2011-2020年高考数学真题分专题训练专题34极坐标系与参数方程（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

十年大数据*全景展示
专题 34 极坐标系与参数方程
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
文理 23
极坐标系与参数方程
直线和圆的参数方程，极坐标方程的应用
2012
文理 23
极坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标的互化，椭圆参数方程的应用
2013
卷 1
文理 23
极坐标系与参数方程
参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用
卷 2
文理 23
极坐标系与参数方程
参数方程的求法，参数方程的应用
2014
卷 1
文理 23
极坐标系与参数方程
直线和椭圆的参数方程及其应用
卷 2
文理 23
极坐标系与参数方程
圆的极坐标方程与参数方程的互化，圆的参数方程的应用
2015
卷 1
文理 23
极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆极坐标方程的应用
卷 2
文理 23
极坐标系与参数方程
极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用
2016
卷 1
文理 23
极坐标系与参数方程
极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用
卷 2
文理 23
极坐标系与参数方程
圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，圆的弦
长公式
卷 3
文理 23
极坐标系与参数方程
椭圆的参数方程，直线的极坐标方程，参数方程的应用
2017
卷 1
文理 22
极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的
互化，椭圆参数方程的应用
卷 2
文理 22
极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用
卷 3
文理 22
极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用
2018
卷 1
文理 22
极坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标方程互化，直线与圆的位置关系，圆的几
何性质
卷 2
文理 22
极坐标系与参数方程
直线和椭圆的参数方程，直线参数方程参数几何意义的应用
卷 3
文理 22
极坐标系与参数方程
直线与圆的位置关系，圆的参数方程，点的轨迹方程求法
2019
卷 1
文理 22
极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的
互化，参数方程的应用
卷 2
文理 22
极坐标系与参数方程
直线和圆的极坐标方程及其应用
卷 3
文理 22
极坐标系与参数方程
极坐标方程及其应用
2020
卷 1
文理 22
极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化
卷 2
文理 22
极坐标系与参数方程
参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，极坐标
与参数方程的综合应用
卷 3
文理 22
极坐标系与参数方程
极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程及其应用
大数据分析*预测高考
2

2 2
考
点
出现频率
2021 年预测
考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换
23 次考 0 次
2021 年高考在试题难度、知识点考查等方
面，不会有太大的变化，主要考查极坐标方程
和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极坐
标方程与极坐标方程的简单应用．
考点 117 极坐标和直角坐标的互化
23 次考 5 次
考点 118 参数方程与普通方程的互化
23 次考 1 次
考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用
23 次考 17 次
十年试题分类*探求规律
考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换
考点 117 极坐标和直角坐标的互化
x  t  1 ,
x  4cos2,
1．(2020 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C1 , C2 的参数方程分别为C1  : 
(为参数)，C  : 
t
( t 为
 y  4sin2
 y  t  1
参数)．
(1) 将C1 , C2 的参数方程化为普通方程；

t
(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1 , C2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经
过极点和 P 的圆的极坐标方程．
【解析】(1)由cos2  sin2  1 得C1 的普通方程为： x  y  4 ，
x  t  1
x2  t 2  1  2

t

t 2
C
2
2
由
1 
得： 

1
，两式作差可得 2 的普通方程为： x  y  4 ．
 y  t 
 y2  t 2 
 2

t

t 2
x  5
x  y  4

(2)由
得：
2 ，即 P  5 , 3  
．
x2  y2  4

 y  
3

2





5 
2

3 
2
17
设所求圆圆心的直角坐标为a, 0，其中 a  0 ，则 a     0    a 2 ，解得： a 
，

2 

2 
10

17


17 

2
 17 

2
2
2
2
17
所求圆的半径 r 
，
10
所求圆的直角坐标方程为：  x  
10  
 y
  10 

，即 x  y

x ，
5
所求圆的极坐标方程为 17 cos．
5





(0  4)2  (12  0)2
10
3

x  2  t  t 
2  ,
2．(2020 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 
 y  2 
 3t  t 
2
( t 为参数且t  1)，C
与坐标轴交于 A , B 两点．
(1)求 AB ；
(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．
【解析】(1)令 x  0 ，则t 2  t  2  0 ，解得t  2 或t 1(舍)，则 y  2  6  4  12 ，即 
A(0,12) ． 令 y  0 ，则t 
2  3t  2  0 ，解得t  2 或t 1(舍)，则 x  2  2  4  4 ，即 B(4, 
0) ．
 AB 
 4
．
(2)由(1)可知 kAB  12 
 
    0  
0  
(4)
 3 ，则直线 AB 的方程为 y  3(x  4) ，即3x  y 12  0 ．
由 x  cos, y  sin可得，直线 AB 的极坐标方程为3cos sin12  0 ．
3．(2020 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A(, π) 在直线l : cos 2 上，点 B( , π ) 在圆C :  4 sin上
1   3
2 6
(其中 0 ， 0  2)．
(1)求1 ， 2 的值
(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．
【解析】(1) Q  cos   2  4; Q   4 sin 
2 ．
1
3
1
2
6 
2  
(2) Q cos 2,  4 sin 4 sincos 2,sin 2 1 Q[0, 2) , 5
，
4
4
当 
时
 2
4
；当 5 
时
 2 4
 0 (舍)；即所求交点坐标为
当

(2  2,
) ．
4
4．(2019 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (0 ,0 )(0   0) 在曲线C :  4 sin上，直线 l
过点 A(4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P．
(1)当 =  
时，求 及 l 的极坐标方程；
0
3
0
(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
【解析】(1)因为 M ,  在C 上，当   
时，   4 sin   2
．
0
0
0
3
0
3
由已知得| OP || OA | cos   2 ．
3
2
2
3
3
3


设Q(,) 为l 上除P 的任意一点．在Rt△OPQ 中cos   | OP | 2 ，

3 




 
经检验，点 P(2,  ) 在曲线cos
  2 上．


所以，l 的极坐标方程为cos    2 ．

3 


(2)设 P(,) ，在Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 
cos,
即  4 cos．．
因为P 在线段OM 上，且 AP  OM ，故的取值范围是 ,  ．
 4 2 
所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4 
cos,
  ,  ．
 4 2 
5．(2019 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A(2, 0) ， B(   2, ) ，C(   2,  ) ， D(2, ) ，弧 
AB ，
4
4
 ，  所在圆的圆心分别是(1, 0) ，
 
， (1, ) ，曲线 M 是弧  ，曲线 M 是弧  ，曲线 M 是
BC
CD
(1, )
2
1
AB
2
BC
3
弧CD ．
(1)分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
(2)曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且| OP |
，求 P 的极坐标．
【解析】(1)由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为 2 cos，  2 sin，
 2 cos，所以 M 的极坐标方程为 2 cos 0  π  
， M 的极坐标方程为
1

4 
2


 2 sin π  3π  ， M 的极坐标方程为 2 cos 3π  π  ．
 4
4 
3
 4





(2)设 P(,) ，由题设及(1)知
3
3
3
2
2
1  k 2






若0  π 
，则 2 cos
，解得 π 
；
4
6
若 π  3π 
，则 2 sin
，解得 π 
或 2π 
；
4
4
3
3
若 3π  π ，则2 cos
，解得 5π 
．
4

综上，P 的极坐标为
3, π  
或

3, π  
或

6
3, 2π  
或

3, 5π  
．

6 

3 

3 

6 








考点 118 参数方程与普通方程的互化
6．(2020 上海 14)已知直线方程3x  4 y 1  0 的一个参数方程可以是(
)
x  1 3t
A．  y  1 
4t
x  1 4t
B．  y  1 
3t
x  1 3t
C．  y  1 
4t
x  1 4t
D．  y  1 3t
【答案】D
【解析】A．参数方程可化简为 4x  3y  7  0 ，故 A 不正确；B．参数方程可化简为3x  4 y  7  0 
，故B 不正确；C．参数方程可化简为 4x  3y 1  0 ，故 C 不正确；D．参数方程可化简为3x  4 y 
1  0 ， 故 D 正确．故选 D．
7．(2018 全国Ⅲ)[选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为x  
cos
(为参数)，过点(0, 
2) 且倾斜角为的直
线l 与O 交于 A ， B 两点．
(1) 求的取值范围；
(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
 y  sin
，
【解析】(1) O 的直角坐标方程为 x2  y2  1．
当 
 
时， l 与O 交于两点．
2
当  
时，记 tan k ，则l 的方程为 y  kx 
．l 与O 交于两点当且仅当|
| 1 ，解得 k  1 或
2
  

 
 
k  1，即
(   ,   ) 或 (   ,
) ．
4  2
2 4

 
综上，
的取值范围是(   ,
) ．
4 4
2
2

(2) l 的参数方程为 
x  t cos,
(t 为参数， 
     ) ．

 y  
 t sin
4 
4
设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t  tA  tB ，且t ， t 满足t 2  2 2t sin 1  0 ．
A
B
P
P
2
A
B
于是
t
A  tB  2 2 sin， tP 
2 sin．又点 P 的坐标(x, y) 满足 
x  tP  
cos,
y  
 t
sin.


x 
2 sin 
2,
2

P


所以点 P 的轨迹的参数方程是 y   2 
2 cos 2
(为参数，
 
) ．
2
2
2
2
4
4

2
2
考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用
8．(2018 北京文理)在极坐标系中，直线cos sin a(a  0) 与圆=2 cos相切，则 a =           
 
 ．
【答案】1
【解析】利用 x  cos， y  sin，可得直线的方程为 x  y  a  0 ，圆的方程为
(x 1)
2  y
2  1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r  1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即
|1 a 
|
 1 ，∴ a  1
或1
，又 a  0 ，∴ a  1
．
9．(2017 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆
2  2cos 4sin 4  0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则
| AP | 的最小值为          
 
 ．
【答案】1【解析】圆的普通方程为 x
2  y
2  2x  4y  4  0 ，即(x 1)
2  ( y  2)
2  1 ．
设圆心为C(1, 2) ，所以| AP |min | PC | r  2 1  1 ．
10．(2017 天津文理)在极坐标系中，直线4cos( ) 1  0 与圆 2 sin的公共点的个数为
．
6
【答案】2【解析】直线的普通方程为 2  3x  2 y 1  0 ，圆的普通方程为 x
2  ( y 1)
2   1 ，因为圆心到直
3
线的距离 d  
1
4
，所以有两个交点．
11．(2016 北京文理)在极坐标系中，直线cos
| AB |．
3sin1  0 与圆 2 cos交于 A, B 两点，则
【答案】2【解析】将cos
3sin1  0 化为直角坐标方程为 x 
3y 1  0 ，将ρ=2cos θ 化为直
角坐标方程为(x 1)
2   y
2   1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x    3y 1  0 上，所以|AB|
=2r=2．
2
2
2
2
3
4



)

12．(2015 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2sin(  
4
7
2    2,
) ，则点 Α 到直线l 的距离为       
 
 ．
4
2 ，点 Α 的极坐标为
【答案】
【解析】由 2sin(-
2

) =
得2´
4
2
7
(sin- cos) =
，所以 y - x = 1，
故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A(2  2, ) 对应的直角坐标为
4
A(2,-2) ，所以点 A(2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2 
．
2
13．(2015 安徽文理)在极坐标系中，圆 8sin上的点到直线

是                
 
 ．
( R) 距离的最大值
3
【答案】6【解析】圆= 8sin即
2 = 8sin，化为直角坐标方程为 x
2 + ( y - 4)
2 = 16 ，

直线=
，则tan=
，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线
3
的距离为| -4 | = 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．
14．(2020 全国Ⅰ文理 21)
x  cosk t ,
在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为 y  
sin
k t
(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 4cos16sin 3  0 ．
(1) 当 k  1 时， C1 是什么曲线？
(2) 当 k  4 时，求C1 与C2 的公共点的直角坐标．
【解析】(1)当 k  1 时，曲线C 的参数方程为
x  
cos t ,
( t 为参数)，两式平方相加得 x2  y2  1 ，
1
 y  sin t
∴曲线C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．
x  cos4 t ,
(2)当 k  4 时，曲线C1 的参数方程为 y  sin
4 t
( t 为参数)，∴ x  0, y  0 ，曲线C1 的参数方程化为
   x  cos2 
t

   
y  sin2 t
(t 为参数)，两式
相加得曲线C1 方
程为
5 2
2
y
x

 1，
得
 1 
，平方得
x
y
x
x
7
7

2
y  x  2
 1, 0  x  1, 0  y  1 ，
曲线C2 的极坐标方程为4cos16sin 3  0 ，曲线C2 直角坐标方程为4x 16 y  3  0 ，
联立C , C  方程 
 y 
 x  2
1 
,
32
得
 1 
或
 13 
(舍去)，
1
2
4x 16 y  3  0
2 
6
 x  1 , y  1 
，C ,C
1 1
公共点的直角坐标为( , ) ．
 
4
4
1
2
4 4

1 t 
2
x  
1 t 
2
15．(2019 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
 y 


4t 
1 t 
2
(t 为参数)，以坐标原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos 3sin11  0 ．
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值．
1 t 
2
 y 
2
 1 t 
2 
2
4t 
2
【解析】(1)因为1 
 1 ，且 x
2  


 


 1，所以C 的直角坐标方程为
2
y
2
1 t 
2
 2 
1  t 
2 

1 t 
2 
2
x  
 1(x  1) ．
4
l 的直角坐标方程为 2x 3y 11  0 ．
x  cos,
(2)由(1)可设C 的参数方程为
(为参数， π  π )．
 y  2sin
4 cos  π  11

3 
C 上的点到l 的距离
为

      
             
 
 ．
当  2π 
时， 4 cos π  11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为
．
3

3 


16．(2018 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的方程为 y  k|x|  2 ．以坐标原点为极点， x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2  2cos 3  0 ．
(1) 求C2 的直角坐标方程；

x
x
x
| 2 cos 2 3 sin11|
7
k 2 1
k 2 1
 y  4 sin 

(2) 若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程．
【解析】(1)由 x  cos， y  sin得C2 的直角坐标方程为(x 1)
2  y
2  4 ．
(2)由(1)知C2 是圆心为 A(1, 0) ，半径为 2 的圆．
由题设知，C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l1 ，y 轴左边的射线为l2 ．
由于 B 在圆C2 的外面，故C1 与C2 有且仅有三个公共点等价于l1 与C2 只有一个公共点且l2 与C2 有两个
公共点，或l2 与C2 只有一个公共点且l1 与C2 有两个公共点．
当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以
| k   2 |  2 ，故 k   4 
或 k  0 ．
1
2
1
3
经检验，当k  0 时， l 与C 没有公共点；当 k   4 
时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．
1
2
3
1
2
2
2
|   k      2   |
当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以
 2 ，故 k  0 或 k  4 
．
2
2
2
3
经检验，当k  0 时， l 与C 没有公共点；当 k  4 
时， l 与C 没有公共点．
1
2
3
2
2
综上，所求C 的方程为 y   4 | x | 2 ．
1
3
17．(2018 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
x  2 cos θ, 
( θ 为参数)，直线l 的参数

x  1 t cos α
方程为 y  2  t sin α 
( t 为参数)．
(1) 求C 和l 的直角坐标方程；
(2) 若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．
x
2 
 y
2 

【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程
为
1．
4
16
当cos 0 时， l 的直角坐标方程为 y  tan x  2  tan；
当cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x  1 ．
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
(1 3cos
2 )t
2   4(2 cos sin)t  8  0 ．①
3
3
17

 y  1 
y
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t1 ， t2 ，则t1   t2  0 ．
4(2 cos sin)
又由①得t1  t2  
1 3cos
2 
，故 2 cos sin 0 ，于是直线l 的斜率 k  tan 2 ．
18．(2018 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为sin( π )  2 ，曲线C 的方程为 4 cos，求直线l 被曲
6
线C 截得的弦长．
【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4 cos，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．
因为直线l 的极坐标方程为sin( π )  2 ，则直线l 过 A(4, 0) ，倾斜角为 π ，所以 A 为直线l 与圆C 的一
6
6
个交点．
设另一个交点为 B，则∠OAB= π ，连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB  4 cos π  2．
6
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．
2
6
x  3cos
19．(2017 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 y  
sin
，(为参数)，直线l 的参
数方程为
x  a  4t 
( t 为参数)．

(1) 若 a  1，求C 与l 的交点坐标；
(2) 若C 上的点到l 距离的最大值为
，求 a ．
【解析】(1)曲线C 的普通方程
为
x
2 
 
2
9
 1．
当a  1 时，直线l 的普通方程为 x  4 y  3  0 ．
x  4 y  3  
0
x   21

x  3
25
21 24
由 x
2
2
解得 y  0 
或
，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， 
(
24
,
) ．
 9  
 y    1

 y 

25
25 25

17
17
17
17
17
3
3
3
4
2

(2)直线l 的普通方程为 x  4 y  a  4  0 ，故C 上的点(3cos, sin) 到l 的距离为
| 3cos 4 sin a  4 |
d 
．
当a ≥4 时， d 的最大值
为
a  
9
．由题设
得
a  
9

，所以a  8 ；
当a  4 时， d 的最大值为 a  1 
．由题设得 a  1 ，所以 a  16 
． 综上， a  8 或 a  16 ．
20．(2017 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线C1 的极坐标方程为cos 4 ．
(1) M 为曲线C1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM |  | OP | 16 ，求点 P 的轨迹C2 的直角坐标
方程；

(2)设点 A 的极坐标为(2, 
3 
) ，点 B 在曲线C2 上，求OAB 面积的最大值．
【解析】(1)设 P 的极坐标为(,) ( 0) ， M 的极坐标为(1 ,) (1   0) ．
由椭圆知| OP | ， | OM | 1   
cos
．由| OM |  | OP | 16 得C2 的极坐标方程 4 cos( 0) ，  
因此C 的直角坐标方程为(x  2)
2  y 
2  4(x  0) ．
(2)设点 B 的极坐标为(B ,) (B    0) ．由题设知| OA | 2 ， B    4 cos，于是OAB 面积
1


3
S  
2 
| OA | B  sin AOB  4 cos| sin( 
3 
) |  2 | sin(2 
3 
) 

| ≤ 2 
．
2
当   
时， S 取得最大值 2 
，所以OAB 面积的最大值为 2 
．
12
21．(2017 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为x  2 
 t
( t 为参数)，直线l 的参数方
x  2  m

1
 y  kt
2
程为


y  m
k
( m 为参数)．设l1 与l2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．
(1) 写出C 的普通方程；
17
17
5
| 2s2  4  2s  8 
|
(1)2   (2)2
2
4 5

t

(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：(cos sin) 
交点，求 M 的极径．
 0 ，M 为l3 与C 的
【解析】(1)消去参数t 得l 的普通方程
l
: y  k  x  2 ，消去参数m 得l 的普通方程l : y  1  x  2 ．
1
1
 y  k  x  2
2
2
k

设 P(x, y) ，由题设得
 
y 

1  x  
2
k
，消去k 得 x2  y2  4  y  0 ，所以C 的普通方程为
x2  y2  4  y  
0 ．
2 cos2sin2  4
(2) C 的极坐标方程为
2 cos
2 sin
2  4 0＜＜2,  ，联立
得
cos+sin- 2=0
cos sin=2 cos+sin ，故tan  1 
，从而cos2= 9 ，sin2= 1 
，代入
2 cos
2-sin
2=4 得
3

2 =5 ，所以交点 M 的极径为
．
10
10
x  8  t
22．(2017 江苏)在平面坐标系中 xOy 中，已知直线l 的参考方程为
y 
( t 为参数)，曲线C 的参数方
  x  
2s
2

2
程为
 y  2   
2s
( s 为参数)．设 P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直线l 的距离的最小值．
【解析】直线l 的普通方程为 x  2 y  8  0 ．
因为点 P 在曲线C 上，设 P(2s
2 , 2 2s) ，从而点 P 到直线l 的的距离
4 5
d 

，当 s 
时， dmin  
5
．
因此当点 P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点 P 到直线l 的距离取到最小值
．
5
x  a cost
23．(2016 全国 I 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为 y  1 a sin t 
(t 为参数，a＞0)．在以
坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：  4 cos．
(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；
(II)直线C3 的极坐标方程为=a0 ，其中 a0 满足tan a0 =2 ，若曲线C1 与C2 的公共点都在
C3
上，求 a．
2
2(s 2)2  4
5
10
25  

 10 2
2 
15

1
1
2
3



x  a cos t
【解析】(1)  y  1  a 
sin t
( t 均为参数)，∴ x2   y  1
2   a2  ①
∴ C 为以0 ，1 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x2  y2  2 y 1  a2  0 ．
∵ x2  y2  
2 ，y  sin，∴ 
2  2sin 1  a2  0 ，即为C 的极坐标方程．
(2) C  ： 4cos，两边同乘得
2   4cos  
2   x2  y2 ，cos x ， x2  y2  4x ，
即 x  2
2   y2  4
②
C3 ：化为普通方程为 y  2x ，由题意： C1 和C2 的公共方程所在直线即为C3 ，
①—②得： 4x  2 y  1  a2  0 ，即为C ，∴1  a2  0 ，∴ a  1 ．
24．(2016 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x  6
2   y2  25 ．
(I)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
x  t cos
(II)直线 l 的参数方程是 y  t sin(t 为参数)，l 与 C 交于 A、B 两点， AB 
，求 l 的斜率．

2  x2  y2
【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得 x2  y2  12  11  0 ，由cos 
x
sin y
可知圆C 的极坐标方程为

2  12cos 11  0 ．
(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx  y  0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：

，即
36k 2
2
90 ，整理得 k 2  5 ，则 k  
．
1  k
4
3
3
x 
3 cos
25．(2016 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为
 y  sin
(为参数)，以坐标原
6k
1  k 2
2
点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin( 

)  2
．
2
4
(Ⅰ)写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点 P 在C1 上，点 Q 在C2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．
x
2
2
【解析】(Ⅰ) C1 的普通方程为 
3 
 y  1， C2 的直角坐标方程为 x  y  4  0 ．
(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos, sin) ，因为C2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C2
| 3 cossin 4 |
2
2
2
2




1

的距离d () 的最小值， d () 


2 | sin(
)  2 | ．
3
3 1
当且仅当 
2k
(k  Z ) 时， d () 取得最小值，最小值
为
6
，此时 P 的直角坐标为( , ) ．
2 2
x  1  1 t,
26．(2016 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为
 y 


2
3 t,
2
t 为参数 ，椭圆C 的参数
x  cos,
方程为 y  
2sin,
为参数 ，设直线l 与椭圆C 相交于 A, B 两点，求线段 AB 的长．
x  1 1 t
【解析】椭圆C 的普通方程为 x
2  y
4
 1，将直线l 的参数方程
 y 

2
   3   
t2
，代入 x
2  y
4
 1，得
(1 1 t)
2 
3 t)
2
2
 1，即7t 
2  16t  0 ，解得t  0 ， t   16 
，所以 AB | t  t | 16 
．
2
4
1
2
7
1
2
7
27．(2015 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x  2 ，圆C ：(x 1)
2  ( y  2)
2  1 ，以坐标原
1
2
点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求C1 ， C2 的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线C3 的极坐标方程为

 R ，设C2 与C3 的交点为 M ， N ，求C2 MN 的面积．
4
【解析】(Ⅰ)因为 x  cos, y  sin，
∴ C 的极坐标方程为cos 2 ， C 的极坐标方程为
2  2cos 4sin 4  0 ．
1
2
(Ⅱ)将=  
代入
2  2cos 4sin 4  0 ，得
2  3 2 4  0 ，解得 = 2
，  =
，
4
|MN|=  －  =
，因为C 的半径为 1，则C MN 的面积

1
2
2 1sin 45
o = 1 
．
1
2
2
2
2
2
x  t cos,
28．(2015 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 ：  y  t sin, 
( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤，
在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：  2 sin， C3 ：  2 3 cos．
(Ⅰ)求C2 与C3 交点的直角坐标；


2
2
(

2
(Ⅱ)若C1 与C2 相交于点 A， C1 与C3 相交于点 B，求| AB | 的最大值．
2
3
【解析】(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x
2  y
2  2 y  0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x
2  y
2  2 3x  0 ．联
x
2   y
2   2 y  
0,
x  0,

3
x  
2 
,
3
6
 3 

t 2 12
)
 x 1    y 1
 

立
x
2  y
2  2  3x  0, 
解得 y  0, 
或
3


 y 
,

2
3
所以C2 与C1 交点的直角坐标为(0, 0) 和(
, ) ．
2
2
(Ⅱ)曲线C1 的极坐标方程为 ( R,  0) ，其中0 ． 因
此 A 得到极坐标为(2 sin,) ， B 的极坐标为(2 3 cos,) ．

5
所以 AB  2 sin 2 3 cos  4 s in(
) ，当
时， AB 取得最大值，最大值为 4 ．
3
6
29．(2015 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为
2  2 2sin(   4  0 ，求圆 C 的半径．
4
【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．
圆C 的极坐标方程为2  
2
 2 sin 2 cos 

4  0 ，化简，得
2  2sin 2cos 4  0 ．
     2
2
 


则圆C 的直角坐标方程为 x
2  y
2  2x  2 y  4  0 ，即
2
2
，所以圆C 的半径为
．
x  3  1 t
30．(2015 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为2
 y 
3 t

2
轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为 2 3 sin．
(Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；
( t 为参数)．以原点为极点， x
(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．
【解析】(Ⅰ) 由 2   3 sin, 得
2   2   3sin，从而有 x
2 +y
2    2   3y, 所以x
2 + 
y 
3 
2  
 3 ．
(Ⅱ)设 P(3 +
 
，
故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．


1 t,
3 t), 又C(0, 3) ，则| PC |

1 
2

3

2
2
2

2 t   2 t  3 
2
5
5
 y  2  


31．(2014 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x
4
y
2
9  1，直线l ： 
x  2  t 
( t 为参数)．

(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30
o 的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．
x  2 cos.
【解析】（I）曲线C 的参数方程为 y  3sin. 
(为参数).
直线l 的普通方程为2x  y  6  
0.
……5 分
(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos.3sin)到l 的距离为
d 
4 cos 3sin 6 .
则 PA 

d

sin 30
5sin()  6 , 其中为锐角，且tan 4 .
3
当sin(+)=-1 时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .
5
当sin()  1 时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .
5
32．(2014 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C
的极坐标方程为 2 cos， 0, ．
(Ⅰ)求 C 的参数方程；
2 
(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y 
3x  2 垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 
D 的
坐标．
【解析】(I)C 的普通方程为(x 1)
0  t  x )．
2  y
2
x  1 cos t,
 1(0  y  1) ，可得 C 的参数方程为 y  sin 
t,
(t 为参数，
(Ⅱ)设 D (1 cos t, sin t) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆．

因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t 

3, t 
．
3
2
2 5
5
3
x2  y2



1




3
故 D 的直角坐标为(1 cos , sin
) ，即(   ,
) ．
3
3
2
2
33．(2013 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为
x  4  5 cos t 
( t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正
1
 y  5  5sin t
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 sin．
(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ≥ 0 ， 0 ≤≤ 2)．
x  4  5 cos t
2
2
【解析】将 y  5  
5sin t
消去参数t ，化为普通方程(x  
4)
 ( y  
5)
 25 ，
即C1 ： 
x
2  y
2
x  cos
 8x 10 y  16  0 ，将 y  sin 
代入 
x
2  y
2  8x 10 y  16  0 得，

2  8cos10sin16  0 ，∴ C 的极坐标方程为
2  8cos10sin16  0 ．
x
2   y
2   8x 10 y 16 
 0
(Ⅱ) C 的普通方程为 x
2  y
2  2 y  0 ，由
x  
1
解得
x  0
或
，
2
∴ C1 与C2 的交点的极坐标分别为
(
x
2   y
2   2 y  
0

)， (2, ) ．
4
2
 y  
1
 y  2
34．(2013 全国Ⅱ文理)已知动点 P ，Q 都在曲线
C
与 2( 0  2) M 为 PQ 的中点．
x  2 cos 
： y  2 
sin 
为参
数
上，对应参数分别为 
(Ⅰ)求 M  的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．
【解析】(Ⅰ)由题意有 P 2 cos, 2sin, Q 2 cos 2, 2sin 2, 因此 M cos cos 2,sin sin 2 ，
x  cos cos 2,
M 的轨迹的参数方程为 y  sin sin 2, 
( 0  2)．
(Ⅱ) M 点到坐标原点的距离 d 

2  2 cos( 0  2)，
当时， d  0 ，故 M 的轨迹过坐标原点．
2,
3

1
0
0

1
35．(2012 全国文理)已知曲线C 的参数方程是
x  2 cos 
为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴
1
 y  3sin
(
为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C2 上，且 A 、 B 、C 、

D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ．
3
(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；
(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2  | PB |2  | PC |2  | PD |2 的取值范围．

5
4
11
【解析】(1)点 A, B, C, D 的极坐标为(2, ), (2,
), (2,
), (2,
) ，
3
6
3
6
点 A, B, C, D 的直角坐标为(1, 3),(
x0  2cos
3,1), (1, 

3),( 3, 1) ．
(2)设 P(x0 , y0 ) ；则
 y
 3sin
(为参数) ，
  0

t  PA 
2  PB 
2  PC 
2  PD 
2  4x
2  4 y
2 16  32  20 sin 
2 [32, 52] ．
x  2 cos
36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为 y  2  
2 sin
(为参数)，M 是C 上

的动点， P 点满足OP  2OM ， P 点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2 的方程
(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 
与C 的异于极点的交点为 A，与C 的
异于极点的交点为 B，求 AB ．
3
1
2
【解析】(I)设 P(x, y) ，则由条件知 M( x , y 
)．由于 M 点在C 上，
 
 x  2 cos
 2
2 2
 x  4 cos
1
 x  4 cos
所以 
y
，即 y  4  4 
sin
，从而C2 的参数方程为 y  4  4 
sin
(为参数)，
     2  2 sin




 2
(Ⅱ)曲线C1 的极坐标方程为 4sin，曲线C2 的极坐标方程为 8sin．
射线 
与C 的交点 A 的极径为  4sin
，射线 
与C 的交点 B 的极径为  8sin
．
3
1
1
3
3
2
2
3
所以| AB || 2  1 | 2
．

