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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4 页，23 小题，满分150 分，考试用时120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔
将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不
按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知集合
，则
=
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想
解题．
【详解】由题意得，
，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2. 设复数z 满足
，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的
距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则
．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，
利用方程思想解题．
3. 已知
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量
比较
，运用中间量比较
【详解】
则
．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化
与化归思想解题．
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽
喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端
的长度为26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm
B. 175 cm
C. 185 cm
D. 190cm
【答案】B
【解析】
【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则
，得
．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．
07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解
题．
5. 函数f(x)=
在[—π，π]的图像大致为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得
是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由
，得
是奇函数，其图象关于原点对称．
又
．故选D．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，
利用数形结合思想解题．
6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为
阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的
概率是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，
“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3 个阳爻是相同元素的排列问题，
利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2 种情况，一重卦的6 爻有
情况，其中6 爻中恰有3 个阳爻情况有
，所
以该重卦恰有3 个阳爻的概率为
=
，故选A．
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组
合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同
元素的排列问题即为组合问题．
7. 已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学
素养．先由
得出向量
数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为
，所以
=0 ，所以
，所以
=
，所以
与
的夹角为
，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余
弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为
．
8. 如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入
A. A=
B. A=
C. A=
D. A=
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图
结构，即可找出作出选择．
【详解】执行第1 次，
是，因为第一次应该计算
=
，
=2，循环，执
行第2 次，
，是，因为第二次应该计算
=
，
=3，
，否，输出，
故循环体为
，故选A．
【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为
．
9. 记
为等差数列
的前n 项和．已知
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B，
，
，排除
B
，
对
C
，
，
排
除
C
．
对
D
，
，排除D，故选A．
【详解】由题知，
，解得
，∴
，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数
列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
10. 已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可设
，则
，得
，在
中求得
，再在
中，由余弦定理得
，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．
在
中
，
由
余
弦
定
理
推
论
得
．在
中，由余弦定理得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
法二：由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
和
中，由余弦定理得
，又
互补，
，
两式消去
，得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实
了直观想象、逻辑推理等数学素养．
11. 关于函数
有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（
,
）单调递增
③f(x)在
有4 个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数
，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当
时，
，它在区间
单调递减，故②错误．当
时，
，
它有两个零点：
；当
时，
，它有一个零点：
，故
在
有个零点：
，故③错误．当
时，
；
当
时，
，又
为偶函数，
的最大值
为
，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】画出函数
的图象，由图象可得①④正确，故选C．
12. 已知三棱锥P-ABC
四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分
别是PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先证得
平面
，再求得
，从而得
为正方体一部分，进而知正方
体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:
为边长为2 的等边三角形，
为正三棱锥，
，又
，
分别为
、
中点，
，
，又
，
平面
，
平面
，
，
为正方体一部分，
，即
，故选D．
解法二:
设
，
分别为
中点，
，且
，
为边长为2 的等边三角形，
又
中余弦定理
，作
于
，
，
为
中点，
，
，
，
，又
，
两
两垂直，
，
，
，故选D.
【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相
垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13. 曲线
在点
处的切线方程为___________．
【答案】
.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导
要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
14. 记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若
，则S5=____________．
【答案】
.
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比
的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到
．题目的难
度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】设等比数列的公比为
，由已知
，所以
又
，
所以
所以
．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部
分考生易出现运算错误．
15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据
前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概
率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的概率是____________．
【答案】0.18
【解析】
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一
定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以
获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以
获胜的概率是
综上所述，甲队以
获胜的概率是
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的
全面性是否具备，要考虑甲队以
获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
16. 已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C 的两条渐近线分
别交于A，B 两点．若
，
，则C 的离心率为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
通过向量关系得到
和
，得到
，结合双曲线的渐近线可得
从而由
可求离心率.
【详解】如图，
由
得
又
得OA 是三角形
的中位线，即
由
，得
则
有
，
又OA 与OB 都是渐近线，得
又
，得
．又渐近线OB 的斜率为
，所以该双曲线的离心率为
．
【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
采取几何法，利用数形结合思想解题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17.
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A；
（2）若
，求sinC．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：
，从而可整理出
，根据
可求得结果；（2）利用正弦定理可得
，利用
、两角和差正
弦公式可得关于
和
的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
【详解】（1）
即：
由正弦定理可得：
（2）
，由正弦定理得：
又
，
整理可得：
解得：
或
因为
所以
，故
.
（2）法二：
，由正弦定理得：
又
，
整理可得：
，即
由
，所以
.
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关
系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
18. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，
BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N 的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线和
可证得
，证得四边形
为平行四边形，进而证得
，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形
对角线交点为原点可建立空间直角
坐标系，通过取
中点
，可证得
平面
，得到平面
的法向量
；再通过向量法求
得平面
的法向量
，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正
弦值.
【详解】（1）连接
，
，
分别为
，
中点
为
的中位线
且
又
为
中点，且
且
四边形
为平行四边形
，又
平面
，
平面
平面
（2）设
，
由直四棱柱性质可知：
平面
四边形
为菱形
则以
为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：
，
，
，D（0，-1,0）
取
中点
，连接
，则
四边形
为菱形且
为等边三角形
又
平面
，
平面
平面
，即
平面
为平面
的一个法向量，且
设平面
的法向量
，又
，
，令
，则
，
二面角
的正弦值为：
【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直
关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
19. 已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为
的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；
（2）若
，求|AB|．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）设直线：
，
，
；根据抛物线焦半径公式可得
；联立直线
方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于
的方程，解方程求得结果；（2）设直线：
；
联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用
可得
，结合韦达定理可求
得
；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：
，
，
由抛物线焦半径公式可知：
联立
得：
则
，解得：
直线的方程为：
，即：
（2）设
，则可设直线方程为：
联立
得：
则
，
，
则
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.
关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
20. 已知函数
，
为
的导数．证明：
（1）
在区间
存在唯一极大值点；
（2）
有且仅有2 个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求得导函数后，可判断出导函数在
上单调递减，根据零点存在定理可判断出
，
使得
，进而得到导函数在
上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知
为
在
上的唯一零点；当
时，首先可判断出在
上无零点，再利用零点
存在定理得到
在
上的单调性，可知
，不存在零点；当
时，利用零点存
在定理和
单调性可判断出存在唯一一个零点；当
，可证得
；综合上述情况可
证得结论.
【详解】（1）由题意知：
定义域为：
且
令
，
，
在
上单调递减，
在
上单调递减
在
上单调递减
又
，
，使得
当
时，
；
时，
即
在
上单调递增；在
上单调递减
则
为
唯一的极大值点
即：
在区间
上存在唯一的极大值点
.
（2）由（1）知：
，
①当
时，由（1）可知
在
上单调递增
在
上单调递减
又
为
在
上的唯一零点
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减
又
在
上单调递增，此时
，不存在零点
又
，使得
在
上单调递增，在
上单调递减
又
，
在
上恒成立，此时不存在零点
③当
时，
单调递减，
单调递减
在
上单调递减
又
，
即
，又
在
上单调递减
在
上存在唯一零点
④当
时，
，
即
在
上不存在零点
综上所述：
有且仅有
个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一
方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯
一性，二者缺一不可.
21. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方
案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙
药．一轮
治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只
时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药
的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白
鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得
分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分
别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求
的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则
，
，
，其中
，
，
．假设
，
．
(i)证明：
为等比数列；
(ii)求
，并根据
的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）
.
【解析】
【分析】
（1）首先确定
所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解
出
的取值，可得
，从而整理出符合等比数列定义的形式，
问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合
和
的值可求得
；再次
利用累加法可求出
.
【详解】（1）由题意可知
所有可能的取值为：
，
，
；
；
则
的分布列如下：
（2）
，
，
，
（i）
即
整理可得：
是以
为首项，
为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，
，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8 时，认为甲
药更有效的概率为
，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列
求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公
式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对
学生分析和解决问题能力要求较高.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
【答案】（1）
；
；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得
的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；
（2）利用参数方程表示出
上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，
从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】（1）由
得：
，又
整理可得
的直角坐标方程为：
又
，
的直角坐标方程为：
（2）设
上点的坐标为：
则
上的点到直线的距离
当
时，
取最小值
则
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.
求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
23. 已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用
将所证不等式可变为证明：
，利用基本不等式可证得
，从而得到结论；（2 ）利用基本不等式可得
，再次利用基本不等式可将式转化为
，在取等条件一致的情况下，可得结论.
【详解】（1）
当且仅当
时取等号
，即：
（2）
，当且仅当
时取等号
又
，
，
（当且仅当
时等号同时成立）
又
【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，
需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
