专题35
不等式选讲
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
文理24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法
2012
文理24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
2013[来
源:学科网ZXXK][来
源:Z|xx|k.Com]
卷1
文理24[来
源:Zxxk.Com]
不等式选
讲[来源:Z*xx*k.Com]
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷2
文理24
不等式选
讲
多元不等式的证明
2014
卷1
文理24
不等式选
讲
基本不等式的应用
卷2
文理24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法
2015
卷1
文理24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷2
文理24
不等式选
讲
不等式的证明
2016
卷1
文理24
不等式选
讲
分段函数的图像，绝对值不等式的解法
卷2
文理24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明
卷3
文理24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
2017
卷1
文理23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷2
文理23
不等式选
讲
不等式的证明
卷3
文理23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题
2018
卷1
文理23
不等式选
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
讲
卷2
文理23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷3
文理23
不等式选
讲
绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法
2019
卷1
文理23
不等式选
讲
三元条件不等式的证明
卷2
文理23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷3
文理23
不等式选
讲
三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明
2020
卷1
文理23
不等式选
讲
绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法
卷2
文理23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷3
文理23
不等式选
讲
三元条件不等式的证明
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点120 绝对值不等式的求解
23 次考4 次
2021 年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值
不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题
的解法等．
考点121 含绝对值不等式的恒成立问题
23 次考12 次
考点122 不等式的证明
23 次考7 次
十年试题分类*探求规律
考点120
绝对值不等式的求解
1．(2020 全国Ⅰ文理22)已知函数
3
1
2
1
f x
x
x
．
(1)画出
y
f x
的图像；
(2)求不等式
1
f x
f x
的解集．
【解析】(1)∵
3,
1
1
5
1,
1
3
1
3,
3
x
x
f x
x
x
x
x
，作出图像，如图所示：
(2)将函数
f x 的图像向左平移1个单位，可得函数
1
f x
的图像，如图所示：
由
3
5
1
1
x
x
，解得
7
6
x
，∴不等式的解集为
7
,
6
．
2．(2020 江苏23)设xR ，解不等式2 |
1|
|
| 4
x
x
．
【答案】
2
2, 3
【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．
【解析】
1
2
2
4
x
x
x
或
1
0
2
2
4
x
x
x
或
0
2
2
4
x
x
x
，
2
1
x
或1
0
x
或
2
0
3
x
，∴解集为
2
2, 3
．
3．(2016 全国I 文理)已知函数
( ) |
1|
| 2
3|
f x
x
x
．
(I)在图中画出
( )
y
f x
的图像；
(II)求不等式|
( ) | 1
f x
的解集．
【解析】(1)如图所示：
(2)
4
1
3
3
2
1
2
3
4
2
x
x
f x
x
x
x
x
，≤
，
，≥
，
1
f
x
．
当
1
x
≤
，
4
1
x
，解得
5
x
或
3
x
，
1
x
∴≤
；
当
3
1
2
x
，3
2
1
x
，解得
1
x 或
1
3
x
，
1
1
3
x
∴
或
3
1
2
x
；
当
3
2
x≥
，4
1
x
，解得
5
x
或
3
x
，
3
3
2
x
∴
≤
或
5
x
．
综上，
1
3
x
或1
3
x
或
5
x
，
1
f x
∴
，解集为
1
1
3
5
3
，
，
，
．
4．(2014 全国II 文理)设函数
f x =
1
(
0)
x
x
a a
a
(Ⅰ)证明：
f x ≥2；
(Ⅱ)若
3
5
f
，求a 的取值范围．
【解析】(I)由
0
a
，有
( )
f x
1
1
1
(
)
2
x
x
a
x
x
a
a
a
a
a
，∴
( )
f x ≥2．
(Ⅱ)
1
(3)
3
3
f
a
a
．
当时a ＞3 时，
(3)
f
=
1
a
a
，由
(3)
f
＜5 得3＜a ＜5
21
2
；
当0＜a ≤3 时，
(3)
f
=
1
6
a
a
，由
(3)
f
＜5 得1
5
2
＜a ≤3．
综上：a 的取值范围是(1
5
2
，5
21
2
)．
5．(2011 新课标文理)设函数
( )
3
f x
x
a
x
，其中
0
a
．
(Ⅰ)当
1
a
时，求不等式
( )
3
2
f x
x
的解集；
(Ⅱ)若不等式
( )
0
f x
的解集为
|
1
x x
，求a 的值．
【解析】(Ⅰ)当
1
a
时，
( )
3
2
f x
x
可化为|
1| 2
x
，由此可得
3
x
或
1
x ．
故不等式
( )
3
2
f x
x
的解集为{ |
3
x x
或
1}
x
．
( Ⅱ) 由
( )
0
f x
得
3
0
x
a
x
，此不等式化为不等式组
3
0
x
a
x
a
x
或
3
0
x
a
a
x
x
，
即
4
x
a
a
x
≥
≤
或
2
x
a
a
x
≤
≤
，因为
0
a
，∴不等式组的解集为
|
2
a
x x
，由题设可得
2
a
= 1
，故
2
a
．
考点121
含绝对值不等式的恒成立问题
6．(2020 全国Ⅱ文理22)已知函数
2
2
1
f
x
x
a
x
a
．
(1)当
2
a
时，求不等式
4
f
x
的解集；
(2)若
4
f
x
，求a 的取值范围．
【答案】(1)
3
2
x x
或
11
2
x
；(2)
, 1
3,
．
【思路导引】(1)分别在
3
x
、3
4
x
和
4
x
三种情况下解不等式求得结果；
(2)利用绝对值三角不等式可得到
2
1
f x
a
，由此构造不等式求得结果．
【解析】(1)当
2
a
时，
4
3
f x
x
x
．
当
3
x
时，
4
3
7
2
4
f x
x
x
x
，解得：
3
2
x
；
当3
4
x
时，
4
3 1
4
f x
x
x
，无解；
当
4
x
时，
4
3
2
7
4
f x
x
x
x
，解得：
11
2
x
；
综上所述：
4
f x
的解集为
3
2
x x
或
11
2
x
．
(2)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
f x
x
a
x
a
x
a
x
a
a
a
a
(当且仅当
2
2
1
a
x
a
时取等号)，
2
1
4
a
，解得：
1
a 或
3
a
，
a
的取值范围为
, 1
3,
．
7．(2019 全国II 文理23)[选修4-5：不等式选讲](10 分)
已知
( ) |
|
|
2 | (
).
f x
x
a x
x
x
a
(1)当
1
a
时，求不等式
( )
0
f x
的解集；
(2)若
(
,1)
x
时，
( )
0
f x
，求a 的取值范围．
【解析】(1)当a=1 时，
( )=|
1| +|
2|(
1)
f x
x
x
x
x
．
当
1
x 时，
2
( )
2(
1)
0
f x
x
；当
1
x 时，
( )
0
f x
，∴不等式
( )
0
f x
的解集为(
,1)
．
(2)因为
( )=0
f a
，∴
1
a
．
当
1
a
，
(
,1)
x
时，
( )=(
) +(2
)(
)=2(
)(
1)<0
f x
a
x x
x x
a
a
x x
∴a 的取值范围是[1,
)
．
8．(2018 全国Ⅰ文理)已知
( ) |
1|
|
1|
f x
x
ax
．
(1)当
1
a
时，求不等式
( )
1
f x
的解集；
(2)若
(0,1)
x
时不等式
( )
f x
x
成立，求a 的取值范围．
【解析】(1)当
1
a
时，
( ) |
1|
|
1|
f x
x
x
，即
2,
1,
( )
2 , 1
1,
2,
1.
≤
≥
x
f x
x
x
x
故不等式
( )
1
f x
的解集为
1
{ |
}
2
x x
．
(2)当
(0,1)
x
时|
1|
|
1|
x
ax
x
成立等价于当
(0,1)
x
时|
1| 1
ax
成立．
若
0
≤
a
，则当
(0,1)
x
时|
1|
1
≥
ax
；
若
0
a
，|
1| 1
ax
的解集为
2
0
x
a
，∴2
1
≥
a
，故0
2
≤
a
．
综上，a 的取值范围为(0,2] ．
9．(2018 全国Ⅱ文理)设函数
( )
5
|
|
|
2 |
f x
x
a
x
．
(1)当
1
a
时，求不等式
( )
0
≥
f x
的解集；
(2)若
( )
1
≤
f x
，求a 的取值范围．
【解析】(1)当
1
a
时，
2
4,
1,
( )
2, 1
2,
2
6,
2.
≤
≤
x
x
f x
x
x
x
可得
( )
0
≥
f x
的解集为{ | 2
3}
≤
≤
x
x
．
(2)
( )
1
≤
f x
等价于|
|
|
2 |
4
≥
x
a
x
．
而|
|
|
2 | |
2 |
≥
x
a
x
a
，且当
2
x
时等号成立．故
( )
1
≤
f x
等价于|
2 |
4
≥
a
．
由|
2 |
4
≥
a
可得
6
≤
a
或
2
≥
a
，∴a 的取值范围是(
, 6]
[2,
)
．
10．(2018 全国Ⅲ文理)设函数
( ) | 2
1|
|
1|
f x
x
x
．
(1)画出
( )
y
f x
的图像；
(2)当
[0,
)
x
时，
( )
f x
ax
b
≤
，求a
b
的最小值．
【解析】(1)
1
3 ,
,
2
1
( )
2,
1,
2
3 ,
1.
x x
f x
x
x
x x
≤
≥
( )
y
f x
的图像如图所示．
(2)由(1)知，
( )
y
f x
的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当
3
a≥
且
2
b≥
时，
( )
f x
ax
b
≤
在[0,
)
成立，因此a
b
的最小值为5．
11．(2018 江苏)若x ，y ，z 为实数，且
2
2
6
x
y
z
，求
2
2
2
x
y
z
的最小值．
【解析】由柯西不等式，得
2
2
2
2
2
2
2
(
)(1
2
2 )
(
2
2 )
x
y
z
x
y
z
≥
．
因为
2
2 =6
x
y
z
，∴
2
2
2
4
x
y
z
≥，当且仅当1
2
2
x
y
z
时，不等式取等号，此时
2
4
4
3
3
3
x
y
z
，
，
，
∴
2
2
2
x
y
z
的最小值为4．
12．(2017 全国Ⅰ文理)已知函数
2
( )
4
f x
x
ax
，( ) |
1|
|
1|
g x
x
x
．
(1)当
1
a
时，求不等式
( )
( )
f x
g x
≥
的解集；
(2)若不等式
( )
( )
f x
g x
≥
的解集包含[ 1,1]
，求a 的取值范围．
【解析】(1)当
1
a
时，不等式
( )
( )
f x
g x
≥
等价于
2
|
1|
|
1| 4
0
x
x
x
x
≤
．①
当
1
x 时，①式化为
2
3
4
0
x
x
≤
，无解；
当1
1
x
≤≤时，①式化为
2
2
0
x
x
≤
，从而1
1
x
≤≤；
当
1
x
时，①式化为
2
4
0
x
x
≤
，从而
1
17
1
2
x
≤
，∴
( )
( )
f x
g x
≥
的解集为
1
17
{ | 1
}
2
x
x
≤
．
(2)当
[ 1,1]
x
时，( )
2
g x
，∴
( )
( )
f x
g x
≥
的解集包含[ 1,1]
，等价于当
[ 1,1]
x
时
( )
2
f x ≥
．
又
( )
f x 在[ 1,1]
的最小值必为
( 1)
f
与
(1)
f
之一，∴
( 1)
2
f
≥
且
(1)
2
f
≥
，得1
1
a
≤≤，∴a 的取
值范围为[ 1,1]
．
13．(2017 全国Ⅲ文理)已知函数
( ) |
1|
|
2 |
f x
x
x
．
(1)求不等式
( )
1
f x ≥的解集；
(2)若不等式
2
( )
f x
x
x
m
≥
的解集非空，求m 的取值范围．
【解析】(1)
3,
1
( )
2
1, 1
2
3,
2
x
f x
x
x
x
≤
≤
，
当
1
x 时，
f
x
1
≥无解；
当
x
1
2
≤≤
时，由
f
x
1
≥得，x
2
1
1
≥，解得
x
1
2
≤≤
；
当＞2
x
时，由
f
x
1
≥解得＞2
x
．
∴
f
x
1
≥的解集为
x x
1
≥
．
(2)由
f
x
x
x
m
2
≥
得m
x
x
x
x
2
1
2
≤
，而
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
+1+
2
≤
x
2
3
5
5
=-
-
+
2
4
4
≤
，
且当
3
2
x
时，
2
5
1
2
= 4
x
x
x
x
，故m 的取值范围为
5
- ，4
．
14．(2016 全国III 文理)已知函数
( ) | 2
|
f x
x
a
a
(Ⅰ)当a=2 时，求不等式
( )
6
f x ≤
的解集；
(Ⅱ)设函数
( ) | 2
1|
g x
x
，当xR 时，
( )
( )
3
f x
g x
≥
，求a 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)当
2
a
时，
( ) | 2
2 | 2
f x
x
．
解不等式| 2
2 | 2
6
x
-
，得1
3
x
-
-
，因此
( )
6
f x
的解集为{ | 1
3}
x
x
-
-
．
(Ⅱ)当x
R
时，
( )
( ) | 2
|
|1
2 |
f x
g x
x
a
a
x
| 2
1
2 |
x
a
x
a
.
|1
|
a
a
，当
1
2
x
时等号成立，
∴当x
R
时，
( )
( )
3
f x
g x
.
等价于|1
|
3
a
a
.
．
①
当
1
a -
时，①等价于1
3
a
a
.
，无解．
当
1
a
时，①等价于
1
3
a
a
.
，解得
2
a .
．
∴a 的取值范围是[2,
)
．
15．(2015 全国I 文理)已知函数
( ) |
1| 2 |
|
f x
x
x
a
，
0
a
．
(Ⅰ)当
1
a
时，求不等式
( )
1
f x
的解集；
(Ⅱ)若
( )
f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)当
1
a
时，不等式
( )
1
f x
化为|
1| 2 |
1| 1
0
x
x
，
当
1
x
≤
时，不等式化为
4
0
x
，无解；
当1
1
x
时，不等式化为3
2
0
x
，解得2
1
3
x
；
当
1
x≥时，不等式化为
2
0
x
，解得1
2
x
≤
．
∴
( )
1
f x
的解集为
2
{ |
2}
3
x
x
．
(Ⅱ)有题设可得，
1 2 ,
1
( )
3
1 2 , 1
1 2 ,
x
a x
f x
x
a
x
a
x
a x
a
≤≤
，∴函数
( )
f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别
为
2
1
(
,0),
(2
1,0),
( ,
1)
3
a
A
B
a
C a a
，ABC
的面积为
2
2 (
1)
3 a
．有题设得
2
2 (
1)
6
3 a
，故
2
a
．∴
a 的取值范围为(2,
)
．
16．(2014 全国I 文理)若
0,
0
a
b
，且1
1
ab
a
b
．
(Ⅰ)求
3
3
a
b
的最小值；
(Ⅱ)是否存在,a b ，使得2
3
6
a
b
？并说明理由．
【解析】(I)由
1
1
2
ab
a
b
ab
，得
2
ab
，且当
2
a
b
时取等号．
故
3
3
a
b
3
3
2
4 2
a b
，且当
2
a
b
时取等号．
∴
3
3
a
b
的最小值为4 2 ．
(II)由(I)知，2
3
2 6
4 3
a
b
ab
．由于4 3
6
，从而不存在,a b，
使得2
3
6
a
b
．
16．(2013 全国I 文理)已知函数
( )
f x =| 2
1|
| 2
|
x
x
a
，( )
g x =
3
x
．
(Ⅰ)当a =-2 时，求不等式
( )
f x ＜( )
g x 的解集；
(Ⅱ)设a ＞-1，且当x ∈[
2
a
，1
2
)时，
( )
f x ≤( )
g x ，求a 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)当a = 2时，不等式
( )
f x ＜
( )
g x 化为| 2
1|
| 2
2 |
3
0
x
x
x
，
设函数y =| 2
1|
| 2
2 |
3
x
x
x
，y =
1
5 ,
2
1
2,
1
2
3
6,
1
x
x
x
x
x
x
，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当
(0,2)
x
时，y ＜0，
∴原不等式解集是{ | 0
2}
x
x
．
(Ⅱ)当x ∈[
2
a
，1
2
)时，
( )
f x =1 a
，不等式
( )
f x ≤( )
g x 化为1
3
a
x
≤
，
∴
2
x
a
≥
对x ∈[
2
a
，1
2
)都成立，故
2
a
≥
2
a
，即a ≤4
3
，
∴a 的取值范围为(1，4
3
]．
17．(2012 新课标文理)已知函数
|
2
|
|
|
)
(
x
a
x
x
f
．
(Ⅰ)当
|
3
a
时，求不等式
( )
3
f x .
的解集；
(Ⅱ)若
( )
|
4 |
f x
x
-
的解集包含
]
2,1[
，求a 的取值范围．
【解析】(1)当
3
a 时，
( )
3
3
2
3
f x
x
x
.
.
2
3
2
3
x
x
x
-
.
或
2
3
3
2
3
x
x
x
.
或
3
3
2
3
x
x
x
.
.
1
x
-
或
4
x .
．
(2)原命题
( )
4
f x
x
-
在[1,2] 上恒成立
2
4
x
a
x
x
-
在[1,2] 上恒成立
2
2
x
a
x
-
-
在[1,2] 上恒成立
3
0
a
-
-
．
考点122
不等式的证明
18．(2020 全国Ⅲ文理23)设
,
,
,
0 ,
1
a b c
a
b
c
abc
R
．
(1)证明：
0
ab
bc
ca
；
(2)用
max
,
,
a b c 表示
,
,
a b c 的最大值，证明：
3
max
,
,
4
a b c
．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．
【思路导引】(1)根据题设条件
,0
c
b
a
两边平方，再利用均值不等式证明即可；
(2)思路一：不妨设max{ , , }
a b c
a
，由题意得出
0, ,
0
a
b c
，
由
2
2
2
3
2
2
b
c
b
c
bc
a
a
a
bc
bc
，结合基本不等式，即可得出证明．
思路二：假设出
c
b
a
,
,
中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．
【解析】(1)证明：
.0
,0
2
c
b
a
c
b
a
,0
2
2
2
2
2
2
ca
ac
ab
c
b
a
即
2
2
2
2
2
2
c
b
a
ca
bc
ab
.0
,0
2
2
2
ca
bc
ab
ca
bc
ab
(2)证法一：不妨设max{ , , }
a b c
a
，由
0,
1
a
b
c
abc
可知，
0,
0,
0
a
b
c
，
1
,
a
b
c a
bc
，
2
2
2
3
2
2
2
2
4
b
c
b
c
bc
bc
bc
a
a
a
bc
bc
bc
，
当且仅当b
c
时，取等号，
3 4
a
，即
3
max{ , , }
4
a b c .
．
证法二：不妨设
4
0
3
c
b
a
，则
,
4
,
4
1
1
3
3
c
b
a
c
ab
而
1
1
3
3
3
6
2
4
2
2
4
4
a
b
ab
矛盾，∴命题得证．
19．(2019 全国I 文理23)已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：
(1)
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
；
(2)
3
3
3
(
)
(
)
(
)
24
a
b
b
c
c
a
．
【解析】(1)因为
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
a
b
ab b
c
bc c
a
ac
，又
1
abc ，
故有
2
2
2
1
1
1
ab
bc
ca
a
b
c
ab
bc
ca
abc
a
b
c
，∴
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
．
(2)因为, ,
a b c 为正数且
1
abc ，故有
3
3
3
3
3
3
3
(
)
(
)
(
)
3 (
) (
) (
)
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
a
c
=3( + )( + )( + )
a b b c a c
3 (2
) (2
) (2
)
ab
bc
ac
=24．
∴
3
3
3
(
)
(
)
(
)
24
a
b
b
c
c
a
．
20．(2019 全国III 文理23)设, ,
x y z R ，且
1
x
y
z
．
(1)求
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
的最小值；
(2)若
2
2
2
1
(
2)
(
1)
(
)
3
x
y
z
a
成立，证明：
3
a 或
1
a ．
【解析】(1)由于
2
[(
1)
(
1)
(
1)]
x
y
z
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
2[(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)(
1)]
x
y
z
x
y
y
z
z
x
2
2
2
3 (
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
，
故由已知得
2
2
2
4
(
1)
(
1)
(
1)
3
x
y
z
，当且仅当x= 5
3
，y=– 1
3
，
1
3
z
时等号成立．
∴
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
的最小值为4
3
．
(2)由于
2
[(
2)
(
1)
(
)]
x
y
z
a
2
2
2
(
2)
(
1)
(
)
2[(
2)(
1)
(
1)(
)
(
)(
2)]
x
y
z
a
x
y
y
z
a
z
a x
2
2
2
3 (
2)
(
1)
(
)
x
y
z
a
-
，
故由已知
2
2
2
2
(2
)
(
2)
(
1)
(
)
3
a
x
y
z
a
.
，当且仅当
4
3
a
x
，
1
3
a
y
，
2
2
3
a
z
时等号成
立，因此
2
2
2
(
2)
(
1)
(
)
x
y
z
a
的最小值为
2
(2
)
3
a
．
由题设知
2
(2
)
1
3
3
a
.
，解得
3
a
-
或
1
a
.
．
21．(2017 全国Ⅱ文理)已知
0
a
，
0
b
，
3
3
2
a
b
，证明：
(1)
5
5
4
a
b
a
b
；
(2)
2
a
b
．
【解析】(1)
5
5
6
5
5
6
(
)(
)
a
b a
b
a
ab
a b
b
3
3 2
3
3
4
4
(
)
2
(
)
a
b
a b
ab a
b
2
2
2
4
4
ab a
b
．
(2)∵
3
3
2
2
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
2
3
(
)
ab a
b
2
3(
)
2
(
)
4
a
b
a
b
3
3(
)
2
4
a
b
，
∴
3
(
)
8
a
b
，因此
2
a
b
．
22．(2017 江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且
2
2
4
a
b
，
2
2
16
c
d
，证明
8
ac
bd
．
【解析】证明：由柯西不等式可得：
2
2
2
2
2
(
)
(
)(
)
ac
bd
a
b
c
d
≤
，
因为
2
2
2
2
4,
16,
a
b
c
d
∴
2
(
)
64
ac
bd
≤
，因此
8
ac
bd
≤
．
23．(2016 全国II 文理)已知函数
1
1
2
2
f x
x
x
，M 为不等式
2
f x
的解集．
(I)求M；
(II)证明：当a，b
M
时，
1
a
b
ab
．
【解析】(I)当
1
2
x
时，
1
1
2
2
2
f x
x
x
x
，若
1
1
2
x
；
当
1
1
2
2
x
≤
≤
时，
1
1
1
2
2
2
f x
x
x
恒成立；
当
1
2
x
时，
2
f x
x
，若
2
f x
，1
1
2
x
<
．
综上可得，
| 1
1
M
x
x
．
(Ⅱ)当
1 1
a
b
，
，时，有
2
2
1
1
0
a
b
，即
2
2
2
2
1
a b
a
b
，
则
2
2
2
2
2
1
2
a b
ab
a
ab
b
，则
2
2
1
ab
a
b
，即
1
a
b
ab
，证毕．
24．(2015 全国II 文理)设, , ,
a b c d 均为正数，且a
b
c
d
，证明：
(Ⅰ)若ab >cd ，则
a
b
c
d
；
(Ⅱ)
a
b
c
d
是|
| |
|
a
b
c
d
的充要条件．
【解析】(Ⅰ)∵
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
，
2
(
)
2
c
d
c
d
cd
，
由题设a
b
c
d
，ab
cd
得
2
2
(
)
(
)
a
b
c
d
，因此
a
b
c
d
．
(Ⅱ)(ⅰ)若|
| |
|
a
b
c
d
，则
2
2
(
)
(
)
a
b
c
d
，即
2
2
(
)
4
(
)
4
a
b
ab
c
d
cd
．
因为a
b
c
d
，∴ab
cd
，由(Ⅰ) 得
a
b
c
d
．
(ⅱ)若
a
b
c
d
，则
2
2
(
)
(
)
a
b
c
d
，即
2
2
a
b
ab
c
d
cd
．
因为a b
c
d
+
=
+
，∴ab
cd
>
，于是
2
2
2
2
(
)
(
)
4
(
)
4
(
)
a
b
a
b
ab
c
d
cd
c
d
．
因此|
| |
|
a
b
c
d
．
综上
a
b
c
d
是|
| |
|
a
b
c
d
的充要条件．
25．(2013 全国II 文理)设, ,
a b c 均为正数，且
1
a
b
c
，证明：
(Ⅰ)
1
3
ab
bc
ca
；
(Ⅱ)
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
．
【解析】(Ⅰ)
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
a
b
ab b
c
bc c
a
ca
得
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ca
，
由题设得
2
1
a
b
c
，即
2
2
2
2
2
2
1
a
b
c
ab
bc
ca
，
∴
3
1
ab
bc
ca
，即
1
3
ab
bc
ca
．
(Ⅱ)∵
2
2
2
2 ,
2 ,
2
a
b
c
b
a
c
b
a
c
b
c
a
，∴
2
2
2
(
)
2(
)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
c
a
，
即
2
2
2
a
b
c
a
b
c
b
c
a
，∴
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
．
