q
，
∴
1
3
a
a
，
2
4
a
a
，故选B．
解法二
∵
1
xe
x
≥
，
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
，
∴
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
a
a
a
a
e
a
a
a
a
a
a
a
≥
，则
4
1
a
≤
，
又
1
1
a
，∴等比数列的公比
0
q
．
若
1
q
≤
，则
2
1
2
3
4
1(1
)(1
0
a
a
a
a
a
q
q
）≤
，
而
1
2
3
1
1
a
a
a
a
≥
，∴
1
2
3
ln(
)
0
a
a
a
与
1
2
3
1
2
3
4
ln(
)
0
a
a
a
a
a
a
a
≤
矛盾，
∴1
0
q
，∴
2
1
3
1(1
)
0
a
a
a
q
，
2
2
4
1 (1
)
0
a
a
a q
q
，
∴
1
3
a
a
，
2
4
a
a
，故选B．
169．(2018 北京文理)设集合
{( , ) |
1,
4,
2},
A
x y
x
y
ax
y
x
ay
≥
≤
则
A．对任意实数a ，(2,1)
A
B．对任意实数a ，(2,1)
A
C．当且仅当
0
a
时，(2,1)
A
D．当且仅当
3
2
a ≤
时，(2,1)
A
【答案】D【解析】解法一点(2,1) 在直线
1
x
y
上，
4
ax
y
表示过定点(0,4) ，斜率为a
的直线，
当
0
a
时，
2
x
ay
表示过定点(2,0) ，斜率为1
a
的直线，不等式
2
x
ay
≤
表示的区域包含原点，不
等式
4
ax
y
表示的区域不包含原点．直线
4
ax
y
与直线
2
x
ay
互相垂直，显然当直线
4
ax
y
的斜率
0
a
时，不等式
4
ax
y
表示的区域不包含点(2,1) ，故排除A；点(2,1) 与点(0,4) 连线的斜率
为
3
2
，当
3
2
a
，即
3
2
a
时，
4
ax
y
表示的区域包含点(2,1) ，此时
2
x
ay
表示的区域也包
含点(2,1) ，故排除B；当直线
4
ax
y
的斜率
3
2
a
，即
3
2
a
时，
4
ax
y
表示的区域不包含点
(2,1) ，故排除C，故选D．
解法二若(2,1)
A
，则2
1
4
2
2
a
a
≤
，解得
3
2
a
，∴当且仅当
3
2
a ≤
时，(2,1)
A
．故选D．
170．(2017 新课标Ⅱ文理)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人
中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙可以知道两人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结
果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．
171．(2017 浙江理)如图，已知正四面体D
ABC
(所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，
CA 上的点，AP
PB
，
2
BQ
CR
QC
RA
，分别记二面角D
PR
Q
，D
PQ
R
，D
QR
P
的平面角
为，，，则
A．<<
B．<<
C．< <
D．<<
【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE
RP
，OF
PQ
，OG
RQ
，
由题意可知tan
DO
OE
，tan
OD
OF
，tan
OD
OG
，
图1
图2
由图2 所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设
2
AB
，则
( 1,0)
A
，(1,0)
B
，(0, 3)
C
，
3
(0,
)
3
O
，
∵AP
PB
，
2
BQ
CR
QC
RA
，∴
1 2 3
( ,
)
3
3
Q
，
2
3
(
,
)
3
3
R
，则直线RP 的方程为
3
2
y
x
，直线PQ
的方程为
2 3
y
x
，直线RQ 的方程为
3
5 3
3
9
y
x
，根据点到直线的距离公式，知
2 21
21
OE
，
39
39
OF
，
1
3
OG
，∴OF
OG
OE
，tan
tan
tan
，
∵，，为锐角，∴
．选B
172．(2016 浙江文)如图，点列
,
n
n
A
B
分别在某锐角的两边上，
且
*
1
1
2
2
,
,
n
n
n
n
n
n
A A
A
A
A
A
n
N ，
*
1
1
2
2
,
,
n
n
n
n
n
n
B B
B
B
B
B
n
N ．
(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)，若
n
n
n
d
A B
，
n
S 为
1
n
n
n
A B B
△
的面积，则
A．
n
S
是等差数列
B．
2
n
S
是等差数列
C．
n
d
是等差数列
D．
2
n
d
是等差数列
【答案】A【解析】
n
S 表示点
n
A 到对面直线的距离(设为
nh )乘以
1
n
n
B B 长度一半，即
1
1
2
n
n
n
n
S
h B B
，
由题目中条件可知
1
n
n
B B 的长度为定值，那么我们需要知道
nh 的关系式，过
1A 作垂直得到初始距离
1h ，
那么
1,
n
A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么
1
1 tan
n
n
n
h
h
A A
，其中为两条线的夹角，即为定值，
那么
1
1
1
1 (
tan )
2
n
n
n
n
S
h
A A
B B
，
1
1
1
1
1
1 (
tan )
2
n
n
n
n
S
h
A A
B B
，作差后：
1
1
1
1 (
tan )
2
n
n
n
n
n
n
S
S
A A
B B
，都为定值，∴
1
n
n
S
S
为定值．故选A．
173．(2016 北京理)某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为
10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1．9
6
1．9
2
1．8
2
1．8
0
1．7
8
1．7
6
1．7
4
1．7
2
1．6
8
1．6
0
30 秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a−1
b
65
在这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6 人，则
A．2 号学生进入30 秒跳绳决赛
B．5 号学生进入30 秒跳绳决赛
C．8 号学生进入30 秒跳绳决赛
D．9 号学生进入30 秒跳绳决赛
【答案】B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8 人为1~8 号，∴进入30 秒跳绳决赛的6 人从1~8
号里产生．数据排序后可知3 号，6 号，7 号必定进入30 秒跳绳决赛，则得分为63，a ，60，63，a l 的
5 人中有3 人进入30 秒跳绳决赛．若1 号，5 号学生未进入30 秒跳绳决赛，则4 号学生就会进入决赛，与
事实矛盾，∴l 号，5 号学生必进入30 秒跳绳决赛，故选B．
174．(2015 广东)若集合
{
, , ,
0
4,0
4,0
4
Ε
p q r s
p
s
q
s
r
s
≤
≤
≤
≤
≤
≤
，且
, , ,
}
p q r s，
, , ,
0
4,0
4
, , ,
F
t u v w
t
u
v
w
t u v w
≤
≤
≤
≤且
，
用
card Χ 表示集合Χ 中的元素个数，则
card
card
Ε
F
A．200
B．150
C．100
D．50
【答案】A 【解析】当
4
s
时，p ，q ，r 都是取0 ，1，2 ，3中的一个，有4 4 4
64
种，当
3
s
时，p ，q ，r 都是取0 ，1，2 中的一个，有3 3 3
27
种，当
2
s
时，p ，q ，r 都是取0 ，1中的
一个，有2 2 2
8
种，当
1
s
时，p ，q ，r 都取0 ，有1种，∴
card
64
27
8 1 100
，当
0
t
时，u 取1，2 ，3，4 中的一个，有4 种，当
1
t 时，u 取2 ，3，4 中的一个，有3种，当
2
t
时，u 取
3，4 中的一个，有2 种，当
3
t
时，u 取4 ，有1种，∴t 、u 的取值有1 2
3
4
10
种，
同理，v 、w 的取值也有10种，∴
card F
10 10
100
，
∴
card
card F
100 100
200
，故选D．
175．(2014 北京文理)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若
学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，
如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学
生，那么这组学生最多有
A．2 人
B．3人
C．4 人
D．5人
【答案】B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，
一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3 人，其
中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．
176．(2014 山东文理)用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程
3
0
x
ax
b
至少有一个实根”时，要
做的假设是
A．方程
3
0
x
ax
b
没有实根
B．方程
3
0
x
ax
b
至多有一个实根
C．方程
3
0
x
ax
b
至多有两个实根
D．方程
3
0
x
ax
b
恰好有两个实根
【答案】A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．
177．(2011 江西文理)观察下列各式：
55
3125
，
65
15 625
，
75
78125
，，则
2011
5
的末四位数
字为
A．3125
B．5625
C．0625
D．8125
【答案】D【解析】∵
55
3125
，65
15 625
，75
78125
，85
390 625
，95
1953125
，10
5
9 765 625
，
，∴5n (n
Z
，且
5
n≥
)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n
Z
，且
5
n≥
)的
末四位数字为
( )
f n ，则
(2011)
(501 4
7)
f
f
(7)
f
，∴
2011
5
与
75 的末位数字相同，均为8 125，选
D．
178．(2019 全国II 文理)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正
方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种
以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它
的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱
长为_________．(本题第一空2 分，第二空3 分．)
【答案】26，
2
1
【解析】由图可知第一层与第三层各有9 个面，计18 个面，第二层共有8 个面，∴该半正多面体共有
18 8
26
个面．
如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB
BE
x
，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，
由半正多面体对称性可知，
BGE
△
为等腰直角三角形，
2
2
,
2
( 2
1)
1
2
2
BG
GE
CH
x
GH
x
x
x
，
1
2
1
2
1
x
，
即该半正多面体棱长为
2
1
．
179．(2019 北京文理)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，
价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买
水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15．
【解析】(1)
10
x
，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付
60
80
10
130
元．
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，
120
y
元时，李明得到的金额为
80%
y
，符合要求．
120
y
元时，有
80%
70%
y
x
y
恒成立，即
8
7 ,
8
y
y
x
y x
，即
min
15
8
y
x
元．
∴x 的最大值为15 ．
180．(2018 江苏)已知集合
*
{ |
2
1,
}
A
x x
n
n
N
，
*
{ |
2 ,
}
n
B
x x
n
N
．将A
B
的所有元素从小到大
依次排列构成一个数列{
}
na
．记
n
S 为数列{
}
na
的前n 项和，则使得
1
12
n
n
S
a
成立的n 的最小值为
．
【答案】27【解析】所有的正奇数和2n (
*
nN )按照从小到大的顺序排列构成{
}
na
，在数列{
}
na
中，
52 前
面有16 个正奇数，即
5
21
2
a
，
6
38
2
a
．当
1
n
时，
1
2
1 12
24
S
a
，不符合题意；当
2
n
时，
2
3
3
12
36
S
a
，不符合题意；当
3
n
时，
3
4
6
12
48
S
a
，不符合题意；当
4
n
时，
4
5
10
12
60
S
a
，不符合题意；……；当
26
n
时，
5
26
21 (1
41)
2 (1 2 )
2
1 2
S
= 441 +62=
503<
27
12
516
a
，不符合题意；当
27
n
时，
5
27
22 (1
43)
2 (1 2 )
2
1 2
S
=484 +62=546>
28
12a
=540，
符合题意．故使得
1
12
n
n
S
a
成立的n 的最小值为27．
181．(2017 北京文)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；
(ⅱ)女学生人数多于教师人数；
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
【答案】【答案】6
12【解析】设男生数，女生数，教师数为, ,
a b c ，则2
, , ,
c
a
b
c a b c
N
①8
4
a
b
，∴
max
6
b
，
②当
min
1
c
时，2
1
a
b
，a ，b N ，a ，b 不存在，不符合题意；
当
min
2
c
时，4
2
a
b
，a ，b N ，a ，b 不存在，不符合题意；
当
min
3
c
时，6
3
a
b
，此时
5
a
，
4
b
，满足题意，∴
12
a
b
c
．
182．(2017 北京理)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点
iA 的横、纵坐标
分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点
iB 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和
加工的零件数，i =1，2，3．
①记
i
Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则
1
Q ，
2
Q ，
3
Q 中最大的是_ ___．
②记
ip 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则
1p ，
2p ，
3p 中最大的
是______．
【答案】
1
Q
2p 【解析】设线段
i
i
A B 的中点为
( ,
)
i
i
i
C x y
，则
2
i
i
Q
y
，其中
1,2,3
i
①由题意只需比较线段
i
i
A B 中点的纵坐标的大小即可，作图可得
1
1
A B 中点纵坐标比
2
2
3
3
,
A B
A B 的中点纵坐
标大，∴第一位选
1
Q ．
②由题意
i
i
i
y
p
x
，只需比较三条线段
1
OC ，
2
OC
3
OC 斜率的大小，分别作
1
2
3
,
,
B B B 关于原点的对称点
1
2
3
,
,
B
B
B
，比较直线
1
1
2
2
3
3
,
,
A B A B
A B
斜率，可得
2
2
A B最大，∴选
2.
p
183．(2016 全国II 文理)有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，
甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同
的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________．
【答案】1 和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1 和2，1 和3，2 和3 的卡片记为A，B，C 从丙出
发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙
与丙的卡片上相同的数字不是1 可知，乙所拿的
卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是
2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A．
184．(2016 山东文理)观察下列等式：
2
2
π
2π
4
(sin
)
(sin
)
1 2
3
3
3
；
2
2
2
2
π
2π
3π
4π
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
2 3
5
5
5
5
3
；
2
2
2
2
π
2π
3π
6π
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
3 4
7
7
7
7
3
；
2
2
2
2
π
2π
3π
8π
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
4 5
9
9
9
9
3
；
……
照此规律，
2
2
2
2
π
2π
3π
2 π
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
_______．
【答案】
4
1
3
n
n
【解析】通过归纳可得结果为4 (
1)
3 n n
．
185．(2016 四川文)在平面直角坐标系中，当
( , )
P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为
2
2
2
2
(
,
)
y
x
P x
y
x
y
，
当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A ；
②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线；
其中的真命题是
．
【答案】②③【解析】对于①，令
(1,1)
P
，则其“伴随点”为
1 1
(
, )
2 2
P
，而
1 1
(
, )
2 2
P
的“伴随点”为( 1, 1)
，
而不是P ，故错误；对于②设
( , )
P x y 是单位圆
2
2
:
1
C x
y
上的点，其“伴随点”为
( ,
)
P x y
，则有
2
2
2
2
y
x
x
y
x
y
x
y
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
(
)
1
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
，∴②正确；对于③设
( , )
P x y 的“伴随点”为
2
2
2
2
(
,
)
y
x
P x
y
x
y
，
1( ,
)
P x
y
的“伴随点”
为
1
2
2
2
2
(
,
)
y
x
P x
y
x
y
，易知
2
2
2
2
(
,
)
y
x
P x
y
x
y
与
1
2
2
2
2
(
,
)
y
x
P x
y
x
y
关于y 轴对称，∴③正确；对
于④，设原直线的解析式为
0
Ax
By
C
，其中
,
A B 不同时为0，且
0
0
(
,
)
P x
y
为该直线上一点，
0
0
(
,
)
P x
y
的“伴随点”为
( ,
)
P x y
，其中
,
P P都不是原点，且
0
2
2
0
0
0
2
2
0
0
y
x
x
y
x
y
x
y
，则
2
2
0
0
0
(
)
x
x
y
y
，
2
2
0
0
0
(
)
y
x
y
x
，将
0
0
(
,
)
P x
y
代入原直线方程，得
2
2
2
2
0
0
0
0
(
)
(
)
0
A x
y
y
B x
y
x
C
，
则
2
2
0
0
0
C
Ay
Bx
x
y
，由于
2
2
0
0
x
y
的值不确定，∴“伴随点”不一定共线，∴④错误．
186．(2015 陕西文)观察下列等式：
1－1
1
2
2
1－1
1
1
1
1
2
3
4
3
4
1－1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
4
5
6
……
据此规律，第n 个等式可为______________________．
【答案】
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
．
【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母
是1 到2n 的连续正整数，等式的右边是
1
1
1
1
2
2
n
n
n
．
187．(2015 山东理)观察下列各式：
0
0
1
4
C
；
0
1
1
3
3
4
C
C
；
0
1
2
2
5
5
5
4
C
C
C
0
1
2
3
3
7
7
7
7
4
C
C
C
C
……
照此规律，当
*
N
n
时，
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
C
C
C
C
．
【答案】
1
4n- 【解析】具体证明过程可以是：
0
1
2
1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 (2
2
2
2
)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
C
0
2
1
1
2
2
2
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1[(
)
(
)
(
)
(
)]
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
C
0
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
(
)
2
4
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
．
188．(2014 安徽文理)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边
2 2
BC
，过点A 作BC 的垂线，垂足为
1A ；
过点
1A 作AC 的垂线，垂足为
2
A ；过点
2
A 作
1AC 的垂线，垂足为
3
A ；…，依此类推，设
1
BA
a
，
1
2
AA
a
，
1
2
3
A A
a
，…，
5
6
7
A A
a
，则
7a _____．
【答案】1
4
【解析】解法一直接递推归纳；等腰直角三角形ABC 中，斜边
2 2
BC
，∴
1
1
2
2,
2
AB
AC
a
AA
a
，
1
2
3
1
A A
a
，，
6
5
6
7
1
2
1
(
)
2
4
A A
a
a
．
解法二求通向：等腰直角三角形ABC 中，斜边
2 2
BC
，
∴
1
1
2
2,
2
AB
AC
a
AA
a
，，
1
1
2
2
sin
2 (
)
4
2
2
n
n
n
n
n
n
A
A
a
a
a
，故
6
7
2
2 (
)
2
a
= 1
4
189．(2014 福建文理)若集合
},
4,3,2,1
{
}
,
,
,
{
d
c
b
a
且下列四个关系：①
1
a
；②
1
b
；③
2
c
；④
4
d
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组
)
,
,
,
(
d
c
b
a
的个数是____．
【答案】6【解析】∵①正确，②也正确，∴只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则
符合条件的有序数组为(2,3,1,4) ，(3,2,1,4) ；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为
(3,1,2,4) ；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3) ，(3,1,4,2) ，(4,1,3,2) ．综
上符合条件的有序数组的个数是6．
190．(2014 北京文理)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成
这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾
客，两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
21
则最短交货期为
个工作日．
【答案】42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ，6 天后，师傅开始精加工原料B ，徒弟同时开始粗加工原
料A ，再9 天后(15 天后)，徒弟粗加工原料A 完成，此时师傅还在精加工原料B ，27 天后，师傅精加工原
料B 完成，然后接着精加工原料A ，再15 天后，师傅精加工原料A 完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15=
42 个工作日．
191．(2014 陕西文理)已知
0
,
1
)
(
x
x
x
x
f
，若
N
n
x
f
f
x
f
x
f
x
f
n
n
)),
(
(
)
(
),
(
)
(
1
1
，则
)
(
2014 x
f
的
表达式为________．
【答案】1
2014
x
x
【解析】由
1( )
1
x
f x
x
，得
2( )
(
)
1
1
2
x
x
f
x
f
x
x
，可得
3
2
( )
(
( ))
1 3
x
f
x
f f
x
x
，
故可归纳得
2014( )
1
2014
x
f
x
x
．
192．(2014 陕西文理)观察分析下表中的数据：
多面体
面数( F )
顶点数(V )
棱数( E )
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，
E
V
F
，
，
所满足的等式是_________．
【答案】
2
F
V
E
【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归
纳可得
2
F
V
E
．
193．(2013 陕西文理)观察下列等式：
21
1
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
6
3
2
2
2
2
1
2
4
3
10
…
照此规律，第n 个等式可为
．
【答案】12－22+32－42+…+
1
( 1)n
n2=
1
( 1)n
· (
1)
2
n n
(n∈
N )
【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底
数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，… n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用
1
( 1)n
表示，等式
的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为( 1)n
· (
1)
2
n n
，∴第n 个式子可为12
－22+32－42+…+
1
2
( 1)n n
=
1
( 1)n
· (
1)
2
n n
(n ∈
N )．
194．(2013 湖北文理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，
第n 个三角形数为
2
1
1
1
2
2
2
n n
n
n
．记第n 个k 边形数为
,
N n k
3
k
，以下列出了部分k 边形
数中第n 个数的表达式：
三角形数
2
1
1
,3
2
2
N n
n
n
正方形数
2
,4
N n
n
五边形数
2
3
1
,5
2
2
N n
n
n
六边形数
2
,6
2
N n
n
n
……
可以推测
,
N n k 的表达式，由此计算
10,24
N
．
【答案】1000【解析】观察
2
n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故
2
,24
11
10
N n
n
n
，
10,24
1000
N
．
195．(2012 陕西文理)观察下列不等式
2
1
3
1
2
2
2
3
1
1
5
1
2
3
3
，
4
7
4
1
3
1
2
1
1
2
2
2
，
……
照此规律，第五个
．．．不等式为
．
【答案】
6
11
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
2
2
2
2
2
【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边
=
2
2
2
1
1
1
1
2
3
(
1)
n
，右边=
1
1
1
2
n
n
，∴第五个不等式为
6
11
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
2
2
2
2
2
．
196．(2012 湖南文理)设
2n
N
*
(
,
2)
n
N
n
.
，将N 个数
1
2
,
,
,
N
x x
x
依次放入编号为1，2，…，N 的N
个位置，得到排列
0
1
2
N
P
x x
x
．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入
对应的前2
N 和后2
N 个位置，得到排列
1
1
3
1
2
4
N
N
P
x x
x
x x
x
，将此操作称为C 变换，将
1P 分成两段，
每段2
N 个数，并对每段作C 变换，得到
2P ；当2
2
i
n
- -
时，将
iP 分成2i 段，每段2i
N 个数，并对每段
C 变换，得到
1
iP，例如，当N =8 时，
2
1
5
3
7
2
6
4
8
P
x x x x x x x x
，此时
7x 位于
2P 中的第4 个位置．
(1)当N =16 时，
7x 位于
2P 中的第___个位置；
(2)当
2n
N
(
8
n .
)时，
173
x
位于
4P 中的第___个位置．
【答案】(1)6；(2)
4
3 2
11
n
【解析】(1)当N =16 时，
0
1
2
3
4
5
6
16
P
x x x x x x
x
，可设为(1,2,3,4,5,6,
,16)
，
1
1
3
5
7
15
2
4
6
16
P
x x x x
x x x x
x
，即为(1,3,5,7,9,
2,4,6,8,
,16)
，
2
1
5
9
13
3
7
11 15
2
6
16
P
x x x x x x x x x x
x
，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,
,16)
，
7x 位于
2P 中的第6 个位置；
(2)在
1P 中
173
x
位于两段中第一段的第87 个位置，位于奇数位置上，此时在
2P 中
173
x
位于四段中第一段的第
44 个位置上，再作变换得
3P 时，
173
x
位于八段中第二段的第22 个位置上，再作变换时，
173
x
位于十六段中
的第四段的第11 个位置上．也就是位于
4P 中的第
4
3 2
11
n
个位置上．
197．(2011 陕西文理)观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n 个等式为
．
【答案】
2
(
1)
(3
2)
(2
1)
n
n
n
n
【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边
的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是2
1
n ；等式右边都是完全平方数，
行数
等号左边的项数
1=1
1
1
2+3+4=9
2
3
3+4+5+6+7=25
3
5
4+5+6+7+8+9+10=49
4
7
……
……
……
∴
2
(
1)
[
(2
1) 1]
(2
1)
n
n
n
n
n
，即
2
(
1)
(3
2)
(2
1)
n
n
n
n
．
198．(2018 江苏)设
*
nN ，对1，2，···，n 的一个排列1 2
n
i i
i
，如果当s
t
时，有s
t
i
i
，则称( , )
s
t
i i
是
排列1 2
n
i i
i
的一个逆序，排列1 2
n
i i
i
的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3 的一个排列231，
只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231 的逆序数为2．记
( )
nf
k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k
的全部排列的个数．
(1)求
3
4
(2),
(2)
f
f
的值；
(2)求
(2)(
5)
nf
n≥
的表达式(用n 表示)．
【答案】【解析】(1)记(
)
abc
为排列abc 的逆序数，对1，2，3 的所有排列，有
(123)=0
(132)=1
(213)=1
(231)=2
(312)=2
(321) =3
，
，
，
，
，
，
∴
3
3
3
(0)
1
(1)
(2)
2
f
f
f
，
．
对1，2，3，4 的排列，利用已有的1，2，3 的排列，将数字4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后
三个位置．
因此，
4
3
3
3
(2)
(2)
(1)
(0)
5
f
f
f
f
．
(2)对一般的n (
4)
n≥
的情形，逆序数为0 的排列只有一个：12
n
，∴
(0)
1
nf
．
逆序数为1 的排列只能是将排列12
n
中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，∴
(1)
1
nf
n
．
为计算
1(2)
nf
，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将
1
n 添加进原排列，
1
n 在新排列中的位置
只能是最后三个位置，因此，
1(2)
(2)
(1)
(0)
(2)
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
n
．
当
5
n≥
时，
1
1
2
5
4
4
(2)
[
(2)
(2)]
[
(2)
(2)]
[
(2)
(2)]
(2)
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
f
f
f
…
2
4
2
(
1)
(
2)
4
(2)
2
n
n
n
n
f
，
因此，
5
n≥
时，
(2)
nf
2
2
2
n
n
．
199．(2018北京)设n 为正整数，集合
1
2
={
|
( , ,
,
),
{0,1},
1,2,
, }
n
k
A
t t
t
t
k
n
．对于集合A 中的
任意元素
1
2
( ,
,
,
)
n
x x
x
和
1
2
(
,
,
,
)
n
y y
y
，记
( ,
)
M
1
1
1
1
2
2
2
2
1[(
|
|)
(
|
|)
(
|
|)]
2
n
n
n
n
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
．
(1)当
3
n
时，若
(1,1,0)
，
(0,1,1)
，求
( ,
)
M 和
( ,
)
M 的值；
(2)当
4
n
时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素
,
，当
,
相同时，
( ,
)
M 是奇数；
当
,
不同时，
( ,
)
M 是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2 的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素
,
，
( ,
)
0
M
．写
出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．
【解析】(1)∵
(1,1,0)
，
(0,1,1)
，∴
1
( ,
)
[(1 1 |1 1|)
(1 1 |1 1|)
(0
0) | 0
0 |)]
2
2
M
，
1
( ,
)
[(1
0 |1 0 |)
(1 1 |1 1|)
(0 1 | 0 1|)]
1
2
M
．
(2)设
1
2
3
4
( ,
,
,
)
x x x x
B
，则
1
2
3
4
( , )
M
x
x
x
x
．
由题意知
1x ，
2x ，
3x ，
4x ∈{0，1}，且
( ,
)
M 为奇数，
∴
1x ，
2x ，
3x ，
4x 中1 的个数为1 或3．
∴B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，
0，1)，(1，1，1，0)}．
将上述集合中的元素分成如下四组：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，
0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．
经验证，对于每组中两个元素，，均有
( ,
)
1
M
．
∴每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素，∴集合B 中元素的个数不超过4．
又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，∴集合B 中元素个数的最大
值为4．
(3)设
1
2
1
2
1
2
1
{( ,
,
,
) | ( ,
,
,
)
,
1,
0}
k
n
n
k
k
S
x x
x
x x
x
A x
x
x
x
(
1,2,
, )
k
n
，
1
1
2
1
2
{( ,
,
,
) |
0}
n
n
n
S
x x
x
x
x
x
，则
1
2
1
n
A
S
S
S
．
对于
k
S (
1,2,
,
1
k
n
)中的不同元素，，经验证，
( ,
)
1
M ≥．
∴
k
S (
1,2,
,
1
k
n
)中的两个元素不可能同时是集合B 的元素，∴B 中元素的个数不超过
1
n ．
取
1
2
( ,
,
,
)
k
n
k
e
x x
x
S
且
1
0
k
n
x
x
(
1,2,
,
1
k
n
)．
令
1
2
1
1
( ,
,
,
)
n
n
n
B
e e
e
S
S
，则集合B 的元素个数为
1
n ，且满足条件，故B 是一个满足条件且元
素个数最多的集合．
200．(2017 江苏)对于给定的正整数k ，若数列{
}
na
满足
1
1
1
1
2
n k
n k
n
n
n k
n k
n
a
a
a
a
a
a
ka
对任意正整数n (
)
n
k
总成立，则称数列{
}
na
是“
( )
P k 数列”．
(1)证明：等差数列{
}
na
是“
(3)
P
数列”；
(2)若数列{
}
na
既是“
(2)
P
数列”，又是“
(3)
P
数列”，证明：{
}
na
是等差数列．
【答案】【解析】证明：(1)∵
n
a
是等差数列，设其公差为d ，则
1
(
1)
na
a
n
d
，
从而，当n
4
≥
时，
n k
n k
a
a
a
1
1
(
1)
(
1)
n
k
d
a
n
k
d
1
2
2(
1)
2
n
a
n
d
a
，
1,2,3,
k
∴
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
1
2
3
+
+
+
6
，因此等差数列
n
a
是“
(3)
P
数列”．
(2)数列
n
a
既是“
(2)
P
数列”，又是“
(3)
P
数列”，因此，
当
3
n
时，
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
2
1
1
2
4
，①
当
4
n
时，
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
1
2
3
6
．②
由①知，
n
n
n
a
a
a
3
2
1
4
1
(
)
n
n
a
a
，③
n
n
n
a
a
a
2
3
1
4
1
(
)
n
n
a
a
，④
将③④代入②，得
n
n
n
a
a
a
1
1
2
，其中
4
n
，∴
3
4
5
,
,
,
a a a 是等差数列，设其公差为d' ．
在①中，取
4
n
，则
2
3
5
6
4
4
a
a
a
a
a
，∴
2
3
a
a
d'
，在①中，取
3
n
，则
1
2
4
5
3
4
a
a
a
a
a
，
∴
1
2
2
a
a
d'
，∴数列{
}
na
是等差数列．
201．(2017 浙江文理)已知数列{
}
nx
满足：
1
1
x
，
1
1
ln(1
)
n
n
n
x
x
x
(
)
n
*
N
．
证明：当n
*
N 时
(Ⅰ)
1
0
n
n
x
x
；
(Ⅱ)
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
≤
；
(Ⅲ)
1
2
1
1
2
2
n
n
n
x
≤
≤
．
【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：
0
nx
当
1
n
时，
1
1
0
x
假设n
k
时，
0
kx
，
那么
1
n
k
时，若
1
0
kx ≤
，则
1
1
0
ln(1
)
0
k
k
k
x
x
x
≤
，矛盾，故
1
0
kx
．
因此
0
nx
(
)
n
*
N
∴
1
1
1
ln(1
)
n
n
n
n
x
x
x
x
因此
1
0
n
n
x
x
(
)
n
*
N
(Ⅱ)由
1
1
1
ln(1
)
n
n
n
n
x
x
x
x
得
2
1
1
1
1
1
1
4
2
2
(
2)ln(1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
x x
x
x
x
x
x
x
记函数
2
( )
2
(
2)ln(1
)(
0)
f x
x
x
x
x x
≥
函数
( )
f x 在[0,
)
上单调递增，∴
( )
(0)
f x
f
≥
=0，
因此
2
1
1
1
1
1
2
(
2)ln(1
)
(
)
0
n
n
n
n
n
x
x
x
x
f x
≥
故
1
1
2
(
N )
2
n
n
n
n
x x
x
x
n
≤
(Ⅲ)∵
1
1
1
1
1
ln(1
)
2
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
≤
，∴
1
1
2
n
n
x
≥
得
由
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
≥
得
1
1
1
1
1
2(
)
0
2
2
n
n
x
x
≥
，∴
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2(
)
2
(
)
2
2
2
2
n
n
n
n
x
x
x
≥
≥
≥
，
故
2
1
2
n
n
x
≤
．
综上，
1
2
1
1 (
N )
2
2
n
n
n
x
n
≤
≤
．
202．(2017 北京理)设{
}
na
和{ }
nb
是两个等差数列，记
1
1
2
2
max{
,
,
,
}
n
n
n
c
b
a n b
a n
b
a n
(
1,2,3,
)
n
，
其中
1
2
max{ ,
,
,
}
s
x x
x
表示
1
2
,
,
,
s
x x
x
这s 个数中最大的数．
(Ⅰ)若
na
n
，
2
1
nb
n
，求
1
2
3
,
,
c c c 的值，并证明{ }
nc
是等差数列；
(Ⅱ)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n
m
≥
时，
nc
M
n
；或者存在正整数m ，使得
1
2
,
,
,
m
m
m
c
c
c
是等差数列．
【解析】(Ⅰ)易知
1
1
a
，
2
2
a
，
3
3
a
且
1
1
b ，
2
3
b
，
3
5
b
∴
1
1
1
1 1
0,
c
b
a
2
1
1
2
2
max{
2 ,
2
}
max{1 2 1,3
2 2}
1
c
b
a b
a
，
3
1
1
2
2
3
3
max{
3 ,
3
,
3 }
max{1 3 1,3
3 2,5
3 3}
2
c
b
a b
a b
a
．
下面证明：对任意n
*
N 且
2
n≥
，都有
1
1
nc
b
a n
．
当k
*
N 且2
k
n
≤≤
时，
1
1
(
)
(
)
k
k
b
a
n
b
a n
[(2
1)
] 1
k
nk
n
(2
2)
(
1)
k
n k
(
1)(2
)
k
n
∵
1
0
k
且2
0
n
≤
∴
1
1
(
)
(
)
0
k
k
b
a
n
b
a n
≤
1
1
(
)
(
)
k
k
b
a n
b
a
n
≥
．
因此对任意n
*
N 且
2
n≥
，
1
1
1
nc
b
a n
n
，则
1
1
n
n
c
c
．
又∵
2
1
1
c
c
，
故
1
1
n
n
c
c
对n
*
N 均成立，从而{ }
nc
是等差数列
(Ⅱ)设数列{
}
na
和{
}
nb
的公差分别为
,
a
b
d
d ，下面我们考虑
nc 的取值．
对
1
1
b
a n
，
2
2
b
a
n
，
n
n
b
a
n
，
考虑其中任意项
i
i
b
a n
(i
*
N 且1
)
i
n
≤≤
，
i
i
b
a n
1
1
[
(
1)
] [
(
1)
]
b
a
b
i
d
a
i
d
n
1
1
(
)
(
1)(
)
b
a
b
a n
i
d
d
n
下面分
0
a
d
，
0
a
d
，
0
a
d
三种情况进行讨论．
(1)若
0
a
d
，则
i
i
b
a n
1
1
(
)
(
1)
b
b
a n
i
d
①若
0
b
d ≤
，则
1
1
(
)
(
)
(
1)
0
i
i
b
b
a n
b
a n
i
d
≤
则对于给定的正整数n 而言，
1
1
nc
b
a n
此时
1
1
n
n
c
c
a
，故{ }
nc
是等差数列
②
0
b
d
，则(
)
(
)
(
)
0
i
i
n
n
b
b
a n
b
a
n
i
n d
≤
则对于给定的正整数n 而言，
1
n
n
n
n
c
b
a
n
b
a n
此时
1
1
n
n
b
c
c
d
a
，故{ }
nc
是等差数列
此时取
1
m ，则
1
2
3
,
,
,
c c c 是等差数列，命题成立．
(2)若
0
a
d
，则此时
a
b
d
n
d
为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．
故必存在m
*
N ，使得当n
m
≥
时，
0
a
b
d
n
d
则当n
m
≥
时，
1
1
(
)
(
)
(
1)(
0
i
i
a
b
b
a n
b
a n
i
d
n
d
)≤
(
,1
)
i
i
n
*
N
≤≤
因此，当n
m
≥
时，
1
1
nc
b
a n
．
此时
1
1
n
n
c
c
a
，故{ }
nc
从第m 项开始为等差数列，命题成立．
(3)
0
a
d
，则此时
a
b
d
n
d
为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．
故必存在s
*
N ，使得当n
s
≥
时，
0
a
b
d
n
d
则当n
s
≥
时，
(
)
(
)
(
)(
0
i
i
n
n
a
b
b
a n
b
a
n
i
n
d
n
d
)≤
(
,1
)
i
i
n
*
N
≤≤
因此当n
s
≥
时，
n
n
n
c
b
a
n
．
此时
n
n
n
n
n
c
b
a
n
b
a
n
n
n
1
1
(
)
b
a
a
b
b
d
d
n
d
a
d
n
令
0
a
d
A
，
1
a
b
d
a
d
B
，
1
b
b
d
C
下面证明
nc
C
An
B
n
n
对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n
m
≥
时，
nc
M
n
．
①若
0
C≥
，则取
|
|
[
] 1
M
B
m
A
([ ]
x 表示不等于x 的最大整数)
当n
m
≥
时，
|
|
([
] 1)
nc
M
B
M
B
An
B
Am
B
A
B
A
B
M
n
A
A
≥
≥
此时命题成立．
若
0
C
，则取
|
|
[
] 1
M
C
B
m
A
当n
m
≥
时，
|
|
([
] 1)
nc
M
C
B
An
B
C
Am
B
C
A
B
C
n
A
≥
≥
M
C
B
B
C
M
≥
，
此时命题成立，因此，对任意正数M ，使得当n
m
≥
时，
nc
M
n
．
综合以上三种情况，命题得证．
203．(2016 江苏)记
1,2,
,100
U
．对数列
na
(
*
nN )和U 的子集T ，若T ，定义
0
T
S
；若
1
2
, ,
, k
T
t t
t
，定义
1
2
k
T
t
t
t
S
a
a
a
．例如：
1,3,66
T
时，
1
3
66
T
S
a
a
a
．现设
na
(
*
nN )
是公比为3的等比数列，且当
2,4
T
时，
30
T
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)对任意正整数k (1
100
k
≤
≤
)，若
1,2,
,
T
k
，求证：
1
T
k
S
a
；
(3)设C
U
，D
U
，
C
D
S
S
≥
，求证：
2
C
C
D
D
S
S
S
≥
．
【解析】(1)由已知得
1
*
1 3
,
n
na
a
n
N
．
于是当
{2,4}
T
时，
2
4
1
1
1
3
27
30
rS
a
a
a
a
a
．
又
30
rS
，故
1
30
30
a
，即
1
1
a
．
∴数列{
}
na
的通项公式为
1
*
3
,
n
na
n
N
．
(2)∵
{1,2,
, }
T
k
，
1
*
3
0,
n
na
n
N
，
∴
1
1
2
1
1 3
3
(3
1)
3
2
k
k
k
r
k
S
a
a
a
．
因此，
1
r
k
S
a
．
(3)下面分三种情况证明．
①若D 是C 的子集，则
2
C
C
D
C
D
D
D
D
S
S
S
S
S
S
S
．
②若C 是D 的子集，则
2
2
C
C
D
C
C
C
D
S
S
S
S
S
S
．
③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．
令
U
E
C
C D
，
U
F
D
C C
则E
，F
，E
F
．
于是
C
E
C
D
S
S
S
，
D
F
C
D
S
S
S
，进而由
C
D
S
S
，得
E
F
S
S
．
设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则
1,
1,
k
l
k
l
．
由(2)知，
1
E
k
S
a
，于是
1
1
3
3
l
k
l
F
E
k
a
S
S
a
，∴
1
l
k
，即l
k
．
又k
l
，故
1
l
k
，从而
1
1
1
2
1
1
3
1
3
1
1 3
3
2
2
2
2
l
k
l
k
E
F
l
a
S
S
a
a
a
，
故
2
1
E
F
S
S
，∴
2(
) 1
C
C
D
D
C
D
S
S
S
S
，即
2
1
C
C
D
D
S
S
S
．
综合①②③得，
2
C
C
D
D
S
S
S
．
204．(2016 浙江理)设函数
( )
f x =
3
1
1
x
x
，
[0,1]
x
．证明：
(1)
2
( )
1
f x
x
x
≥
；
(2) 3
3
( )
4
2
f x
≤
．
【解析】(1)∵
4
4
2
3
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
，由于
0,1
x
，有
4
1
1
1
1
x
x
x
≤
，即
2
3
1
1
1
x
x
x
x
≤
，∴
2
( )
1
.
f x
x
x
≥
(2)由0
1
x
≤≤得
3x
x
≤
，故
3
1 2
1
1
1
3
3
3
3
( )
1
1
2
2
2
1
2
2
x
x
f x
x
x
x
x
x
≤
≤
，
∴
3
( )
2
f x ≤
．
由(1)得
2
2
1
3
3
( )
1
(
)
2
4
4
f x
x
x
x
≥
≥
，又∵
1
19
3
( )
2
24
4
f
，∴
3
4
f x
，
综上，3
3
( )
4
2
f x
≤
．
205．(2015 湖北理)已知数列{
}
na
的各项均为正数，
1
(1
)
(
)
n
n
n
b
n
a
n
n
N
，e 为自然对数的底数．
(1)求函数
( )
1
ex
f x
x
的单调区间，并比较
1
(1
)n
n
与e 的大小；
(2)计算
1
1
b
a ，
1 2
1
2
b b
a a ，
1 2
3
1
2
3
b b b
a a a ，由此推测计算
1 2
1
2
n
n
b b
b
a a
a
的公式，并给出证明；
(3)令
1
1
2
(
) n
n
n
c
a a
a
，数列{
}
na
，{ }
nc
的前n 项和分别记为
n
S ，
nT ，证明：
e
n
n
T
S
．
【解析】(1)
( )
f x 的定义域为(
,
)
，
( )
1
ex
f
x
．
当
( )
0
f
x
，即
0
x
时，
( )
f x 单调递增；
当
( )
0
f
x
，即
0
x
时，
( )
f x 单调递减．
故
( )
f x 的单调递增区间为(
,0)
，单调递减区间为(0,
)
．
当
0
x
时，
( )
(0)
0
f x
f
，即1
ex
x
．
令
1
x
n
，得
1
1
1
en
n
，即
1
(1
)
e
n
n
．(*)
(2)
1
1
1
1
1 (1
)
1 1
2
1
b
a
；
2
2
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2 2(1
)
(2
1)
3
2
b b
b
b
a a
a
a
；
2
3
3
3
1 2
3
3
1 2
1
2
3
1
2
3
1
3
3(1
)
(3
1)
4
3
b b b
b
b b
a a a
a a
a
．
由此推测：
1 2
1
2
(
1)n
n
n
b b
b
n
a a
a
．(**)
下面用数学归纳法证明②．
①当
1
n 时，左边右边
2
，(**)成立．
②假设当n
k
时，(**)成立，即
1 2
1
2
(
1)k
k
k
b b
b
k
a a
a
．
当
1
n
k
时，
1
1
1
1
(
1)(1
)
1
k
k
k
b
k
a
k
，由归纳假设可得
1
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1
1
2
1
1
(
1) (
1)(1
)
(
2)
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b b
b b
b b
b
b
k
k
k
a a
a a
a a
a
a
k
．
∴当
1
n
k
时，(**)也成立．
根据①②，可知(**)对一切正整数n 都成立．
(3)由
nc 的定义，(**)，算术-几何平均不等式，
nb 的定义及(*)得
1
2
3
n
n
T
c
c
c
c
1
1
1
1
3
1
2
1
1
2
1
2
3
1
2
(
)
(
)
(
)
(
) n
n
a
a a
a a a
a a
a
1
1
1
1
3
1
2
1 2
3
1 2
1
1 2
(
)
(
)
( )
(
)
2
3
4
1
n
n
b b b
b b
b
b
b b
n
1
2
3
1
2
1
1
2
1 2
2
3
3
4
(
1)
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
n n
1
2
1
1
1
1
1
1
1
[
]
[
]
1 2
2
3
(
1)
2
3
3
4
(
1)
(
1)
n
b
b
b
n n
n n
n n
1
2
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
1
2
1
1
n
b
b
b
n
n
n
n
1
2
1
2
nb
b
b
n
1
2
1
2
1
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
1
2
n
n
a
a
a
n
1
2
e
e
e
n
a
a
a
e
n
S ，即
e
n
n
T
S
．
206．(2015 江苏)已知集合
*
{1,2,3},
{1,2,3,....., }(
)
n
X
Y
n
n
N
，设
{( , ) |
n
S
a b
a 整除b 或
,
,
}
n
b
a a
X b
Y
除
，令
( )
f n 表示集合
n
S 所含元素的个数．
(1)写出
(6)
f
的值；
(2)当
6
n≥
时，写出
( )
f n 的表达式，并用数学归纳法证明．
【解析】(1)
6
13
f
．
(2)当
6
n
时，
2
,
6
2
3
1
1
2
,
6
1
2
3
2
2
,
6
2
2
3
1
2
,
6
3
2
3
1
2
,
6
4
2
3
1
2
2
,
6
5
2
3
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
f n
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
(t
)．
下面用数学归纳法证明：
①当
6
n
时，
6
6
6
6
2
13
2
3
f
，结论成立；
②假设n
k
(
6
k
)时结论成立，那么
1
n
k
时，
1
kS 在
kS 的基础上新增加的元素在
1,
1
k
，
2,
1
k
，
3,
1
k
中产生，分以下情形讨论：
1)若
1
6
k
t
，则
6
1
5
k
t
，此时有
1
2
1
3
2
3
2
3
k
k
f k
f k
k
1
1
1
2
2
3
k
k
k
，结论成立；
2)若
1
6
1
k
t
，则
6
k
t
，此时有
1
1
2
1
2
3
k
k
f k
f k
k
1
1
1
1
1
2
2
3
k
k
k
，结论成立；
3)若
1
6
2
k
t
，则
6
1
k
t
，此时有
1
1
1
2
2
2
2
3
k
k
f k
f k
k
1
2
1
1
2
2
3
k
k
k
，结论成立；
4)若
1
6
3
k
t
，则
6
2
k
t
，此时有
2
1
2
2
2
2
3
k
k
f k
f k
k
1
1
1
1
2
2
3
k
k
k
，结论成立；
5)若
1
6
4
k
t
，则
6
3
k
t
，此时有
1
1
2
2
2
2
3
k
k
f k
f k
k
1
1
1
1
2
2
3
k
k
k
，结论成立；
6)若
1
6
5
k
t
，则
6
4
k
t
，此时有
1
1
1
2
1
2
3
k
k
f k
f k
k
1
1
1
2
1
2
2
3
k
k
k
，结论成立．
综上所述，结论对满足
6
n
的自然数n 均成立．
207．(2014 天津理)已知q 和n 均为给定的大于1 的自然数．设集合
{0,1,2
,
1
,
}
M
q
=
-
，
集合
1
1
2
,
,
1,2,
,
{
}
n
n
i
x q
x
M i
n
A
x x
x
x q
-
+
Î
=
=
=
+
+
．
(1)当
2
q =
，
3
n =
时，用列举法表示集合A ；
(2)设,s t
A
Î
，
1
1
2
n
n
s
a
a q
a q -
=
+
+
+
，
1
1
2
n
n
t
b
b q
b q -
=
+
+
+
，其中
ia ，
ib
M
，
1,2,
,
i
n
．证明：若
n
n
a
b
，则s
t
．
【解析】(1)当
2
q =
，
3
n =
时，
{
}
0,1
M =
，
{
}
1
2
3
2
4
,
,
1,2,3
i
A
x x
x
x
x
M
x
i
=
=
+
Î
=
+
．可得，
{
}
0,1,2,3,4,5,6,7
A=
．
(2)由,s t
A
Î
，
1
1
2
n
n
s
a
a q
a q -
=
+
+
+
，
1
1
2
n
n
t
b
b q
b q -
=
+
+
+
，
,
i
i
a b
M
Î
，
1,2
,
,
i
n
=
及
n
n
a
b
<
，可得
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
b
q
a
b q
s
t
a
b
a
b q
-
-
-
-
- =
-
+
-
+
+
-
+
-
(
)
(
)
(
)
2
1
1
1
1
n
n
q
q
q
q
q
q
-
-
£
-
+
-
+
+
-
-
(
)(
)
1
1
1 1
1
n
n
q
q
q
q
-
-
-
-
=
-
-
1
0
=- <
．
∴，s
t
< ．
208．(2013 江苏)设
n
a
是首项为a ，公差为d 的等差数列
0
d
，
nS 是其前n 项和．记
2
n
n
nS
b
n
c
，
N
n
*
，其中c 为实数．
(1)若
0
c
，且
1b ，
2b ，
4b 成等比数列，证明：
2
N
nk
k
S
n S
k,n
*
；
(2)若
nb
是等差数列，证明：
0
c
．
【证明】(1)若
，则
，
，又由题
，
，
，
是等差数列，首项为
，公差为
，
，又
成等比数列，
，
，
，
，
，
，
，
(
)．
(2)由题
，
，
，若
是等差数列，则可设
，
是
常数，
关于
恒成立．整理得：
关于
恒成立．
，
，
．
209．(2015 湖北理) 已知数列{
}
na
的各项均为正数，
1
(1
)
(
)
n
n
n
b
n
a
n
n
N
，e 为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数
( )
1
ex
f x
x
的单调区间，并比较
1
(1
)n
n
与e 的大小；
(Ⅱ)计算
1
1
b
a ，
1 2
1
2
b b
a a ，
1 2
3
1
2
3
b b b
a a a ，由此推测计算
1 2
1
2
n
n
b b
b
a a
a
的公式，并给出证明；
(Ⅲ)令
1
1
2
(
) n
n
n
c
a a
a
，数列{
}
na
，{ }
nc
的前n 项和分别记为
n
S ，
nT ，证明：
e
n
n
T
S
．
【解析】(Ⅰ)
( )
f x 的定义域为(
,
)
，
( )
1
ex
f
x
．
当
( )
0
f
x
，即
0
x
时，
( )
f x 单调递增；
当
( )
0
f
x
，即
0
x
时，
( )
f x 单调递减．
故
( )
f x 的单调递增区间为(
,0)
，单调递减区间为(0,
)
．
当
0
x
时，
( )
(0)
0
f x
f
，即1
ex
x
．
令
1
x
n
，得
1
1
1
en
n
，即
1
(1
)
e
n
n
．①
(Ⅱ)
1
1
1
1
1 (1
)
1 1
2
1
b
a
；
2
2
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2 2(1
)
(2
1)
3
2
b b
b
b
a a
a
a
；
2
3
3
3
1 2
3
3
1 2
1
2
3
1
2
3
1
3
3(1
)
(3
1)
4
3
b b b
b
b b
a a a
a a
a
．
由此推测：
1 2
1
2
(
1)n
n
n
b b
b
n
a a
a
．②
下面用数学归纳法证明②．
(1)当
1
n 时，左边右边
2
，②成立．
(2)假设当n
k
时，②成立，即
1 2
1
2
(
1)k
k
k
b b
b
k
a a
a
．
当
1
n
k
时，
1
1
1
1
(
1)(1
)
1
k
k
k
b
k
a
k
，由归纳假设可得
1
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1
1
2
1
1
(
1) (
1)(1
)
(
2)
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b b
b b
b b
b
b
k
k
k
a a
a a
a a
a
a
k
．
∴当
1
n
k
时，②也成立．
根据(1)(2)，可知②对一切正整数n 都成立．
(Ⅲ)由
nc 的定义，②，算术-几何平均不等式，
nb 的定义及①得
1
2
3
n
n
T
c
c
c
c
1
1
1
1
3
1
2
1
1
2
1
2
3
1
2
(
)
(
)
(
)
(
) n
n
a
a a
a a a
a a
a
1
1
1
1
3
1
2
1 2
3
1 2
1
1 2
(
)
(
)
( )
(
)
2
3
4
1
n
n
b b b
b b
b
b
b b
n
1
2
3
1
2
1
1
2
1 2
2
3
3
4
(
1)
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
n n
1
2
1
1
1
1
1
1
1
[
]
[
]
1 2
2
3
(
1)
2
3
3
4
(
1)
(
1)
n
b
b
b
n n
n n
n n
1
2
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
1
2
1
1
n
b
b
b
n
n
n
n
1
2
1
2
nb
b
b
n
1
2
1
2
1
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
1
2
n
n
a
a
a
n
1
2
e
e
e
n
a
a
a
e
n
S ，即
e
n
n
T
S
．
210．(2014 江苏)已知函数
0
sin
( )
(
0)
x
f x
x
x
，设
( )
nf
x 为
1( )
nf
x
的导数，n
N ．
(Ⅰ)求
1
2
2
2
2
2
f
f
的值；
(2)证明：对任意的n
N ，等式
1
2
4
4
4
2
n
n
nf
f
成立．
【解析】(Ⅰ)由已知，得
1
0
2
sin
cos
sin
( )
( )
,
x
x
x
f x
f
x
x
x
x
于是
2
1
2
2
3
cos
sin
sin
2cos
2sin
( )
( )
,
x
x
x
x
x
f
x
f x
x
x
x
x
x
∴
1
2
2
3
4
2
16
(
)
,
(
)
,
2
2
f
f
故
1
2
2
(
)
(
)
1.
2
2
2
f
f
(Ⅱ)证明：由已知，得
0( )
sin ,
xf x
x
等式两边分别对x 求导，得
0
0
( )
( )
cos
f x
xf x
x
，
即
0
1
( )
( )
cos
sin(
)
2
f x
xf x
x
x
，类似可得
1
2
2 ( )
( )
sin
sin(
)
f x
xf
x
x
x
，
2
3
3
3
( )
( )
cos
sin(
)
2
f
x
xf x
x
x
，
3
4
4
( )
( )
sin
sin(
2 )
f x
xf
x
x
x
．
下面用数学归纳法证明等式
1( )
( )
sin(
)
2
n
n
n
nf
x
xf
x
x
对所有的n
*
N 都成立．
(i)当n=1 时，由上可知等式成立．
(ii)假设当n=k 时等式成立，即
1( )
( )
sin(
)
2
k
k
k
kf
x
xf
x
x
．
∵
1
1
1
[
( )
( )]
( )
( )
( )
(
1)
( )
( ),
k
k
k
k
k
k
k
kf
x
xf
x
kf
x
f
x
xf
x
k
f
x
f
x
(
1)
[sin(
)]
cos(
) (
)
sin[
]
2
2
2
2
k
k
k
k
x
x
x
x
，
∴
1
(
1)
( )
( )
k
k
k
f
x
f
x
(
1)
sin[
]
2
k
x
．
∴当n=k+1 时，等式也成立．
综合(i)，(ii)可知等式
1( )
( )
sin(
)
2
n
n
n
nf
x
xf
x
x
对所有的n
*
N 都成立．
令
4
x
，可得
1(
)
(
)
sin(
)
4
4
4
4
2
n
n
n
nf
f
( n
*
N )．
∴
1
2
(
)
(
)
4
4
4
2
n
n
nf
f
( n
*
N )．
211．(2014 安徽理)设实数
0
c
，整数
1
p
，
*
N
n
．
(Ⅰ)证明：当
1
x
且
0
x
时，
px
x
p
1
)
1(
；
(Ⅱ)数列
n
a
满足
p
c
a
1
1
，
p
n
n
n
a
p
c
a
p
p
a
1
1
1
，
证明：
p
n
n
c
a
a
1
1
．
【解析】(Ⅰ)证：用数学归纳法证明
(1)当
2
p
时，
2
2
(1
)
1
2
1
2
x
x
x
x
，原不等式成立．
(2)假设
(
2,
*)
p
k k
k
N
时，不等式(1
)
1
k
x
kx
成立
当
1
p
k
时，
1
(1
)
(1
)(1
)
(1
)(1
)
k
k
x
x
x
x
kx
2
1 (
1)
1 (
1)
k
x
kx
k
x
∴
1
p
k
时，原不等式成立．
综合(1)(2)可得当
1
x
且
0
x
时，对一切整数
1
p ，不等式
px
x
p
1
)
1(
均成立．
(Ⅱ)证法1：先用数学归纳法证明
1
p
na
c
．
(1)当
1
n
时由假设
1
1
p
a
c
知
1
p
na
c
成立．
(2)假设
(
1,
*)
n
k k
k
N
时，不等式
1
p
ka
c
成立
由
p
n
n
n
a
p
c
a
p
p
a
1
1
1
易知
0,
*
na
n
N
当
1
n
k
时
1
1
1
1
(
1)
p
k
k
p
k
k
a
p
c
c
a
a
p
p
p a
由
1
0
p
ka
c
得
1
1
1
(
1)
0
p
k
c
p
p a
由(Ⅰ)中的结论得
1
1
1
(
)
[1
(
1)]
1
(
1)
p
p
k
p
p
p
k
k
k
k
a
c
c
c
p
a
p a
p a
a
因此
1
p
ka
c
，即
1
1
p
ka
c
∴当
1
n
k
时，不等式
1
p
na
c
也成立．
综合(1)(2)可得，对一切正整数n ，不等式
1
p
na
c
均成立．
再由
1
1
1
(
1)
n
p
n
n
a
c
a
p a
得
1
1
n
n
a
a
，即
1
n
n
a
a
综上所述，
1
1
,
*
p
n
n
a
a
c
n
N
证法2：设
1
1
1
( )
,
p
p
p
c
f x
x
x
x
c
p
p
，则
p
x
c
，并且
1
1
'( )
(1
)
(1
)
0
p
p
p
c
p
c
f
x
p x
p
p
p
x
，
1
p
x
c
由此可见，
( )
f x 在
1
[
,
)
p
c
上单调递增，因而当
1
p
x
c
时
1
1
( )
(
)
p
p
f x
f c
c
．
(1)当
1
n
时由
1
1
0
p
a
c
，即
1
p
a
c
可知
1
2
1
1
1
1
1
1
1
[1
(
1)]
p
p
p
c
c
a
a
a
a
a
p
p
p a
，
并且
1
2
1
(
)
p
a
f a
c
，从而
1
1
2
p
a
a
c
故当
1
n
时，不等式
1
1
p
n
n
a
a
c
成立．
(2)假设
(
1,
*)
n
k k
k
N
时，不等式
1
1
p
k
k
a
a
c
成立，则
当
1
n
k
时
1
1
(
)
(
)
(
)
p
k
k
f a
f a
f c
，即有
1
1
2
p
k
k
a
a
c
，
∴当
1
n
k
时原不等式也成立．
综合(1)(2)可得，对一切正整数n ，不等式
1
1
p
n
n
a
a
c
均成立．
212．(2014 重庆理)设
2
1
1
1,
2
2
(
*)
n
n
n
a
a
a
a
b n
N
(Ⅰ)若
1
b
，求
2
3
,
a a 及数列{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)若
1
b ，问：是否存在实数c 使得
2
2
1
n
n
a
c
a
对所有
*
n
N
成立？证明你的结论．
【解析】：(Ⅰ)解法一：
2
3
2,
2
1
a
a
再由题设条件知
2
2
1
1
1
1
n
n
a
a
从而
2
1
na
是首项为0 公差为1 的等差数列，
故
2
1
na
=
1
n ，即
*
1 1,
na
n
n
N
解法二：
2
3
2,
2
1
a
a
可写为
1
2
3
1 1 1,
2 1 1,
3 1 1,
a
a
a
．因此猜想
1 1
na
n
．
下用数学归纳法证明上式：
当
1
n
时结论显然成立．
假设n
k
时结论成立，即
1 1
ka
k
．则
2
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
k
k
a
a
k
k
这就是说，当
1
n
k
时结论成立．
∴
*
1 1,
na
n
n
N
(Ⅱ)解法一：设
2
1
1 1
f x
x
，则
1
n
n
a
f a
．
令
c
f c
，即
2
1
1 1
c
c
，解得
1
4
c
．
下用数学归纳法证明加强命题：
2
2
1
1
n
n
a
c
a
当
1
n
时，
2
3
1
0,
0
2
1
a
f
a
f
，∴
2
3
1
1
4
a
a
，结论成立．
假设n
k
时结论成立，即
2
2
1
1
k
k
a
c
a
易知
f x 在
,1
上为减函数，从而
2
1
2
1
k
c
f c
f a
f
a
即
2
2
2
1
k
c
a
a
再由
f x 在
,1
上为减函数得
2
2
2
3
1
k
c
f c
f a
f a
a
．
故
2
3
1
k
c
a
，因此
2(
1)
2(
1) 1
1
k
k
a
c
a
，这就是说，当
1
n
k
时结论成立．
综上，符合条件的c 存在，其中一个值为
1
4
c
．
解法二：设
2
1
1 1
f x
x
，则
1
n
n
a
f a
先证：0
1
na
*
n
N
…………………………①
当
1
n
时，结论明显成立．
假设n
k
时结论成立，即0
1
ka
易知
f x 在
,1
上为减函数，从而
0
1
0
2
1 1
k
f
f a
f
即
1
0
1
ka
这就是说，当
1
n
k
时结论成立，故①成立．
再证：
2
2
1
n
n
a
a
*
n
N
………………………………②
当
1
n
时，
2
3
1
0,
0
2
1
a
f
a
f
，有
2
3
a
a
，即当
1
n
时结论②成立
假设n
k
时，结论成立，即
2
2
1
k
k
a
a
由①及
f x 在
,1
上为减函数，得
2
1
2
2
1
2
2
k
k
k
k
a
f a
f a
a
2
1
2
2
2
1
2
1
1
k
k
k
k
a
f a
f a
a
这就是说，当
1
n
k
时②成立，∴②对一切
*
n
N
成立．
由②得
2
2
2
2
2
2
1
k
k
k
a
a
a
，即
2
2
2
2
2
1
2
2
k
k
k
a
a
a
因此
2
1
4
k
a
又由①、②及
f x 在
,1
上为减函数得
2
2
1
n
n
f a
f a
，即
2
1
2
2
n
n
a
a
∴
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1,
n
n
n
a
a
a
解得
2
1
1
4
n
a
．
综上，由②③④知存在
1
4
c
使
2
2
1
1
n
n
a
c
a
对一切
*
n
N
成立．
213．(2012 湖北理)(Ⅰ)已知函数
( )
(1
)
r
f x
rx
x
r
(
0)
x
，其中r 为有理数，且0
1
r
．求
( )
f x 的
最小值；
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题：设
1
2
0,
0
a
a
，
1
2
,
b b 为正有理数．若
1
2
1
b
b
，则
1
2
1
2
1 1
2
2
b
b
a a
a b
a b
；
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法
．．．．．证明你所推广的命题．
注：当为正有理数时，有求导公式
1
(
)
x
x
．
【解析】(Ⅰ)
1
1
( )
(1
)
r
r
f
x
r
rx
r
x
，令
( )
0
f
x
，解得
1
x
．
当0
1
x
时，
( )
0
f
x
，∴
( )
f x 在(0, 1) 内是减函数；
当
1
x
时，
( )
0
f
x
，∴
( )
f x 在(1,
)
内是增函数．
故函数
( )
f x 在
1
x
处取得最小值
(1)
0
f
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当
(0,
)
x
时，有
( )
(1)
0
f x
f
，即
(1
)
rx
rx
r
①
若
1a ，
2a 中有一个为0，则
1
2
1
2
1 1
2
2
b
b
a a
a b
a b
成立；
若
1a ，
2a 均不为0，又
1
2
1
b
b
，可得
2
1
1
b
b
，于是
在①中令
1
2
a
x
a
，
1
r
b
，可得
1
1
1
1
1
2
2
(
)
(1
)
b
a
a
b
b
a
a
，
即
1
1
1
1
2
1 1
2
1
(1
)
b
b
a a
a b
a
b
，亦即
1
2
1
2
1 1
2
2
b
b
a a
a b
a b
．
综上，对
1
2
0,
0
a
a
，
1b ，
2b 为正有理数且
1
2
1
b
b
，总有
1
2
1
2
1 1
2
2
b
b
a a
a b
a b
．
②
(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为：
设
1
2
,
,
,
n
a
a
a
为非负实数，
1
2
,
,
,
n
b b
b
为正有理数．
若
1
2
1
n
b
b
b
，则
1
2
1
2
1 1
2
2
nb
b
b
n
n
n
a a
a
a b
a b
a b
．
③
用数学归纳法证明如下：
(1)当
1
n
时，
1
1
b ，有
1
1
a
a
，③成立．
(2)假设当n
k
时，③成立，即若
1
2
,
,
,
k
a a
a
为非负实数，
1
2
,
,
,
k
b b
b
为正有理数，
且
1
2
1
k
b
b
b
，则
1
2
1
2
1 1
2
2
kb
b
b
k
k
k
a a
a
a b
a b
a b
．
当
1
n
k
时，已知
1
2
1
,
,
,
,
k
k
a a
a a
为非负实数，
1
2
1
,
,
,
,
k
k
b b
b b
为正有理数，
且
1
2
1
1
k
k
b
b
b
b
，此时
1
0
1
kb
，即
1
1
0
kb
，于是
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
(
)
k
k
k
k
b
b
b
b
b
b
b
b
k
k
k
k
a a
a a
a a
a
a
=
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
(
)
k
k
k
k
k
k
b
b
b
b
b
b
b
b
k
k
a
a
a
a
．
因
1
2
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
b
b
b
b
b
b
，由归纳假设可得
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
k
k
k
k
b
b
b
b
b
b
k
a
a
a
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
k
b
b
b
a
a
a
b
b
b
1 1
2
2
1
1
k
k
k
a b
a b
a b
b
，
从而
1
1
2
1
2
1
k
k
b
b
b
b
k
k
a a
a a
1
1
1
1 1
2
2
1
1
1
k
k
b
b
k
k
k
k
a b
a b
a b
a
b
．
又因
1
1
(1
)
1
k
k
b
b
，由②得
1
1
1
1 1
2
2
1
1
1
k
k
b
b
k
k
k
k
a b
a b
a b
a
b
1 1
2
2
1
1
1
1
(1
)
1
k
k
k
k
k
k
a b
a b
a b
b
a
b
b
1 1
2
2
1
1
k
k
k
k
a b
a b
a b
a
b
，
从而
1
1
2
1
2
1
k
k
b
b
b
b
k
k
a a
a a
1 1
2
2
1
1
k
k
k
k
a b
a b
a b
a
b
．
故当
1
n
k
时，③成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．
说明：(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对
2
n
成立，则后续证明中不需讨论
1
n
的情况．
214．(2011 湖南理)已知函数
3
( )
f x
x
，( )
g x
x
x
．
(Ⅰ)求函数( )
( )
( )
h x
f x
g x
的零点个数，并说明理由；
(Ⅱ)设数列{
na }(
*
n
N
)满足
1
(
0)
a
a a
，
1
(
)
(
)
n
n
f a
g a
，证明：存在常数M ，使得对于任意的
*
n
N
，都有
n
a ≤M ．
【解析】(Ⅰ)由
3
( )
,
[0,
)
h x
x
x
x
x
知
，而(0)
0,
(1)
1
0
h
h
且
，
(2)
6
2
0,
0
( )
h
x
h x
则
为
的一个零点，且( )
h x 在(1，2)内有零点．
因此( )
h x 至少有两个零点．
解法1：
1
2
2
1
( )
3
1
,
2
h x
x
x
记
1
2
2
1
( )
3
1
,
2
x
x
x
则
3
2
1
( )
6
.
4
x
x
x
当
(0,
)
,
( )
0,
( )
(0,
)
x
x
x
时
因此
在
上单调递增，则( )
(0,
)
x
在
内至多只有一个零点．又∵
3
3
(1)
0, (
)
0,
( )
(
,1)
3
3
x
则
在
内有零点，∴( )
(0,
)
x
在
内有且只有一个零点，记此零点为
1
1
1
,
(0,
)
, ( )
(
)
0
x
x
x
x
x
则当
时
；当
1
(
,
)
x
x
时，
1
( )
(
)
0.
x
x
∴，
当
1
(0,
)
, ( )
x
x
h x
时
单调递减，而
1
(0)
0,
( )
(0,
]
h
h x
x
则
在
内无零点；
当
1
(0,
)
, ( )
x
x
h x
时
单调递减，而
1
(0)
0,
( )
(0,
]
h
h x
x
则
在
内无零点；
当
1
(
,
)
, ( )
x
x
h x
时
单调递增，而
1
( )
(
,
)
h x
x
在
内至多只有一个零点．
从而( )
(0,
)
h x
在
内至多只有一个零点．
综上所述，( )
h x 有且只有两个零点．
解法2：由
1
1
2
2
2
2
( )
(
1
),
( )
1
h x
x x
x
x
x
x
记
，则
3
2
1
( )
2
.
2
x
x
x
当
(0,
)
,
( )
0,
x
x
时
从而( )
(0,
)
x
在
上单调递增，
则( )
(0,
)
x
在
内至多只有一个零点，因此( )
(0,
)
h x
在
内也至多只有一个零点．
综上所述，( )
h x 有且只有两个零点．
(Ⅱ)记( )
h x 的正零点为
3
0
0
0
0
,
.
x
x
x
x
即
(1)当
0
1
1
0
,
,
.
a
x
a
a
a
x
时由
即
而
2
3
2
1
1
0
0
0
2
0
,
.
a
a
a
x
x
x
a
x
因此
由此猜测：
0
na
x
．下面用数学归纳法证明．
①当
1
0
1
,
n
a
x
时
显然成立．
②假设当
0
(
1)
,
,
1
k
n
k k
a
x
n
k
时
成立则当
时，由
3
3
1
0
0
0
1
0
,
.
n
k
k
k
a
a
a
x
x
x
a
x
知
因此，当
1
0
1
,
k
n
k
a
x
时
成立．
故对任意的
*
0
,
k
n
N
a
x
成立．
(2)当
0
a
x
时，由(I)知，
0
( )
(
,
)
h x
x
在
上单调递增，则
0
( )
(
)
0
h a
h x
，
即
3
3
3
2
1
1
2
.
,
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
从而
即
，
由此猜测：
ka
a
，下面用数学归纳法证明，
①当
1
1
,
n
a
a
时
显然成立；
②假设当
(
1)
,
k
n
k k
a
a
时
成立，则当
1
n
k
时，由
3
3
1
1
,
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
知
，
因此，当
1
1
,
k
n
k
a
a
时
成立，故对任意的
*,
n
n
N
a
a
成立．
综上所述，存在常数
0
max{
, }
M
x a
，使得对于任意的
*,
.
n
n
N
a
M
都有
