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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形
码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体
工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合
，
，则A∩B=
A. (–1，+∞)
B. (–∞，2)
C. (–1，2)
D.
2. 设z=i(2+i)，则
=
A. 1+2i
B. –1+2i
C. 1–2i
D. –1–2i
3. 已知向量
，则
A.
B. 2
C. 5
D. 50
4. 生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2 只
测量过该指标的概率为
A.
B.
C.
D.
5.
“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙
成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A. 甲、乙、丙
B. 乙、甲、丙
C. 丙、乙、甲
D. 甲、丙、乙
6. 设f(x)为奇函数，且当x≥0 时，f(x)=
，则当x<0 时，f(x)=
A.
B.
C.
D.
7. 设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是
A. α 内有无数条直线与β 平行
B. α 内有两条相交直线与β 平行
C. α，β 平行于同一条直线
D. α，β 垂直于同一平面
8. 若x1=
，x2=
是函数f(x)=
(
>0)两个相邻的极值点，则
=
A. 2
B.
C. 1
D.
9. 若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
的一个焦点，则p=
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
10. 曲线y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
11. 已知
∈（0，
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A.
B.
C.
D.
12. 设F 为双曲线C：
（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2
交于P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为
A.
B.
C. 2
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13. 若变量x，y 满足约束条件
则z=3x–y 的最大值是___________.
14. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有
20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的
估计值为___________.
15.
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形
围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在
同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分。
17. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1
底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥
的体积．
18. 已知
是各项均为正数的等比数列，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n 项和.
19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相
对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.
的分组
企业数
2
24
53
14
7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）.（精确到0.01）
附：
20. 已知
是椭圆
的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．
（1）若
为等边三角形，求C 的离心率；
（2)如果存在点P，使得
，且
的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
21. 已知函数
.证明：
（1）
存在唯一的极值点；
（2）
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分．
22. 在极坐标系中，O 为极点，点
在曲线
上，直线l 过点
且
与
垂直，垂足为P.
（1）当
时，求
及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
23. 已知
（1）当
时，求不等式
解集；
（2）若
时，
，求
的取值范围.
