专题13 三角函数的综合应用
十年大数据*全景展示
年
份
题
号
考
点
考查内容
2013
卷1
理16
文16
三角函数最值与值域
主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函
数的最值问题
2014[来
源:Z,xx,k.Com][来源:学科
网ZXXK]
卷1
理6
三角函数的实际应用
[来源:学科网ZXXK]
主要考查利用三角函数的应用及三角公式[来源:学.科.网]
卷2
理14
文14
三角函数最值与值域
主要考查三角公式及三角函数最值
卷2
理16
文12
三角函数的实际应用
主要考查圆的相关知识、正弦定理等基础知识
2016
卷1
理12
三角函数图象与性质
的综合应用
主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值，考查
运算求解能力．
卷2
理7
三角函数图象与性质
的综合应用
主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称
轴．
卷2
文11
三角函数最值与值域
主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值
2017
卷2
理14
三角函数最值与值域
主要考查同角三角函数基本关系、三角函数图像与性质、
换元法求最值．
卷2
文13
三角函数最值与值域
主要考查辅助角公式及三角函数的最值．
卷3
文6
三角函数最值与值域
主要考查诱导公式与三角函数的最值，考查转化与化归思
想．
2018
卷1
理16
三角函数最值与值域
主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、
利用导数研究函数的单调性、极值与最值．
卷1
文8
三角函数图象与性质
的综合应用
主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值，考查转化
与化归思想与运算求解能力
2019
卷1
理11
三角函数图象与性质
的综合应用
主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题．
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
三角函数最值与值域
7/13
2021 年仍将重点考查三角函数图像与性质的综合应用及
三角函数的最值与值域问题，题型仍为选择题或填空题，
三角函数图象与性质的综合应用
4/13
难度为中档题或压轴题．
三角函数的实际应用
2/13
十年试题分类*探求规律
考点42 三角函数最值与值域
1．(2016 全国新课标卷2，文11) 函数
π
( )
cos2
6cos(
)
2
f x
x
x
的最大值为(
)
(A)4
(B)5
(C)6
(D)7
【答案】B
【解析】因为
2
2
3
11
( )
1
2sin
6sin
2(sin
)
2
2
f x
x
x
x
，而sin
[ 1,1]
x
，所以当sin
1
x 时，
( )
f x 取
得最大值5，选B．
2．(2017 新课标卷3，文6)函数f(x)= 1
5 sin(x+ 3
)+cos(x−6
)的最大值为
A．6
5
B．1
C．3
5
D．1
5
【答案】A
【
解
析
】
因
为
cos
cos
sin
6
2
3
3
x
x
x
，
所
以
1
6
sin
sin
sin
5
3
3
5
3
f
x
x
x
x
，函数的最大值为6
5 ，故选A．
3．(2012 山东) 函数
2sin
(0
9)
6
3
x
y
x
的最大值与最小值之和为
A．2
3
B．0
C．－1
D．1
3
【答案】A
【解析】
7
3
0
9,
,
sin(
)
1,
3
6
3
6
2
6
3
x
x
x
max
min
2,
3.
y
y
故选8．
4．(2018•新课标Ⅰ，理16)已知函数
( )
2sin
sin 2
f x
x
x
，则
( )
f x 的最小值是
．
【答案】
3 3
2
【解析】由题意可得
2
T
是
( )
2sin
sin 2
f x
x
x
的一个周期，故只需考虑
( )
2sin
sin 2
f x
x
x
在[0 ，2 )
上的值域，先来求该函数在
[0
，
2 )
上的极值点，求导数可得
( )
2cos
2cos2
f
x
x
x
2
2cos
2(2cos
1)
2(2cos
1)(cos
1)
x
x
x
x
，令
( )
0
f
x
可解得
1
cos
2
x
或
cos
1
x ，可得此时
3
x
，或5
3
，
)
(
),
(
,
x
f
x
f
x
在在[0 ，2 )
上的变化情况如下表所示：
x
0
)
3
,0
(
3
)
,
3
(
)
3
5
,
(
3
5
)
2,
3
5
(
2
)
(x
f
+
0
—
0
—
0
+
)
(x
f
0
↗
极大值
2
3
↘
↘
极小值
3 3
2
↗
0
2sin
sin 2
y
x
x
的最小值为
3 3
2
．
5．(2017 新课标卷2，文13)．函数
cos
sin
=2
f
x
x
x 的最大值为
．
【答案】
5
【解析】因为
)
sin(
5
)
(
x
x
f
，其中
2
tan
，所以
)
(x
f
的最大值为
5 ．
6．(2017 新课标卷2，理14)．函数
2
3
sin
3 cos
4
f
x
x
x
(
0, 2
x
)的最大值是
．
【答案】1
【解析】
2
2
3
1
1 cos
3 cos
cos
3 cos
4
4
f
x
x
x
x
x
2
3
cos
1
2
x
，
0, 2
x
，那么
cos
0,1
x
，当
3
cos
2
x
时，函数取得最大值1．
7．(2014 新课标Ⅱ，理14)函数
sin
2
2sin
cos
f x
x
x
的最大值为_________．
【答案】1
【解析】∵
( )
sin(
2 )
2sin
cos(
)
sin[
(
)]
2sin
cos(
)
f x
x
x
x
x
sin
cos(
)
cos
sin(
)
2sin
cos(
)
x
x
x
cos
sin(
)
sin
cos(
)
x
x
=sin x ∴
( )
f x 的最大值为1
8．(2013新课标Ⅰ，理15)设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______
【答案】
2 5
5
【解析】∵
( )
f x =sin
2cos
x
x
=
5
2 5
5(
sin
cos )
5
5
x
x
，令cos=
5
5
，
2 5
sin
5
，则
( )
f x =
5(sin
cos
sin
cos )
x
x
=
5 sin(
)
x
，当x
= 2
,
2
k
k
z
，即x = 2
,
2
k
k
z
时，
( )
f x 取最大值，此时= 2
,
2
k
k
z
，∴cos=cos(2
)
2
k
=sin=
2 5
5
．
9．(2013 江西)设
3sin3
cos3
f x
x
x
，若对任意实数x 都有
f x
a
≤
，则实数a 的取值范围
是
．
【答案】
2
a
【解析】
( )
3sin3
cos3
2sin(3
)
f x
x
x
x
得|
( ) | 2
f x
故
2
a
．
10．(2019 浙江18)设函数
( )
sin ,
f x
x x
R ．
(1)已知
[0,2 ),
函数
(
)
f x
是偶函数，求的值；
(2)求函数
2
2
[ (
)]
[ (
)]
12
4
y
f x
f x
的值域．
【解析】(1)因为
(
)
sin(
)
f x
x
是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(
)
sin(
)
x
x
，
即sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
x
x
x
x
，
故2sin cos
0
x
，
所以cos
0
．
又
[0,2π)
，因此
π
2
或3π
2
．
(2)
2
2
2
2
π
π
π
π
sin
sin
12
4
12
4
y
f
x
f
x
x
x
π
π
1 cos 2
1 cos 2
1
3
3
6
2
1
cos2
sin 2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
3
π
1
cos 2
2
3
x
．
因此，函数的值域是
3
3
[1
,1
]
2
2
．
考点43 三角函数图象与性质的综合应用
1．(2019•新课标Ⅰ，理11)关于函数
( )
sin |
|
| sin
|
f x
x
x
有下述四个结论：
①
( )
f x 是偶函数
②
( )
f x 在区间( 2
，
)
单调递增
③
( )
f x 在[
，
]
有4 个零点
④
( )
f x 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是(
)
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】C
【解析】∵
(
)
sin |
|
| sin(
) | sin |
|
| sin
|
( )
f
x
x
x
x
x
f x
，∴函数
( )
f x 是偶函数，故①正确；
当
( 2
x
，
)
时，sin |
| sin
x
x
，| sin
| sin
x
x
，则
( )
sin
sin
2sin
f x
x
x
x
为减函数，故②错误；
当
x
0
时，
( )
sin |
|
| sin
| sin
sin
2sin
f x
x
x
x
x
x
，由
( )
0
f x
得2sin
0
x
得
0
x
或x
，由
( )
f x 是偶函数，得在[
，) 上还有一个零点x
，即函数
( )
f x 在[
，
]
有3 个零点，故③错误，
当sin |
| 1
x ，| sin
| 1
x 时，
( )
f x 取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C ．
2．(2018•新课标Ⅰ，文8)已知函数
2
2
( )
2cos
sin
2
f x
x
x
，则(
)
A．
( )
f x 的最小正周期为，最大值为3
B．
( )
f x 的最小正周期为，最大值为4
C．
( )
f x 的最小正周期为2，最大值为3
D．
( )
f x 的最小正周期为2，最大值为4
【答案】B
【解析】函数
2
2
( )
2cos
sin
2
f x
x
x
2
2
2
2
2cos
sin
2sin
2cos
x
x
x
x
2
2
4cos
sin
x
x
2
3cos
1
x
cos2
1
3
1
2
x
3cos2
5
2
2
x
，故函数的最小正周期为，函数的最大值为3
5
4
2
2
，故选B ．
3．(2016 新课标卷1，理12)12．已知函数
( )
sin(
)(
0
),
2
4
f x
x+
x
，
为
( )
f x 的零点，
4
x
为
( )
y
f x
图像的对称轴，且
( )
f x 在
5
18 36
，
单调，则的最大值为(
)
(A)11
(B)9
(C)7
(D)5
【答案】B．
【解析】当
11
时，由
2
4
11
k
，
Z
k
，∴
Z
k
k
,
4
9
，因为
4
|
|
，所以
4
，
所以
)
(x
f
=
)
4
11
sin(
x
，当
36
5
18
x
时，
)
18
23
36
13
(
4
11
，
x
，因为
x
y
sin
在
）
，
（
18
23
36
13
不
单调，故A 错；当
9
时，由
2
4
9
k
，
Z
k
，∴
Z
k
k
,
4
7
，因为
4
|
|
，所以
4
，所以
)
(x
f
=
)
4
9
sin(
x
，当
36
5
18
x
时，
)
2
3
4
3
(
4
9
，
x
，因为
x
y
sin
在
）
，
（
2
3
4
3
单调，故选B．
4．(2016•新课标Ⅱ，理7)若将函数
2sin 2
y
x
的图象向左平移12
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
(
)
A．
(
)
2
6
k
x
k
Z
B．
(
)
2
6
k
x
k
Z
C．
(
)
2
12
k
x
k
Z
D．
(
)
2
12
k
x
k
Z
【答案】B
【解析】将函数
2sin 2
y
x
的图象向左平移12
个单位长度，得到
2sin 2(
)
2sin(2
)
12
6
y
x
x
，由
2
(
)
6
2
x
k
k
Z
得：
(
)
2
6
k
x
k
Z
，即平移后的图象的对称轴方程为
(
)
2
6
k
x
k
Z
，故选B ．
5．(2016 山东)函数
( )
( 3sin
cos )( 3 cos
sin )
f x
x
x
x
x
的最小正周期是
A．2
B．π
C．3
2
D．2π
【答案】B
【解析】由题意得
( )
2sin(
)
2cos(
)
2sin(2
)
6
6
3
f x
x
x
x
，故该函数的最小正周期
2
2
T
．故选B．
6．(2014 安徽)若将函数
x
x
x
f
2
cos
2
sin
)
(
的图象向右平移个单位，所得图象关于y 轴对称，则的
最小正值是
A．8
B．4
C．8
3
D．4
3
【答案】C
【解析】
( )
2 sin(2
)
4
f x
x
，将函数
( )
f x 的图象向右平移个单位得
( )
2 sin(2
2 )
4
f x
x
，由该函数为偶函数可知2
,
4
2
k
k
Z
，
即
3
2
8
k
，所以的最小正值是为3
8
．
7．(2014 福建)将函数
sin
y
x
的图象向左平移2
个单位，得到函数
y
f x
的函数图象，则下列说法正
确的是
A．
y
f x
是奇函数
B．
y
f x
的周期是
C．
y
f x
的图象关于直线
2
x
对称
D．
y
f x
的图象关于点
,0
2
【答案】D
【解析】函数
sin
y
x
的图象向左平移2
个单位，得到函数
( )
sin(
)
cos
2
f x
x
x
的图象，
( )
cos
f x
x
为偶函数，排除A；
( )
cos
f x
x
的周期为2，排除B；因为
(
)
cos
0
2
2
f
，所以
( )
cos
f x
x
不关于直线
2
x
对称，排除C；故选D．
8．(2014 辽宁)将函数
3sin(2
)
3
y
x
的图象向右平移2
个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间
7
[
,
]
12 12
上单调递减
B．在区间
7
[
,
]
12 12
上单调递增
C．在区间[
,
]
6 3
上单调递减
D．在区间[
,
]
6 3
上单调递增
【答案】B
【解析】
将
3sin(2
)
3
y
x
的图象向有右移2
个单位长度后得到
3sin[2(
)
]
2
3
y
x
，即
2
3sin(2
)
3
y
x
的图象，令
2
2
2
2
2
3
2
k
x
k
≤
≤
，k
Z
，化简可得
7
[
,
]
12
12
x
k
k
，k
Z
，
即函数
2
3sin(2
)
3
y
x
的单调递增区间为
7
[
,
]
12
12
k
k
，k
Z
，令
0
k
．可得
2
3sin(2
)
3
y
x
在区间
7
[
,
]
12 12
上单调递增，故选B．
9．(2013 山东)将函数
sin 2
y
x
的图像沿x 轴向左平移8
个单位后，得到一个偶函数的图像，则的
一个可能取值为
A．3
4
B．4
C．0
D．
4
【答案】B
【解析】将函数y=sin(2 x +
)的图像沿x 轴向左平移
个单位，得到函数
，因为此时函数为偶函数，所以
，即
，所以选B．
10．(2018 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点
(cos ,sin )
P
到直线
2
0
x
my
的距离，当，m 变
化时，d 的最大值为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意可得
2
2
| cos
sin
2 |
|
sin
cos
2 |
1
1
m
m
d
m
m
2
2
2
2
2
2
1
|
1(
sin
cos )
2 |
|
1sin(
)
2 |
1
1
1
1
m
m
m
m
m
m
m
(其中
2
cos
1
m
m
，
2
1
sin
1
m
)，∵1
sin(
)
1
≤
≤，
∴
2
2
2
2
| 2
1 |
2
1
1
1
m
m
d
m
m
≤
≤
，
2
2
2
2
1
2
1
1
1
m
m
m
，
∴当
0
m
时，d 取得最大值3，故选C．
11．(2016 年浙江)设函数
2
( )
sin
sin
f x
x
b
x
c
，则
( )
f x 的最小正周期
A．与b 有关，且与c 有关
B．与b 有关，但与c 无关
C．与b 无关，且与c 无关
D．与b 无关，但与c 有关
【答案】B
【解析】由于
2
1
cos2
( )
sin
sin
sin
2
x
f x
x
b
x
c
b
x
c
．
当
0
b
时，
( )
f x 的最小正周期为；
当
0
b
时，
( )
f x 的最小正周期2；
c 的变化会引起
( )
f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B．
12．(2015 浙江)函数
2
( )
sin
sin cos
1
f x
x
x
x
的最小正周期是________，单调递减区间是_______．
【答案】、
]
8
7
,
8
3
[
k
k
(
Z
k
)
【解析】
2
3
)
4
2
sin(
2
2
)
(
x
x
f
，故最小正周期为，单调递减区间为
]
8
7
,
8
3
[
k
k
(
Z
k
)．
13．(2014 山东)函数
2
3 sin 2
cos
2
y
x
x
的最小正周期为
．
【答案】
【解析】
2
3 sin 2
cos
2
y
x
x
=
3
1
1
1
sin 2
cos2
sin(2
)
2
2
2
6
2
y
x
x
x
，所以其最小正周期为
2
2
．
14．(2014 安徽)若将函数
sin 2
4
f
x
x
的图象向右平移个单位，所得图象关于y 轴对称，则的
最小正值是________．
【答案】3
8
【解析】
(
)
sin[2(
)
]
sin(2
2 )
4
4
f x
x
x
，∴
2
(
)
4
2
k
k
Z
，∴
(
)
8
2
k
k
Z
，当
1
k 时
min
3
8
．
15．(2016 年浙江)已知
2
2cos
sin2
sin(
(
> 0)
x
x
A
x
b A
，则A =__，b =__．
【答案】
2
1
【解析】
2
2cos
sin2
2sin(2
)
1
4
x
x
x
，所以
2,
1.
A
b
16．(2014 陕西)设
2
0
，向量
sin 2
cos
cos
1
，
，
，
a
b
，若∥
a b，
则
tan
_______．
【答案】1
2
【解析】∵∥
a
b ，∴
2
sin 2
cos
，∴
2
2sin
cos
cos
，∵
(0,
)
2
，
∴
1
tan
2
．
17．(2017 江苏)已知向量
(cos ,sin )
x
x
a
，
(3,
3)
b
，
[0, ]
x
．
(1)若∥
a
b ，求x 的值；
(2)记
( )
f x
a b ，求
( )
f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
【解析】(1)因为
(cos ,sin )
x
x
a
，
(3,
3)
b
，∥
a
b ，
所以
3 cos
3sin
x
x
．
若cos
0
x
，则sin
0
x
，与
2
2
sin
cos
1
x
x
矛盾，故cos
0
x
．
于是
3
tan
3
x
．
又
[0, ]
x
，所以
5
6
x
．
(2)
π
(cos ,sin ) (3,
3)
3cos
3sin
2 3 cos(
( )
)
6
f x
x
x
x
x
x
a b
．
因为
[0, ]
x
，所以
π
π 7π
[
,
]
6
6
6
x
，
从而
π
3
1
cos(
)
6
2
x
．
于是，当
π
π
6
6
x
，即
0
x
时，
( )
f x 取到最大值3；
当
π
6
x
，即
5π
6
x
时，
( )
f x 取到最小值2 3
．
18．(2017 山东)设函数
( )
sin(
)
sin(
)
6
2
f x
x
x
，其中0
3
．
已知
(
)
0
6
f
．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)将函数
( )
y
f x
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4
个
单位，得到函数
( )
y
g x
的图象，求
( )
g x 在
3
[
,
]
4
4
上的最小值．
【解析】(Ⅰ)因为
( )
sin(
)
sin(
)
6
2
f x
x
x
，
所以
3
1
( )
sin
cos
cos
2
2
f x
x
x
x
3
3
sin
cos
2
2
x
x
1
3
3( sin
cos
)
2
2
x
x
3(sin
)
3
x
由题设知
(
)
0
6
f
，
所以6
3
k
，k
Z
．
故
6
2
k
，k
Z
，又0
3
，
所以
2
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
( )
3sin(2
)
3
f x
x
所以( )
3sin(
)
3sin(
)
4
3
12
g x
x
x
．
因为
3
[
,
]
4
4
x
，
所以
2
[
,
]
12
3
3
x
，
当
12
3
x
，
即
4
x
时，
( )
g x 取得最小值
3
2
．
19．(2016 年天津)已知函数
( )
4 tan
cos cos(
)
3
3
f x
x
x
x
．
(Ⅰ)求
( )
f x 的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论
( )
f x 在区间[
,
4 4
]上的单调性．
【解析】(Ⅰ)
( )
f x 的定义域为{ |
,
}
2
x x
k
k
Z
．
( )
4 tan
cos cos(
)
3
3
f x
x
x
x
4sin cos(
)
3
3
x
x
1
3
4sin (
cos
sin )
3
2
2
x
x
x
2
2sin cos
2 3sin
3
x
x
x
sin2
3(1
cos2 )
3
x
x
sin2
3cos2
x
x
2sin(2
)
3
x
所以
( )
f x 的最小正周期
2
2
T
．
令
2
,
3
z
x
函数
2sin
y
z
的单调递增区间是
2
,
2
,
.
2
2
k
k
k
Z
由
2
2
2
2
3
2
k
x
k
，得
5
,
.
12
12
k
x
k
k
Z
设
5
,
,
,
4 4
12
12
A
B
x
k
x
k
k
Z
，
易知
,
12 4
A
B
．
所以，当
,
4 4
x
时，
( )
f x 在区间
,
12 4
上单调递增，在区间
4
12
，
上单调递减．
20．(2015 北京)已知函数
2
( )
2 sin
cos
2 sin
2
2
2
x
x
x
f x
．
(Ⅰ) 求
( )
f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 求
( )
f x 在区间[ π
0]
，
上的最小值．
【解析】(Ⅰ)因为
2
2
( )
sin
(1 cos )
2
2
f x
x
x
2
sin(
)
4
2
x
所以
( )
f x 的最小正周期为2．
(Ⅱ)因为
0
x
，所以
3
4
4
4
x
．
当
4
2
x
，即
3
4
x
时，
( )
f x 取得最小值．
所以
( )
f x 在区间
,0
上的最小值为
3
2
(
)
1
4
2
f
．
21．(2015 湖北)某同学用“五点法”画函数
π
( )
sin(
) (
0, |
|
)
2
f x
A
x
在某一个周期内的图象时，列
表并填入了部分数据，如下表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
x
π
3
5π
6
sin(
)
A
x
0
5
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数
( )
f x 的解析式；
(Ⅱ)将
( )
y
f x
图象上所有点向左平行移动(
0)
个单位长度，得到
( )
y
g x
的图象．若
( )
y
g x
图象
的一个对称中心为5π
(
, 0)
12
，求的最小值．
【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据，解得
π
5,
2,
6
A
．数据补全如下表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
x
π
12
π
3
7π
12
5π
6
13 π
12
sin(
)
A
x
0
5
0
5
0
且函数表达式为
π
( )
5sin(2
)
6
f x
x
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
π
( )
5sin(2
)
6
f x
x
，得
π
( )
5sin(2
2
)
6
g x
x
．
因为
sin
y
x
的对称中心为( π, 0)
k
，k Z ．
令
π
2
2
π
6
x
k
，解得
π
π
2
12
k
x
，k Z ．
由于函数
( )
y
g x
的图象关于点5π
(
, 0)
12
成中心对称，令π
π
5π
2
12
12
k
，
解得
π
π
2
3
k
，k Z ．由
0
可知，当
1
k 时，取得最小值π
6 ．
22．(2014 福建)已知函数
( )
2cos (sin
cos )
f x
x
x
x
．
(Ⅰ)求
5
(
)
4
f
的值；
(Ⅱ)求函数
( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
【解析】解法一：(Ⅰ)
5
5
5
5
(
)
2cos
(sin
cos
)
4
4
4
4
f
2cos
( sin
cos
)
4
4
4
2
(Ⅱ)因为
2
( )
2sin cos
2cos
f x
x
x
x
sin 2
cos2
1
x
x
2 sin(2
)
1
4
x
．
所以
2
2
T
．
由2
2
2
,
2
4
2
k
x
k
k
Z
，
得
3
,
8
8
k
x
k
k
Z
，
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3
[
,
],
8
8
k
k
k
Z
．
解法二：因为
2
( )
2sin cos
2cos
f x
x
x
x
sin 2
cos2
1
x
x
2 sin(2
)
1
4
x
(Ⅰ)
5
11
(
)
2 sin
1
2 sin
1
2
4
4
4
f
．
(Ⅱ)
2
2
T
．
由2
2
2
,
2
4
2
k
x
k
k
Z
，
得
3
,
8
8
k
x
k
k
Z
，
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3
[
,
],
8
8
k
k
k
Z
．
23．(2014 福建)已知函数
1
( )
cos (sin
cos )
2
f x
x
x
x
．
(Ⅰ)若0
2
，且
2
sin
2
，求
( )
f 的值；
(Ⅱ)求函数
( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
【解析】解法一：(Ⅰ)因为0
,
2
2
sin
,
2
所以
2
cos
2
．
所以
2
2
2
1
1
( )
(
)
2
2
2
2
2
f
．
(Ⅱ)因为
2
1
1
1
cos2
1
( )
sin
cos
cos
sin 2
2
2
2
2
x
f x
x
x
x
x
1
1
2
sin 2
cos2
sin(2
)
2
2
2
4
x
x
x
，
所以
2
2
T
．由2
2
2
,
,
2
4
2
k
x
k
k
Z
得
3
,
8
8
k
x
k
k
Z
．
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3
[
,
],
8
8
k
k
k
Z
．
解法二：
2
1
1
1
cos2
1
( )
sin
cos
cos
sin 2
2
2
2
2
x
f x
x
x
x
x
1
1
2
sin 2
cos2
sin(2
)
2
2
2
4
x
x
x
(Ⅰ)因为0
,
2
2
sin
,
2
所以
4
从而
2
2
3
1
( )
sin(2
)
sin
2
4
2
4
2
f
(Ⅱ)
2
2
T
由2
2
2
,
,
2
4
2
k
x
k
k
Z
得
3
,
8
8
k
x
k
k
Z
．
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3
[
,
],
8
8
k
k
k
Z
．
24．(2014 北京)函数
3sin 2
6
f
x
x
的部分图象如图所示．
(Ⅰ)写出
f x 的最小正周期及图中
0x 、
0y 的值；
(Ⅱ)求
f x 在区间
,
2
12
上的最大值和最小值．
【解析】：(I)
f x 的最小正周期为，
0
7
6
x
，
0
3
y
．
(II)因为
[
,
]
2
12
x
，所以
5
2
[
,0]
6
6
x
，于是
当2
0
6
x
，即
12
x
时，
f x 取得最大值0；
当2
6
2
x
，即
3
x
时，
f x 取得最小值3
．
25．(2014 天津)已知函数
2
3
cos
sin
3cos
3
4
f x
x
x
x
，x
R
．
(Ⅰ)求
f x 的最小正周期；
(Ⅱ)求
f x 在闭区间
,
4 4
上的最大值和最小值．
【解析】(Ⅰ)由已知，
)
(x
f
=
4
3
cos
2
3
cos
sin
2
1
2
x
x
x
=
x
x
2
cos
4
3
2
sin
4
1
=
)
3
2
sin(
2
1
x
，
所以
( )
f x 的最小正周期
2
2
T
．
(Ⅱ)∵
4
4
x
，
∴
6
3
2
6
5
x
t
，
由
t
y
sin
的图像知，
2
1
)
3
2
(
sin
1
-
x
∴
4
1
)
(
2
1
x
f
，
∴函数
( )
f x 在闭区间
,
4 4
上的最大值为1
4
，最小值为
1
2
-
．
26．(2014 重庆)已知函数
2
2
0
sin
3
，
x
x
f
的图像关于直线
3
x
对称，且图
象上相邻两个最高点的距离为．
(I)求和的值；
(II)若
3
2
6
4
3
2
f
，求
2
3
cos
的值．
【解析】：(I)因
f x 的图象上相邻两个最高点的距离为，所以
f x 的最小正周期T
，从而
2
2
T
．又因
f x 的图象关于直线
3
x
对称，
所以2
,
0, 1, 2,
,
3
2
k
k
因
2
2
得
0
k
．
所以
2
2
3
6
．
(II)由(I)得
3
3sin 2
2
2
6
4
f
，所以
1
sin
6
4
．
由
2
6
3
得0
,
6
2
所以
2
2
1
15
cos
1 sin
1
.
6
6
4
4
因此
3
cos
sin
sin
2
6
6
sin
cos
cos
sin
6
6
6
6
= 1
3
15
1
3
15
4
2
4
2
8
．
27．(2013 山东)设函数
2
3
( )
3sin
sin
cos
(
0)
2
f x
x
x
x
，且
( )
y
f x
的图象的一个对称
中心到最近的对称轴的距离为4
．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求
( )
f x 在区间
3
[ ,
]
2
上的最大值和最小值．
【解析】(1)
( )
f x ＝
3
3
2
sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝
3
1 cos2
1
3
sin 2
2
2
2
x
x
＝
3
2
cos 2ωx－1
2
sin 2ωx＝
π
sin 2
3
x
．
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π
4
，
又ω＞0，所以2π
π
=4
2
4
．因此ω＝1．
(2)由(1)知
( )
f x ＝
π
sin 2
3
x
．
当π ≤x≤3π
2
时，5π
3
≤
π
8π
2
3
3
x
．所以
3
π
sin 2
1
2
3
x
，
因此－1≤
( )
f x ≤
3
2
．
故
( )
f x 在区间
3π
π, 2
上的最大值和最小值分别为
3
2
，－1．
28．(2013 天津)已知函数
2
( )
2 sin 2
6sin cos
2cos
4
1,
f x
x
x
x
x
x
R ．
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ) 求f(x)在区间0, 2
上的最大值和最小值．
【解析】(1)
( )
f x ＝
2
sin 2x·
π
π
cos
2cos 2
sin
4
4
x
＋3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x－2cos 2x＝
π
2 2sin 2
4
x
．
所以，
( )
f x 的最小正周期T＝2π
2
＝π．
(2)因为
( )
f x 在区间
3π
0, 8
上是增函数，在区间3π π
,
8
2
上是减函数．
又f(0)＝－2，
3π
2 2
8
f
，
π
2
2
f
，
故函数
( )
f x 在区间
π
0, 2
上的最大值为2 2 ，最小值为－2．
29．(2013 湖南)已知函数
cos cos
3
f
x
x
x
(1)求
2
(
)
3
f
的值；
(2)求使
1
( )
4
f x
成立的x 的取值集合．
【解析】(1)
4
1
)
2
1
2
cos
2
3
2
(sin
2
1
)
3
sin
sin
3
cos
(cos
cos
)
(
x
x
x
x
x
x
f
4
1
)
3
2
(
.
4
1
4
1
2
3
sin
2
1
)
3
2
(
4
1
)
6
2
sin(
2
1
f
f
x
所以
．
(2)由(1)知，
1
1
1
( )
sin(2
)
sin(2
)
0
(2
)
(2
,2
)
2
6
4
4
6
6
f x
x
x
x
k
k
.
),
12
,
12
7
(
.
),
12
,
12
7
(
Z
k
k
k
Z
k
k
k
x
所以不等式的解集是：
30．(2012 安徽) 设函数
2
2
( )
cos(2
)
sin
2
4
f x
x
x
(I)求函数
( )
f x 的最小正周期；
(II)设函数( )
g x 对任意x
R
，有
(
)
( )
2
g x
g x
，且当
[0,
]
2
x
时，
1
( )
( )
2
g x
f x
；求( )
g x 在[
,0]
上的解析式．
【解析】
2
2
1
1
1
( )
cos(2
)
sin
cos2
sin 2
(1 cos2 )
2
4
2
2
2
f x
x
x
x
x
x
1
1 sin 2
2
2
x
．
(I)函数
( )
f x 的最小正周期
2
2
T
．
(Ⅱ)当
[0,
]
2
x
时，
1
1
( )
( )
sin 2
2
2
g x
f x
x
．
当
[
,0]
2
x
时，(
)
[0,
]
2
2
x
，
1
1
( )
(
)
sin 2(
)
sin 2
2
2
2
2
g x
g x
x
x
当
[
,
)
2
x
时，(
)
[0,
)
2
x
，
1
1
( )
(
)
sin 2(
)
sin 2
2
2
g x
g x
x
x
得：函数
( )
g x 在[
,0]
上的解析式为
1 sin 2 (
0)
2
2
( )
1 sin 2 (
)
2
2
x
x
g x
x
x
．
31．(2012 陕西)函数
( )
sin(
)
1
6
f x
A
x
(
0,
0
A
)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间
的距离为2
．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)设
(0,
)
2
，则
(
)
2
2
f
，求的值．
【解析】(Ⅰ)∵函数
( )
f x 的最大值是3，∴
1
3
A
，即
2
A
．
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2
，∴最小正周期T
，∴
2
．
故函数
( )
f x 的解析式为
( )
2sin(2
) 1
6
f x
x
．
(Ⅱ)∵
(
)
2
f
2sin(
) 1
2
6
，即
1
sin(
)
6
2
，
∵0
2
，∴
6
6
3
，∴
6
6
，故
3
．
32．(2015 山东)设
2
( )
sin
cos
cos (
)
4
f x
x
x
x
．
(Ⅰ)求
( )
f x 的单调区间；
(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角
, ,
A B C ，的对边分别为, ,
a b c ，若
(
)
0
2
A
f
，
1
a
，求△ABC 面积的最
大值．
【解析】(Ⅰ)由题意
1 cos(2
)
1
2
( )
sin 2
2
2
x
f x
x
x
x
2
sin
2
1
2
1
2
sin
2
1
2
1
2
sin
x
．
由
k
x
k
2
2
2
2
2
(
Z
k
)，可得
k
x
k
4
4
(
Z
k
)；
由
k
x
k
2
2
3
2
2
2
(
Z
k
)，得
k
x
k
4
3
4
(
Z
k
)；
所以
)
(x
f
的单调递增区间是
]
4
,
4
[
k
k
(
Z
k
)；
单调递减区间是
]
4
3
,
4
[
k
k
(
Z
k
)．
(Ⅱ)
1
(
)
sin
0
2
2
A
f
A
，
1
sin
2
A
，
由题意A 是锐角，所以
3
cos
2
A
．
由余弦定理：
A
bc
c
b
a
cos
2
2
2
2
，
可得
2
2
1
3
2
bc
b
c
bc
3
2
3
2
1
bc
，且当
c
b
时成立．
2
3
sin
4
bc
A
．
ABC
面积最大值为
4
3
2
．
33．(2013福建)已知函数
( )
sin(
)(
0,0
)
f x
x
的周期为，图像的一个对称中心为(
,0)
4
，
将函数
( )
f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移2
个单位长
度后得到函数
( )
g x 的图像．
(1)求函数
( )
f x 与( )
g x 的解析式；
(2)是否存在
0
(
,
)
6 4
x
，使得
0
0
0
0
(
), (
),
(
) (
)
f x
g x
f x g x
按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定
0x 的个数；若不存在，说明理由．
(3)求实数a 与正整数n ，使得
( )
( )
( )
F x
f x
ag x
在(0,
)
n内恰有2013 个零点．
【解析】(Ⅰ)由函数
( )
sin(
)
f x
x
的周期为，
0
，得
2
又曲线
( )
y
f x
的一个对称中心为(
,0)
4
，
(0, )
故
(
)
sin(2
)
0
4
4
f
，得
2
，所以
( )
cos2
f x
x
将函数
( )
f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)后可得
cos
y
x
的图象，再将
cos
y
x
的图象向右平移2
个单位长度后得到函数( )
sin
g x
x
(Ⅱ)当
(
,
)
6 4
x
时，1
2
sin
2
2
x
，
1
0
cos2
2
x
，
所以sin
cos2
sin cos2
x
x
x
x
．
问题转化为方程2cos2
sin
sin cos2
x
x
x
x
在(
,
)
6 4
内是否有解
设
( )
sin
sin
cos2
2cos2
G x
x
x
x
x
，
(
,
)
6 4
x
则
( )
cos
cos cos2
2sin 2 (2
sin )
G x
x
x
x
x
x
因为
(
,
)
6 4
x
，所以
( )
0
G x
，
( )
G x 在(
,
)
6 4
内单调递增
又
1
(
)
0
6
4
G
，
2
(
)
0
4
2
G
且函数
( )
G x 的图象连续不断，故可知函数
( )
G x 在(
,
)
6 4
内存在唯一零点
0x ，
即存在唯一的
0
(
,
)
6 4
x
满足题意．
(Ⅲ)依题意，
( )
sin
cos2
F x
a
x
x
，令
( )
sin
cos2
0
F x
a
x
x
当sin
0
x
，即
(
)
x
k
k
Z
时，cos2
1
x
，从而
(
)
x
k
k
Z
不是方程
( )
0
F x
的解，所以方程
( )
0
F x
等价于关于x 的方程
cos2
sin
x
a
x
，
(
)
x
k
k
Z
现研究
(0, )
( ,2 )
x
U
时方程解的情况
令
cos2
( )
sin
x
h x
x
，
(0, )
( ,2 )
x
U
则问题转化为研究直线y
a
与曲线
( )
y
h x
在
(0, )
( ,2 )
x
U
的交点情况
2
2
cos (2sin
1)
( )
sin
x
x
h x
x
，令
( )
0
h x
，得
2
x
或
3
2
x
．
当x 变化时，( )
h x 和
( )
h x
变化情况如下表
x
(0,
)
2
2
(
, )
2
3
( ,
)
2
3
2
3
(
,2 )
2
( )
h x
0
0
( )
h x
Z
1
]
]
1
Z
当
0
x
且x 趋近于0 时，( )
h x 趋向于
当x
且x 趋近于时，( )
h x 趋向于
当x
且x 趋近于时，( )
h x 趋向于
当
2
x
且x 趋近于2时，( )
h x 趋向于
故当
1
a
时，直线y
a
与曲线
( )
y
h x
在(0, )
内有无交点，在( ,2 )
内有2 个交点；当
1
a 时，
直线y
a
与曲线
( )
y
h x
在(0, )
内有2 个交点，在( ,2 )
内无交点；当1
1
a
时，直线y
a
与
曲线
( )
y
h x
在(0, )
内有2 个交点，在( ,2 )
内有2 个交点由函数( )
h x 的周期性，可知当
1
a 时，
直线y
a
与曲线
( )
y
h x
在(0,
)
n
内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y
a
与曲线
( )
y
h x
在(0,
)
n内恰有2013个交点；当
1
a 时，直线y
a
与曲线
( )
y
h x
在(0, )
( ,2 )
U
内有
3个交点，由周期性，2013
3 671
，所以
671 2
1342
n
综上，当
1
a ，
1342
n
时，函数
( )
( )
( )
F x
f x
ag x
在(0,
)
n内恰有2013个零点
考点44 三角函数的实际应用
1．(2014 新课标Ⅰ，理6)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，
终边为射线OP ，过点P 作直线OA的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数
( )
f x ，
则y =
( )
f x 在[0，]上的图像大致为(
)
【答案】B
【解析】如图：过M 作MD⊥OP 于Ｄ，则PM=sin x ，OM= cos x ，在Rt OMP
中，
MD=
cos
sin
1
x
x
OM PM
OP
cos sin
x
x
1 sin 2
2
x
，∴
( )
f x
1 sin 2
(0
)
2
x
x
，选B．
2．(2015 陕西)如图，某港口一天6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数
3sin(
)
6
y
x
k
，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】由图象知：
min
2
y
，因为
min
3
y
k
，所以3
2
k
，解得：
5
k
，所以这段时间水深的
最大值是
max
3
3
5
8
y
k
，故选C．
3．(2014 新课标Ⅱ，理16)设点M(
0x ，1)，若在圆O：
2
2
1
x
y
上存在点N，使得∠OMN=45°，则
0x
的取值范围是________．
【答案】
0
1
1
x
【解析】由图可知点M 所在直线
1
y
与圆O 相切，又
1
ON
，由正弦定理得：
sin
sin
ON
OM
OMN
ONM
，∴1
sin
2
2
OM
ONM
，即：
2 sin
OM
ONM
，又∵0
ONM
，
∴
2
OM
，即
2
0
1
2
x
，解之：
0
1
1
x
4 ．(2014 湖北) 某实验室一天的温度( 单位：℃) 随时间t( 单位：h) 的变化近似满足函数关系：
π
π
( )
10
3cos
sin
12
12
f t
t
t
，
[0, 24)
t
．
(Ⅰ)求实验室这一天上午8 时的温度；
(Ⅱ)求实验室这一天的最大温差．
【解析】(Ⅰ)
π
π
(8)
10
3cos
8
sin
8
12
12
f
(
)
(
)
2π
2π
10
3cos
sin
3
3
1
3
10
3
(
)
10
2
2
．
故实验室上午8 时的温度为10 ℃．
(Ⅱ)因为
3
π
1
π
π
π
( )
10
2(
cos
sin
) =10
2sin(
)
2
12
2
12
12
3
f t
t
t
t
，
又0
24
t
，所以π
π
π
7π
3
12
3
3
t
，
π
π
1
sin(
)
1
12
3
t
．
当
2
t
时，
π
π
sin(
)
1
12
3
t
；当
14
t
时，
π
π
sin(
)
1
12
3
t
．
于是
( )
f t 在[0,24) 上取得最大值12，取得最小值8．
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．
5．(2018 江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN ( P 为此圆弧的中点)和线段
MN 构成．已知圆O 的半径为40 米，点P 到MN 的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大
棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为
CDP
△
，要求
,
A B 均在线段MN 上，
,
C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．
(1)用分别表示矩形ABCD 和
CDP
△
的面积，并确定sin的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4
3
∶．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．
过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以
COE
，
故
40cos
OE
，
40sin
EC
，
则矩形ABCD 的面积为2 40cos (40sin
10)
800(4sin
cos
cos )
，
CDP
的面积为1
2 40cos (40
40sin )
1600(cos
sin
cos )
2
．
过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则
10
GK
KN
．
令
0
GOK
，则
0
1
sin
4
，
0
(0,
)
6
．
当
0
[
,
)
2
时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，
所以sin的取值范围是1
[ ,1)
4
．
答：矩形ABCD 的面积为800(4sin
cos
cos )
平方米，CDP
的面积为
1600(cos
sin
cos )
，sin的取值范围是1
[ ,1)
4
．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (
0)
k
，
则年总产值为4
800(4sin
cos
cos )
3
1600(cos
sin
cos )
k
k
8000 (sin
cos
cos )
k
，
0
[
,
)
2
．
设
( )
sin
cos
cos
f
，
0
[
,
)
2
，
则
2
2
2
( )
cos
sin
sin
(2sin
sin
1)
(2sin
1)(sin
1)
f
．
令
( )
0
f
，得
π
6
，
当
0
(
,
)
6
时，
( )>0
f
′
，所以
( )
f 为增函数；
当
(
,
)
6 2
时，
( )<0
f
′
，所以
( )
f 为减函数，
因此，当
π
6
时，
( )
f 取到最大值．
答：当
π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6．(2017 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的
底面对角线AC 的长为10
7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，
1
1
E G 的长分别为14cm 和62cm．分
别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm．(容器厚度、玻
璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱
1
CC 上，求l 没入水中部分的长度；
(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱
1
GG 上，求l 没入水中部分的长度．
【解析】(1)由正棱柱的定义，
1
CC 平面ABCD ，
所以平面
1
1
A ACC 平面ABCD ，
1
CC
AC
．
记玻璃棒的另一端落在
1
CC 上点M 处．
因为
10 7
AC
，
40
AM
．
所以
2
2
40
(10 7)
30
MN
，从而
3
sin
4
MAC
．
记AM 与水平的交点为
1P ，过
1P 作
1
1
PQ
AC
，
1
Q 为垂足，
则
1
1
PQ 平面ABCD ，故
1
1
12
PQ
，
从而
1
1
1
16
sin
PQ
AP
MAC
．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm．
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
(2)如图，O ，
1
O 是正棱台的两底面中心．
由正棱台的定义，
1
OO ⊥平面EFGH ，
所以平面
1
1
E EGG ⊥平面EFGH ，
1
OO ⊥EG ．
同理，平面
1
1
E EGG ⊥平面
1
1
1
1
E FG H ，
1
OO ⊥
1
1
E G ．
记玻璃棒的另一端落在
1
GG 上点N 处．
过G 作GK ⊥
1
1
E G ，K 为垂足，则GK =
1
OO =32．
因为EG = 14，
1
1
E G = 62，
所以
1
KG = 62 14
24
2
，从而
2
2
2
2
1
1
24
32
40
GG
KG
GK
．
设
1
,
,
EGG
ENG
∠
∠
则
1
1
4
sin
sin(
)
cos
2
5
KGG
KGG
∠
∠
．
因为2
，所以
3
cos
5
．
在
ENG
△
中，由正弦定理可得40
14
sin
sin
，解得
7
sin
25
．
因为0
2
，所以
24
cos
25
．
于是sin
sin(
)
sin(
)
sin
cos
cos
sin
NEG
∠
4
24
7
3
( 3
5)
5
25
25
5
．
记EN 与水面的交点为
2P ，过
2P 作
2
2
P Q
EG
，
2
Q 为垂足，则
2
2
PQ ⊥平面EFGH ，故
2
2
PQ =12，从而
2
EP =
2
2
20
sin
P
NEG
Q
∠
．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
7．(2014 湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h )的变化近似满足函数关系：
π
π
( )
10
3cos
sin
12
12
f t
t
t
，
[0, 24)
t
．
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】(Ⅰ)因为
3
1
( ) 10
2(
cos
sin
) 10
2sin(
)
2
12
2
12
12
3
f t
t
t
t
，
又
24
0
t
，所以
3
7
3
12
3
t
，
1
)
3
12
sin(
1
t
，
当
2
t
时，
1
)
3
12
sin(
t
；当
14
t
时，
1
)
3
12
sin(
t
；
于是
)
(t
f
在
)
24
,0
[
上取得最大值12，取得最小值8．
故实验室这一天最高温度为12 C
，最低温度为8 C
，最大温差为4 C
(Ⅱ)依题意，当
11
)
(
t
f
时实验室需要降温．
由(Ⅰ)得
)
3
12
sin(
2
10
)
(
t
t
f
，所以
11
)
3
12
sin(
2
10
t
，即
1
sin(
)
12
3
2
t
，
又
24
0
t
，因此
6
11
3
12
6
7
t
，即
18
10
t
，故在10 时至18 时实验室需要降温．
