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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 设
，则
=
A. 2
B.
C.
D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算（分母实数化），求得
，再求
．
【详解】因为
，所以
，所以
，故选C．
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
2. 已知集合
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求
，再求
．
【详解】由已知得
，所以
，故选C．
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
3. 已知
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
分析】
运用中间量
比较
，运用中间量比较
【详解】
则
．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化
与化归思想解题．
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽
喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端
的长度为26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm
B. 175 cm
C. 185 cm
D. 190cm
【答案】B
【解析】
分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则
，得
．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．
07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解
题．
5. 函数f(x)=
在[—π，π]的图像大致为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得
是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由
，得
是奇函数，其图象关于原点对称．
又
．故选D．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，
利用数形结合思想解题．
6. 某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样
方法等距抽取100 名学生进行体质测验，若46 号学生被抽到，则下面4 名学生中被抽到的是
A. 8 号学生
B. 200 号学生
C. 616 号学生
D. 815 号学生
【答案】C
【解析】
【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．
【详解】详解：由已知将1000 名学生分成100 个组，每组10 名学生，用系统抽样，46 号学生被抽到，
所以第一组抽到6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列
，公差
，
所以
，
若
，则
，不合题意；若
，则
，不合题意；
若
，则
，符合题意；若
，则
，不合题意．故选C．
【点睛】本题主要考查系统抽样.
7. tan255°=
A. －2－
B. －2+
C. 2－
D. 2+
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题
目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【
详
解
】
详
解
：
=
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
8. 已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学
素养．先由
得出向量
的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为
，所以
=0 ，所以
，所以
=
，所以
与
的夹角为
，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余
弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为
．
9. 如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入
A. A=
B. A=
C. A=
D. A=
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图
结构，即可找出作出选择．
【详解】执行第1 次，
是，因为第一次应该计算
=
，
=2，循环，执
行第2 次，
，是，因为第二次应该计算
=
，
=3，
，否，输出，
故循环体为
，故选A．
【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为
．
10. 双曲线C:
的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为
A. 2sin40°
B. 2cos40°
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线渐近线定义可得
，再利用
求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得
，
，故选D．
【点睛】对于双曲线：
，有
；对于椭圆
，有
，防止记混．
11. △ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－
，则
=
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推论得出a，b，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】详解：由已知及正弦定理可得
，由余弦定理推论可得
，故选A．
【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
12. 已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可设
，则
，得
，在
中求得
，再在
中，由余弦定理得
，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．
在
中
，
由
余
弦
定
理
推
论
得
．在
中，由余弦定理得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
法二：由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
和
中，由余弦定理得
，又
互补，
，
两式消去
，得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实
了直观想象、逻辑推理等数学素养．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13. 曲线
在点
处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导
要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
14. 记Sn为等比数列{an}的前n 项和.若
，则S4=___________．
【答案】
.
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比
的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到
．题目的难
度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：设等比数列的公比为
，由已知
，即
解得
，
所以
．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考
生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列
公比后，可利用已知计算
，避免繁
分式计算．
15. 函数
的最小值为___________．
【答案】
.
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于
的二次
函数，从而得解.
【
详
解
】
，
，
当
时，
，
故函数
的最小值为
．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视
的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运
算错误．
16. 已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC=2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距离均为
，那么P
到平面ABC 的距离为___________．
【答案】
.
【解析】
【分析】
本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到
在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到
垂直关系，勾股定理解决．
【详解】作
分别垂直于
，
平面
，连
，
知
，
，
平面
，
平面
，
，
．
，
，
，
为
平分线，
，又
，
．
【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何
体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意
或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
．
P
（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）
；
（2）能有
的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【解析】
【分析】
（1）从题中所给的
列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，
即估计得出的概率值；
（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有
的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差
异.
【详解】（1）由题中表格可知，50 名男顾客对商场服务满意的有40 人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为
,
50 名女顾客对商场满意的有30 人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为
,
（2）由列联表可知
，
所以能有
的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异
.
【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算
的值，独立性检验，属于简单题目.
18. 记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n 的取值范围．
【答案】（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于
和
的方程组，求得
和
的值，利
用等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意有
，根据
，可知
，根据
，得到关于
的不等式，从而求得结果.
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，
根据题意有
，
解答
，所以
，
所以等差数列
的通项公式为
；
（2）由条件
，得
，即
，
因为
，所以
，并且有
，所以有
，
由
得
，整理得
，
因为
，所以有
，即
，
解得
，
所以
的取值范围是：
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，
在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
19. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，
BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线和
可证得
，证得四边形
为平行四边形，进而证得
，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据题意求得三棱锥
的体积，再求出
的面积，利用
求得点C 到
平面
的距离，得到结果.
【详解】（1）连接
，
，
分别为
，
中点
为
的中位线
且
又
为
中点，且
且
四边形
平行四边形
，又
平面
，
平面
平面
（2）在菱形
中，
为
中点，所以
，
根据题意有
，
，
因为棱柱为直棱柱，所以有
平面
，
所以
，所以
，
设点C 到平面
的距离为
，
根据题意有
，则有
，
解得
，
所以点C 到平面
的距离为
.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，
在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法
求点到平面的距离是文科生常考的内容.
20. 已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1 ）求导得到导函数后，设为
进行再次求导，可判断出当
时，
，当
时，
，从而得到
单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证
得结论；（2 ）构造函数
，通过二次求导可判断出
，
；分别在
，
，
和
的情况下根据
导函数的符号判断
单调性，从而确定
恒成立时
的取值范围.
【详解】（1）
令
，则
当
时，令
，解得：
当
时，
；当
时，
在
上单调递增；在
上单调递减
又
，
，
即当
时，
，此时
无零点，即
无零点
，使得
又
在
上单调递减
为
，即
在
上的唯一零点
综上所述：
在区间
存在唯一零点
（2）若
时，
，即
恒成立
令
则
，
由（1）可知，
在
上单调递增；在
上单调递减
且
，
，
，
①当
时，
，即
在
上恒成立
在
上单调递增
，即
，此时
恒成立
②当
时，
，
，
，使得
在
上单调递增，在
上单调递减
又
，
在
上恒成立，即
恒成立
③当
时，
，
，使得
在
上单调递减，在
上单调递增
时，
，可知
不恒成立
④当
时，
在
上单调递减
可知
不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值
恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，
进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
21. 已知点A，B 关于坐标原点O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点A，B 且与直线x+2=0 相切．
（1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1）
或
；
（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）设
，
，根据
，可知
；由圆的性质可知圆心
必在直线
上，
可设圆心
；利用圆心到
的距离为半径和
构造方程，从而解出
；（2）
当直线
斜率存在时，设
方程为：
，由圆的性质可知圆心
必在直线
上；假设圆
心坐标，利用圆心到
的距离为半径和
构造方程，解出
坐标，可知
轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知
为抛物线焦点，且定值为；当直线
斜率不存在时，
求解出
坐标，验证此时
依然满足定值，从而可得到结论.
【详解】（1）
在直线
上
设
，则
又
，解得：
过点
，
圆心
必在直线
上
设
，圆的半径为
与
相切
又
，即
，解得：
或
当
时，
；当
时，
的半径为：
或
（2）存在定点
，使得
说明如下：
，
关于原点对称且
直线
必为过原点
的直线，且
①当直线
斜率存在时，设
方程为：
则
的圆心
必在直线
上
设
，
的半径为
与
相切
又
，整理可得：
即
点轨迹方程为：
，准线方程为：
，焦点
，即抛物线上点到
的距离
当
与
重合，即
点坐标为
时，
②当直线
斜率不存在时，则直线
方程为：
在
轴上，设
，解得：
，即
若
，则
综上所述，存在定点
，使得
为定值.
【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够
根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，
使得问题得解.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
【答案】（1）
；
；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得
的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；
（2）利用参数方程表示出
上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，
从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】（1）由
得：
，又
整理可得
的直角坐标方程为：
又
，
的直角坐标方程为：
（2）设
上点的坐标为：
则
上的点到直线的距离
当
时，
取最小值
则
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.
求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
23. 已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用
将所证不等式可变为证明：
，利用基本不等式可证得
，从而得到结论；（2 ）利用基本不等式可得
，再次利用基本不等式可将式转化为
，在取等条件一致的情况下，可得结论.
【详解】（1）
当且仅当
时取等号
，即：
（2）
，当且仅当
时取等号
又
，
，
（当且仅当
时等号同时成立）
又
【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，
需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
