文档文本内容
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上
答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合
，
，则A∩B=
A．(–1，+∞)
B．(–∞，2)
C．(–1，2)
D．
2．设z=i(2+i)，则
=
A．1+2i
B．–1+2i
C．1–2i
D．–1–2i
3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
A．
B．2
={ |
1}
A
x x
{ |
2}
B
x x
z
2
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C．5
D．50
4．生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2 只
测量过该指标的概率为
A．
B．
C．
D．
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
6．设f(x)为奇函数，且当x≥0 时，f(x)=
，则当x<0 时，f(x)=
A．
B．
C．
D．
7．设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是
A．α 内有无数条直线与β 平行
B．α 内有两条相交直线与β 平行
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
2
2
3
3
5
2
5
1
5
e
1
x
e
1
x
e
1
x
e
1
x
e
1
x
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8．若x1=
，x2=
是函数f(x)=
(
>0)两个相邻的极值点，则
=
A．2
B．
C．1
D．
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
的一个焦点，则p=
A．2
B．3
C．4
D．8
10．曲线y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
11．已知a∈（0，
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．
B．
C．
D．
12．设F 为双曲线C：
（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与
圆x2+y2=a2 交于P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为
A．
B．
C．2
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
4
4
sin
x
3
2
1
2
2
2
1
3
x
y
p
p
1
0
x
y
2
2
1
0
x
y
2
2
1
0
x
y
1
0
x
y
π
2
1
5
5
5
3
3
2 5
5
2
2
2
2
1
x
y
a
b
2
3
5
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13．若变量x，y 满足约束条件
则z=3x–y 的最大值是___________.
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有
20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率
的估计值为___________.
15．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边
形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点
都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_____
____．（本题第一空2 分，第二空3 分．）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1 上，BE⊥EC1.
2
3
6
0
3
0
2
0
x
y
x
y
y
，
，
，
ABC
△
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（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥
的体积．
18．（12 分）
已知
是各项均为正数的等比数列，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n 项和.
19．（12 分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度
相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.
的分组
企业数
2
24
53
14
7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）.（精确到0.01）
附：
.
1
1
E
BB C C
{
}
na
1
3
2
2,
2
16
a
a
a
{
}
na
2
log
n
n
b
a
{
}
nb
y
[
0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
74
8.602
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20．（12 分）
已知
是椭圆
的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．
（1）若
为等边三角形，求C 的离心率；
（2)如果存在点P，使得
，且
的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
21.（12 分）
已知函数
.证明：
（1）
存在唯一的极值点；
（2）
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在极坐标系中，O 为极点，点
在曲线
上，直线l 过点
且与
垂直，垂足为P.
（1）当
时，求
及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
已知
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
时，
，求
的取值范围.
1
2
,
F F
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
2
POF
△
1
2
PF
PF
1
2
F PF
△
( )
(
1)ln
1
f x
x
x
x
( )
f x
( )=0
f x
0
0
0
(
,
)(
0)
M
:
4sin
C
(4,0)
A
OM
0= 3
0
( ) |
|
|
2 | (
).
f x
x
a x
x
x
a
1
a
( )
0
f x
(
,1)
x
( )
0
f x
a
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1．C
2．D
3．A
4．B
5．A
6．D
7．B
8．A
9．D
10．C
11．B
12．A
13．9
14．0.98
15．
16．
17．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE
平面ABB1A1，
故
.
又
，所以BE⊥平面
.
（2 ）由（1 ）知∠BEB1=90°. 由题设知Rt△ABE ≌Rt△A1B1E ，所以
，故
AE=AB=3，
.
作
，垂足为F，则EF⊥平面
，且
.
所以，四棱锥
的体积
.
18．解：（1）设
的公比为q，由题设得
，即
.
解得
（舍去）或q=4.
3π
4
2
1
1
1
B C
BE
1
BE
EC
1
1
EB C
1
1
45
AEB
A EB
1
2
6
AA
AE
1
EF
BB
1
1
BB C C
3
EF
AB
1
1
E
BB C C
1
3 6 3
18
3
V
na
2
2
4
16
q
q
2
2
8
0
q
q
2
q
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因此
的通项公式为
.
（2）由（1）得
，因此数列
的前n项和为
.
19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
.
产值负增长的企业频率为
.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企
业比例为2%.
（2）
，
，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
20.解：（1）连结
，由
为等边三角形可知在
中，
，
，
，于是
，故
的离心率是
.
（2 ）由题意可知，满足条件的点
存在当且仅当
，
，
，即
，①
，②
na
1
2
1
2 4
2
n
n
na
2
(2
1)log 2
2
1
nb
n
n
nb
1 3
2
1
n
n
14
7
0.21
100
2
0.02
100
1 ( 0.10 2
0.10 24
0.30 53
0.50 14
0.70 7)
0.30
100
y
5
2
2
1
1
100
i
i
i
s
n
y
y
2
2
2
2
2
1
( 0.40)
2
( 0.20)
24
0
53
0.20
14
0.40
7
100
=0.0296
0.0296
0.02
74
0.17
s
1
PF
2
POF
△
1
2
F PF
△
1
2
90
F PF
2
PF
c
1
3
PF
c
1
2
2
( 3
1)
a
PF
PF
c
C
3
1
c
e
a
( , )
P x y
1 |
| 2
16
2 y
c
1
y
y
x
c x
c
2
2
2
2
1
x
y
a
b
| |
16
c y
2
2
2
x
y
c
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，③
由②③及
得
，又由①知
，故
.
由②③得
，所以
，从而
故
.
当
，
时，存在满足条件的点P.
所以
，
的取值范围为
.
21.解：（1）
的定义域为（0，+
）.
.
因为
单调递增，
单调递减，所以
单调递增，又
，
，故存在唯一
，使得
.
又当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
因此，
存在唯一的极值点.
（2）由（1）知
，又
，所以
在
内存在唯一根
.
由
得
.
又
，故
是
在
的唯一根.
综上，
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
2
2
2
2
1
x
y
a
b
2
2
2
a
b
c
4
2
2
b
y
c
2
2
2
16
y
c
4
b
2
2
2
2
2
a
x
c
b
c
2
2
c
b
2
2
2
2
2
32,
a
b
c
b
4 2
a
4
b
4 2
a
4
b
a
[4 2,
)
( )
f x
1
1
( )
ln
1
ln
x
f
x
x
x
x
x
ln
y
x
1
y
x
( )
f
x
(1)
1
0
f
1
ln 4 1
(2)
ln 2
0
2
2
f
0
(1,2)
x
0
0
f
x
0
x
x
( )
0
f
x
( )
f x
0
x
x
( )
0
f
x
( )
f x
( )
f x
0
(1)
2
f x
f
2
2
e
e
3
0
f
( )
0
f x
0,
x
x
0
1
x
0
1
1
x
1
1
1
1
( )
1 ln
1
0
f
f
1
( )
0
f x
0
0, x
( )
0
f x
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22．解：（1）因为
在C上，当
时，
.
由已知得
.
设
为l上除P的任意一点.在
中
，
经检验，点
在曲线
上.
所以，l的极坐标方程为
.
（2）设
，在
中，
即
..
因为P在线段OM上，且
，故
的取值范围是
.
所以，P点轨迹的极坐标方程为
.
23．解：（1）当a=1 时，
.
当
时，
；当
时，
.
所以，不等式
的解集为
.
（2）因为
，所以
.
当
，
时，
.
所以，
的取值范围是
.
0
0
,
M
0
3
0
4sin
2 3
3
|
| |
| cos
2
3
OP
OA
( , )
Q
Rt
OPQ
△
cos
|
| 2
3
OP
(2,
)
3
P
cos
2
3
cos
2
3
( , )
P
Rt
OAP
△
|
| |
| cos
4cos ,
OP
OA
4cos
AP
OM
,
4 2
4cos ,
,
4 2
( )=|
1| +|
2|(
1)
f x
x
x
x
x
1
x
2
( )
2(
1)
0
f x
x
1
x
( )
0
f x
( )
0
f x
(
,1)
( )=0
f a
1
a
1
a
(
,1)
x
( )=(
) +(2
)(
)=2(
)(
1)<0
f x
a
x x
x x
a
a
x x
a
[1,
)
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