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2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分,在每小题给的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合
，则
A.
B.
C.
D.
2. 若
，则
A.
B.
C.
D.
3. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A.
B.
C.
D.
4. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》
的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共
有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A.
B.
C.
D.
5. 函数
在
的零点个数为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6. 已知各项均为正数的等比数列
的前4 项和为15，且
，则
A 16
B. 8
C. 4
D. 2
7. 已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
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A.
B.
C.
D.
8. 如图，点
为正方形
的中心，
为正三角形，平面
平面
是线段
的
中点，则
A.
，且直线
是相交直线
B.
，且直线
是相交直线
C.
，且直线
是异面直线
D.
，且直线
是异面直线
9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的
为
，则输出的值等于
A
B.
C.
D.
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10. 已知
是双曲线
的一个焦点，点
在
上，
为坐标原点，若
，则
的面积为
A.
B.
C.
D.
11. 记不等式组
表示的平面区域为
，命题
；命题
.给出了四个命题：①
；②
；③
；④
，这四个命
题中，所有真命题的编号是
A. ①③
B. ①②
C. ②③
D. ③④
12. 设
是定义域为
的偶函数，且在
单调递减，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13. 已知向量
，则
___________
14. 记
为等差数列
的前
项和，若
，则
___________.
15. 设
为椭圆
的两个焦点，
为
上一点且在第一象限.若
为等腰三角形，
则
的坐标为___________.
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16. 学生到工厂劳动实践，利用
打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
挖去四
棱锥
后所得的几何体，其中
为长方体的中心，
分别为所在棱的中点，
，
打印所用原料密度为
，不考虑打印损耗，制作该模型所需
原料的质量为___________
.
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成
两组，每
组100 只，其中
组小鼠给服甲离子溶液，
组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩
尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到
如下直方图：
记
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于
”，根据直方图得到
的估计值为
.
（1）求乙离子残留百分比直方图中
的值；
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（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
18.
的内角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
19. 图1 是由矩形
和菱形
组成的一个平面图形，其中
，
，将其沿
折起使得
与
重合，连结
，如图2.
（1）证明图2 中的
四点共面，且平面
平面
；
（2）求图2 中的四边形
的面积.
20. 已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，记
在区间
的最大值为
，最小值为
，求
的取值范围.
21. 已知曲线C：y=
，D 为直线y=
上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E(0，
)为圆心
圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一
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题计分
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 如图，在极坐标系
中，
，
，
，
，弧
，
，
所在圆
的圆心分别是
，
，
，曲线
是弧
，曲线
是弧
，曲线
是弧
.
（1）分别写出
，
，
的极坐标方程；
（2）曲线
由
，
，
构成，若点
在
上，且
，求
的极坐标.
选修4-5：不等式选讲
23. 设
，且
（1）求
的最小值；
（2）若
成立，证明：
或
.
