专题33
算法、复数、推理与证明
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
理1[来源:学科网ZXXK]
复数[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学§科§网]
复数的除法运算，共轭复数
文2
复数
复数的除法运算
理3 文5
算法与框图
计算程序框图运行结果
2012
理3
复数，命题真假判断
复数的除法运算，复数的相关概念，命题真假判断
文2
复数
复数的除法运算，共轭复数
文理6
算法与框图
计算程序框图运行结果
2013
卷1
理2
复数
复数的概念，复数的乘除法运算
文2
复数
复数的平方、除法运算
理5 文7
算法与框图
框图表示算法的意义
卷2
理2
复数
复数的除法运算
理6 文7
算法与框图
计算程序框图运行结果
文2
复数
复数的模长，复数的乘除法运算
2014
卷1
理2
复数
复数的平方、立方、除法运算
文3
复数
复数的加法、除法运算，复数的模长计算
理7 文9
算法与框图
计算程序框图运行结果
文理14
推理与证明
演绎推理，逻辑分析
卷2
理2
复数
复数的概念，复数的乘法运算
文2
复数
复数的除法运算
理7 文8
算法与框图
计算程序框图运行结果
2015
卷1
理1
复数
复数的除法运算，复数的模长计算
文3
复数
复数的乘除法运算
文理9
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷2
理2
复数
复数的乘除法运算
文2
复数
复数的乘除法运算
文理8
算法与框图
计算程序框图运行结果，数学文化
2016
卷1
理2
复数
复数的乘除法运算，复数模长的计算
文2
复数
复数的概念及复数的乘法运算
理9 文10
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷2
理1
复数
复数的几何意义
文2
复数
复数的运算，共轭复数
理8 文9
算法与框图
计算程序框图运行结果，数学文化
理15文16
推理与证明
演绎推理
卷3
理2
复数
复数的运算，共轭复数
文2
复数
复数的运算，共轭复数，复数的模长计算
理7 文8
算法与框图
计算程序框图运行结果
2017
卷1
理3
复数
复数的运算，复数的分类，命题真假的判断
文3
复数
复数的运算，复数的概念
理8 文10
算法与框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷2
理1
复数
复数的除法运算
文2
复数
复数的乘法运算
理7 文9
推理与证明
演绎推理
理8 文10
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷3
理2
复数
复数的乘除法运算，复数模长的计算
文2
复数
复数的乘法运算，复数的几何意义
理7 文8
算法与框图
由运行结果计算程序框图输入值的最小值
2018
卷1
理1 文2
复数
复数的运算，复数模长的计算
卷2
理1
复数
复数的除法运算
文1
复数
复数的乘法运算
理7 文8
算法框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷3
文理2
复数
复数的乘法运算
2019
卷1
理2
复数
复数的几何意义和模的运算
文1
复数
复数的乘法运算，复数模的计算
理4 文4
推理与证明
类比归纳与合情推理
理8 文9
算法与框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷2
理2
复数
共轭复数的概念，复数的几何意义
文2
复数
复数乘法运算，共轭复数的概念
卷3
文理2
复数
复数乘法运算
文理9
算法与框图
计算程序框图运行结果
2020
卷1
理2
复数
复数的乘方、加法运算，复数模长的计算
文2
复数
复数的平方、减法运算，复数模长的计算
文9
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷2
文2
复数
复数的乘方运算
文7
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷3
理2
复数
复数的除法运算，复数的概念
文2
复数
复数的乘除法运算，共轭复数的概念
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点113 算法
23 次考19 次
2021 年，“算法初步”重点考查程序框图中的“结果输出型”问
题；“复数”重点考查复数的概念及其几何意义、复数的四则运
算；“推理与证明”重点考查演绎推理及其应用．
考点114 复数
23 次考23 次
考点115 推理与证明
23 次考5 次
十年试题分类*探求规律
考点113
算法
1．(2020 全国Ⅰ文9)执行下面的程序框图，则输出的n
(
)
A．17
B．19
C．21
D．23
2．(2020 全国Ⅱ文7)执行右图的程序框图，若输入的
0,
0
k
a
，则输出的k 为
(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
3．(2019 天津文理】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为
A．5
B．8
C．24
D．29
4．(2019 北京文理】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A．1
B．2
C．3
D．4
5．(2019 全国Ⅰ文理】如图是求
1
1
2
1
2
2
的程序框图，图中空白框中应填入(
)
A．
1
2
A
A
B．
1
2
A
A
C．
1
1
2
A
A
D．
1
1
2
A
A
6．(2019 全国Ⅲ文理】执行下边的程序框图，如果输入的为0．01，则输出s 的值等于
A．
4
1
2
2
B．
5
1
2
2
C．
6
1
2
2
D．
7
1
2
2
7．(2018 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A．1
2
B．5
6
C．7
6
D．7
12
8．(2018 全国Ⅱ文理)为计算
1
1
1
1
1
1
2
3
4
99
100
…
S
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应
填入
A．
1
i
i
B．
2
i
i
C．
3
i
i
D．
4
i
i
9．(2018 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
10．(2017 新课标Ⅰ文理)下面程序框图是为了求出满足3
2
1000
n
n
的最小偶数n ，那么在
和
两个空白框中，可以分别填入
A．
1000
A
和
1
n
n
B．
1000
A
和
2
n
n
C．
1000
A≤
和
1
n
n
D．
1000
A≤
和
2
n
n
11．(2017 新课标Ⅱ文理)执行右面的程序框图，如果输入的
1
a ，则输出的S =
A．2
B．3
C．4
D．5
12．(2017 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为
A．0
B．1
C．2
D．3
13．(2017 新课标Ⅲ文理)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为
A．5
B．4
C．3
D．2
14．(2017 山东文)执行如图的程序框图，当输入的x 的值为4 时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条
件可能为
15．(2017 山东理)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7 ，第二次输入的x 的值为9，
则第一次、第二次输出的a 的值分别为
A．0，0
B．1，1
C．0，1
D．1，0
16．(2017 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A．2
B．3
2
C．5
3
D．8
5
17．(2016 全国I 文理)执行如图的程序框图，如果输入的
0
1
1
x
y
n
，
，
，则输出x，y 的值满足
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
4
y
x
D．
5
y
x
18．(2016 全国II 文理)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程
序框图，若输入的
2
x
，
2
n
，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s
A．7
B．12
C．17
D．34
19．(2016 全国III 文理)执行如图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
20．(2015 湖南文理)执行如图所示的程序框图，如果输入
3
n
，则输出的S
A．6
7
B．3
7
C．8
9
D．4
9
21．(2015 重庆文理)执行如图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可填入的条件是
A．
3
4
s ≤
B．
5
6
s ≤
C．
11
12
s ≤
D．
25
24
s ≤
22．(2015 新课标I 文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的
0.01
t
，则输出的n =
A．5
B．6
C．7
D．8
23．(2015 新课标II 文理)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，
执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a =
A．0
B．2
C．4
D．14
24．(2015 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A．
2
2
，
B．
4
0
，
C．
4
4
，
D．
0
8
，
25．(2015 四川文理)执行如图所示的程序框图，输出S 的值是
A．
3
2
B．
3
2
C．
1
2
D．1
2
26．(2014 新课标I 文理)执行如图的程序框图，若输入的, ,
a b k 分别为1，2，3，则输出的M =
A．20
3
B．7
2
C．16
5
D．15
8
27．(2014 新课标II 文理)执行如图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =
A．4
B．5
C．6
D．7
28．(2014 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为
A．15
B．105
C．245
D．945
29．(2014 重庆文理)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6 ，则判断框内可填入的条件是
A．
1
2
s
B．
3
5
s
C．
7
10
s
D．
4
5
s
30．(2014 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是
A．34
B．55
C．78
D．89
31．(2014 福建文理)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于
A．18
B．20
C．21
D．40
32．(2014 湖南文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的
[ 2,2]
t
，则输出的S 属于
A．[ 6, 2]
B．[ 5, 1]
C．[ 4,5]
D．[ 3,6]
33．(2014 四川文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y
R
，则输出的S 的最大值为
A．0
B．1
C．2
D．3
34．(2013 新课标I 文理)执行如图程序框图，如果输入的
[ 1,3]
t
，则输出s 属于
A．[-3，4]
B．[-5，2]
C．[-4，3]
D．[-2，5]
35．(2013 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(
)
A．1
6
B．25
24
C．3
4
D．11
12
36．(2013 江西文理)阅读如图程序框图，如果输出
5
i
，那么在空白矩形框中应填入的语句为
A．
2*
2
S
i
B．
2*
1
S
i
C．
2*
S
i
D．
2*
4
S
i
37．(2013 福建文理)阅读如图所示的程序框图，若输入的
10
k
，则该算法的功能是
A．计算数列
1
2n
的前10 项和
B．计算数列
1
2n
的前9 项和
C．计算数列
2
1
n
的前10 项和
D．计算数列
2
1
n
的前9 项和
38．(2013 浙江文理)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是5
9 ，则
A．
4
a
B．
5
a
C．
6
a
D．
7
a
39．(2013 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为
A．64
B．73
C．512
D．585
40．(2013 陕西文理)根据下列算法语句，当输入x 为60 时，输出y 的值为
A．25
B．30
C．31
D．61
41．(2012 新课标文理)如果执行如图的程序框图，输入正整数
)
2
(
N
N
和实数
N
a
a
a
,
,
,
2
1
，输出A 、B ，
则
1
k
k
x
A
x
B
1
1,
,1
a
B
a
A
k
ka
x
?
A
x
?
B
x
?
N
k
B
A,
输出
N
a
a
a
,
,
,
N,
2
1
输入
开始
结束
是
是
是
否
否
否
输入x
If x≤50 Then
y=0．5 * x
Else
y=25+0．6*(x-50)
End If
输出y
A．
B
A
为
N
a
a
a
,
,
,
2
1
的和
B．
2
B
A
为
N
a
a
a
,
,
,
2
1
的算术平均数
C．A 和B 分别是
N
a
a
a
,
,
,
2
1
中最大的数和最小的数
D．A 和B 分别是
N
a
a
a
,
,
,
2
1
中最小的数和最大的数
42．(2012 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(
)
A．3
B．4
C．
D．
43．(2011 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4，则输出y 的值为
A．0．5
B．1
C．2
D．4
44．(2011 陕西文理)如图中，
1x ，
2x ，
3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终
得分．当
1
2
6,
9
x
x
，
8.5
p
时，
3x 等于
A．11
B．10
C．8
D．7
45．(2020 江苏5)下图是一个算法流程图，若输出y 的值为2
，则输入x 的值是
．
46．(2019 江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．
47．(2018 江苏)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为
．
48．(2017 江苏)如图是一个算法流程图，若输入x 的值为1
16
，则输出的y 的值是
．
49．(2015 安徽文理)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为
50．(2014 山东文理)执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为
．
51．(2014 江苏)如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是
．
52．(2014 辽宁文理)执行如图的程序框图，若输入
9
x
，则输出y
．
53．(2013 浙江文理)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_____．
54．(2013 山东文理)执行如图的程序框图，若输入的的值为0．25，则输出的n 的值为___．
55．(2012 江西文理)如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________．
56．(2012 江苏)如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是
．
57．(2011 福建文理)运行如图所示的程序，输出的结果是_______．
58．(2011 江苏)根据如图所示的伪代码，当输入a，b 分别为2，3 时，最后输出的m 的值是
．
Read
a，b
If
a>b
Then
ma
Else
mb
End
If
Print
m
考点114
复数
59．(2020 全国Ⅰ文2)若
3
1
2i
i
z
，则z
(
)
A．0
B．1
C．
2
D．2
60．(2020 全国Ⅰ理1)若
1 i
z ，则
2
2
z
z
(
)
A．0
B．1
C．
2
D．2
61．(2020 全国Ⅱ文2)
4
1
i
(
)
A．4
B．4
C．
i4
D．i4
62．(2020 全国Ⅲ文2)复数
1
i
1 i
z
，则z
(
)
A．1 i
B．1 i
C．i
D．i
63．(2020 全国Ⅲ理2)复数
1
1 3i
的虚部是
(
)
A．
3
10
B．
1
10
C．1
10
D．3
10
64．(2020 浙江2)已知aR ，若
1
2 i
a
a
(i 为虚数单位)是实数，则a
(
)
A．1
B．1
C．2
D．2
65．(2020 北京2)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是
1, 2 ，则i z
(
)
A．1
2i
B．2
i
C．1
2i
D．2
i
66．(2020 山东2) 2
i
1
2i
(
)
A．1
B．1
C．i
D．i
67．(2019 全国Ⅰ文)设
3
i
1
2i
z
，则|
|z
A．2
B．
3
C．
2
D．1
68．(2019 全国Ⅰ理)设复数z 满足
=1
i
z
，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．
2
2
+1
1
(
)
x
y
B．
2
2
1
(
1)
x
y
C．
2
2
(
1)
1
y
x
D．
2
2
( +1)
1
y
x
69．(2019 全国Ⅱ文)设
)
i
i
(2
z
，则z
A．1
2i
B．1
2i
C．1
2i
D．1 2i
70．(2019 全国Ⅱ理)设z=–3+2i，则在复平面内z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
71．(2019 全国Ⅲ文理)若(1 i)
2i
z
，则z
A．1 i
B．1
i
C．1 i
D．1 i
72．(2019 年高考北京文理)已知复数
2
i
z
，则z z
A．
3
B．
5
C．3
D．5
74．(2018 北京文理)在复平面内，复数1
1
i
的共轭复数对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
75．(2018 全国卷Ⅰ文理)设
1 i
2i
1 i
z
，则|
|z
A．0
B．1
2
C．1
D．2
76．(2018 全国卷Ⅱ文)
i 2
3i
A．3
2i
B．3
2i
C．3
2i
D．3
2i
77．(2018 全国卷Ⅱ理)1
2i
1
2i
A．
4
3 i
5
5
B．
4
3 i
5
5
C．
3
4 i
5
5
D．
3
4 i
5
5
78．(2018 全国卷Ⅲ文理)(1 i)(2
i)
=
A．3 i
B．3 i
C．3
i
D．3
i
79．(2018 浙江)复数2
1 i
(i 为虚数单位)的共轭复数是
A．1 i
B．1 i
C．1
i
D．1 i
80．(2017 新课标Ⅰ文)下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．
2
i(1 i)
B．2i (1 i)
C．
2
(1 i)
D．i(1 i)
81．(2017 新课标Ⅰ理)设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1
z R ，则z R ；
2p ：若复数z 满足
2z R ，则z R ；
3p ：若复数
1z ，
2z 满足
1 2
z z R ，则
1
2
z
z
；
4p ：若复数z R ，则z R ．
其中的真命题为
A．
1p ，
3p
B．
1p ，
4p
C．
2p ，
3p
D．
2p ，
4p
82．(2017 新课标Ⅱ文)(1
)(2
)
i
i
A．1 i
B．1 3i
C．3
i
D．3 3i
83．(2017 新课标Ⅱ理) 3
i
1 i
A．1 + 2i
B．1 −2i
C．2 + i
D．2 −i
84．(2017 新课标Ⅲ文)复平面内表示复数
i( 2
i)
z
的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
85．(2017 新课标Ⅲ)设复数z 满足(1 i)
2
z
i
，则|
|
z =
A．1
2
B．
2
2
C．
2
D．2
86．(2017 山东文)已知i 是虚数单位，若复数z 满足i
1 i
z ，则
2z =
A．2i
B．2i
C．2
D．2
87．(2017 山东理)已知a
R
，i 是虚数单位，若
3i
z
a
，
4
z z
，则a =
A．1 或1
B．
7 或
7
C．
3
D．
3
88．(2017 北京文理)若复数(1 i)(
i)
a
在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
A．(
,1)
B．(
, 1)
C．(1,
)
D．( 1,
)
89．(2016 全国I 文)设(1
2i)(
i)
a
的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=
A．−3
B．−2
C．2
D．3
90．(2016 年全国I 理)设(1
)
1
i x
yi
，其中,x y 是实数，则
i =
x
y
A．1
B．2
C．
3
D．2
91．(2016 全国II 文)设复数z 满足
i
3
i
z ，则z =
A．1
2i
B．1
2i
C．3
2i
D．3
2i
92．(2016 年全国II 理)已知
(
3)
(
1)i
z
m
m
在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
A．
3 1
，
B．
1 3
，
C．
1,
+
D．
3
-
，
93．(2016 全国III 文)若
4
3i
z
，则|
|
z
z
=
A．1
B．1
C．4
3i
5
5
D．4
3 i
5
5
94．(2016 年全国III 理)若
1 2
z
i
，则
4
1
i
zz
(
)
A．1
B．1
C．i
D．i
95．(2016 年山东理) 若复数z 满足2
3
2
z
z
i
其中i 为虚数单位，则z =
A．1+2i
B．1 2i
C．1
2i
D．1
2i
96．(2015 新课标I 文理)设复数z 满足1
1
z
i
z
，则|
|
z =
A．1
B．2
C．
3
D．2
97．(2015 广东文理)若复数
3
2
z
i
i
(i 是虚数单位)，则z
A．2
3i
B．2
3i
C．3
2i
D．3
2i
98．(2015 安徽文理)设i 是虚数单位，则复数2
1
i
i
在复平面内所对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
99．(2015 山东文理)若复数z 满足1
z
i
i
，其中i 为虚数单位，则z =
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
100．(2015 四川文理)设i 是虚数单位，则复数3
2
i
i
=
A．i
B．3i
C．i
D．3i
101．(2015 湖北文理)i 为虚数单位，
607
i
的共轭复数为
A．i
B．i
C．1
D．1
102．(2015 湖南文理)已知
2
1
1
i
i
z
(i 为虚数单位)，则复数z =
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
103．(2014 新课标I 文理)设
i
i
z
1
1
，则
|
| z
A．2
1
B．2
2
C．2
3
D．2
104．(2014 新课标I 文理)
3
2
(1
)
(1
)
i
i
=
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
105．(2014 新课标II 文理)设复数
1z ，
2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，
1
2
z
i
，则
1
2
z z
A．5
B．5
C．4
i
D．4
i
106．(2014 新课标II 文理)1
3
1
i
i
A．1
2i
B．1
2i
C．1-2i
D．1-2i
107．(2014 山东文理)已知
i
R
b
a
,
,
是虚数单位，若
i
a 与
bi
2
互为共轭复数，则
2
）
（
bi
a
A．
i4
5
B．
i4
5
C．
i4
3
D．
i4
3
108．(2014 广东文理)已知复数z 满足(3
4 )
25
i z
，则z =
A．3
4i
B．3
4i
C．3
4i
D．3
4i
109．(2014 安徽文理)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若
,
1 i
z
则z
i z
i
A．2
B．2i
C．2
D．2i
110．(2014 福建文理)复数
(3
2 )
z
i i
的共轭复数z 等于
A．2
3i
B．2
3i
C．2
3i
D．2
3i
111．(2014 天津文理)i 是虚数单位，复数7
3
4
i
i
+
=
+
A．1
i
-
B．
1
i
- +
C．17
31
25
25i
+
D．
17
25
7
7 i
-
+
112．(2014 重庆文理)实部为2
，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
113．(2013 新课标I 文理)若复数z 满足(3
4i)
| 4
3i |
z
，则z 的虚部为
A．－4
B．
4
5
C．4
D．4
5
114．(2013 新课标II 文)设复数z 满足
1
2
i z
i
，则z =
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
115．(2013 山东文理)复数z 满足
3
2
5
z
i
(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为
A．2+i
B．2-i
C．5+i
D．5-i
116．(2013 安徽文理)设i 是虚数单位，
_
z 是复数z 的共轭复数，若
2
2
z zi
z
，则z =
A．1+i
B．1 i
C．1+i
D．1-i
117．(2013 广东文理)若复数z 满足
2
4
iz
i
，则在复平面内，z 对应的点的坐标是
A ．
2,4
B．
2, 4
C．
4, 2
D．
4,2
118．(2013 江西文理)已知集合
1,2,
M
zi
，i 为虚数单位，
3,4
N
，
{4}
M
N
，则复数z =
A．-2i
B．2i
C．-4i
D．4i
119．(2013 湖北文理)在复平面内，复数
2
1
i
z
i
(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
120．(2013 北京文理)在复平面内，复数(2
)
i
i
对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
121．(2013 四川文理)如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是
A．A
B．B
C．C
D．D
122．(2013 辽宁文理)复数的
1
1
z
i
模为(
)
A．1
2
B．
2
2
C．2
D．2
123．(2012 新课标文理)复数z＝3
2
i
i
的共轭复数是(
)
A．2
i
B．2
i
C．1 i
D．1 i
124．(2012 北京文理)在复平面内，复数10
3
i
i
对应的点坐标为(
)
A．(1，3)
B．(3，1)
C．( 1,3
）
D．3
1
（，）
125．(2012 广东文理)设i 为虚数单位，则复数5
6i
i
=
A．6
5i
B．6
5i
C．6
5i
D．6
5i
126．(2012 辽宁文理)复数2- =
2+
i
i
A．3 4
-
5 5 i
B．3
4
+
5
5 i
C．
4
1- 5 i
D．
3
1+ 5 i
127．(2012 湖南文理)复数
(
1)
z
i i
(i 为虚数单位)的共轭复数是
A．1 i
B．1 i
C．1 i
D．1 i
128．(2012 天津文理)i 是虚数单位，复数7
3
i
i
=
A．2
i
B．2
i
C．2
i
D．2
i
129．(2012 浙江文理)已知i 是虚数单位，则3
1
i
i
A．1 2i
B．2
i
C．2
i
D．1 2i
130．(2012 江西文理)若复数
1
z
i
(i 为虚数单位) z 是z 的共轭复数，则
2
2
z
z
的虚部为
A．0
B．－1
C．1
D．－2
131．(2012 山东文理)若复数z 满足
i
i
z
7
11
2
(i 为虚数单位)，则z 为
(A)
i5
3
(B)
i5
3
(C)
i5
3
(D)
i5
3
132．(2012 陕西文理)设,a b
R
，i 是虚数单位，则“
0
ab
”是“复数
b
a
i
为纯虚数”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
133．(2011 山东文理)复数z = 2
2
i
i
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
134．(2011 安徽文理)设i 是虚数单位，复数
ai
i
为纯虚数，则实数a 为
A．2
B．2
C．
D．
135．(2011 新课标文理)复数2
1 2
i
i
的共轭复数是
A．
3
5 i
B．3
5 i
C．i
D．i
136．(2011 湖南文理)若,a b
R
，i 为虚数单位，且(
)
a
i i
b
i
，则
A．
1,
1
a
b
B．
1,
1
a
b
C．
1,
1
a
b
D．
1,
1
a
b
137．(2011 广东文理)设复数z 满足(1+i ) z =2，其中i 为虚数单位，则z =
A．1+i
B．1-i
C．2+2i
D．2-2i
138．(2011 辽宁文理)i 为虚数单位，
7
5
3
1
1
1
1
i
i
i
i
A．0
B．2i
C．
i2
D．4i
139．(2011 福建文理)i 是虚数单位，若集合S=
1.0.1
，则
A．i
S
B．
2i
S
C．3i
S
D．2
S
i
140．(2011 浙江文理)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若
1
,
(1
)
z
i
z
z
则
=
A．3－i
B．3+i
C．1+3i
D．3
141．(2020 全国Ⅱ理15)设复数
2
1, z
z
满足
i
z
z
z
z
3
2
2
1
2
1
，
，则
2
1
z
z
．
142．(2020 江苏2)已知i 为虚数单位，则复数
1 i
2
i
z
的实部是
．
143．(2020 天津10)i 是虚数单位，复数8
2
i
i
_________．
144．(2020 上海3)已知复数
1
2
z
i
(i 为虚数单位)，则| z |
．
145．(2020 海南2)
1 2i
2
i
=
(
)
A．1
B．1
C．i
D．i
146．(2019 天津文理】i 是虚数单位，则5
|
i
i |
1
的值为______________．
147．(2019 浙江卷】复数
1
1
i
z
(i 为虚数单位)，则|
|
z =______________．
148．(2019 江苏卷】已知复数(
2i)(1 i)
a
的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________．
149．(2018 天津文理)i 是虚数单位，复数6
7i
1 2i
．
150．(2018 上海文理)已知复数z 满足(1 i)
1 7i
z
(i 是虚数单位)，则|
|
z =
．
151．(2018 江苏)若复数z 满足i
1
2i
z
，其中i 是虚数单位，则z 的实部为
．
152．(2017 天津文理)已知aR ，i 为虚数单位，若
i
2
i
a
为实数，则a 的值为
．
153．(2017 浙江文)已知a，b∈R，
2
i
3
4i
a
b
（
）
(i 是虚数单位)则
2
2
a
b
，ab =
．
154．(2017 江苏文理)已知复数
(1 i)(1
2i)
z
，其中i 是虚数单位，则z 的模是______．
155．(2015 天津文理)i 是虚数单位，若复数(1
2 )(
)
i a
i
是纯虚数，则实数a 的值为
．
156．(2015 重庆文理)设复数
( ,
R)
a
bi a b
的模为
3 ，则(
)(
)
a
bi a
bi
＝
．
157．(2014 江苏文理)已知复数
2
(5
2 )
z
i
(i 为虚数单位)，则z 的实部为
．
158．(2014 浙江文理)已知i 是虚数单位，计算
2
1
(1
)
i
i
＝________．
159．(2014 北京文理)复数
2
1
1
i
i
________．
160．(2014 湖南文理)复数
2
3
i
i
(i 为虚数单位)的实部等于_________．
161．(2013 重庆文理)已知复数
5
1
2
i
z
i
(i 是虚数单位)，则
_________
z
162．(2013 天津文理)已知a，b∈R，i 是虚数单位．若(a + i)(1 + i) = bi，则a + bi =
．
163．(2012 湖北文理)若3
1
bi
i
=a
bi
( ,a b 为实数，i 为虚数单位)，则a
b
=____________．
164．(2011 江苏文理)设复数ｚ满足
i
z
i
2
3
)1
(
(i 是虚数单位)，则z 的实部是___．
考点115
推理与证明
165．(2019 全国I 文)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5
1
2
(
5
1
2
≈0．618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5
1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头
顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
166．(2019 全国II 理)2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天
事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为
解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
2
L 点的轨道运行．
2
L 点是平衡
点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，
2
L 点到月球的距离为
r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
1
2
1
2
2
3
(
)
(
)
M
M
M
R
r
R
r
r
R
．设
r
R
，由于的
值很小，因此在近似计算中
3
4
5
3
2
3
3
3
(1
)
，则r 的近似值为(
)
A．
2
1
M R
M
B．
2
1
2
M
R
M
C．
2
3
1
3M R
M
D．
2
3
1
3
M R
M
167．(2019 年高考北京文理)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
满足m2−m1= 5
2
lg
2
1
E
E ，其中星等为mk 的星的亮度为Ek(k=1，2)．已知太阳的星等是−26．7，天狼星的星等
是−1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010．1
B．10．1
C．lg10．1
D．10–10．1
168．(2018 浙江)已知
1a ，
2a ，
3a ，
4a 成等比数列，且
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
．若
1
1
a
，则
A．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
B．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
C．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
D．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
169．(2018 北京文理)设集合
{( , ) |
1,
4,
2},
A
x y
x
y
ax
y
x
ay
≥
≤
则
A．对任意实数a ，(2,1)
A
B．对任意实数a ，(2,1)
A
C．当且仅当
0
a
时，(2,1)
A
D．当且仅当
3
2
a ≤
时，(2,1)
A
170．(2017 新课标Ⅱ文理)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人
中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙可以知道两人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
171．(2017 浙江理)如图，已知正四面体D
ABC
(所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，
CA 上的点，AP
PB
，
2
BQ
CR
QC
RA
，分别记二面角D
PR
Q
，D
PQ
R
，D
QR
P
的平面
角为，，，则
A．<<
B．<<
C．< <
D．<<
172．(2016 浙江文)如图，点列
,
n
n
A
B
分别在某锐角的两边上，
且
*
1
1
2
2
,
,
n
n
n
n
n
n
A A
A
A
A
A
n
N ，
*
1
1
2
2
,
,
n
n
n
n
n
n
B B
B
B
B
B
n
N ．
(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)，若
n
n
n
d
A B
，
n
S 为
1
n
n
n
A B B
△
的面积，则
A．
n
S
是等差数列
B．
2
n
S
是等差数列
C．
n
d
是等差数列
D．
2
n
d
是等差数列
173．(2016 北京理)某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为
10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1．9
6
1．9
2
1．8
2
1．8
0
1．7
8
1．7
6
1．7
4
1．7
2
1．6
8
1．6
0
30 秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a−1
b
65
在这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6 人，则
A．2 号学生进入30 秒跳绳决赛
B．5 号学生进入30 秒跳绳决赛
C．8 号学生进入30 秒跳绳决赛
D．9 号学生进入30 秒跳绳决赛
174．(2015 广东)若集合
{
, , ,
0
4,0
4,0
4
Ε
p q r s
p
s
q
s
r
s
≤
≤
≤
≤
≤
≤
，且
, , ,
}
p q r s，
, , ,
0
4,0
4
, , ,
F
t u v w
t
u
v
w
t u v w
≤
≤
≤
≤且
，
用
card Χ 表示集合Χ 中的元素个数，则
card
card
Ε
F
A．200
B．150
C．100
D．50
175．(2014 北京文理)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若
学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，
如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学
生，那么这组学生最多有
A．2 人
B．3人
C．4 人
D．5人
176．(2014 山东文理)用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程
3
0
x
ax
b
至少有一个实根”时，要
做的假设是
A．方程
3
0
x
ax
b
没有实根
B．方程
3
0
x
ax
b
至多有一个实根
C．方程
3
0
x
ax
b
至多有两个实根
D．方程
3
0
x
ax
b
恰好有两个实根
177．(2011 江西文理)观察下列各式：
55
3125
，
65
15 625
，
75
78125
，，则
2011
5
的末四位数
字为
A．3125
B．5625
C．0625
D．8125
178．(2019 全国II 文理)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正
方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种
以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它
的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱
长为_________．(本题第一空2 分，第二空3 分．)
179．(2019 北京文理)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，
价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买
水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．
180．(2018 江苏)已知集合
*
{ |
2
1,
}
A
x x
n
n
N
，
*
{ |
2 ,
}
n
B
x x
n
N
．将A
B
的所有元素从小到大
依次排列构成一个数列{
}
na
．记
n
S 为数列{
}
na
的前n 项和，则使得
1
12
n
n
S
a
成立的n 的最小值为
．
181．(2017 北京文)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；
(ⅱ)女学生人数多于教师人数；
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
182．(2017 北京理)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点
iA 的横、纵坐标
分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点
iB 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和
加工的零件数，i =1，2，3．
①记
i
Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则
1
Q ，
2
Q ，
3
Q 中最大的是_ ___．
②记
ip 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则
1p ，
2p ，
3p 中最大的
是______．
183．(2016 全国II 文理)有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，
甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同
的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________．
184．(2016 山东文理)观察下列等式：
2
2
π
2π
4
(sin
)
(sin
)
1 2
3
3
3
；
2
2
2
2
π
2π
3π
4π
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
2 3
5
5
5
5
3
；
2
2
2
2
π
2π
3π
6π
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
3 4
7
7
7
7
3
；
2
2
2
2
π
2π
3π
8π
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
4 5
9
9
9
9
3
；
……
照此规律，
2
2
2
2
π
2π
3π
2 π
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
_______．
185．(2016 四川文)在平面直角坐标系中，当
( , )
P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为
2
2
2
2
(
,
)
y
x
P x
y
x
y
，
当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A ；
②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线；
其中的真命题是
．
186．(2015 陕西文)观察下列等式：
1－1
1
2
2
1－1
1
1
1
1
2
3
4
3
4
1－1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
4
5
6
……
据此规律，第n 个等式可为______________________．
187．(2015 山东理)观察下列各式：
0
0
1
4
C
；
0
1
1
3
3
4
C
C
；
0
1
2
2
5
5
5
4
C
C
C
0
1
2
3
3
7
7
7
7
4
C
C
C
C
……
照此规律，当
*
N
n
时，
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
C
C
C
C
．
188．(2014 安徽文理)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边
2 2
BC
，过点A 作BC 的垂线，垂足为
1A ；
过点
1A 作AC 的垂线，垂足为
2
A ；过点
2
A 作
1AC 的垂线，垂足为
3
A ；…，依此类推，设
1
BA
a
，
1
2
AA
a
，
1
2
3
A A
a
，…，
5
6
7
A A
a
，则
7a _____．
189．(2014 福建文理)若集合
},
4,3,2,1
{
}
,
,
,
{
d
c
b
a
且下列四个关系：①
1
a
；②
1
b
；③
2
c
；④
4
d
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组
)
,
,
,
(
d
c
b
a
的个数是____．
190．(2014 北京文理)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成
这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾
客，两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
21
则最短交货期为
个工作日．
191．(2014 陕西文理)已知
0
,
1
)
(
x
x
x
x
f
，若
N
n
x
f
f
x
f
x
f
x
f
n
n
)),
(
(
)
(
),
(
)
(
1
1
，则
)
(
2014 x
f
的
表达式为________．
192．(2014 陕西文理)观察分析下表中的数据：
多面体
面数( F )
顶点数(V )
棱数( E )
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，
E
V
F
，
，
所满足的等式是_________．
193．(2013 陕西文理)观察下列等式：
21
1
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
6
3
2
2
2
2
1
2
4
3
10
…
照此规律，第n 个等式可为
．
194．(2013 湖北文理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，
第n 个三角形数为
2
1
1
1
2
2
2
n n
n
n
．记第n 个k 边形数为
,
N n k
3
k
，以下列出了部分k 边形
数中第n 个数的表达式：
三角形数
2
1
1
,3
2
2
N n
n
n
正方形数
2
,4
N n
n
五边形数
2
3
1
,5
2
2
N n
n
n
六边形数
2
,6
2
N n
n
n
……
可以推测
,
N n k 的表达式，由此计算
10,24
N
．
195．(2012 陕西文理)观察下列不等式
2
1
3
1
2
2
2
3
1
1
5
1
2
3
3
，
4
7
4
1
3
1
2
1
1
2
2
2
，
……
照此规律，第五个
．．．不等式为
．
196．(2012 湖南文理)设
2n
N
*
(
,
2)
n
N
n
.
，将N 个数
1
2
,
,
,
N
x x
x
依次放入编号为1，2，…，N 的N
个位置，得到排列
0
1
2
N
P
x x
x
．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对
应的前2
N 和后2
N 个位置，得到排列
1
1
3
1
2
4
N
N
P
x x
x
x x
x
，将此操作称为C 变换，将
1P 分成两段，
每段2
N 个数，并对每段作C 变换，得到
2P ；当2
2
i
n
- -
时，将
iP 分成2i 段，每段2i
N 个数，并对每段
C 变换，得到
1
iP，例如，当N =8 时，
2
1
5
3
7
2
6
4
8
P
x x x x x x x x
，此时
7x 位于
2P 中的第4 个位置．
(1)当N =16 时，
7x 位于
2P 中的第___个位置；
(2)当
2n
N
(
8
n .
)时，
173
x
位于
4P 中的第___个位置．
197．(2011 陕西文理)观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n 个等式为
．
198．(2018 江苏)设
*
nN ，对1，2，···，n 的一个排列1 2
n
i i
i
，如果当s
t
时，有s
t
i
i
，则称( , )
s
t
i i
是
排列1 2
n
i i
i
的一个逆序，排列1 2
n
i i
i
的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3 的一个排列231，
只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231 的逆序数为2．记
( )
nf
k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k
的全部排列的个数．
(1)求
3
4
(2),
(2)
f
f
的值；
(2)求
(2)(
5)
nf
n≥
的表达式(用n 表示)．
199．(2018北京)设n 为正整数，集合
1
2
={
|
( , ,
,
),
{0,1},
1,2,
, }
n
k
A
t t
t
t
k
n
．对于集合A 中的
任意元素
1
2
( ,
,
,
)
n
x x
x
和
1
2
(
,
,
,
)
n
y y
y
，记
( ,
)
M
1
1
1
1
2
2
2
2
1[(
|
|)
(
|
|)
(
|
|)]
2
n
n
n
n
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
．
(1)当
3
n
时，若
(1,1,0)
，
(0,1,1)
，求
( ,
)
M 和
( ,
)
M 的值；
(2)当
4
n
时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素
,
，当
,
相同时，
( ,
)
M 是奇数；
当
,
不同时，
( ,
)
M 是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2 的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素
,
，
( ,
)
0
M
．写
出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．
200．(2017 江苏)对于给定的正整数k ，若数列{
}
na
满足
1
1
1
1
2
n k
n k
n
n
n k
n k
n
a
a
a
a
a
a
ka
对任意正整数n (
)
n
k
总成立，则称数列{
}
na
是“
( )
P k 数列”．
(1)证明：等差数列{
}
na
是“
(3)
P
数列”；
(2)若数列{
}
na
既是“
(2)
P
数列”，又是“
(3)
P
数列”，证明：{
}
na
是等差数列．
201．(2017 浙江文理)已知数列{
}
nx
满足：
1
1
x
，
1
1
ln(1
)
n
n
n
x
x
x
(
)
n
*
N
．
证明：当n
*
N 时
(Ⅰ)
1
0
n
n
x
x
；
(Ⅱ)
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
≤
；
(Ⅲ)
1
2
1
1
2
2
n
n
n
x
≤
≤
．
202．(2017 北京理)设{
}
na
和{ }
nb
是两个等差数列，记
1
1
2
2
max{
,
,
,
}
n
n
n
c
b
a n b
a n
b
a n
(
1,2,3,
)
n
，
其中
1
2
max{ ,
,
,
}
s
x x
x
表示
1
2
,
,
,
s
x x
x
这s 个数中最大的数．
(Ⅰ)若
na
n
，
2
1
nb
n
，求
1
2
3
,
,
c c c 的值，并证明{ }
nc
是等差数列；
(Ⅱ)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n
m
≥
时，
nc
M
n
；或者存在正整数m ，使得
1
2
,
,
,
m
m
m
c
c
c
是等差数列．
203．(2016 江苏)记
1,2,
,100
U
．对数列
na
(
*
nN )和U 的子集T ，若T ，定义
0
T
S
；若
1
2
, ,
, k
T
t t
t
，定义
1
2
k
T
t
t
t
S
a
a
a
．例如：
1,3,66
T
时，
1
3
66
T
S
a
a
a
．现设
na
(
*
nN )
是公比为3的等比数列，且当
2,4
T
时，
30
T
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)对任意正整数k (1
100
k
≤
≤
)，若
1,2,
,
T
k
，求证：
1
T
k
S
a
；
(3)设C
U
，D
U
，
C
D
S
S
≥
，求证：
2
C
C
D
D
S
S
S
≥
．
204．(2016 浙江理)设函数
( )
f x =
3
1
1
x
x
，
[0,1]
x
．证明：
(1)
2
( )
1
f x
x
x
≥
；
(2) 3
3
( )
4
2
f x
≤
．
205．(2015 湖北理)已知数列{
}
na
的各项均为正数，
1
(1
)
(
)
n
n
n
b
n
a
n
n
N
，e 为自然对数的底数．
(1)求函数
( )
1
ex
f x
x
的单调区间，并比较
1
(1
)n
n
与e 的大小；
(2)计算
1
1
b
a ，
1 2
1
2
b b
a a ，
1 2
3
1
2
3
b b b
a a a ，由此推测计算
1 2
1
2
n
n
b b
b
a a
a
的公式，并给出证明；
(3)令
1
1
2
(
) n
n
n
c
a a
a
，数列{
}
na
，{ }
nc
的前n 项和分别记为
n
S ，
nT ，证明：
e
n
n
T
S
．
206．(2015 江苏)已知集合
*
{1,2,3},
{1,2,3,....., }(
)
n
X
Y
n
n
N
，设
{( , ) |
n
S
a b
a 整除b 或
,
,
}
n
b
a a
X b
Y
除
，令
( )
f n 表示集合
n
S 所含元素的个数．
(1)写出
(6)
f
的值；
(2)当
6
n≥
时，写出
( )
f n 的表达式，并用数学归纳法证明．
207．(2014 天津理)已知q 和n 均为给定的大于1 的自然数．设集合
{0,1,2
,
1
,
}
M
q
=
-
，
集合
1
1
2
,
,
1,2,
,
{
}
n
n
i
x q
x
M i
n
A
x x
x
x q
-
+
Î
=
=
=
+
+
．
(1)当
2
q =
，
3
n =
时，用列举法表示集合A ；
(2)设,s t
A
Î
，
1
1
2
n
n
s
a
a q
a q -
=
+
+
+
，
1
1
2
n
n
t
b
b q
b q -
=
+
+
+
，其中
ia ，
ib
M
，
1,2,
,
i
n
．证明：若
n
n
a
b
，则s
t
．
208．(2013 江苏)设
n
a
是首项为a ，公差为d 的等差数列
0
d
，
nS 是其前n 项和．记
2
n
n
nS
b
n
c
，
N
n
*
，其中c 为实数．
(1)若
0
c
，且
1b ，
2b ，
4b 成等比数列，证明：
2
N
nk
k
S
n S
k,n
*
；
(2)若
nb
是等差数列，证明：
0
c
．
209．(2015 湖北理) 已知数列{
}
na
的各项均为正数，
1
(1
)
(
)
n
n
n
b
n
a
n
n
N
，e 为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数
( )
1
ex
f x
x
的单调区间，并比较
1
(1
)n
n
与e 的大小；
(Ⅱ)计算
1
1
b
a ，
1 2
1
2
b b
a a ，
1 2
3
1
2
3
b b b
a a a ，由此推测计算
1 2
1
2
n
n
b b
b
a a
a
的公式，并给出证明；
(Ⅲ)令
1
1
2
(
) n
n
n
c
a a
a
，数列{
}
na
，{ }
nc
的前n 项和分别记为
n
S ，
nT ，证明：
e
n
n
T
S
．
210．(2014 江苏)已知函数
0
sin
( )
(
0)
x
f x
x
x
，设
( )
nf
x 为
1( )
nf
x
的导数，n
N ．
(Ⅰ)求
1
2
2
2
2
2
f
f
的值；
(2)证明：对任意的n
N ，等式
1
2
4
4
4
2
n
n
nf
f
成立．
211．(2014 安徽理)设实数
0
c
，整数
1
p
，
*
N
n
．
(Ⅰ)证明：当
1
x
且
0
x
时，
px
x
p
1
)
1(
；
(Ⅱ)数列
n
a
满足
p
c
a
1
1
，
p
n
n
n
a
p
c
a
p
p
a
1
1
1
，
证明：
p
n
n
c
a
a
1
1
．
212．(2014 重庆理)设
2
1
1
1,
2
2
(
*)
n
n
n
a
a
a
a
b n
N
(Ⅰ)若
1
b
，求
2
3
,
a a 及数列{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)若
1
b ，问：是否存在实数c 使得
2
2
1
n
n
a
c
a
对所有
*
n
N
成立？证明你的结论．
213．(2012 湖北理)(Ⅰ)已知函数
( )
(1
)
r
f x
rx
x
r
(
0)
x
，其中r 为有理数，且0
1
r
．求
( )
f x 的
最小值；
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题：设
1
2
0,
0
a
a
，
1
2
,
b b 为正有理数．若
1
2
1
b
b
，则
1
2
1
2
1 1
2
2
b
b
a a
a b
a b
；
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法
．．．．．证明你所推广的命题．
注：当为正有理数时，有求导公式
1
(
)
x
x
．
214．(2011 湖南理)已知函数
3
( )
f x
x
，( )
g x
x
x
．
(Ⅰ)求函数( )
( )
( )
h x
f x
g x
的零点个数，并说明理由；
(Ⅱ)设数列{
na }(
*
n
N
)满足
1
(
0)
a
a a
，
1
(
)
(
)
n
n
f a
g a
，证明：存在常数M ，使得对于任意的
*
n
N
，都有
n
a ≤M ．
